Для связи в whatsapp +905441085890

Вычет функции

Понятие вычета и основная теорема о вычетах

Вычетом аналитической функции Вычет функции в изолированной особой точке Вычет функции называется комплексное число, равное значению интеграла Вычет функции, взятого в положительном направлении по окружности Вычет функции с центром в точке Вычет функции, лежащей в области аналитичности функции Вычет функции (т. е. в кольце Вычет функции).

Обозначается вычет функции Вычет функции в изолированной особой точке Вычет функции символом Вычет функции или Вычет функции. Таким образом,

Вычет функции

Если в формуле (76.12) положить Вычет функции, то получим

Вычет функции

т. е. вычет функции Вычет функции относительно особой точки Вычет функции равен коэффициенту при первом члене с отрицательным показателем в разложении функции Вычет функции в ряд Лорана (76.11).

Теорема 77.1 (Коши). Если функция Вычет функции является аналитической в замкнутой области Вычет функции, ограниченной контуром Вычет функции, за исключением конечного числа особых точек Вычет функции, лежащих внутри области Вычет функции, то

Вычет функции

Вокруг каждой особой точки Вычет функции опишем окружность Вычет функции так, чтобы она целиком содержалась в области Вычет функции, не содержала внутри других особых точек и чтобы никакие две из этих окружностей не имели общих точек (см. рис. 300).

Тогда на основании теоремы Коши для многосвязной области (см. замечание на с. 545) имеем:

Вычет функции

где при интегрировании все контуры обходятся против часовой стрелки. Но, согласно формуле (77.1), имеем:

Вычет функции

Следовательно,

Вычет функции

т.е. Вычет функции

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Основные элементарные функции комплексного переменного
Ряды в комплексной плоскости
Преобразование Лапласа
Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений и их систем