Для связи в whatsapp +905441085890

Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости

Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости

Плоскости в пространстве могут быть параллельными или пересекаться.

Плоскости параллельные

Из геометрии известно: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости ПАРАЛЛЕЛЬНЫ. Следовательно, на чертеже у параллельных плоскостей должны быть соответственно параллельны одноименные проекции двух пересекающихся прямых, лежащих в каждой из плоскостей. Этот признак параллельных плоскостей используется для определения на чертеже параллельности двух заданных плоскостей и построения параллельных плоскостей.

На рис. 4.32 показано построение плоскости Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости, проведенной через заданную точку Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости, параллельно заданной плоскости Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости.

Для решения задачи следует выполнить следующие графические действия:

1-е действие. В заданной плоскости а построить вспомогательную прямую, например, горизонталь Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости, то есть создать в плоскости пересекающиеся прямые.

2-е действие. Через заданную точку Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости провести две пересекающиеся прямые Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости и Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости, параллельные двум пересекающимся прямым Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости и Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости заданной плоскости Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости:

  • прямую Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости параллельно прямой Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости (или Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости;
  • прямую Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости параллельно вспомогательной прямой Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости.

Построенная плоскость Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости будет параллельна заданной плоскости Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости, так как две пресекающиеся прямые Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости и Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости плоскости Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости и Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости построенной плоскости Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости.

Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости

Параллельность прямой и плоскости

Из геометрии известно: прямая параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, на чертеже (см. рис. 4.32) прямая, например, Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости, параллельна плоскости Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости, так как проекции прямой Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости проведены параллельно одноименным проекциям прямой Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости, лежащей в этой плоскости.

Плоскости пересекаются

Общим элементом пересечения двух плоскостей является прямая линия, принадлежащая обеим плоскостям.

Плоскости, как известно, могут занимать частные и общее положения относительно плоскостей проекций, поэтому при пересечении двух плоскостей возможны три случая:

1-й случай- обе плоскости занимают частное положение относительно плоскостей проекций. В этом случае искомой линией пересечения является проецирующая прямая, проекция которой, вырожденная в точку, лежит на пересечении вырожденных в прямые проекциях плоскостей.

На рис. 4.33 изображены две пересекающиеся фронтально-проецирующие плоскости Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости и Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости, элементом пересечения которых является фронтально-проецирующая прямая Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости (соответственно горизонтально-проецирующие плоскости пересекаются по горизонтально-проецирующей прямой). Фронтальная Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости и вырожденная в точку проекция линии пересечения лежит на пересечении фронтальных, вырожденных в прямые, проекциях (следах) плоскостей, а горизонтальная Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости проекция линии пересечения — прямая, перпендикулярная оси Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости.

2-й случай — только одна из плоскостей занимает частное положение относительно плоскостей проекции. В этом случае одна из проекций искомой линии пересечения совпадает с вырожденной проекцией плоскости частного положения, а другую проекцию линии пересечения требуется построить.

На рис. 4.34 изображены две пересекающиеся плоскости, из которых плоскость Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости, заданная своим горизонтальным следом Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости, является горизонтально-проецирующей, а другая плоскость. заданная треугольником Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости, -плоскость общего положения. Горизонтальная проекция Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости искомой линии пересечения плоскостей в этом случае совпадает со следом Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости плоскости Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости, а фронтальная проекция Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости линии пересечения построена но принадлежности точек Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости и Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости сторонам треугольника Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости.

Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости
Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости

3-й случай — пересечение двух плоскостей общего положения, проекции которых в пределах чертежа накладываются, рассмотрим ниже.

!!! Если пересекаются три плоскости, то общим элементом их пересечения является точка!

Пересечение прямой с плоскостью

Общим элементом пересечения прямой с плоскостью является точка, принадлежащая и прямой, и плоскости. Поскольку и прямая, и плоскость могут занимать различные положения относительно плоскостей проекций, то при их пересечении также возможны три случая:

1-й случай — и прямая и плоскость занимают частное положение относительно плоскостей проекций. В этом случае проекции искомой точки пересечения определяются на характерных (вырожденных) проекциях прямой и плоскости.

На рис. 4.35, а изображена горизонтальная плоскость уровня Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости, пересекающаяся с горизонтали проецирующей прямой Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости. Фронтальная проекция Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости точки их пересечения совпадает с фронтатьным следом плоскости Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости, а горизонтальная проекция Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости точки их пересечения совпадает с вырожденной в точку горизонтальной Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости проекцией прямой.

2-й случай — только один элемент (или прямая или плоскость) занимает частное положение относительно плоскостей проекций. В этом случае одна из проекций точки пересечения совпадает с характерной (вырожденной) проекцией элемента частного положения, а другую проекцию точки пересечения требуется построить.

Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости

На рис. 4.35, б изображены пересекающиеся фронтально-проецирующая прямая Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости и плоскость общего положения, заданная треугольником Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости. В этом случае фронтальная проекция точки пересечения Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости совпадает с вырожденной в точку проекцией прямой, а горизонтальная проекция Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости точки пересечения построена по принадлежности точки Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости плоскости Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости с помощью вспомогательной прямой Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости.

3-й случай — оба пересекающихся элемента занимают общее положение относительно плоскостей проекций, то есть пересекается плоскость общею положения с прямой общего положения. В этом самом сложном для решения случае для построения точки пересечения элементов следует применить вспомогательные построения, чтобы привести условие задачи к более легкому для решения 2-му случаю (см. рис. 4.34), то есть прямую общего положения заменить элементом частного положения, «заключив» ее в плоскость частного положения (см. рис. 4.31 а, б). На рис. 4.36 показана наглядная картина этого действия. Прямая общего положения Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости пересекается с плоскостью общего положения Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости. Для решения задачи через прямую проведена некоторая вспомогательная плоскость Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости то есть прямая «заключена» в плоскость Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости.

Определяется вспомогательная линия 1-2 пересечения двух плоскостей -заданной и вспомогательной. Искомая точка Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости лежит на пересечении заданной прямой к и вспомогательной линии пересечения 1-2.

На рис. 4.37 показано построение на чертеже точки пересечения Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости плоскости общею положения, заданной треугольником Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости, с прямой общего положения Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости. Для решения задачи в этом случае выполняется следующий графический алгоритм (графические действия):

1-е действие. Заключить прямую Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости во вспомогательную, например, горизонтально-проецирующую плоскость Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости, задав ее горизонтальным следом Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости.

2-е действие. Построить проекции вспомогательной линии пересечения Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости заданной плоскости Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости со вспомогательной плоскостью Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости (см. рис. 4.34).

3-е действие. Определить проекции искомой точки пересечения Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости заданных элементов:

  • фронтальная проекция Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости определяется на пересечении фронтальной проекции заданной прямой Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости и построенной фронтальной проекции Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости вспомогательной линии пересечения;
  • горизонтальная проекция Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости определяется на горизонтальной проекции Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости заданной прямой по линии связи.

4-е действие. Определить на проекциях относительную видимость прямой и плоскости по конкурирующим точкам.

Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости

На рис. 4.37 показано определение относительной видимости заданной прямой к и плоскости Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости с помощью конкурирующих точек, лежащих на скрещивающихся прямых. На горизонтальную проекцию наблюдатель смотрит сверху вниз по стрелке Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости. Чтобы определить, какой из элементов — прямая или плоскость — находится ближе к наблюдателю, рассмотрим проекции конкурирующих точек 1 и 3, лежащих на одном проецирующем луче, но на скрещивающихся прямых, — точка 1 лежит на прямой Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости, а точка 3 — на прямой Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости. Видно, что ближе к наблюдателю находится точка 7 на прямой Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости, а точка 3 на прямой Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости расположена ниже. Это значит, что на горизонтальной проекции прямая Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости вниз от точки пересечения (Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости) «уходит» под плоскость Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости.

Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости

Аналогичными рассуждениями, рассмотрев конкурирующие точки 4 и 5 по стрелке Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости, определяем относительную видимость прямой и плоскости на фронтальной проекции чертежа — прямая Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости находится над плоскостью Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости вверх от точки Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости.

Пересечение двух плоскостей общего положения (3-й случай)

При задании пересекающихся плоскостей на чертеже возможны два варианта:

  • а) проекции плоскостей в пределах чертежа не накладываются;
  • б) проекции плоскостей накладываются.

Для каждого варианта есть разные рациональные способы построения линии пересечения. Вариант а в пособии не рассматривается (см. учебник по начертательной геомегрии).

Рассмотрим наиболее часто встречающийся в различных задачах вариант а проекции плоскостей накладываются. Построение проекций линии пересечения сводится здесь к построению точек пересечения двух любых прямых одной плоскости с другой плоскостью, то есть к выполнению дважды графического алгоритма построения точки пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения, изложенного выше (см. рис. 4.37).

На рис. 4.38 показан пример построения линии пересечения плоскостей общего положения — Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости и Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости, проекции которых на чертеже накладываются.

Линия пересечения построена по точкам Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости и Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости пересечения прямых Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости и Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости. которыми задана плоскость Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости с плоскостью Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости, то есть дважды выполнен выше приведенный графический алгоритм.

]. Построить точку Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости пересечения прямой Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости с плоскостью Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости:

1-е действие. «Заключить» прямую Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости во вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости и обозначить ее фронтальный след Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости.

2-е действие. Построить проекции Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости вспомогательной линии пересечения плоскостей — заданной Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости со вспомогательной у.

3-е действие. Определить проекции точки Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости пересечения прямой Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости с плоскостью Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости.

Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости

II. Построить проекции точки Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости пересечения прямой Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости с плоскостью Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости, повторив графические действия 1, 2 и 3, и соединить прямой построенные точки Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости и Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости.

4-е действие. Определить видимость плоскостей относительно построенной линии пересечения Взаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскостиВзаимное положение двух плоскостей, примой линии и плоскости, рассмотрев пары конкурирующих точек:

  • точки 1 и 5 — для определения относительной видимости на фронтальной проекции;

-точки б и 7- для определения относительной видимости на горизонтальной проекции.

Эта теория взята со страницы задач по начертательной геометрии:

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Положение плоскости относительно плоскостей проекций
Проведение плоскости частного положения через прямую общего положения
Построение проекций прямой правильной призмы
Построение проекции правильной пирамиды