Оглавление:
Рассмотрим примеры вычисления площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла.
Пример №31.1.
Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями 
Решение:
Поскольку геометрически двойной интеграл от единичной функции по области 
равен площади плоской фигуры, представляющей собой область интегрирования , будем использовать формулу: 
.
В нашем случае областью интегрирования является фигура, ограниченная линиями Вычислим .
Для этого построим область интегрирования в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости.
Линии, задаваемые уравнениями 
, — прямые, параллельные оси 
и проходящие соответственно через точки (1;0), (2;0). Линия, задаваемая уравнением 
— гипербола, «ветви» которой расположены в I и III координатных четвертях. Гиперболу 
можно получить из гиперболы с помощью растяжения последней вдоль оси ординат в два раза.
Описание линий, задающих область интегрирования , позволяет при ее построении ограничиться I координатной четвертью.
Изображенная на рис. 31.1 область интегрирования является криволинейной областью I типа. Поэтому для вычисления двойного интеграла используем соответствующую формулу сведения его к повторному интегралу:
В нашем случае 
. Следовательно, 
.
Вычислим полученный повторный интеграл:
В итоге, 
. Следовательно, 
.
Ответ: .
Пример №31.2.
Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями 
и 
.
Решение:
Плоскую фигуру, ограниченную линиями и , обозначим . В силу геометрического смысла двойного интеграла от единичной функции, для нахождения площади 
плоской фигуры будем использовать формулу: .
Вычислим 
. Для этого построим фигуру (рис. 31.2), представляющую собой область интегрирования, в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости.
Линия, задаваемая уравнением — парабола, «ветви» которой направлены вниз. Построим ее с помощью параллельного переноса вдоль оси ординат графика функции 
на 3 единицы вверх. Линия, задаваемая уравнением — прямая. Составим уравнение прямой с угловым коэффициентом: 
.
Построим эту прямую по двум точкам:
Изображенная на рис. 31.2. область интегрирования является криволинейной областью I типа. Поэтому для вычисления двойного интеграла используем соответствующую формулу сведения его к повторному интегралу:
В нашем случае 
. Найдем 
и 
как абсциссы точек пересечения линий и . Для этого решим уравнение 
. Корни приведенного квадратного уравнения 
найдем по теореме, обратной теореме Виета: 
или 
. Следовательно, 
. Таким образом, 
. Вычислим полученный повторный интеграл:
В итоге, 
. Следовательно, 
.
Ответ: .
Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:
| Вычисление объемов геометрических тел с помощью двойного интеграла. |
| Геометрический смысл двойного интеграла от единичной функции. |
| Определение числового ряда. |
| Свойства числовых рядов. |
