Оглавление:
Свойства сумм Дарбу
2. Если измельчить разбиение добавляя новые точки, то .
3. Если — два произвольных разбиения отрезка , то .
4. Для того, чтобы ограниченная па отрезке функция была интегрируема, необходимо и достаточно, чтобы
и при выполнении (6):
, где — любая последовательность интегральных сумм, у которой .
Рис.5. .
Задача №50
Доказать, что функция интегрируема на отрезке [2, 3] и найти .
Решение:
Разобьем отрезок [2, 3] на п равных отрезков точками:
Тогда
Воспользуемся формулой: . Тогда
. Пусть , тогда если , то соотношение (6) выполняется, поэтому интегрируема.
Теорема 2. а) Пусть функция — непрерывна на отрезке . Тогда — интегрируема на этом отрезке.
б) Пусть функция — кусочно-непрерывна на отрезке (имеет на отрезке конечное число точек разрыва 1- ого рода). Тогда интегрируема на этом отрезке. При этом не зависит от значений а функции в точках разрыва.
в) Пусть — монотонна на отрезке , тогда — интегрируема на этом отрезке.
Задача №50.1.
Найти интеграл , рассматривая его как предел интегральных сумм.
Решение:
Разобьем отрезок [1,3] на n отрезков так, чтобы точки образовывали геометрическую прогрессию:
монотонно убывает,
Тогда и
Эта теория и задачи с решением взяты со страницы готовых задач с решением по математическому анализу:
Решение задач по математическому анализу
Возможно эти темы вам будут полезны: