Оглавление:
Вычисление объема тела
Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений
Пусть требуется найти объем 
тела, причем известны площади 
сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, например оси 
: 
, 
.
Применим схему II (метод дифференциапа).
1. Через произвольную точку 
проведем плоскость 
, перпендикулярную оси (см. рис. 187). Обозначим через 
площадь сечения тела этой плоскостью; считаем известной и непрерывно изменяющейся при изменении 
. Через 
обозначим объем части тела, лежащее левее плоскости . Будем считать, что на отрезке 
величина 
есть функция от , т. е. 
.
2. Находим дифференциал 
функции 
. Он представляет собой «элементарный слой» тела, заключенный между параллельными плоскостями, пересекающими ось в точках и 
, который приближенно может быть принят за цилиндр с основанием и высотой 
. Поэтому дифференциал объема 
.
3. Находим искомую величину путем интегрирования 
в пределах от 
до 
:
Полученная формула называется формулой объема тела по площади параллельных сечений.
Пример №41.6.
Найти объем эллипсоида 
.
Решение:
Рассекая эллипсоид плоскостью, параллельной плоскости 
и на расстоянии от нее 
, получим эллипс (см. рис. 188):
Площадь этого эллипса равна 
. Поэтому, по формуле (41.6), имеем
Объем тела вращения
Пусть вокруг оси вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией 
, отрезком и прямыми 
и 
(см. рис. 189). Полученная от вращения фигура, называется телом вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси , проведенной через произвольную точку оси (), есть круг с радиусом 
. Следовательно, 
.
Применяя формулу (41.6) объема тела по площади параллельных сечений, получаем
Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции 
и прямыми 
, то объем тела, образованною вращением этой трапеции вокруг оси 
, по аналогии с формулой (41.7), равен
Пример №41.7.
Найти объем тела, образованною вращением фигуры, ограниченной линиями 
вокруг оси 
(см. рис. 190).
Решение:
По формуле (41.8) находим:
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Вычисление площадей плоских фигур |
| Вычисление длины дуги плоской кривой |
| Вычисление площади поверхности вращения |
| Работа переменной силы |
