Векторные дифференциальные операции второго порядка
После применения оператора Гамильтона к скалярному или векторному полю получается новое поле, к которому можно снова применить этот оператор. В результате получаются дифференциальные операции второго порядка. Нетрудно убедиться, что имеется лишь пять дифференциальных операций второго порядка: 
.
(Понятно, что операция 
, например, не имеет смысла: 
— скаляр, говорить о дивергенции скаляра, т. е. о , бессмысленно.)
Запишем явные выражения для дифференциальных операций второго порядка, используя оператор Гамильтона. Заметим при этом, что, оператор действует только на множитель, расположенный непосредственно за оператором.
. Правая часть этого равенства называется оператором Лапласа скалярной функции 
и обозначается 
. Таким образом,
Дифференциальное уравнение Лапласа 
играет важную роль в различных разделах математической физики. Решениями уравнения Лапласа являются так называемые гармонические функции.
Замечание. К равенству (72.1) можно прийти, введя в рассмотрение скалярный оператор дельта:
(который тоже называют оператором Лапласа).
, так как векторное произведение двух одинаковых векторов равно нулю (пуль-вектор). Это означает, что поле градиента есть поле безвихревое.
, так как смешанное произведение трех векторов, из которых два одинаковые, равно нулю. Это означает, что поле вихря — соленоидальное.
, так как двойное векторное произведение обладает свойством
Здесь 
— векторная величина, полученная на результате применения оператора Лапласа к вектору 
.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Поток векторного поля |
| Векторные дифференциальные операции первого порядка |
| Предел и непрерывность функции комплексного переменного |
| Основные элементарные функции комплексного переменного |
