Оглавление:
Возвратные уравнения
Уравнения вида
где 
— фиксированное число и 
, называются возвратными уравнениями соответственно нечётной и чётной степеней. При 
уравнения (1) и (2) являются, в частности, симметрическими уравнениями соответственно нечётной и чётной степеней, при 
— кососимметрическими.
Возвратное уравнение нечётной степени (1) всегда имеет корень 
, поскольку это уравнение можно переписать в виде
и при выражения в каждой скобке обращаются в нуль. Выделив множитель 
из каждой скобки, можно доказать, что уравнение (1) равносильно совокупности двух уравнений: уравнения
и некоторого возвратного уравнения чётной степени.
Для решения возвратного уравнения чётной степени (2) поступают следующим образом. Поскольку x = 0 не является корнем уравнения, то, разделив уравнение (2) на
и сгруппировав члены, получим уравнение
Положим 
, тогда имеем 
и т.д., и уравнение (3) степени 2n относительно x в результате такой замены преобразуется к виду алгебраического уравнения степени n относительно и . Таким образом, степень уравнения стала ниже в два раза. Если теперь удастся решить полученное уравнение степени n , то тогда можно будет найти все решения уравнения (2).
Пример №192.
Решить уравнение 
Решение:
Заметим при внимательном анализе структуры уравнения, что его можно переписать в виде
откуда следует, что данное уравнение относится к возвратным уравнениям степени 5 (при 
). Так как согласно теории x = 2 является его корнем, то, сгруппировав члены уравнения, приведём уравнение к виду
Применяя формулы разности пятых и третьих степеней и выделяя множитель (х — 2), преобразуем уравнение к виду
Второе из уравнений совокупности является возвратным уравнением четвертой степени с 
, поскольку его можно переписать в виде
Так как x = 0, очевидно, не является корнем последнего уравнения, то, поделив его на 
и сгруппировав члены, получим равносильное уравнение
Сделав замену x + (4/х) = и , приходим к квадратному уравнению
имеющему корни
Первое из этих уравнений решений не имеет, второе имеет два корня 
Объединяя решения, приходим к ответу.
Ответ: 
10.Уравнения вида 
, где а,b,c — заданные числа, отличные от нуля, решаются с помощью замены неизвестной, произведённой по формуле у = x + (а + b)/2 , приводящей уравнение к симметричному виду, в результате чего решение уравнения 4-й степени общего вида оказывается сведено к решению биквадратного уравнения.
Пример №193.
Решить уравнение 
Решение:
Положим 
(симметризирую-щая подстановка), тогда уравнение приведётся к более удобному симметричному виду
Применяя формулу сокращенного умножения
получаем биквадратное уравнение 
. Поскольку корни квадратного уравнения 
есть 
и 
, то находим 
и, следовательно, 
и 
Ответ: 
.
11.Уравнения вида (х — a)(х — b)(x — с)(х — d) = А , где a<b<c<d , b-a = d- c, 
. Для решения уравнения сгруппируем вначале сомножители попарно:
или
Так как а + d = b + c, то выполним после этого симметризирующую подстановку 
, в результате чего получим уравнение
откуда (при условии неотрицательности правой части) находим 
и, возвращаясь к первоначальной переменной, сводим задачу к решению двух квадратных уравнений:
Замечание. Любое уравнение этого вида можно решать иначе, а именно с помощью симметризирующей подстановки
сводить к биквадратному уравнению
Пример №194.
Решить уравнение
Решение:
1-й способ. Перепишем уравнение в виде:
. Обозначим 
, тогда 
. Следовательно, осталось решить два квадратных уравнения 
. Одно из них даёт корни x = 0 и x = — 5 , а другое не имеет решений.
2-й способ. Сделаем подстановку 
, тогда:
. При этом дискриминант 
, и единственный положительный корень 
Отсюда приходим к тому же ответу.
12.Уравнения вида 
, где 
Уравнение этого вида не имеет корня x = 0, поэтому, разделив его на , получим равносильное ему уравнение
которое после замены неизвестной 
преобразуется в квадратное уравнение, решение которого не представляет трудностей.
Пример №195.
Решить уравнение 
Решение:
Так как x = 0 не является корнем уравнения, то, разделив его на, получим уравнение
Делая замену у = x + (2/х), получим квадратное уравнение (y + 1)(y + 2) =2 , которое имеет два корня у = 0, у = — 3 . Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений
решая которую находим корни. Ответ: 
12.Уравнения вида 
где 
Для решения уравнения такого типа вначале преобразуем его:
Разделив далее обе части уравнения на 
, получим уравнение
Так как ab = cd , то, выполнив замену 
, приходим к квадратному уравнению 
и так далее.
Пример №196.
Выберите промежуток, содержащий сумму всех корней уравнения 
А) (0,6); Б) (6, 12); В) (l 2,18); Г) (18,24); Д) ответы А) — Г) — неверные.
Решение:
Положим y = x + (8/х), тогда (y — 9)(у- 6)=4. Можно обозначить далее z = у — 7, тогда (z — 2)(z + 1) = 4 <=> z = -2 или z=3. Делая обратную подстановку, приходим к квадратному уравнению 
, для которого по теореме Виета находим 
(действительные корни есть, так как дискриминант положителен). Поскольку 
. то, следовательно, правильный ответ будет Б).
14. Уравнения вида 
где 
Рассмотрим метод решения такого рода уравнений. Так как x = 0 не является корнем уравнения, то поделим его на :
После замены у = cx + (q/x) уравнение приводится к виду квадратного относительно у .
Пример №197.
Решить уравнение
Решение:
Поскольку 
, то уравнение равносильно следующему уравнению
Обозначим 
Ответ:
Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:
Эти страницы возможно вам будут полезны:
