К понятию определённого интеграла приводят множество прикладных задач:
- вычисление площади криволинейной трапеции;
- вычисление работы, которую совершает переменная сила при перемещении материальной точки из одного положения в другое;
- вычисление объёма произведенной продукции за определенный промежуток времени при переменной производительности труда.
Пусть на отрезке 
определена функция 
(рисунок 7.1). Вычислим площадь фигуры 
, коротая ограничена графиком функции 
, осью 
и прямыми 
и 
(фигуру называют криволинейной трапецией). Для этого отрезок 
точками 
разбиваем на 
частей, внутри каждого частичного интервала 
выбираем произвольную точку 
.
Если принять значение функции в каждом частичном отрезке постоянным и равным 
, то криволинейная трапеция будет заменена ступенчатой фигурой, площадь которой определяется по формуле 
Сумма (7.1) называется интегральной суммой функции 
на отрезке , где 
— длина частичного интервала. Площадь 
приблизительно равна площади криволинейной трапеции .
Определение. Если существует предел интегральных сумм при условии, что 
и длина каждого частичного отрезка стремится к нулю, не зависящий от способа разбиения отрезка на частичные отрезки и от выбора точек , то он называется определённым интегралом от функции в пределах от 
до 
и обозначается символом
При этом определённый интеграл равен площади криволинейной трапеции , ограниченной графиком функции , осью и прямыми и . В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла (см. рисунок 7.2).
Название элементов определенного интеграла 
— знак определенного интеграла, где — нижний предел, — верхний предел интегрирования; 
— переменная интегрирования; 
— дифференциал переменной интегрирования; — подынтегральная функция; 
— подынтегральное выражение.
Эта лекция взята с этой страницы, там вы найдёте все темы лекций по высшей математике для студентов 1 курса:
Возможно вам будут полезны эти страницы:
| Интегрирование тригонометрических функций |
| Интегрирование иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок |
| Все свойства определённого интеграла |
| Формула Ньютона — Лейбница |
