Оглавление:
Несобственные интегралы первою рода
Несобственный интеграл первого рода — обобщение понятия интеграла Римана на бесконечный промежуток. Для бесконечного промежутка 
составить суммы Римана вида (1) § 24 нельзя.
Определение 1. Пусть функция 
определена на промежутке 
и интегрируема на любом конечном отрезке 
. Несобственным интегралом 1 -го рода функции 
па промежутке называется 
. Несобственный интеграл обозначается 
.
Таким образом:
Если предел (1) существует, то интеграл называется сходящимся, в противном случае — расходящимся.
Аналогично:
для функции 
, определенной на промежутке 
и интегрируемой на любом конечном промежутке 
и
где с — промежуточная точка , и интегралы в правой части формулы (3) вычисляются по формулам (1) и (2).
+? dx г dx 1 х 1 Ь л
Задача №57
Задача №58
Задача №59
Исследовать па сходимость 
Таким образом, интеграл сходится, если 
и расходится, если 
.
Теорема 1 (признак сравнения). Пусть функции 
определены на промежутке 
, интегрируемы на любом конечном промежутке 
и пусть 
.
Тогда из сходимости 
следует сходимость 
, а из расходимости следует расходимость 
.
Доказательство следует из неравенства;
Теорема 2 (предельный признак сравнения). Пусть
положительны 
, удовлетворяют условиям определения 1 па этом промежутке и 
. Тогда 
сходятся или расходятся одновременно.
Доказательство. Пусть 
и такое, что 
, тогда из определения предела 
такое, что
И далее доказательство следует из теоремы 1.
На практике, при исследовании на сходимость по предельному признаку в качестве 
часто используют функцию 
.
Задача №60
Исследовать на сходимость интеграл 
.
, следовательно, (см. пример 3), интеграл сходится.
Определение 2. Несобственный интеграл 
называется абсолютно-сходящимся, если сходится интеграл 
.
Несобственный интеграл 
называется условно-сходящимся, если 
сходится, а интеграл 
— расходится.
Теорема 3. Пусть — сходится, тогда — также сходится.
Доказательство. Пусть . сходится, тогда по критерию Коши (см.теорему 5 § 3) 
выполняется неравенство
по свойству 4 § 24: 
и по критерию Коши 
— сходится.
Задача №61
Исследовать на абсолютную и условную сходимость J у«х
— сходится, (см. пример 1), тогда по признаку сравнения 
. сходится и, следовательно, 
сходится абсолютно.
Задача №62
Исследовать на абсолютную и условную сходимость интегралы
п.1. Исследуем интегралы на сходимость.
— сходится, 
сходится и, следовательно, сходится 
Аналогично: 
— сходится.
n.2. Исследуем интеграл па абсолютную сходимость:
расходится, 
— сходится (согласно п. 1), поэтому 
— расходится, => по признаку сравнения 
— расходится, поэтому 
сходится условно.
Аналогично: 
— сходится условно.
Задача №63
Исследовать на абсолютную и условную сходимость интегралы 
— интегралы Френеля.
. Рассмотрим
сходится условно (см. пример 6). поэтому и 
сходится условно.
Аналогично 
— сходится условно.
Значения интегралов: 
.
Замечание. Функции 
также называемые интегралами Френеля используются в оптике; 
через элементарные функции не выражаются.
Упражнение 1. Графики функций 
:
Построить графики функций 
, используя пакет Mathematica (рассмотреть стандартные функции 
).
Замечание. Кривая, заданная параметрически в виде: 
называется клотоидой (спиралью Корню).
Используется при проектировании и строительстве дорог и транспортных развязок (угловое ускорение машины, движущейся по кривой с постоянной скоростью, равно пулю).
Упражнение 2. График клотоиды 
:
Построить график клотоиды: 
в пакете Mathematica.
Упражнение 3. Исследовать на абсолютную и условную сходимость интегралы 
Замечание. 
называется интегралом Дирихле; 
.
Рис. 1. График функции 
.
Рис.2. График функции 
.
Интегралы Дирихле и Френеля являются примерами интегралов от функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции.
Еще один такой пример — интеграл Пуассона (Эйлера-Пуассона или Гауссов интеграл): 
. Интеграл сходится и 
.
Эта теория и задачи с решением взяты со страницы готовых задач с решением по математическому анализу:
Решение задач по математическому анализу
Возможно эти темы вам будут полезны:
