Оглавление:
Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
В декартовых координатах вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов.
Пусть областью интегрирования 
является тело, ограниченное снизу поверхностью 
, сверху — поверхностью 
, причем 
и 
— непрерывные функции в замкнутой области 
, являющейся проекцией тела на плоскость 
(см. рис. 225). Будем считать область — правильней в направлении оси 
: любая прямая, параллельная оси , пересекает границу области не более чем в двух точках. Тогда для любой непрерывной в области функции 
имеет место формула
сводящая вычисление тройного интеграла к вычислению двойного интеграла от однократного (доказательство формулы (54.2) не приводим). При этом сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной 
при постоянных 
и 
в пределах изменения . Нижней границей интеграла является аппликата точки 
— точки входа прямой, параллельной оси в область , т. е. ; верхней границей — аппликата точки 
— точки выхода прямой из области , т. е. . Результат вычисления этого интеграла есть функция двух переменных: и .
Если область ограничена линиями 
(
), 
и 
, где 
и 
— непрерывные на отрезке 
функции, причем 
(см. рис. 226), то, переходя от двойного интеграла по области к повторному, получаем формулу
по которой вычисляется тройной интеграл в декартовых координатах.
Замечания.
- Если область более сложная, чем рассмотренная, то ее следует разбить на конечное число таких областей (правильных), к которым можно применить формулу (54.3).
- Порядок интегрирования в формуле (54.3), при определенных условиях, может быть иным.
Пример №54.1.
Вычислить
где ограничена плоскостями 
(рис. 227).
Решение:
Область является правильной в направлении оси (как, заметим, и в направлении осей 
и 
). Ее проекция на плоскость является правильной в направлении оси (и оси ). Согласно формуле (54.3), имеем:
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Вычисление двойного интеграла в полярных координатах |
| Приложения двойного интеграла |
| Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах |
| Некоторые приложения тройного интеграла |
