Оглавление:
Уравнения прямой в пространстве
Векторное уравнение прямой
Положение прямой в пространстве вполне определено, если задать какую-либо точку 
на прямой и вектор 
, параллельный этой прямой. Вектор называется направляющим вектором прямой. Пусть прямая 
задана ее точкой 
и направляющим вектором 
. Возьмем на прямой произвольную точку 
. Обозначим радиус-векторы точек и 
соответственно через 
и 
. Очевидно, что три вектора 
, и 
связаны соотношением
Вектор , лежащий на прямой , параллелен направляющему вектору , поэтому 
, где 
— скалярный множитель, называемый параметром, может принимать различные значения в зависимости от положения точки 
на прямой (см. рис. 75).
Уравнение (12.10) можно записать в виде
Полученное уравнение называется векторным уравнением прямой.
Параметрические уравнения прямой
Замечая, что 
, уравнение (12.11) можно записать в виде
Отсюда следуют равенства:
Они называются параметрическими уравнениями прямой в пространстве.
Канонические уравнения прямой
Пусть — направляющий вектор прямой и — точка, лежащая на этой прямой. Вектор , соединяющий точку с произвольной точкой прямой , параллелен вектору . Поэтому координаты вектора 
и вектора пропорциональны:
Уравнения (12.13) называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.
Замечания: 1) Уравнения (12.13) можно было бы получить сразу из параметрических уравнений прямой (12.12), исключив параметр . Из уравнений (12.12) находим
2) Обращение в нуль одного из знаменателей уравнений (12.13) означает обращение в нуль соответствующего числителя.
Например, уравнения 
задают прямую, про-
ходящую через точку 
перпендикулярно оси 
(проекция вектора на ось равна нулю). Но это означает, что прямая лежит в плоскости 
, и поэтому для всех точек прямой будет 
.
Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки
Пусть прямая проходит через точки 
и 
. В качестве направляющего вектора можно взять вектор 
, т.е. 
(см. рис. 76). Следовательно, 
. Поскольку прямая проходит через точку , то, согласно уравнениям (12.13), уравнения прямой имеют вид
Уравнения (12.14) называются уравнениями прямой, проходящей через две данные точки.
Общие уравнения прямой
Прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух не параллельных плоскостей. Рассмотрим систему уравнений
Каждое из уравнений этой системы определяет плоскость. Если плоскости не параллельны (координаты векторов 
и 
не пропорциональны), то система (12.15) определяет прямую как геометрическое место точек пространства, координаты которых удовлетворяют каждому из уравнений системы (см. рис. 77). Уравнения (12.15) называют общими уравнениями прямой.
От общих уравнений (12.15) можно перейти к каноническим уравнениям (12.13). Координаты точки па прямой получаем из системы уравнений (12.15), придав одной из координат произвольное значение (например, 
).
Так как прямая перпендикулярна векторам 
и 
, то за направляющий вектор прямой можно принять векторное произведение
Замечание: Канонические уравнения прямой легко получить, взяв две какие-либо точки на пей и применив уравнения (12.14).
Пример №12.1.
Написать канонические уравнения прямой , заданной уравнениями
Решение:
Положим и решим систему 
Находим точку 
. Положим 
и решим систему 
. Находим вторую точку 
прямой . Записываем уравнение прямой , проходящей через точки 
и 
:
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Общее уравнение линий второго порядка |
| Плоскость. Основные задачи |
| Прямая линия в пространстве |
| Прямая и плоскость в пространстве |
