Оглавление:
Уравнения плоскости в пространстве
Простейшей поверхностью является плоскость. Плоскость в пространстве 
можно задать разными способами. Каждому из них соответствует определенный вид ее уравнения.
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
Пусть в пространстве плоскость 
задана точкой 
и вектором 
, перпендикулярным этой плоскости (см. рис. 69). Выведем уравнение плоскости . Возьмем на ней произвольную точку 
и составим вектор
При любом расположении точки 
на плоскости векторы 
и 
взаимно перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю: 
, т. е.
Координаты любой точки плоскости удовлетворяют уравнению (12.3), координаты точек, не лежащих на плоскости , этому уравнению не удовлетворяют (для них 
).
Уравнение (12.3) называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно вектору . Оно первой степени относительно текущих координат 
и 
. Вектор называется нормальным вектором плоскости.
Придавая коэффициентам 
и 
уравнения (12.3) различные значения, можно получить уравнение любой плоскости, проходящей через точку 
. Совокупность плоскостей, проходящих через данную точку, называется связкой плоскостей, а уравнение (12.3) — уравнением связки плоскостей.
Общее уравнение плоскости
Рассмотрим общее уравнение первой степени с тремя переменными и :
Полагая, что по крайней мере один из коэффициентов или не равен нулю, например 
, перепишем уравнение (12.4) в виде
Сравнивая уравнение (12.5) с уравнением (12.3), видим, что уравнения (12.4) и (12.5) являются уравнением плоскости с нормальным вектором , проходящей через точку 
.
Итак, уравнение (12.4) определяет в системе координат некоторую плоскость. Уравнение (12.4) называется общим уравнением плоскости.
Частные случаи общего уравнения плоскости:
- Если
, то оно принимает вид 
. Этому уравнению удовлетворяет точка 
. Следовательно, в этом случае плоскость проходит через начало координат. - Если
, то имеем уравнение 
. Нормальный вектор 
перпендикулярен оси 
. Следовательно, плоскость параллельна оси ; если 
— параллельна оси 
, 
— параллельна оси 
. - Если
, то плоскость проходит через параллельно оси , т. е. плоскость 
проходит через ось . Аналогично, уравнениям 
и 
отвечают плоскости, проходящие соответственно через оси и . - Если
, то уравнение (12.4) принимает вид 
, т. е. 
. Плоскость параллельна плоскости 
. Аналогично, уравнениям 
и 
отвечают плоскости, соответственно параллельные плоскостям 
и 
. - Если
, то уравнение (12.4) примет вид 
, т. е. 
. Это уравнение плоскости . Аналогично: 
— уравнение плоскости ; 
— уравнение плоскости .
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Решение систем линейных уравнений методом Гаусса |
| Уравнения поверхности в пространстве |
| Числовые последовательности |
| Предел функции в точке |
