Для связи в whatsapp +905441085890

Вычисление поверхностного интеграла I рода

Вычисление поверхностного интеграла I рода

Вычисление поверхностного интеграла I рода сводится к вычислению двойного интеграла по области Вычисление поверхностного интеграла I рода — проекции поверхности Вычисление поверхностного интеграла I рода на плоскость Вычисление поверхностного интеграла I рода.

Разобьем поверхность Вычисление поверхностного интеграла I рода на части Вычисление поверхностного интеграла I рода. Обозначим через проекцию Вычисление поверхностного интеграла I рода на плоскость Вычисление поверхностного интеграла I рода. При этом область Вычисление поверхностного интеграла I рода, окажется разбитой на Вычисление поверхностного интеграла I рода частей Вычисление поверхностного интеграла I рода. Возьмем в Вычисление поверхностного интеграла I рода произвольную точку Вычисление поверхностного интеграла I рода и восстановим перпендикуляр к плоскости Вычисление поверхностного интеграла I рода до пересечения с поверхностью Вычисление поверхностного интеграла I рода. Получим точку Вычисление поверхностного интеграла I рода на поверхности Вычисление поверхностного интеграла I рода. Проведем в точке Вычисление поверхностного интеграла I рода касательную плоскость и рассмотрим ту ее часть Вычисление поверхностного интеграла I рода, которая на плоскость Вычисление поверхностного интеграла I рода проектируется в область Вычисление поверхностного интеграла I рода (см. рис. 247). Площади элементарных частей Вычисление поверхностного интеграла I рода, Вычисление поверхностного интеграла I рода и Вычисление поверхностного интеграла I рода обозначим как Вычисление поверхностного интеграла I рода, Вычисление поверхностного интеграла I рода и Вычисление поверхностного интеграла I рода соответственно. Будем приближенно считать, что

Вычисление поверхностного интеграла I рода
Вычисление поверхностного интеграла I рода

Обозначив через Вычисление поверхностного интеграла I рода острый угол между осью Вычисление поверхностного интеграла I рода и нормалью Вычисление поверхностного интеграла I рода к поверхности в точке Вычисление поверхностного интеграла I рода, получаем:

Вычисление поверхностного интеграла I рода

(область Вычисление поверхностного интеграла I рода есть проекция Вычисление поверхностного интеграла I рода на плоскость Вычисление поверхностного интеграла I рода).

Если поверхность Вычисление поверхностного интеграла I рода задана уравнением Вычисление поверхностного интеграла I рода, то, как известно (см. (45.2)), уравнение касательной плоскости в точке Вычисление поверхностного интеграла I рода есть

Вычисление поверхностного интеграла I рода

где Вычисление поверхностного интеграла I рода — координаты нормального вектора к плоскости. Острый угол Вычисление поверхностного интеграла I рода есть угол между векторами Вычисление поверхностного интеграла I рода и Вычисление поверхностного интеграла I рода.

Следовательно,

Вычисление поверхностного интеграла I рода

Равенство (57.4) принимает вид

Вычисление поверхностного интеграла I рода

В правой части формулы (57.2) заменим Вычисление поверхностного интеграла I рода (учитывая (57.3)) на полученное выражение для Вычисление поверхностного интеграла I рода, a Вычисление поверхностного интеграла I рода заменим на Вычисление поверхностного интеграла I рода. Поэтому, переходя к пределу при стремлении к нулю наибольшего диаметра Вычисление поверхностного интеграла I рода (а следовательно, и Вычисление поверхностного интеграла I рода), получаем формулу

Вычисление поверхностного интеграла I рода

выражающую интеграл по поверхности Вычисление поверхностного интеграла I рода через двойной интеграл по проекции Вычисление поверхностного интеграла I рода на плоскость Вычисление поверхностного интеграла I рода.

Отметим, что если поверхность Вычисление поверхностного интеграла I рода задана уравнением вида Вычисление поверхностного интеграла I рода или Вычисление поверхностного интеграла I рода, то аналогично получим:

Вычисление поверхностного интеграла I рода

и

Вычисление поверхностного интеграла I рода

где Вычисление поверхностного интеграла I рода и Вычисление поверхностного интеграла I рода — проекции поверхности Вычисление поверхностного интеграла I рода на координатные плоскости Вычисление поверхностного интеграла I рода и Вычисление поверхностного интеграла I рода соответственно.

Пример №57.1.

Вычислить Вычисление поверхностного интеграла I рода, где Вычисление поверхностного интеграла I рода — часть плоскости Вычисление поверхностного интеграла I рода, расположенной в I октанте (см. рис. 248).

Решение:

Запишем уравнение плоскости в виде Вычисление поверхностного интеграла I рода. Находим Вычисление поверхностного интеграла I рода. По формуле (57.5) имеем:

Вычисление поверхностного интеграла I рода
Вычисление поверхностного интеграла I рода
Вычисление поверхностного интеграла I рода

Пример №57.2.

Вычислить

Вычисление поверхностного интеграла I рода

где Вычисление поверхностного интеграла I рода — часть цилиндрической поверхности Вычисление поверхностного интеграла I рода, отсеченной плоскостями Вычисление поверхностного интеграла I рода (см. рис. 249).

Решение:

Воспользуемся формулой (57.6). Поскольку Вычисление поверхностного интеграла I рода, то

Вычисление поверхностного интеграла I рода

где Вычисление поверхностного интеграла I рода — прямоугольник Вычисление поверхностного интеграла I рода.

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования
Некоторые приложения криволинейного интеграла II рода
Некоторые приложения поверхностного интеграла I рода
Вычисление поверхностного интеграла II рода