Оглавление:
Вычисление площадей плоских фигур
Прямоугольные координаты
Как уже было установлено (см. «геометрический смысл определенного интеграла»), площадь криволинейной трапеции, расположенной «выше» оси абсцисс (), равна соответствующему определенному интегралу:
или
Формула (41.1) получена путем применения схемы I — метода сумм. Обоснуем формулу (41.1), используя схему II. Пусть криволинейная трапеция ограничена линиями , , , (см. рис. 173). Для нахождения площади этой трапеции проделаем следующие операции:
1. Возьмем произвольное и будем считать, что .
2. Дадим аргументу приращение . Функция получит приращение , представляющее собой площадь «элементарной криволинейной трапеции» (на рисунке она выделена).
Дифференциал площади есть главная часть приращения при , и, очевидно, он равен площади прямоугольника с основанием и высотой .
3. Интегрируя полученное равенство в пределах от до , получаем .
Отметим, что если криволинейная трапеция расположена «ниже» оси , то ее площадь может быть найдена по формуле
Формулы (41.1) и (41.2) можно объединить в одну:
Площадь фигуры, ограниченной кривыми и , прямыми и (при условии ) (см. рис. 174), можно найти по формуле
Если плоская фигура имеет «сложную» форму (см. рис. 175), то прямыми, параллельными оси , ее следует разбить на части так, чтобы можно было бы применить уже известные формулы.
Если криволинейная трапеция ограничена прямыми и , осью и непрерывной кривой (см. рис. 176), то ее площадь находится по формуле .
И, наконец, если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрически
прямыми и и осью , то площадь ее находится по формуле
где и определяются из равенств и .
Пример №41.1.
Найти площадь фигуры, ограниченной осью и графиком функции при .
Решение:
Фигура имеет вид, изображенный на рисунке 177. Находим ее площадь :
Дополнительный пример №41.2.
Полярные координаты
Найдем площадь криволинейного сектора, т. е. плоской фигуры, ограниченной непрерывной линией и двумя лучами и , где и — полярные координаты (см. рис. 179). Для решения задачи используем схему II — метод дифференциала.
1. Будем считать часть искомой площади S как функцию угла , т. е. , где (если , то , если , то .
2. Если текущий полярный угол получит приращение , то приращение площади равно площади «элементарного криволинейного сектора» .
Дифференциал представляет собой главную часть приращения при и равен площади кругового сектора (на рисунке она заштрихована) радиуса с центральным углом . Поэтому .
3. Интегрируя полученное равенство в пределах от до , получим искомую площадь
Пример №41.3.
Найти площадь фигуры, ограниченной «трехлепестковой розой» (см. рис. 180).
Решение:
Найдем сначала площадь половины одного лепестка «розы», т. е. часть всей площади фигуры:
т. е. . Следовательно, .
Если плоская фигура имеет «сложную» форму, то лучами, выходящими из полюса, ее следует разбить на криволинейные секторы, к которым применить полученную формулу для нахождения площади. Так, для фигуры, изображенной на рисунке 181, имеем:
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Интеграл от разрывной функции |
Схемы применения определенного интеграла |
Вычисление длины дуги плоской кривой |
Вычисление объема тела |