Для связи в whatsapp +905441085890

Взаимное положение двух прямых

Взаимное положение двух прямых

Две прямые в пространстве могут быть параллельными, пересекаться или скрещиваться. Запомните характерные признаки расположения на чертеже проекций двух различно расположенных прямых.

Параллельные прямые. Если прямые в пространстве параллельны, то их одноименные проекции на чертеже также параллельны. На рис. 2.11 изображены параллельные прямые Взаимное положение двух прямых и Взаимное положение двух прямых. На чертеже фронтальные и горизонтальные проекции прямых параллельны: Взаимное положение двух прямых и Взаимное положение двух прямых

Пересекающиеся прямые. Если прямые в пространстве пересекаются, то на чертеже проекции точки пересечения прямых лежат на одной линии связи. На рис. 2.12 изображены проекции пересекающихся прямых Взаимное положение двух прямых и Взаимное положение двух прямых.

Проекции точки их пересечения Взаимное положение двух прямых лежат на пересечении одноименных проекций прямых и на одной линии связи.

Взаимное положение двух прямых

Скрещивающиеся прямые. Если две прямые не параллельны и не пересекаются, то они в пространстве скрещиваются. На чертеже их проекции могут накладываться, образуя конкурирующие точки, лежащие на одном проецирующем луче. На рис. 2.13 изображены проекции двух скрещивающихся прямых Взаимное положение двух прямых и Взаимное положение двух прямых

Их одноименные проекции накладываются и образуют четыре конкурирующие точки (2 пары):

  • конкурирующие точки 1 и 2 лежат на одном проецирующем луче, перпендикулярном плоскости проекций Взаимное положение двух прямых, но принадлежат разным прямым: точка 1 принадлежит прямой Взаимное положение двух прямых, а точка 2 — прямой Взаимное положение двух прямых; горизонтальные проекции точек 1 и 2 совпадают;
  • конкурирующие точки 3 и 4 лежат на проецирующем луче, перпендикулярном плоскости проекций Взаимное положение двух прямых, но принадлежат разным прямым: точка 3 принадлежит прямой Взаимное положение двух прямых, а точка 4 — прямой Взаимное положение двух прямых; фронтальные проекции точек 3 и 4 совпадают.
Взаимное положение двух прямых

!!! Конкурирующие точки, как было сказано выше, позволяют наблюдателю определить по чертежу относительное расположение прямых по их удаленности от плоскостей проекций Взаимное положение двух прямых и Взаимное положение двух прямых:

  • по конкурирующим точкам 1 и 2 при взгляде на них сверху вниз на плоскость Взаимное положение двух прямых (по стрелке) видно, что точка 1 расположена выше точки 2 (координата Взаимное положение двух прямых больше координаты Взаимное положение двух прямых), т. е. на горизонтальной проекции прямая Взаимное положение двух прямых расположена над прямой Взаимное положение двух прямых;
  • по конкурирующим точкам 3 и 4 при взгляде на них снизу вверх на плоскость Взаимное положение двух прямых (по стрелке) видно, что точка 3 расположена ближе к наблюдателю (координата Взаимное положение двух прямых больше координаты Взаимное положение двух прямых), т. е. на фронтальной проекции прямая Взаимное положение двух прямых расположена перед прямой Взаимное положение двух прямых.

Теорема о проекции прямого угла. Частное положение прямых — перпендикулярные прямые

Пересекающиеся прямые в пространстве могут быть расположены под прямым углом, т. е. взаимно перпендикулярно. Прямой угол между перпендикулярными прямыми может проецироваться на чертеж в натуральную величину при определенном условии.

Теорема о проекции прямого угла:

  • если одна сторона прямого угла параллельна какой-либо плоскости проекций, а вторая сторона ей не перпендикулярна, то на эту плоскость проекций угол проецируется в натуральную величину, т. е. прямым Взаимное положение двух прямых

На рис. 2.14 дано изображение, поясняющее теорему о проекции

прямого угла. Две перпендикулярные прямые Взаимное положение двух прямых и Взаимное положение двух прямых, образующие плоскость Взаимное положение двух прямых, проецируются на некоторую плоскость проекций Взаимное положение двух прямых. Прямая Взаимное положение двух прямых по условию параллельна этой плоскости проекций. Доказательство теоремы основано на известной из геометрии теореме о трех перпендикулярах (обратная теорема): прямая Взаимное положение двух прямых, проведенная в плоскости Взаимное положение двух прямых перпендикулярно наклонной прямой Взаимное положение двух прямых перпендикулярна и ее проекции; следовательно, угол Взаимное положение двух прямых— прямой.

Взаимное положение двух прямых

!!! Для решения многих задач начертательной геометрии требуется по условию строить проекции прямого угла.

На рис. 2.15, а, б показано построение на чертеже недостающей фронтальной проекции прямого угла Взаимное положение двух прямых.

Взаимное положение двух прямых

На рис. 2.15, а изображено графическое условие задачи: дана горизонтальная проекция Взаимное положение двух прямых прямого угла и фронтальная проекции Взаимное положение двух прямых одной стороны этого угла.

На рис. 2.15, б показано решение задачи: так как одна сторона Взаимное положение двух прямых прямого угла по условию является фронтальной прямой, т. е. параллельна фронтальной плоскости проекций Взаимное положение двух прямых, то по теореме о проекции прямого угла на плоскость Взаимное положение двух прямых заданный прямой угол Взаимное положение двух прямых должен проецироваться прямым; следовательно, фронтальную проекцию Взаимное положение двух прямых стороны Взаимное положение двух прямых прямого угла проводим перпендикулярно заданной фронтальной проекции стороны Взаимное положение двух прямых.

На рис. 2.16, а, б показано построение на чертеже недостающей горизонтальной проекции прямого угла Взаимное положение двух прямых.

На рис. 2.16, а изображено графическое условие задачи: дана фронтальная проекция Взаимное положение двух прямых прямого угла и горизонтальная проекция Взаимное положение двух прямых одной стороны этого угла.

На рис. 2.16, б показано решение задачи: так как одна сторона Взаимное положение двух прямых прямого угла по условию является горизонтальной прямой, т. е. параллельна горизонтальной плоскости Рис. 2.16 проекций Взаимное положение двух прямых, то по теореме о проекции прямого угла на плоскость Взаимное положение двух прямых заданный прямой угол ECD должен проецироваться прямым; следовательно, горизонтальную проекцию Взаимное положение двух прямых стороны угла Взаимное положение двух прямых проводим перпендикулярно заданной горизонтальной проекции стороны Взаимное положение двух прямых.

Структуризация материала второй лекции в рассмотренном объеме схематически представлена на рис. 2.17 (лист 1). На последующих листах 2-4 компактно приведены иллюстрации к этой схеме, способствующие закреплению изученного материала и его быстрому визуальному повторению (рис. 2.18-2.20).

Взаимное положение двух прямых
Взаимное положение двух прямых
Взаимное положение двух прямых
Взаимное положение двух прямых

Эта теория взята со страницы лекций для 1 курса по предмету «начертательная геометрия»:

 Начертательная геометрия для 1 курса

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Понятие о следах прямой
Прямые особого (частного) положения
Точка и прямая в плоскости
Проекции плоскости