Оглавление:
Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
Покажем, что вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов.
Пусть требуется вычислить двойной интеграл , где функция непрерывна в области . Тогда, как это было показано в п. 53.2, двойной интеграл выражает объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью . Найдем этот объем, используя метод параллельных сечений. Ранее (см. (41.6)) было показано, что
где — площадь сечения плоскостью, перпендикулярной оси , а — уравнения плоскостей, ограничивающих данное тело.
Положим сначала, что область D представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную прямыми и и кривыми и , причем функции и непрерывны и таковы, что для всех (см. рис. 218). Такая область называется правильной в направлении оси : любая прямая, параллельная оси , пересекает границу области не более чем в двух точках.
Построим сечение цилиндрического тела плоскостью, перпендикулярной оси , где .
В сечении получим криволинейную трапецию , ограниченную линиями , где и (см. рис. 219).
Площадь этой трапеции находим с помощью определенного интеграла
Теперь, согласно методу параллельных сечений, искомый объем цилиндрического тела может быть найден так:
С другой стороны, в п. 53.2 было доказано, что объем цилиндрического тела определяется как двойной интеграл от функции по области . Следовательно,
Это равенство обычно записывается в виде
Формула (53.7) представляет собой способ вычисления двойного интеграла в декартовых координатах. Правую часть формулы (53.7) называют двукратным (или повторным) интегралом от функции по области . При этом называется внутренним, интегралом.
Для вычисления двукратного интеграла сначала берем внутренний интеграл, считая постоянным, затем берем внешний интеграл, т. е. результат первого интегрирования интегрируем по в пределах от до .
Если же область ограничена прямыми и , кривыми и , причем для всех , т. е. область — правильная в направлении оси , то, рассекая тело плоскостью , аналогично получим:
Здесь, при вычислении внутреннего интеграла, считаем постоянным.
Замечания.
- Формулы (53.7) и (53.8) справедливы и в случае, когда , .
- Если область правильная в обоих направлениях, то двойной интеграл можно вычислять как по формуле (53.7), так и по формуле (53.8).
- Если область не является правильной ни «по », ни «по », то для сведения двойного интеграла к повторным ее следует разбить на части, правильные в направлении оси или оси .
- Полезно помнить, что внешние пределы в двукратном интеграле всегда постоянны, а внутренние, как правило, переменные.
Пример №53.1.
Вычислить , где область ограничена линиями .
Решение:
На рисунке 220 изображена область интегрирования . Она правильная в направлении оси . Для вычисления данного двойного интеграла воспользуемся формулой (53.8):
Отметим, что для вычисления данного двойного интеграла можно воспользоваться формулой (53.7). Но для этого область следует разбить на две области: и . Получаем:
Ответ, разумеется, один и тот же.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Объем цилиндрического тела |
Масса плоской пластинки |
Вычисление двойного интеграла в полярных координатах |
Приложения двойного интеграла |