Законы сложения и умножения чисел

Законы сложения и умножения чисел

1) Законы сложения и умножения чисел (переместительный закон сложения);

2) Законы сложения и умножения чисел (сочетательный закон сложения);

3) Законы сложения и умножения чисел (переместительный закон умножения);

4) Законы сложения и умножения чисел (сочетательный закон умножения);

5) Законы сложения и умножения чисел (распределительный закон сложения относительно умножения).

Вернемся к натуральным числам и поговорим о делимости чисел. Разделить натуральное число Законы сложения и умножения чисел на натуральное число Законы сложения и умножения чисел — значит найти такое натуральное число Законы сложения и умножения чисел при котором Законы сложения и умножения чисел В этом случае говорят, что Законы сложения и умножения чисел нацело делится на Законы сложения и умножения чисел. Число Законы сложения и умножения чисел называется делителем числа Законы сложения и умножения чисел, а число Законы сложения и умножения чисел называется кратным числа Законы сложения и умножения чисел.

Натуральные числа бывают простые и составные. Натуральное число называется простым, если оно не имеет делителей, кроме 1 и самого себя. Все остальные натуральные числа, кроме 1, составные. Они могут быть разложены на простые множители, т.е. представлены в виде произведения простых множителей. Например, 5, 7, 13, 29 — простые числа, 6, 18, 33, 45 — составные числа: Законы сложения и умножения чиселЗаконы сложения и умножения чисел

Число 1 не относят ни к простым, ни к составным числам.

Разложение составного числа на простые множители является для него единственно возможным.

Натуральные числа, делящиеся на 2, называются четными, не делящиеся на 2 — нечетными.

Признак делимости на 2: число делится на 2, если его последняя цифра четная или 0.

Признак делимости на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

Признак делимости на 4: число делится на 4, если две его последние цифры либо нули, либо образуют число, делящееся на 4.

Признак делимости на 5: число делится на 5, если его последняя цифра либо 0, либо 5.

Признак делимости на 9: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Признак делимости на 10: число делится на 10, если его последняя цифра 0.

Любое четное число Законы сложения и умножения чисел может быть записано как Законы сложения и умножения чисел, любое нечетное число Законы сложения и умножения чисел как Законы сложения и умножения чисел, где Законы сложения и умножения чисел.

Если несколько натуральных чисел делятся на одно и то же число, то это число называется их общим делителем. Наибольшее из таких чисел называется наибольшим общим делителем (НОД). Если наибольший общий делитель чисел равен 1, то такие числа называются взаимно простыми. Наименьшим общим кратным (НОК) нескольких натуральных чисел называется наименьшее число, которое делится на каждое из данных чисел.

Для отыскания НОД двух чисел можно сделать следующее:

1) разложить каждое из чисел на простые множители;

2) найти произведение одинаковых простых множителей, входящих и в то, и в другое разложения. Например, даны числа 180 и 120. Найти НОД этих чисел.

Законы сложения и умножения чисел

Для нахождения НОК двух чисел можно выполнить следующее:

  1. разложить каждое из чисел на простые множители;
  2. найти произведение всех различных простых множителей, входящих в оба разложения.

Например, найти НОК чисел 180 и 140.

Законы сложения и умножения чисел

Запись Законы сложения и умножения чисел, или Законы сложения и умножения чисел называется отношением числа Законы сложения и умножения чисел к числу Законы сложения и умножения чисел.

Равенство двух отношений Законы сложения и умножения чисел называется про-порцией, а числа Законы сложения и умножения чисел— членами пропорции, при этом числа Законы сложения и умножения чисели Законы сложения и умножения чисел считаются крайними членами пропорции, а числа Законы сложения и умножения чисел и Законы сложения и умножения чисел — средними членами пропорции. Основное свойство пропорции: Законы сложения и умножения чисел т.е. произведение крайних членов пропорции равно произведению средних ее членов.

Если Законы сложения и умножения чисел то из пропорции Законы сложения и умножения чисел можно получить ещё три пропорции : Законы сложения и умножения чисел Отношения величин и пропорции часто используются при решении задач. Например, решить уравнение:

Законы сложения и умножения чисел

Пользуясь свойством пропорции и учитывая, что Законы сложения и умножения чисел и Законы сложения и умножения чисел, запишем: Законы сложения и умножения чисел

Законы сложения и умножения чисел
Законы сложения и умножения чисел

Процентом данного числаЗаконы сложения и умножения чисел называется его сотая часть. Следовательно, само число составляет сто процентов. Один процент обозначается символом 1%.

Например, 45% числа 50 есть Законы сложения и умножения чисел 30% числа 200 есть Законы сложения и умножения чисел В дальнейшем мы увидим, что проценты, процентные соотношения часто используются при решении задач.

На множестве действительных чисел определено понятие степени.

Степенью Законы сложения и умножения чисел, где Законы сложения и умножения чисел, Законы сложения и умножения чисел (степень с целым показателем) называется число, определяемое правилами:

Законы сложения и умножения чисел
  • где Законы сложения и умножения чисел — основание степени;
  • Законы сложения и умножения чисел — показатели степени.

Понятие степени с рациональным показателем связано с понятием арифметического корня Законы сложения и умножения чиселстепени из числа Законы сложения и умножения чисел при Законы сложения и умножения чисел Число Законы сложения и умножения чисел называется арифметическим корнем Законы сложения и умножения чисел степени из неотрицательного числа Законы сложения и умножения чисел, если Законы сложения и умножения чисел Обозначается Законы сложения и умножения чиселЗаконы сложения и умножения чисел Например, Законы сложения и умножения чиселЗаконы сложения и умножения чисел

Свойства арифметических корней: при Законы сложения и умножения чиселЗаконы сложения и умножения чисел

Законы сложения и умножения чисел
Законы сложения и умножения чисел

Степенью числа Законы сложения и умножения чисел с рациональным показателем Законы сложения и умножения чиселназывается арифметический корень степени Законы сложения и умножения чисел из Законы сложения и умножения чисел, т.е. Законы сложения и умножения чиселЗаконы сложения и умножения чисел. Если Законы сложения и умножения чисел и Законы сложения и умножения чисел, то Законы сложения и умножения чисел Из определения следует:Законы сложения и умножения чисел Например, Законы сложения и умножения чиселЗаконы сложения и умножения чиселЗаконы сложения и умножения чиселЗаконы сложения и умножения чиселЗаконы сложения и умножения чисел

Расширяя понятие степени, можно, исходя из непрерывности функции Законы сложения и умножения чисел определить степень числа Законы сложения и умножения чисел с любым действительным показателем. Таким образом, степень Законы сложения и умножения чисел существует при Законы сложения и умножения чисел и Законы сложения и умножения чиселСтепени обладают следующими свойствами:

Законы сложения и умножения чисел

Непосредственным образом с понятием степени связано понятие логарифма.

Если Законы сложения и умножения чиселЗаконы сложения и умножения чисел то логарифмом числа Законы сложения и умножения чисел по основанию Законы сложения и умножения чисел называется показатель степени, в которую нужно возвести число Законы сложения и умножения чисел, чтобы получить число Законы сложения и умножения чисел. Запись Законы сложения и умножения чисел читается: логарифм Законы сложения и умножения чисел по основанию Законы сложения и умножения чисел.

Если Законы сложения и умножения чисел, то Законы сложения и умножения чисел Отсюда следует основное логарифмическое тождество:Законы сложения и умножения чиселЗаконы сложения и умножения чисел

Свойства логарифмов:

Законы сложения и умножения чисел

Например, т.к. Законы сложения и умножения чисел тоЗаконы сложения и умножения чиселт.к. Законы сложения и умножения чисел то Законы сложения и умножения чисел

Из основного логарифмического тождества следует, например, что Законы сложения и умножения чисел

Законы сложения и умножения чисел

Логарифм по основанию Законы сложения и умножения чисел называется десятичным логарифмом и обозначается Законы сложения и умножения чисел; логарифм по основанию Законы сложения и умножения чисел называется натуральным логарифмом и обозначается Законы сложения и умножения чисел. Операция взятия логарифма числа по определенному основанию называется логарифмированием, обратная операция избавления от логарифма — потенцированием.

Итак, повторим: над действительными числами при определенных ограничениях можно производить следующие операции — сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня, логарифмирование, потенцирование.

Есть еще одна операция над числами, на которую мало обращают внимание, но которая тем не менее важна и, как мы увидим в дальнейшем, часто используется при решении уравнений и неравенств: это операция взятия числа по модулю.

Абсолютная величина, или модуль, числа Законы сложения и умножения чиселобозначается Законы сложения и умножения чисел и определяется, как уже говорилось, следующим образом:

Законы сложения и умножения чисел

Отсюда следует, что Законы сложения и умножения чисел а для всех Законы сложения и умножения чисел Например, Законы сложения и умножения чиселЗаконы сложения и умножения чиселЗаконы сложения и умножения чисел

Свойства модуля числа:

Законы сложения и умножения чисел

Взятие числа по модулю используется при извлечении корня четной степени. Так, Законы сложения и умножения чисел, и в общем случае Законы сложения и умножения чиселНапример,Законы сложения и умножения чисел

Законы сложения и умножения чисел

Из чисел, знаков действий и скобок можно составить различные числовые выражения. Преобразование числового выражения обычно имеет своей целью вычисление его значения.

Итак, дробь Законы сложения и умножения чисел, где Законы сложения и умножения чисел — целое, a Законы сложения и умножения чисел — натуральное число, является рациональным числом и может быть представлена в виде либо конечной, либо бесконечной периодической десятичной дроби. Всякая бесконечная непериодическая десятичная дробь является иррациональным числом. Иррациональное число нельзя представить в виде дроби Законы сложения и умножения чисел, и обратно, каждое число, не пред-ставимое в виде дроби Законы сложения и умножения чисел, является иррациональным. Мы знаем иррациональное число Законы сложения и умножения чисел, появляющееся при измерении длины окружности и площади круга; иррациональное число Законы сложения и умножения чисел, используемое в теории пределов и являющееся основанием натуральных логарифмов, а также числа, получающиеся при извлечении корней, например, Законы сложения и умножения чисел и т. д.

Таким образом, числовые выражения включают все действительные числа: натуральные, целые, рациональные и иррациональные.

Если в выражение входят не только числа, но и буквы, то это выражение называется алгебраическим.

Алгебраическое выражение называется рациональным, если над входящими в него буквами совершаются только действия сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в натуральную степень.

Если в алгебраическом выражении над буквами совершается действие извлечения арифметического корня, то выражение называется иррациональным.

Рациональное выражение называется целым относительно некоторой входящей в него переменной величины, если в выражении отсутствует деление на эту переменную или на выражение с этой переменной. В противном случае алгебраическое выражение называется дробно-рациональным относительно этой переменной.

Алгебраическое выражение имеет область определения, т.е. совокупность всех числовых значений переменных, при которых выражение имеет смысл.

Два выражения называются тождественно равными, если при всех значениях входящих в них букв из общей области определения числовые значения выражений равны.

Если на некоторой области определения из справедливости одного равенства следует справедливость второго и, наоборот,

из справедливости второго следует справедливость первого, то такие равенства называются равносильными на этой области. Равносильное преобразование обозначают Законы сложения и умножения чисел

Рациональное алгебраическое выражение, действия над переменными в котором есть только умножение и возведение в степень, называется одночленом. Сумма и разность одночленов называется многочленом. Выражение вида Законы сложения и умножения чисел, где Законы сложения и умножения чисел — многочлены, называется рациональной или алгебраической дробью.

Например, Законы сложения и умножения чисел— рациональное алгебраическое выражение, одночлен;Законы сложения и умножения чисел — иррациональное алгебраическое выражение; Законы сложения и умножения чисел — целое рациональное алгебраическое выражение, многочлен; Законы сложения и умножения чисел алгебраическая дробь. Стандартным видом одночлена называется произведение, составленное из числового множителя (коэффициента) и степеней различных переменных. Например, Законы сложения и умножения чисел — одночлены стандартного вида.

Степенью одночлена стандартного вида называется сумма показателей степеней переменных. Например, Законы сложения и умножения чисел — одночлен 3-й степени; Законы сложения и умножения чисел — одночлен 7-й степени.

Одночлены, отличающиеся только коэффициентами или равные между собой, называются подобными.

В многочлене подобные одночлены, называемые подобными слагаемыми, можно заменить одним одночленом, если сложить их коэффициенты. Такое преобразование называется приведением подобных слагаемых.

Например, Законы сложения и умножения чисел Если в многочлене одночлены записаны в стандартном виде и приведены подобные слагаемые, то многочлен называется многочленом стандартного вида. Степенью многочлена считается наибольшая степень входящего в него одночлена.

Сумму или разность многочленов можно преобразовать в многочлен стандартного вида. Для этого нужно раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. При раскрытии скобок знаки всех слагаемых в скобках сохраняются, если перед скобкой стоит знак «+», и меняются на противоположные, если перед скобкой стоит знак «—».
При умножении многочлена на одночлен каждый член многочлена умножается на одночлен, и эти произведения складываются. При умножении многочлена на многочлен каждый член 1-го многочлена умножается на каждый член 2-го многочлена, и полученные произведения складываются.

Например, Законы сложения и умножения чисел

Законы сложения и умножения чисел

Преобразование многочлена в произведение двух или нескольких многочленов (одночленов) называется разложением многочлена на множители. Для таких преобразований можно использовать способ вынесения общего множителя за скобки, способ группировки, а также формулы сокращенного умножения. Так, если во всех слагаемых многочлена присутствуют одинаковые множители, например, Законы сложения и умножения чисел где Законы сложения и умножения чисел — такой множитель, пишут Законы сложения и умножения чиселЗаконы сложения и умножения чиселЗаконы сложения и умножения чиселЗаконы сложения и умножения чисел

Если все члены многочлена не имеют общего множителя, отличного от 1, можно использовать способ группировки. Для этого надо объединить в группы те члены, которые имеют общий множитель, и вынести его за скобки в каждой группе. Если у всех групп после этого окажется общий множитель, его выносят за скобки.

Например, Законы сложения и умножения чиселЗаконы сложения и умножения чиселЗаконы сложения и умножения чиселЗаконы сложения и умножения чисел

Формулы сокращенного умножения:

Законы сложения и умножения чисел

Примеры применения этих формул:

Законы сложения и умножения чисел

Преобразование алгебраических выражений является одним из основных этапов решения многих математических задач. Умение экономно и правильно производить выкладки при преобразованиях числовых и алгебраических выражений очень важно. В частности, при вычислениях полезно не спешить сразу выполнять арифметические действия, а пытаться сначала упростить выражение. Наибольшего эффекта можно достигнуть с помощью таких преобразований как сокращение дробей, приведение к общему знаменателю, разложение на множители.

Эта теория с решениями взята со страницы решения задач по математике:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Преобразование числовых выражении с примерами решения
Упростить выражение задачи с решением
Решение задач на функции по математике
Числа, числовые и алгебраические выражения