Для связи в whatsapp +905441085890

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

Задачи, решение которых приводится к интегрированию дифференциальных уравнений, содержащих производные или дифференциалы неизвестных функций, весьма разнообразны. В таких задачах ищется функция или зависимость между переменными факторами какого — либо физического, химического или технического процесса, уравнение линии или поверхности.

При решении этих задач вначале составляется дифференциальное уравнение задачи, которое затем решается тем или иным способом в зависимости от его типа.

Пример:

Моторная лодка движется со скоростью 18 км/ч. Через 5 мин после выключения мотора ее скорость уменьшилась до 6 км/ч. Найти расстояние, пройденное лодкой по инерции за 15 мин, если сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки.

Решение:

Пусть Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям — масса лодки, Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям — путь, пройденный ею за время Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям, отсчитываемое от момента выключения двигателя, Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям — скорость лодки в момент времени Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Тогда, согласно второму закону Ньютона, дифференциальное уравнение движения лодки будет

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям или Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

Разделяя переменные и интегрируя, получим Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

Исходя из начального условия Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям при Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям, определяем значение постоянной Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

Следовательно, Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

Найдем параметр Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям из условия, что через 5 мин = 1/12 ч скорость лодки стала 6 км/ч: Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Следовательно, Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

Т. к. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям, то Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Интегрируя, получим Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

Исходя из начального условия Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям при Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям, определяем значение постоянной Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Следовательно, Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

За 15 мин = 1/4 ч лодка пройдет расстояние Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

Ответ: Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:

Высшая математика краткий курс лекций для заочников

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Сведение системы к одному дифференциальному уравнению высшего порядка
Решение систем дифференциальных уравнений с помощью характеристического уравнения
Числовые поля
Комплексные числа