Для связи в whatsapp +905441085890

Уравнения плоскости в пространстве

В пространстве с заданной декартовой системой координат однозначное расположение плоскости можно задать различными способами, соответственно существуют различные уравнения плоскости в пространстве.

1. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

Уравнения плоскости в пространстве
Уравнения плоскости в пространстве

Здесь Уравнения плоскости в пространстве — текущие координаты точки плоскости.

2. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку Уравнения плоскости в пространстве перпендикулярно заданному вектору Уравнения плоскости в пространстве:

Уравнения плоскости в пространстве

3. Если в уравнении (3.12) раскрыть скобки и обозначить свободный член через Уравнения плоскости в пространстве, получим общее уравнение плоскости:

Уравнения плоскости в пространстве

Если в общем уравнении (3.13) один из коэффициентов Уравнения плоскости в пространстве, Уравнения плоскости в пространстве, Уравнения плоскости в пространстве равен нулю, то плоскость проходит параллельно соответствующей оси. Если два коэффициента из Уравнения плоскости в пространстве, Уравнения плоскости в пространстве, Уравнения плоскости в пространстве равны нулю, плоскость параллельна одной из координатной плоскости. Например, плоскость Уравнения плоскости в пространстве проходит параллельно оси Уравнения плоскости в пространстве, плоскость Уравнения плоскости в пространстве проходит параллельно координатной плоскости Уравнения плоскости в пространстве через точку Уравнения плоскости в пространстве на оси Уравнения плоскости в пространстве.

Коэффициенты Уравнения плоскости в пространстве, Уравнения плоскости в пространстве, Уравнения плоскости в пространстве в общем уравнении являются одновременно компонентами вектора, перпендикулярного плоскости.

4. Разделив уравнение (3.13) на (-Уравнения плоскости в пространстве), получим уравнение плоскости в отрезках:

Уравнения плоскости в пространстве

Здесь Уравнения плоскости в пространствеУравнения плоскости в пространствеУравнения плоскости в пространстве — отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат. Например, плоскость

Уравнения плоскости в пространстве

пересекает оси координат в точках Уравнения плоскости в пространстве.

Расстояние Уравнения плоскости в пространстве от точки Уравнения плоскости в пространстве до плоскости Уравнения плоскости в пространстве, заданной уравнением (3.13), определяется по формуле:

Уравнения плоскости в пространстве

Две плоскости перпендикулярны (параллельны) друг другу, если перпендикулярны (параллельны) их векторы нормали. Поэтому, если даны две плоскости

Уравнения плоскости в пространстве

то условие перпендикулярности плоскостей:

Уравнения плоскости в пространстве

условие параллельности плоскостей:

Уравнения плоскости в пространстве

Пример выполнения задания

Пример:

Даны четыре точки Уравнения плоскости в пространстве.

Требуется: а) написать уравнение плоскости, проходящей через точки Уравнения плоскости в пространстве; б) преобразовать полученное уравнение плоскости Уравнения плоскости в пространстве в уравнение плоскости в отрезках и построить её; в) найти расстояние Уравнения плоскости в пространстве от точки Уравнения плоскости в пространстве до плоскости Уравнения плоскости в пространстве.

Решение:

а) Подставим координаты точек Уравнения плоскости в пространстве в уравнение (3.11):

Уравнения плоскости в пространстве

Раскрыв определитель, получим:

Уравнения плоскости в пространстве

Разделим на (-4) и получим окончательное общее уравнение искомой плоскости Уравнения плоскости в пространстве:

Уравнения плоскости в пространстве

б) Перенеся свободный член в правую часть и разделив на него уравнение, получим уравнение плоскости в отрезках:

Уравнения плоскости в пространстве
Уравнения плоскости в пространстве

Откладываем отрезки Уравнения плоскости в пространстве на осях Уравнения плоскости в пространстве соответственно и строим плоскость Уравнения плоскости в пространстве (см. рисунок 3.1).

в) Расстояние Уравнения плоскости в пространстве от точки Уравнения плоскости в пространстве до плоскости Уравнения плоскости в пространстве найдём по формуле (3.15):

Уравнения плоскости в пространстве (ед. длины).

Эта лекция взята с этой страницы, там вы найдёте все темы лекций по высшей математике для студентов 1 курса:

Высшая математика для 1 курса

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Смешанное произведение трёх векторов: определение и пример с решением
Уравнения прямой линии на плоскости
Эллипс, гипербола, парабола
Предел бесконечной числовой последовательности