Понятие вычета и основная теорема о вычетах
Вычетом аналитической функции в изолированной особой точке называется комплексное число, равное значению интеграла , взятого в положительном направлении по окружности с центром в точке , лежащей в области аналитичности функции (т. е. в кольце ).
Обозначается вычет функции в изолированной особой точке символом или . Таким образом,
Если в формуле (76.12) положить , то получим
т. е. вычет функции относительно особой точки равен коэффициенту при первом члене с отрицательным показателем в разложении функции в ряд Лорана (76.11).
Теорема 77.1 (Коши). Если функция является аналитической в замкнутой области , ограниченной контуром , за исключением конечного числа особых точек , лежащих внутри области , то
Вокруг каждой особой точки опишем окружность так, чтобы она целиком содержалась в области , не содержала внутри других особых точек и чтобы никакие две из этих окружностей не имели общих точек (см. рис. 300).
Тогда на основании теоремы Коши для многосвязной области (см. замечание на с. 545) имеем:
где при интегрировании все контуры обходятся против часовой стрелки. Но, согласно формуле (77.1), имеем:
Следовательно,
т.е.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Основные элементарные функции комплексного переменного |
Ряды в комплексной плоскости |
Преобразование Лапласа |
Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений и их систем |