Для связи в whatsapp +905441085890

Интегрирование рациональных дробей

Интегрирование рациональных дробей

Определение 1. Рациональной дробью называется произвольная функция вида:

Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование рациональных дробей

Интегрирование рациональных дробей — многочлены степени n и m). Дробь Интегрирование рациональных дробей — правильная, если Интегрирование рациональных дробей.

Если Интегрирование рациональных дробей , то Интегрирование рациональных дробей — неправильная дробь.

Элементарными рациональными дробями называются дроби вида:

Интегрирование рациональных дробей

Интегрирование элементарных дробей.

Интегрирование рациональных дробей

Найдем рекуррентную формулу для вычисления Интегрирование рациональных дробей.

Пусть Интегрирование рациональных дробей.

Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование рациональных дробей

Вычисление интегралов Интегрирование рациональных дробей сведется к случаям 3-5, если выделить полный квадрат в трехчлене Интегрирование рациональных дробейИнтегрирование рациональных дробей и сделать подстановкуИнтегрирование рациональных дробей

Задача №26

Интегрирование рациональных дробей

Задача №27

Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование рациональных дробей

Задача №28

Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование рациональных дробей

Теорема 1. Рассмотрим правильную рациональную дробь:

Интегрирование рациональных дробей

Дробь Интегрирование рациональных дробей можно единственным образом разложить в сумму элементарных дробей:

Интегрирование рациональных дробей

Коэффициенты Интегрирование рациональных дробей находятся, если правую часть равенства (2) привести к общему знаменателю и приравнять числители правой и левой части. Если дробь Интегрирование рациональных дробей — неправильная, то делят Интегрирование рациональных дробей уголком и представляют дробь в виде:

Интегрирование рациональных дробей

где Интегрирование рациональных дробей — частное, Интегрирование рациональных дробей — остаток.

Задача №29

Интегрирование рациональных дробей Дробь Интегрирование рациональных дробей — неправильная. По формуле (3):

Интегрирование рациональных дробей

По формуле (2):

Интегрирование рациональных дробей

Для того, чтобы равенство (4) выполнялось Интегрирование рациональных дробей необходимо, чтобы равнялись друг другу коэффициенты при одинаковых степенях х.

Интегрирование рациональных дробей

Решив систему уравнений (5), получим:

Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование рациональных дробей

Если корни знаменателя Интегрирование рациональных дробей — действительны и имеют кратности 1, то коэффициенты в формуле (2) можно найти более простым способом.

Задача №30

Интегрирование рациональных дробей

Интегрирование рациональных дробей

Подставляя в правую и левую части равенства конкретные значения х, получим:

Интегрирование рациональных дробей

Эта теория и задачи с решением взяты со страницы готовых задач с решением по математическому анализу:

Решение задач по математическому анализу

Возможно эти темы вам будут полезны:

Задачи с решением по теме: замена переменной в неопределенном интеграле
Задачи с решением по теме: интегрирование по частям в неопределенном интеграле
Задачи с решением по теме: интегрирование иррациональных функций
Задачи с решением по теме: интегрирование тригонометрических выражений