Для связи в whatsapp +905441085890

Вычисления определенного интеграла

Вычисления определенного интеграла

Формула ньютона-лейбница

Простым и удобным методом вычисления определенного интеграла Вычисления определенного интеграла от непрерывной функции является формула Ньютона-Лейбница:

Вычисления определенного интеграла

Применяется этот метод во всех случаях, когда может быть найдена первообразная функции Вычисления определенного интеграла для подынтегральной функции Вычисления определенного интеграла.

Например, Вычисления определенного интеграла.

При вычислении определенных интегралов широко используется метод замены переменной и метод интегрирования по частям.

Интегрирование подстановкой (заменой переменной)

Пусть для вычисления интеграла Вычисления определенного интеграла от непрерывной функции сделана подстановка Вычисления определенного интеграла.

Теорема 39.1. Если:

1) функция Вычисления определенного интеграла и ее производная Вычисления определенного интеграла непрерывны при Вычисления определенного интеграла;

2) множеством значений функции Вычисления определенного интеграла при Вычисления определенного интеграла является отрезок Вычисления определенного интеграла;

3) Вычисления определенного интеграла и Вычисления определенного интеграла, то

Вычисления определенного интеграла

Пусть Вычисления определенного интеграла есть первообразная для Вычисления определенного интеграла на отрезке Вычисления определенного интеграла. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница Вычисления определенного интеграла. Так как Вычисления определенного интеграла, то Вычисления определенного интеграла является первообразной для функции Вычисления определенного интеграла. Поэтому по формуле Ньютона-Лейбница имеем

Вычисления определенного интеграла

Формула (39.1) называется формулой замены переменной в определенном интеграле.

Отметим, что:

1) при вычислении определенного интеграла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется;
2) часто вместо подстановки Вычисления определенного интеграла применяют подстановку Вычисления определенного интеграла;
3) не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных!

Пример №39.1.

Вычислить Вычисления определенного интеграла.

Решение:

Положим Вычисления определенного интеграла, тогда Вычисления определенного интеграла. Если Вычисления определенного интеграла, то Вычисления определенного интеграла; если Вычисления определенного интеграла, то Вычисления определенного интеграла. Поэтому

Вычисления определенного интеграла
Вычисления определенного интеграла

Интегрирование по частям

Теорема 39.2. Если функции Вычисления определенного интеграла и Вычисления определенного интеграла имеют непрерывные производные на отрезке Вычисления определенного интеграла, то имеет место формула

Вычисления определенного интеграла

На отрезке Вычисления определенного интеграла имеет место равенстве) Вычисления определенного интеграла. Следовательно, функция Вычисления определенного интеграла есть первообразная для непрерывной функции Вычисления определенного интеграла. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница имеем:

Вычисления определенного интеграла

Следовательно,

Вычисления определенного интеграла

Формула (39.2) называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.

Пример №39.2.

Вычислить Вычисления определенного интеграла.

Решение:

Положим

Вычисления определенного интеграла

Применяя формулу (39.2), получаем

Вычисления определенного интеграла

Дополнительный пример №39.3.

Дополнительная лекция: Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Геометрический и физический смысл определенного интеграла
Основные свойства определенного интеграла
Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования
Интеграл от разрывной функции