Для связи в whatsapp +905441085890

Уравнения прямой на плоскости

Уравнения прямой на плоскости

Простейшей из линий является прямая. Разным способам задания прямой соответствуют в прямоугольной системе координат разные виды ее уравнений.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть на плоскости Уравнения прямой на плоскости задана произвольная прямая, не параллельная оси Уравнения прямой на плоскости. Ее положение вполне определяется ординатой Уравнения прямой на плоскости точки Уравнения прямой на плоскости пересечения с осью Уравнения прямой на плоскости и углом Уравнения прямой на плоскости между осью Уравнения прямой на плоскости и прямой (см. рис. 41).

Уравнения прямой на плоскости

Под углом Уравнения прямой на плоскости наклона прямой понимается наименьший угол, на который нужно повернуть вокруг точки пересечения прямой и оси Уравнения прямой на плоскости против часовой стрелки ось Уравнения прямой на плоскости до ее совпадения с прямой.

Возьмем на прямой произвольную точку Уравнения прямой на плоскости (см. рис. 41). Проведем через точку Уравнения прямой на плоскости ось Уравнения прямой на плоскости, параллельную оси Уравнения прямой на плоскости и одинаково с ней направленную. Угол между осью Уравнения прямой на плоскости и прямой равен Уравнения прямой на плоскости. В системе Уравнения прямой на плоскости точка Уравнения прямой на плоскости имеет координаты Уравнения прямой на плоскости и Уравнения прямой на плоскости. Из определения тангенса угла следует равенство Уравнения прямой на плоскости, т. е. Уравнения прямой на плоскости. Введем обозначение Уравнения прямой на плоскости, получаем уравнение

Уравнения прямой на плоскости

которому удовлетворяют координаты любой точки Уравнения прямой на плоскости прямой. Можно убедиться, что координаты любой точки Уравнения прямой на плоскости, лежащей вне данной прямой, уравнению (10.2) не удовлетворяют.

Число Уравнения прямой на плоскости называется угловым коэффициентом прямой, а уравнение (10.2) — уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Если прямая проходит через начало координат, то Уравнения прямой на плоскости и, следовательно, уравнение этой прямой будет иметь вид Уравнения прямой на плоскости.

Если прямая параллельна оси Уравнения прямой на плоскости, то Уравнения прямой на плоскости, следовательно, Уравнения прямой на плоскостиУравнения прямой на плоскости и уравнение (10.2) примет вид Уравнения прямой на плоскости.

Если прямая параллельна оси Уравнения прямой на плоскости, то Уравнения прямой на плоскости, уравнение (10.2) теряет смысл, т. к. для нее угловой коэффициент Уравнения прямой на плоскости не существует. В этом случае уравнение прямой будет иметь вид

Уравнения прямой на плоскости

где Уравнения прямой на плоскости — абсцисса точки пересечения прямой с осью Уравнения прямой на плоскости. Отметим, что уравнения (10.2) и (10.3) есть уравнения первой степени.

Общее уравнение прямой

Рассмотрим уравнение первой степени относительно Уравнения прямой на плоскости и Уравнения прямой на плоскости в общем виде

Уравнения прямой на плоскости

где Уравнения прямой на плоскости — произвольные числа, причем Уравнения прямой на плоскости и Уравнения прямой на плоскости не равны нулю одновременно.

Покажем, что уравнение (10.4) есть уравнение прямой линии. Возможны два случая.

Если Уравнения прямой на плоскости, то уравнение (10.4) имеет вид Уравнения прямой на плоскости, причем Уравнения прямой на плоскости, т. е. Уравнения прямой на плоскости. Это есть уравнение прямой, параллельной оси Уравнения прямой на плоскости и проходящей через точку Уравнения прямой на плоскости.

Если Уравнения прямой на плоскости, то из уравнения (10.4) получаем Уравнения прямой на плоскости. Это есть уравнение прямой с угловым коэффициентом Уравнения прямой на плоскости.

Итак, уравнение (10.4) есть уравнение прямой линии, оно называется общим уравнением прямой.

Некоторые частные случаи общего уравнения прямой:

1) если Уравнения прямой на плоскости, то уравнение приводится к виду Уравнения прямой на плоскости. Это есть уравнение прямой, параллельной оси Уравнения прямой на плоскости;

2) если Уравнения прямой на плоскости, то прямая параллельна оси Уравнения прямой на плоскости;

3) если Уравнения прямой на плоскости, то получаем Уравнения прямой на плоскости. Уравнению удовлетворяют координаты точки Уравнения прямой на плоскости(0; 0), прямая проходит через начало координат.

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Основные приложения метода координат на плоскости
Линии на плоскости
Прямая линия на плоскости
Окружность