Оглавление:
Вычисление площадей плоских фигур
Определение 1. Пусть Ф — фигура па плоскости. Рассмотрим множество 
— составленное из конечного числа многоугольников, содержащихся в Ф ,и Ф — составленное из многоугольников и покрывающее фигуру Ф:
Рис.1. 
Рис.2. 
.
Пусть 
, где 
— площади фигур 
и 
. Фигура Ф называется квадрируемой, если 
. При этом число
называется площадью фигуры Ф (по Жордану).
Замечание. Для квадрируемости фигуры Ф необходимо и достаточно, чтобы такие, что 
Рис.З. 
В частности, для криволинейной трапеции 
(см. § 24) в качестве 
можно рассматривать нижние и верхние суммы Дарбу (см. рис. 3,4, 5 из § 24). И тогда, с учетом § 24. из (1) следует, что
Пусть 
— непрерывны на 
и 
. Тогда из (2) следует, что для фигуры 
Рис.4. 
Задача №71
Найти площадь фигуры Ф, ограниченной линиями 
.
Решение:
Рис.5. Фигура Ф.
Точки пересечения линий 
найдем, решив систему:
Сверху фигура ограничена прямой 
, снизу — параболой 
. Поэтому по формуле (3):
Задача №72
Найти площадь фигуры Ф, ограниченной линиями
Решение:
Рис.6. Фигура Ф.
Снизу фигура ограничена параболой 
, сверху — кривой 
заданной двумя аналитическими выражениями.
Поэтому разобьем отрезок интегрирования [0, 3] на два: [0,1] и [1, 3], и
Задача №73
Найти площадь фигуры Ф, ограниченной линиями 
.
Решение:
Рис.7. Фигура Ф.
Точки пресечения линий 
— у найдем, решив систему:
За независимую переменную в данном случае удобно считать 
-функцией от 
.
Справа фигура ограничена прямой 
, слева — параболой 
. По формуле (3): 
— (см. пример 1).
Замечание. Необходимо помнить, что 
, когда функция 
не является знакопостоянной, равен алгебраической сумме площадей криволинейных трапеций, расположенных выше оси 
(со знаком «+») и ниже оси 
(со знаком «-»).
Задача №74
.
Рис.8. 
.
Рис.9. 
.
Рассмотрим кривую на плоскости, заданную параметрически в виде 
— непрерывны при 
. Предположим вначале, что кривая не имеет точек самопересечения (простая кривая) или образует петлю (если 
простая замкнутая кривая).
Задача №75
а) График любой непрерывной функции 
— простая кривая: 
(в качестве параметра берем х).
б) График любой непрерывной функции 
— простая кривая: 
(в качестве параметра берем у).
в) Эллипс 
— простая замкнутая кривая:
(см. пример 8 §17).
г) Кривая 
(см. пример 10 §17) не является простой (имеет точки самопересечения при 
.
Рассмотрим криволинейную трапецию 
Площадь трапеции 
. Пусть 
, где 
— непрерывно-дифференцируема на промежутке 
. Тогда по формуле (1) § 26:
где 
. Таким образом
(кривую удобно обходить так, чтобы область Ф оставалась слева).
Аналогично, для криволинейной трапеции 
где 
непрерывно-дифференцируемая на промежутке 
функция, то
где 
. При движении от 
область остается слева.
Рассмотрим простую замкнутую кривую
. Площадь Ф, которую она ограничивает можно находить как по формуле (5), так и по формуле (6):
а также по формуле:
и при изменении параметра 
полный обход контура проходит против часовой стрелки (область остается слева).
Задача №76
.
Рис.10. График функции 
.
Найдем площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции и прямыми 
.
(см. пример 1 § 26).
С другой стороны кривая задается параметрически в виде:
Поэтому, по формуле (5) 
.
Упражнение 1. В условиях примера 6 найти ту же площадь по формуле (6).
Задача №77
Найдем площадь ограниченную эллипсом 
Рис. 11. Эллипс 
— параметрическое уравнение эллипса.
Решение. Найдем площадь по формуле (7)
Задача №78
Найти площадь петли кривой: 
Решение:
— четная относительно 
функция, 
— нечетная, поэтому кривая симметрична относительно оси 
.
— точка самопересечения кривой.
Рис. 12. Кривая 
При изменении 
от -1 до 1 обход контура проходит против часовой стрелки.
По формуле (6): 
.
Рассмотрим замкнутую кривую, имеющую точки самопересечения. В этом случае, проинтегрировав по всему контуру в формулах (5) — (7), мы получим алгебраическую сумму площадей фигур, ограниченных каждой пройденной петлей взятых со знаком «+», если петля проходится против часовой стрелки, и со знаком «-», если петля проходится по часовой стрелке.
Задача №79
Рассмотрим кривую 
.
Рис. 13. Кривая 
.
. При изменении 
каждый лепесток кривой проходится против часовой стрелки, поэтому 
площадь ограниченная четырьмя лепестками.
Площадь одного лепестка: 
. Вычисления проводим в пакете
Mathematica:
Ячейка Input:
Ячейка Output:
Иногда удобнее найти площадь одного лепестка и результат умножить на количество лепестков.
Задача №80
Рассмотрим кривую 
.
Рис. 14. Кривая 
При изменении 
каждый лепесток проходится дважды (и оба раза против часовой стрелки); 
. Площадь одного лепестка :
, площадь всей фигуры равна 
.
Задача №81
Рассмотрим кривую 
.
Рис. 15. Кривая 
Фигура, ограниченная малой петлей обходится дважды (и оба раза против часовой стрелки). Площадь, ограниченная внешним контуром:
Площадь ограниченная внутренним контуром:
Задача №82
Рассмотрим кривую
Рис. 16. Кривая 
.
Один лепесток проходится по часовой стрелке, второй — против:
. Площадь одного лепестка: 
.
Эта теория и задачи с решением взяты со страницы готовых задач с решением по математическому анализу:
Решение задач по математическому анализу
Возможно эти темы вам будут полезны:
