Для связи в whatsapp +905441085890

Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному

Двойной интеграл вычисляется путем сведения его к повторному с применением соответствующей формулы. Вид формулы, по которой осуществляется сведение, зависит от типа области интегрирования. Различают три типа области интегрирования: прямоугольную, криволинейную I типа и криволинейную II типа. Поэтому при вычислении двойного интеграла возникают три ситуации. Рассмотрим их, опуская собственно вывод формул
сведения двойного интеграла к повторному.

Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному

1. Область интегрирования Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному на плоскости Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному является прямоугольной. т.е. ограничена прямыми Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному, причем Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному (рис. 29.2.). В этом случае формула сведения двойного интеграла к повторному имеет вид:

Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному
Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному

2. Область интегрирования Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному на плоскости Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному
является криволинейной областью I типа, т.е. ограничена снизу и сверху непрерывными кривыми Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному и Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному, а слева и справа -отрезками прямых Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному и Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному так, что любая прямая, параллельная оси Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному и проходящая внутри отрезка Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному пересекает границу области (кривые Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному и Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному) в двух точках (рис 29.3.).
В этом случае формула сведения двойного интеграла к повторному имеет вид:

Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному
Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному

3. Область интегрирования Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному на плоскости Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному является криволинейной областью II типа, т.е. ограничена слева и справа непрерывными кривыми Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному и Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному, а снизу и сверху — отрезками прямых Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному и Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному так, что любая прямая, параллельная оси Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному и проходящая внутри отрезка Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному, пересекает границу области (кривые Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному и Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному) в двух точках (рис. 29.4.). В этом случае формула сведения двойного интеграла к повторному имеет вид:

Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному

Таким образом, при вычислении двойных интегралов удобно использовать следующий алгоритм:

  1. Построить область интегрирования в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости (исключением может быть случай прямоугольной области).
  2. Определить тип области и в соответствии с ним составить формулу сведения двойного интеграла к повторному.
  3. Вычислить полученный повторный интеграл.

Рассмотрим примеры вычисления двойных интегралов.

Пример №29.2.

Вычислите двойной интеграл Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному
по прямоугольной области Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному, ограниченной прямыми Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному.

Решение:

1.Область интегрирования Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному является прямоугольной. Для вычисления двойного интеграла используем соответствующую формулу сведения его к повторному интегралу:

Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному

В нашем случае Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному. Следовательно,

Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному

2. Вычислим полученный повторный интеграл:

Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному
Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному
Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному
Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному

Таким образом, окончательно имеем:

Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному

Этот двойной интеграл по прямоугольной области можно вычислить также использованием формулы

Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному

Тогда Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному.

Ответ: Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному

Пример №29.3.

Вычислите двойной интеграл Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному по области Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному, ограниченной линиями Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному и Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному.

Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному

Решение:

1) Построим область интегрирования Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости (рис. 29.5.). Линия, задаваемая уравнением Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному, — прямая, являющаяся биссектрисой I и III координатных углов.

Линия, задаваемая уравнением Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному, — прямая. Построим ее по двум точкам:

Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному

Линия, задаваемая уравнением Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному, — прямая, параллельная оси Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному и проходящая через точку (1; 0).

В итоге, область интегрирования Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному обозначена на рис. 29.5. штриховкой.

2) Область интегрирования Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному является криволинейной областью I типа. Для вычисления двойного интеграла используем соответствующую формулу сведения его к повторному интегралу:

Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному

В нашем случае Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному. Следовательно,

Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному

3) Вычислим полученный повторный интеграл:

Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному
Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному
Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному
Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному

Таким образом, окончательно имеем:

Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному

Ответ: Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному

Пример №29.4.

Вычислите двойной интеграл Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному по области Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному, ограниченной линиями Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному.

Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному

Решение:

1) Построим область интегрирования Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости. Линия, задаваемая уравнением Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному, — парабола с вершиной в начале координат, «ветви» которой направлены вверх. Линия, задаваемая уравнением Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному, — ось абсцисс. Линия, задаваемая уравнением Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному, — прямая. Построим ее по двум точкам:

Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному

В итоге, область интегрирования Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному обозначена на рис. 29.6. штриховкой.

2) Область интегрирования Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному является криволинейной областью II типа. Для вычисления двойного интеграла используем соответствующую формулу сведения его к повторному интегралу:

Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному

В нашем случае очевидно Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному. Найдем Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному как ординату точки пересечения графиков функций Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному и Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному в первой координатной четверти. Предварительно вычислим абсциссу точки пересечения графиков, решив уравнение Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному. По теореме, обратной теореме Виста для приведенного квадратного уравнения Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному, получим корни Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному. В первой координатной четверти находится точка с абсциссой Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному. Ее ординату найдем, подставляя Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному в уравнение Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному. Отсюда Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному.

Выражая Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному из уравнений Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному и Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному, получим соответственно Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному и Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному. Так, Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному. Следовательно, Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному.

3) Вычислим полученный повторный интеграл:

Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному
Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному
Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному
Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному
Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному
Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному

Таким образом, окончательно имеем:

Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному

Ответ: Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Предмет высшая математика

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:

Свойства двойных интегралов.
Понятие повторного интеграла.
Геометрический смысл двойного интеграла.
Вычисление объемов геометрических тел с помощью двойного интеграла.