Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей с примерами решения

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей. Уравнения, содержащие знаки корня и модуля

Справочные сведения

Оценка левой и правой части уравнения.

Решение некоторых тригонометрических уравнений основывается на неравенствах

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Кроме этих неравенств могут оказаться полезными неравенства

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

справедливые для любых Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения и для любых натуральных кип. Складывая неравенства (1), получаем

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

причем неравенство (2) является строгим при Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Если Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения , то справедливо равенство

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

т. е. числа Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения, Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения, и только они, являются корнями уравнения (3) при любых Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения. Если уравнение имеет вид

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

или преобразуется к такому виду, то оно равносильно системе уравнений

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Уравнения, содержащие знак корня.

Если тригонометрическое уравнение имеет вид

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

то, как было отмечено в §8, такое уравнение равносильно системе

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

При решении тригонометрических уравнений вида

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

следует иметь в виду, что такое уравнение равносильно каждой из следующих систем:

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Уравнения, содержащие знак модуля.

При решении тригонометрических уравнений, содержащих знак модуля, следует иметь в виду, что

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Примеры с решениями

Пример №137.

Решить уравнение Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Решение:

В § 12 (см. пример 8) решение этого уравнения было получено с помощью подстановки Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Данное уравнение — это уравнение вида (3) при Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения, Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения и поэтому его корнями являются числа Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Ответ. Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Пример №138.

Решить уравнение Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Решение:

Так как Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения для любого Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения, то уравнение может иметь корни только в том случае, когда Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения, т.е. Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения или Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения.

Если Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения, то Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения, Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения, Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения откуда Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения, Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения. Поэтому числа Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения — корни данного уравнения.

Если Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения, то Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решенияУравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решенияУравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решенияУравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Поэтому корни уравнения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения не являются корнями исходного уравнения.

Ответ. Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Пример №139.

Решить уравнение

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Решение:

Левая часть уравнения (4) не превосходит четырех, так как Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения , а правая не меньше четырех. Отсюда следует, что уравнение (4) может иметь решения только при одновременном выполнении условий

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Если справедливо равенство (5), то

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Из (8) и (9) следует, что равенство (6) верно только тогда, когда Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения, т.е. когда число Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решенияделится на 3. Число вида Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения делится на 3 тогда и только тогда, когда Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения, где Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения.

Ответ. Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Пример №140.

Решить уравнение

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Решение:

Допустимые значения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения определяются условиями

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Воспользуемся равенствами

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

справедливыми при условиях (11).

Тогда уравнение (10) равносильно уравнению

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

при выполнении условий (11).
Так как Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения, a Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения, то уравнение (12) равносильно системе уравнений

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

которая, в свою очередь, равносильна системе

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Поскольку каждый корень уравнения (13) является корнем уравнения (14), а для значений Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения, удовлетворяющих уравнению (13), выполняются условия (11), уравнение (13) равносильно уравнению (10).

Ответ. Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Пример №141.

Решить уравнение Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Решение:

Уравнение можно записать в виде

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

и поэтому оно равносильно системе

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Уравнение Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения имеет корни Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решениякоторые не являются корнями второго уравнения системы. Поэтому исходное уравнение не имеет корней.

Пример №142.

Найти все корни уравнения

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

принадлежащие отрезку Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Решение:

Уравнение (15) равносильно каждому из следующих уравнений:

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Уравнение (16) равносильно системе уравнений

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Из (18) следует, что

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Подставляя найденное значение Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения в уравнение (17), получаем

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Равенство (20) является верным в том и только в том случае, когда Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения — четное число. Поэтому все корни уравнения (15) определяются формулой

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

а отрезку Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения принадлежат те значения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения, которые получаются из формулы (21) при Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения и Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения.

Ответ. Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Пример №143.

Решить уравнение

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Решение:

Первый способ. Запишем уравнение в виде

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Прибавляя и вычитая в левой части уравнения (23) Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения, преобразуем это уравнение к виду

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Равенство (24) является верным тогда и только тогда, когда верны равенства

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Система (25) равносильна совокупности двух систем

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Если Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения, то Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения, и система (26) имеет решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения, которые являются решениями уравнения (22).

Система (27) не имеет решений, так как из равенства Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения следует, что Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения и Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения.

Ответ. Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Второй способ. Решив уравнение (22) как квадратное относительно Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения, получаем

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Из (28) следует, что уравнение (22) может иметь решение лишь тогда, когда Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения т.е. при условии, что хотя бы одно из равенств Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения является верным.

Если Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения то из (28) получаем Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Числа Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решенияявляются решениями уравнения (22). Если Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решениято Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения и Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения но из (28) следует, что Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Итак, снова получаем, что числа Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения и только они, являются корнями уравнения (22).

Пример №144.

Решить уравнение

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Решение:

Возведя обе части уравнения (29) в квадрат, получаем уравнение Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решениякоторое равносильно каждому из уравнений

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Уравнение Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения имеет корни Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения являющиеся корнями уравнения (29). Решив уравнение Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решениянаходим Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения откуда

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Из чисел, определяемых формулой (30), уравнению (29) удовлетворяют лишь те значения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения, для которых Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Так как Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения a Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения, то неравенство Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения равносильно неравенству Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решенияи поэтому в формуле (30) знак Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решенияследует заменить на знак Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения.

Ответ. Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Пример №145.

Решить уравнение

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Решение:

Левая часть уравнения определена при всех значениях Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения, так как Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения и неотрицательна. Возведя обе части уравнения (31) в квадрат, получим уравнение

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

являющееся следствием уравнения (31).

Корнями уравнения (31) являются все те и только те корни уравнения (32), которые удовлетворяют условию

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Иначе говоря, уравнение (31) равносильно системе, состоящей из уравнения (32) и неравенства (33).

Уравнение (32) сводится к квадратному относительно Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения, если воспользоваться формулой Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения. Применив эту формулу, запишем уравнение (32) в виде Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения, откуда найдем Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Если Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения, то Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решенияа условие (33) выполняется.

Если Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения то

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

В том случае, когда в формуле (34) взят знак Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения, Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решенияа если взят знак Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения, то Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Отметим еще, что Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Ответ.Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Замечание. Многие абитуриенты допустили ошибку, решая уравнение (32) без учета условия (33). Это привело к появлению посторонних для уравнения (31) корней.

Пример №146.

Решить уравнение

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Решение:

Возведя обе части уравнения (35) в квадрат, получим уравнение

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

являющееся следствием уравнения (35). Уравнение (36) равносильно каждому из следующих уравнений:

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Решив уравнение (37), находим Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

1) Если Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения то

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Пусть в формуле (38) Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения — четное число Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решениятогда числа Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения — корни уравнения (35), так как Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Пусть Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения — нечетное число Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения тогда

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Из (39) следует, что Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения и поэтому значения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения, определяемые формулой (39), не являются корнями уравнения (35).

2) Если Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения то

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Пусть в формуле (40) Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения — четное число, тогда

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Положим Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения отсюдаУравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решенияУравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решениятак как Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Поэтому значения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения, определяемые формулой (41), не являются корнями уравнения (35).

Пусть Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения тогда числа Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения корни уравнения (35), поскольку в этом случае Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решенияУравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Ответ. Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Пример №147.

Решить уравнение

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Решение:

Так как правая часть уравнения (42) неотрицательна, то уравнение может иметь решения только в том случае, когда

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Если освободиться от радикала возведением обеих частей уравнения (42) в квадрат, то получается уравнение

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Уравнение (44) является тождеством. Однако это не означает, что уравнению (42) удовлетворяют все значения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения, поскольку уравнение (44) — лишь следствие уравнения (42). Эти уравнения равносильны при выполнении условия (43). Таким образом, решениями уравнения (42) являются все значения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения, удовлетворяющие неравенству (43), и только эти значения. Решая неравенство (43), получаем

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Ответ. Объединение всех отрезков вида

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Замечание. Так как

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

то уравнение (42) равносильно уравнению

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

решениями которого являются те и только те значения х, которые удовлетворяют неравенству Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Пример №148.

Решить уравнение

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Решение:

Допустимые значения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения определяются условием Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения а уравнение (45) можно записать в виде

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Рассмотрим два случая: Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

1) Если Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения, то уравнение (46) приводится к виду Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения откуда следует, что Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения. В данном случае решений нет.

2) Если Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения, то, полагая в (46) Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения получаем

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

откуда Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Ответ. Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Пример №149.

Решить уравнение

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Решение:

Положим Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решениярассмотрим два возможных случая:

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения и Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

а) Пусть Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения, тогда уравнение (47) примет вид

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Уравнение (48), равносильное уравнению (47), не имеет действительных корней.

б) Пусть Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения, тогда уравнение (47) примет вид

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Так как Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения то уравнение (49), равносильное уравнению Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения имеет корни Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Если Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения то

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Так как Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

, то уравнение (50) равносильно уравнению Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения откуда, с учетом условия Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения получаем Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решенияУравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Если Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения, то Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решенияУравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Ответ.Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Пример 150.

Решить уравнение

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Решение:

Возможны два случая: Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решенияи Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения.

1) Пусть Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения, тогда уравнение (51) примет вид

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Преобразуя это уравнение, получаем

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Если Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения , то

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Если Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решенияУравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения или Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Корни уравнения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решениясодержатся в серии (52).

Решив уравнение Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения с учетом условия Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения, находим

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

2) Пусть Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения, тогда из (51) следует, что

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Решив уравнения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения и Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения при условииУравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решениянайдем еще две серии корней уравнения (51):

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Серии (53) и (55) можно объединить в одну:Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Ответ. Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Пример №151.

Решить уравнение

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Решение:

Рассмотрим два случая: Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решенияи Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения.

1) Если Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения, то Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения и уравнение (56) равносильно каждому из уравнений

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

а уравнение (57) равносильно совокупности уравнений

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Условию Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решенияудовлетворяют следующие две серии корней уравнения (58):

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

а также корни уравнения (59) такие, что

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

2) Если Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения, то Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения и уравнение (56) равносильно каждому из уравнений

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Так как Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения, то уравнение (61) равносильно каждому из уравнений

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

откуда получаем Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения (и тогда Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения) и

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Таким образом, если Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения, то все корни уравнения (56) содержатся среди корней уравнения (62), т. е. среди чисел вида

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Условию Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения удовлетворяют числа из формулы (63), взятые со знаком Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения, т. е. значения

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Заметим, что серии (64) и (60) можно объединить в одну: Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Ответ. Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Пример №152.

Решить уравнение

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Решение:

Здесь ОДЗ уравнения (65) определяется условием Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Рассмотрим два возможных случая: Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения и Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения.

1) Если Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения, то все корни уравнения (65) содержатся среди корней каждого из следующих равносильных уравнений:

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

а уравнение (66) равносильно совокупности уравнений

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Чтобы найти корни уравнения (67), удовлетворяющие условию Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения, воспользуемся формулой

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Отсюда следует, что уравнению (67) и условию Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения удовлетворяют корни уравнения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения т.е. числа

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Корнями уравнения (68), удовлетворяющими условию Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения, являются числа

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

2) Если Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения, то все корни уравнения (65) содержатся среди корней каждого из следующих уравнений:

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения
Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Уравнение Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения равносильно уравнению Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения , откуда (при условии Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения) Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Уравнение Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения не имеет корней. Таким образом, корнями уравнения (65) являются числа, определяемые формулами (69)—(71).

Ответ. Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей  с примерами решения

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением
Решение уравнений с помощью введения вспомогательного угла, методом замены неизвестного и разложения на множители, с помощью формул понижения степени примеры с решением
Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения
Системы линейных уравнений с примерами решения