Задача С8. Два одинаковых бруска массами по 20 г каждый соединены упругой вертикальной пружиной

Задача С8. Два одинаковых бруска массами по 20 г каждый

соединены упругой вертикальной пружиной с жесткостью 300 Н/м (рис. 131, а). Нажатием на верхний брусок пружину сжали так, что ее деформация стала 5 см (рис. 140, б). Какова будет скорость центра масс этой системы тел в момент отрыва нижнего бруска от стола? Сопротивление не учитывать.

Обозначим m массу каждого бруска, k — жесткость пружины, х — деформацию пружины при сжатии, — скорость центра масс, g — ускорение свободного падения, — потенциальную энергию сжатой пружины, — потенциальную энергию центра масс относительно первоначального положения при сжатой пружине, — потенциальную энергию растянутой пружины, — потенциальную энергию центра масс относительно первоначального положения при растянутой пружине, — кинетическую энергию верхнего бруска.

Решение:

Давайте вспомним, что такое центр масс. Это такая материальная точка с массой, равной массе всего тела, которая движется под действием приложенных к ней сил так же, как и само тело.

В нашем случае, поскольку система бруски — пружина симметрична, ее центр масс С располагается в геометрическом центре системы, т. е. посередине пружины.

Теперь обратимся к рисунку. Сначала пружина была не-деформированной (рис. 131, а). Когда ее сжали, центр масс опустился на расстояние х относительно первоначального положения (рис. 131, Ь). Значит, пружина приобрела потенциальную энергию , которую можно определить по формуле

Кроме того, поскольку центр тяжести опустился на расстояние х, то относительно прежнего уровня центр масс приобрел отрицательную потенциальную энергию. Напомним, что потенциальная энергия может быть и положительной, и отрицательной, поскольку она относительна. Относительно стола потенциальная энергия центра масс положительна, поскольку он выше стола, а относительно прежнего положения — отрицательна, поскольку теперь центр масс ниже прежнего уровня. Эту потенциальную энергию можно определить по формуле

Попробуем решить эту задачу, применив закон сохранения механической энергии. Этот замечательный закон выручит вас при решении почти любых задач динамики — особенно когда не требуется учитывать все силы, действующие в системе. Согласно этому закону суммарная механическая энергия брусков со сжатой пружиной равна их суммарной механической энергии в момент, когда нижний брусок еще лежит на столе, но пружина уже растянулась, ее деформация стала , центр тяжести поднялся на высоту над первоначальным положением и верхний брусок приобрел скорость v (рис. 131, в). При этом потенциальная энергия пружины

а потенциальная энергия центра масс относительно первоначального положения стала положительной и равной:

Кроме того, верхний брусок приобрел скорость v и, значит, кинетическую энергию , которая определяется по формуле

Теперь давайте запишем закон сохранения механической энергии, а затем подумаем, какие величины нам еще надо определить, чтобы найти искомую жесткость:

или

Здесь нам не известны деформация х, и скорость верхнего бруска. По закону Гука произведение жесткости пружины на ее деформацию равно деформирующей силе, которая в момент отрыва нижнего бруска от стола равна весу этого бруска , поэтому мы можем записать:

Здесь все величины в правой части нам даны. Теперь подумаем, как выразить неизвестную скорость верхнего бруска через высоту поднятия центра тяжести, которая нам известна. Попробуем связать эту скорость со скоростью центра масс vc в этот момент. Будем рассуждать так. Нижний брусок еще покоится, его скорость равна нулю, а верхний уже получил скорость V. Значит, по мере подъема от витка к витку их скорость линейно нарастает, поэтому скорость центра масс, лежащего посередине пружины, будет равна половине скорости верхнего бруска:

Теперь, давайте подставим правую часть равенства (2) в формулу (1) и из полученного выражения найдем скорость верхнего бруска и, а затем — и скорость центра масс :