Для связи в whatsapp +905441085890

Выпуклость графика функции

Выпуклость графика функции. Точки перегиба

График дифференцируемой функции Выпуклость графика функции называется выпуклым вниз на интервале Выпуклость графика функции, если он расположен выше любой ее касательной на этом интервале. График функции Выпуклость графика функции называется выпуклым вверх на интервале Выпуклость графика функции, если он расположен ниже любой ее касательной на этом интервале.

Выпуклость графика функции

Точка графика непрерывной функции Выпуклость графика функции, отделяющая его части разной выпуклости, называется точкой перегиба.

На рисунке 154 кривая Выпуклость графика функции выпукла вверх в интервале Выпуклость графика функции, выпукла вниз в интервале Выпуклость графика функции, точка Выпуклость графика функции — точка перегиба.

Интервалы выпуклости вниз и вверх находят с помощью следующей теоремы.

Теорема 25.11. Если функция Выпуклость графика функции во всех точках интервала Выпуклость графика функции имеет отрицательную вторую производную, т. е. Выпуклость графика функции, то график функции в этом интервале выпуклый вверх. Если же Выпуклость графика функции Выпуклость графика функции — график выпуклый вниз.

Пусть Выпуклость графика функции Выпуклость графика функции. Возьмем на графике функции произвольную точку Выпуклость графика функции с абсциссой Выпуклость графика функции и проведем через Выпуклость графика функции касательную (см. рис. 155). Покажем, что график функции расположен ниже этой касательной. Для этого сравним в точке Выпуклость графика функции ординату у кривой Выпуклость графика функции с ординатой Выпуклость графика функции ее касательной. Уравнение касательной, как известно, есть

Выпуклость графика функции, т. е. Выпуклость графика функции. Тогда Выпуклость графика функции. По теореме Лагранжа, Выпуклость графика функции, где Выпуклость графика функции лежит между Выпуклость графика функции и Выпуклость графика функции. Поэтому

Выпуклость графика функции

т. е.

Выпуклость графика функции
Выпуклость графика функции

Разность Выпуклость графика функции снова преобразуем по формуле Лагранжа:

Выпуклость графика функции

где Выпуклость графика функции лежит между Выпуклость графика функции и Выпуклость графика функции. Таким образом, получаем

Выпуклость графика функции

Исследуем это равенство:

1) если Выпуклость графика функции, то Выпуклость графика функции и Выпуклость графика функции. Следовательно, Выпуклость графика функции, т. е. Выпуклость графика функции

2) если Выпуклость графика функции, то Выпуклость графика функции и Выпуклость графика функции. Следовательно, Выпуклость графика функции, т. е. Выпуклость графика функции

Итак, доказано, что во всех точках интервала Выпуклость графика функции ордината касательной больше ординаты графика, т. е. график функции выпуклый вверх. Аналогично доказывается, что при Выпуклость графика функции график выпуклый вниз.

Для нахождения точек перегиба графика функции используется следующая теорема.

Теорема 25.12 (достаточное условие существования точек перегиба). Если вторая производная Выпуклость графика функции при переходе через точку Выпуклость графика функции, в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой Выпуклость графика функции есть точка перегиба.

Пусть Выпуклость графика функции при Выпуклость графика функции и Выпуклость графика функции при Выпуклость графика функции. Это значит, что слева от Выпуклость графика функции график выпуклый вверх, а справа — выпуклый вниз. Следовательно, точка Выпуклость графика функции графика функции является точкой перегиба.

Аналогично доказывается, что если Выпуклость графика функции при Выпуклость графика функции и Выпуклость графика функции при Выпуклость графика функции, то точка Выпуклость графика функции — точка перегиба графика функции Выпуклость графика функции.

Пример №25.12.

Исследовать на выпуклость и точки перегиба график функции Выпуклость графика функции.

Решение:

Находим, что Выпуклость графика функции. Вторая производная существует на всей числовой оси; Выпуклость графика функции при Выпуклость графика функции.

Отмечаем, что Выпуклость графика функции при Выпуклость графика функции при Выпуклость графика функции.

Следовательно, график функции Выпуклость графика функции в интервале Выпуклость графика функции — выпуклый вверх, в интервале Выпуклость графика функции — выпуклый вниз. Точка (0; 5) есть точка перегиба.

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Максимум и минимум функций
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Асимптоты графика функции
Общая схема исследования функции и построения графика