Для связи в whatsapp +905441085890

Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения

Рассмотрим функцию Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения, непрерывную на отрезке Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения. С помощью метода сумм (лекция 21) выводятся две важные формулы:

1. Длина дуги Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения кривой Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения, заданной на отрезке Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения (рис. 23.6) при условии непрерывности Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения, выражается формулой: Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения.

Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения

Пример №23.3.

Найдите длину дуги линии Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения от точки Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения(0; 0) до точки Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения(1; 1).

Решение:

Для вычисления длины дуги Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения воспользуемся формулой: Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения.

Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения

В качестве Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения берем функцию Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения (рис. 23.7). Тогда Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения, и Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения. Представим квадратный корень в виде степени: Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения. Вычислим данный интеграла как интеграл от некоторой сложной функции: Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения

Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения
Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения
Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения

Ответ: Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращенияВычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения.

Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения

2. Объем тела вращения, полученного вращением вокруг оси Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения, отрезком Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения, прямыми Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения и Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения (рис. 23.8), выражается формулой: Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения.

Объем тела вращения, полученного вращением вокруг оси Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения, прямыми Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения, Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения, Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения (рис. 23.9), выражается формулой: Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения.

Пример №23.4.

Найдите объем тела, полученного вращением вокруг оси Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения фигуры, ограниченной графиком функции Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения, осью Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения, прямой Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения.

Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения

Решение:

Построим фигуру, ограниченную графиком функции Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения, осью Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения, прямой Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения (на рис. 23.10 обозначена штриховкой). При ее вращении вокруг оси Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения получаем тело вращения (рис. 23.10). Для вычисления его объема воспользуемся формулой: Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения.

В нашем примере Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения. Тогда Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращенияВычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения

Ответ: Вычисление длины дуги плоской кривой и объема тел вращения

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Предмет высшая математика

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:

Геометрический смысл определенного интеграла
Приложение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур.
Понятие несобственного интеграла
Несобственные интегралы I рода.