Для связи в whatsapp +905441085890

Второй замечательный предел

Второй замечательный предел

Как известно, предел числовой последовательности Второй замечательный предел, Второй замечательный предел, имеет предел, равный Второй замечательный предел (см. (15.6)):

Второй замечательный предел

Докажем, что к числу Второй замечательный предел стремится и функция Второй замечательный предел при Второй замечательный предел Второй замечательный предел:

Второй замечательный предел

1. Пусть Второй замечательный предел. Каждое значение Второй замечательный предел заключено между двумя положительными целыми числами: Второй замечательный предел, где Второй замечательный предел — это целая часть Второй замечательный предел. Отсюда следует Второй замечательный предел, поэтому

Второй замечательный предел

Если Второй замечательный предел, то Второй замечательный предел. Поэтому, согласно (17.14), имеем:

Второй замечательный предел

По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов

Второй замечательный предел

Пусть Второй замечательный предел. Сделаем подстановку Второй замечательный предел, тогда

Второй замечательный предел

Из равенств (17.16) и (17.17) вытекает равенство (17.15).

Если в равенстве (17.15) положить Второй замечательный предел (Второй замечательный предел при Второй замечательный предел ), оно
запишется в виде

Второй замечательный предел

Равенства (17.15) и (17.18) называются вторым замечательным пределом. Они широко используются при вычислении пределов. В приложениях анализа большую роль играет показательная функция с основанием Второй замечательный предел . Функция Второй замечательный предел называется экспоненциальной, употребляется также обозначение Второй замечательный предел.

Пример №17.8.

Найти Второй замечательный предел.

Решение:

Обозначим Второй замечательный предел, очевидно, Второй замечательный предел при Второй замечательный предел . Имеем

Второй замечательный предел

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Основные элементарные функции
Первый замечательный предел
Эквивалентные бесконечно малые функции
Производные основных элементарных функций