Для связи в whatsapp +905441085890

Замена в неравенствах множителей множителями эквивалентного знака

Замена в неравенствах множителей вида Замена в неравенствах множителей  множителями эквивалентного знакамножителями эквивалентного знака Замена в неравенствах множителей  множителями эквивалентного знака

Рассмотрим приём, позволяющий избавляться от модулей в определённой группе задач и, тем самым, существенно их упрощать. Он непосредственно следует из рассмотренного выше приёма умножения на выражение, сопряжённое к выражению Замена в неравенствах множителей  множителями эквивалентного знака.

Пусть требуется решить неравенство, в котором с одной стороны от знака неравенства (он может быть произвольным) находится произведение (частное) нескольких сомножителей, а с другой стороны — число нуль. К этой группе, в частности, относятся неравенства, решаемые методом интервалов. Например, это может быть неравенство вида

Замена в неравенствах множителей  множителями эквивалентного знака

Пусть, кроме того, хотя бы один из сомножителей имеет вид разности двух модулей Замена в неравенствах множителей  множителями эквивалентного знака где Замена в неравенствах множителей  множителями эквивалентного знака, Замена в неравенствах множителей  множителями эквивалентного знака — некоторые выражения, зависящие от неизвестной (-ых). Ради определённости будем считать, что это А :

Замена в неравенствах множителей  множителями эквивалентного знака

Если умножить обе части неравенства (1) на положительное выражение Замена в неравенствах множителей  множителями эквивалентного знака (будем дополнительно считать, что Замена в неравенствах множителей  множителями эквивалентного знака и Замена в неравенствах множителей  множителями эквивалентного знака одновременно не обращаются в нуль), то получим равносильное неравенство, в котором вместо множителя Замена в неравенствах множителей  множителями эквивалентного знакапоявился множитель Замена в неравенствах множителей  множителями эквивалентного знака, не содержащий модулей. Таким образом, решение исходного неравенства (1) оказалось сведено к равносильному неравенству

Замена в неравенствах множителей  множителями эквивалентного знака

Выражения Замена в неравенствах множителей  множителями эквивалентного знака и Замена в неравенствах множителей  множителями эквивалентного знака всегда имеют один и тот же знак, и одновременно обращаются в нуль. Поэтому этот подход часто называют методом замены множителей на множители эквивалентного знака.

В действительности область применимости данного приёма гораздо шире. Пусть Замена в неравенствах множителей  множителями эквивалентного знака и Замена в неравенствах множителей  множителями эквивалентного знака — любые неотрицательные (на ОДЗ) выражения, одновременно не обращающиеся в нуль (случай их одновременного обращения в нуль всегда можно рассмотреть отдельно). Тогда можно утверждать, что выражения Замена в неравенствах множителей  множителями эквивалентного знака и Замена в неравенствах множителей  множителями эквивалентного знака имеют один и тот же знак, и, следовательно, в неравенствах указанного типа сомножитель вида Замена в неравенствах множителей  множителями эквивалентного знака можно заменять выражением вида Замена в неравенствах множителей  множителями эквивалентного знака.

В частности, сомножители вида Замена в неравенствах множителей  множителями эквивалентного знакаили Замена в неравенствах множителей  множителями эквивалентного знака с успехом могут быть заменены выражениями Замена в неравенствах множителей  множителями эквивалентного знака и Замена в неравенствах множителей  множителями эквивалентного знака соответственно (при условии Замена в неравенствах множителей  множителями эквивалентного знака , а в первом случае и Замена в неравенствах множителей  множителями эквивалентного знака).

Рассмотрим примеры применения этого — иногда очень эффективного — метода.

Пример №278.

Решить неравенство Замена в неравенствах множителей  множителями эквивалентного знака

Решение:

Применяя указанный выше приём, приходим к равносильному неравенству и решаем его:

Замена в неравенствах множителей  множителями эквивалентного знака

Пример №279.

Решить неравенство

Замена в неравенствах множителей  множителями эквивалентного знака

Решение:

ОДЗ:Замена в неравенствах множителей  множителями эквивалентного знака Перенесём все слагаемые в одну сторону:

Замена в неравенствах множителей  множителями эквивалентного знака

Так как на ОДЗ выражения Замена в неравенствах множителей  множителями эквивалентного знака а также выражения Замена в неравенствах множителей  множителями эквивалентного знака и Замена в неравенствах множителей  множителями эквивалентного знака имеют одинаковые знаки (и одновременно обращаются в нуль), то приходим к равносильному (на ОДЗ), но более простому неравенству

Замена в неравенствах множителей  множителями эквивалентного знака

Пересекая с ОДЗ, получаем ответ. Ответ: Замена в неравенствах множителей  множителями эквивалентного знака

Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:

Предмет математика

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Раскрытие модулей на ОДЗ в математике с примерами решения
Умножение на сопряжённое выражение в математике с примером решения
Задачи, содержащие «скрытый» модуль в математике с примерами решения
Использование свойств модулей для решения задач с примерами решения