Запись приближенных чисел. Верные и значащие цифры

Создатель теории приближенных вычислений А. Н. Крылов говорил: «При производстве всяких численных вычислений надо руководствоваться правилом: точность вычислений должна соответствовать точности данных и той практической потребности, для которой вычисления производятся». Ему же принадлежат слова: «Помните, что каждая неверная цифра — это ошибка, всякая лишняя цифра — это пол-ошибки».

Приближенные числа записываются, как правило, при помощи десятичных дробей. Между записью приближенных и точных чисел есть различия. Если перед нами точное число, то вес его цифры являются верными, точными. Что же касается приближенного числа, то некоторые его цифры верны, а другие являются сомнительными.

Цифра десятичного разряда приближенного числа Запись приближенных чисел. Верные и значащие цифры приближения Запись приближенных чисел. Верные и значащие цифры называется верной, если в том же десятичном разряде чисел Запись приближенных чисел. Верные и значащие цифры и Запись приближенных чисел. Верные и значащие цифры стоит эта же цифра. В противном случае она называется сомнительной.

Проверку на верные и сомнительные цифры нужно начинать слева направо с наивысшего разряда. Все цифры, стоящие правее первой найденной сомнительной цифры, автоматически считаются сомнительными.

Пример №45.4.

Найдите верные и сомнительные цифры в записи числа Запись приближенных чисел. Верные и значащие цифры.

Решение:

Поскольку Запись приближенных чисел. Верные и значащие цифры, запишем диапазон возможных значений Запись приближенных чисел. Верные и значащие цифры в виде двойного неравенства:

Запись приближенных чисел. Верные и значащие цифры

Начинаем проверку на верные и сомнительные цифры с наивысшего разряда — единиц. Видим, что цифры 3,45 одинаковы в левой и правой части двойного неравенства (т.е. в записи Запись приближенных чисел. Верные и значащие цифры и Запись приближенных чисел. Верные и значащие цифры), следовательно, по определению в записи приближенного числа 3,4531 эти цифры являются верными.

Цифры в разряде тысячных в правой и левой части двойного неравенства отличаются (1 и 5), следовательно, в записи приближенного числа 3,4531 цифра 3, стоящая в разряде тысячных, и цифра 1, стоящая за ней, являются сомнительными.

Итак, точное число Запись приближенных чисел. Верные и значащие цифры обязательно начинается с цифр 3,45. Какие цифры стоят в остальных разрядах числа, точно сказать невозможно.

Ответ:

Запись приближенных чисел. Верные и значащие цифры

Для записи приближенных чисел существуют следующие правила:

  1. Оставлять в записи числа только верные цифры.
  2. Если в десятичной дроби последние верные цифры нули, то их надо выписывать.
  3. Если число содержит на конце целой части сомнительные цифры, то они должны быть заменены на Запись приближенных чисел. Верные и значащие цифры, где Запись приближенных чисел. Верные и значащие цифры — число цифр, которые нужно заменить.
  4. Граница абсолютной погрешности числа, содержащего только верные цифры, равна единице последнего разряда.

Проиллюстрируем применение данных правил на конкретных примерах.

1. Поскольку в записи числа следует оставлять только верные цифры, то в примере 45.4 точное значение Запись приближенных чисел. Верные и значащие цифры будет записано следующим образом: Запись приближенных чисел. Верные и значащие цифры. В этом случае граница абсолютной погрешности Запись приближенных чисел. Верные и значащие цифры.

2. Если задано число Запись приближенных чисел. Верные и значащие цифры, то нетрудно показать, что в записи приближенного числа 3,005 цифры 3,00 являются верными, а 5 — сомнительной. Для записи точного числа Запись приближенных чисел. Верные и значащие цифры выпишем все его верные цифры, включая нули на конце: Запись приближенных чисел. Верные и значащие цифры. Эта запись показывает, что граница абсолютной погрешности равна единице последнего разряда, т.е. 0,01. Если бы мы записали это число как Запись приближенных чисел. Верные и значащие цифры, то граница абсолютной погрешности была бы равна 1, а это значительно более низкая точность, чем заданная в примере 0,01.

3. Пусть задано число Запись приближенных чисел. Верные и значащие цифры. В записи приближенного числа 3005 цифры 300 являются верными, а 5 — сомнительной. Для записи точного числа Запись приближенных чисел. Верные и значащие цифры выпишем вес его верные цифры 300, а вместо одной сомнительной цифры 5 запишем умножение на Запись приближенных чисел. Верные и значащие цифры, поскольку заменяем только одну цифру. Тогда Запись приближенных чисел. Верные и значащие цифры.

В науке принято записывать числа в стандартном виде, т.е. в виде Запись приближенных чисел. Верные и значащие цифры, где Запись приближенных чисел. Верные и значащие цифры — цифры, причем Запись приближенных чисел. Верные и значащие цифры (в целой части числа стоит только одна цифра, отличная от нуля). Число Запись приближенных чисел. Верные и значащие цифры в стандартном виде будет представлено как Запись приближенных чисел. Верные и значащие цифры.

Значащими цифрами числа называют все его верные цифры, за исключением нулей, стоящих левее первой отличной от нуля цифры.

Например, число 0,712 содержит три значащие цифры: 7, 1, 2. Число 0,00012 — две значащие цифры: 1 и 2. Число Запись приближенных чисел. Верные и значащие цифры — три значащие цифры: 3, 0, 0.

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Предмет высшая математика

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:

Абсолютная погрешность.
Относительная погрешность.
Погрешности вычислений с приближенными данными.
Понятие алгебраического и трансцендентного уравнения и методов их приближенного решения.