Оглавление:
Задачи, использующие понятия наименьшего и наибольшего из двух или нескольких чисел
Иногда в условиях задач встречаются обозначения вида
Под этими обозначениями, если не оговорено противное, обычно понимают наибольшее и, соответственно, наименьшее из 
действительных чисел 
. В простейшей ситуации, когда количество чисел равно двум, для раскрытия этого понятия в задаче достаточно рассмотреть два случая, когда одно из чисел больше либо равно или меньше другого.
Пример №341.
Построить на плоскости 
геометрическое место точек 
, координаты которых удовлетворяют уравнению
Решение:
Перейдём от уравнения к равносильной ему совокупности, раскрыв понятие наибольшего из двух чисел 
и 
по определению:
Далее строим геометрические образы решений первой и второй систем, это будут соответственно объединения отрезков, изображенных на рисунке:
Объединяя все полученные отрезки, получаем искомое ГМТ в виде границы квадрата с центром в начале координат и сторонами длины 6, параллельными координатным осям. Задача решена.
В других ситуациях можно поступить иначе. Рассмотрим пример.
Пример №342.
Построить график функции 
Решение:
Построим в одной системе координат графики обеих функций 
, найдём единственную точку их пересечения, её абсцисса равна 
.
При 
график функции 
будет совпадать с графиком функции 
, а при 
искомый график будет совпадать с графиком функции 
(т.е. на каждом из участков выбираем тот из графиков, который лежит выше). В результате получаем график функции 
, который на рисунке обозначен полужирной линией.
Если в задаче идет речь о наименьшем или наибольшем из двух действительных чисел, то иногда бывает удобно воспользоваться следующими тождествами.
Теорема. Для произвольных действительных чисел 
и 
выполняются следующие тождества:
Доказательство. 1) Если 
, то левая часть тождества, т.е. 
, равна ; с другой стороны, правая часть тождества, т.е. 
, после раскрытия модуля 
также оказывается равной , что и доказывает данное тождество. Если же 
, то в левой части будет 
, и в правой части также
что подтверждает справедливость тождества и в этом случае.
2) Доказывается аналогично предыдущему случаю.
3) Если 
, то 
, и тождество принимает вид 
, что верно при всех 
. Если же 
, то 
, и тождество принимает вид 
, что верно при всех 
. Таким образом, справедливость тождества доказана при всех действительных 
.
4) Доказывается аналогично предыдущему случаю.
Пример №343.
Решить уравнение
Решение:
Воспользуемся доказанными выше тождествами:
Тогда исходное уравнение равносильно уравнению
которое можно решить методом интервалов. Ответ: 
.
В ряде случаев при решении подобного рода задач удобно использовать свойства наибольшего и наименьшего из нескольких чисел. Например, для произвольных действительных чисел 
справедливы следующие свойства:
В самом деле, докажем первое из них. Начнём с необходимости. Пусть наибольшее из двух чисел и не превышает числа 
, тогда, очевидно, и каждое из чисел и не будет превышать числа . Теперь докажем достаточность. Если каждое из чисел и не превышает числа, то, значит, и наибольшее из них также не будет превышать это число. Таким образом, свойство доказано. Остальные свойства доказываются аналогичными логическими рассуждениями.
Пример №344.
Решить неравенство 
Решение:
Воспользуемся равносильным переходом:
Применяя его, сразу сводим исходное неравенство к равносильной ему системе, решить которую уже не составляет труда:
Пример №345.
Найти все значения 
, удовлетворяющие неравенству
Решение:
Для решения задачи воспользуемся свойством
(убедитесь в том, что другие способы решения данной задачи существенно менее приемлемы). Естественно, применять указанное свойство можно только с учётом ОДЗ:
Пример №346.
Найти наименьшее значение выражения
где 
— произвольные действительные числа.
Решение:
Заметим, что при фиксированном выражение
не меньше чем
где 
— наибольшее, a 
— наименьшее из трёх чисел 
, 
, при этом своё наименьшее значение 
оно принимает при 
, равном среднему 
из тех же чисел. В свою очередь, наименьшее значение функции 
достигается при 
(см. рис.) и равно 
. Ответ: .
Пример №347.
Решить уравнение
где 
Решение:
Исходное неравенство, очевидно, равносильно неравенству
Обозначим для краткости 
, тогда из определения 
следует, что последнее неравенство равносильно
Аналогичными преобразованиями решаем неравенство 
:
Так как 
, то
следовательно,
Отсюда
Ответ:
, где 
Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:
Эти страницы возможно вам будут полезны:
