Вычисление вычетов. Применение вычетов в вычислении интегралов с примерами решения

Оглавление:

Вычисление вычетов. Применение вычетов в вычислении интегралов

Правильные или устранимые особые точки. Очевидно, если Вычисление вычетов есть правильная или устранимая особая точка функции , то (в разложении Лорана (76.11) в этих случаях отсутствует главная часть, поэтому ).

Полюс. Пусть точка Вычисление вычетов является простым полюсом функции . Тогда ряд Лорана для функции в окрестности точки имеет вид . Отсюда

Поэтому, переходя в этом равенстве к пределу при Вычисление вычетов , получаем

Замечание. Формуле (77.3) для вычисления вычета функции Вычисление вычетов в простом полюсе можно придать другой вид, если функция является частным двух функций, аналитических в окрестностях точки .

Пусть Вычисление вычетов , где , a имеет простой нуль при (т. е. ). Тогда, применяя формулу (77.3), имеем: , т.е.

Пусть точка Вычисление вычетов является полюсом -го порядка функции . Тогда лорановское разложение функции в окрестности точки имеет вид

Отсюда

Дифференцируя последнее равенство ( Вычисление вычетов — 1) раз, получим:

Переходя здесь к пределу при Вычисление вычетов , получаем

Существенно особая точка. Если точка Вычисление вычетов — существенно особая точка функции , то для вычисления вычета функции в этой точке обычно непосредственно определяют коэффициент в разложении функции в ряд Лорана.

Пример №77.1.

Найти вычеты функции Вычисление вычетов в ее особых точках.

Решение:

Особыми точками функции Вычисление вычетов являются: — простой полюс, полюс третьего порядка (). Следовательно, по формуле (77.4) имеем .

Используя формулу (77.5), находим:

Пример №77.2.

Найти вычет функции Вычисление вычетов в особой точке .

Решение:

Лорановское разложение данной функции в окрестности точки Вычисление вычетов было найдено в примере 76.4. Из него находим , т. е. .

Теорема о вычетах часто используется для вычисления интеграла от функции комплексного переменного по замкнутому контуру.

Пример №77.3.

Вычислить Вычисление вычетов , где — окружность .

Решение:

Функция Вычисление вычетов имеет в круге (см. рис. 301) простой полюс и полюс второго порядка . Применяя формулы (77.2), (77.3) и (77.5), получаем:

Определенный интеграл вида Вычисление вычетов с помощью замены в некоторых случаях удается преобразовать в интеграл по замкнутому контуру от функции комплексного переменного, к которому уже применима основная теорема о вычетах.

Пример №77.4.

Вычислить с помощью вычетов интеграл

Решение:

Произведем замену переменного, положив Вычисление вычетов . Тогда . При изменении от 0 до точка опишет в положительном направлении окружность . Следовательно,