Оглавление:
Теорема Коши. Первообразная и неопределенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница
Теорема 75.1 (Коши). Если функция аналитична в односвязной области , то интеграл от этой функции по любому замкнутому контуру , лежащему в области равен нулю, т. е. .
Докажем теорему, предполагая непрерывность производной (это упрощает доказательство). По формуле (75.2) имеем:
В силу аналитичности и непрерывности в односвязной области , функции и непрерывны и дифференцируемы в этой области и удовлетворяют условиям Эйлера-Даламбера: и . Эти условия означают равенство нулю интегралов и (см. теорему 56.3). Следовательно, .
Теорема Коши допускает распространение на случай многосвязной области.
Рассмотрим для определенности трехсвязную область , ограниченную внешним контуром и внутренними контурами и . Выберем положительное направление обхода контуров: при обходе область остается слева (см. рис. 289).
Пусть функция аналитична в области и на контурах , и (т. е. в замкнутой области ; функция называется аналитической в замкнутой области , если она аналитична в некоторой области, содержащей внутри себя область и ее границу ).
Проведя два разреза (две дуги) и области (см. рис. 289), получим новую односвязную область , ограниченную замкнутым ориентированным контуром , состоящим из контуров , , и разрезов и : . По теореме Коши для односвязной области , но
т. к. каждый из разрезов (дуг) и при интегрировании проходится дважды в противоположных направлениях. Поэтому получаем:
т.e. интеграл от аналитической в замкнутой многосвязной области функции по границе области , проходимой в положительном направлении, равен нулю.
Замечание. Изменив направление обхода внутренних контуров и , будем иметь , где все контуры (, и ) обходятся в одном направлении: против часовой стрелки (или по часовой стрелке). В частности, если аналитична в двусвязной области, ограниченной контурами и и на самих этих контурах (см. рис. 290), то , т. e. «интеграл от функции по внешнему контуру равен интегралу от функции по внутреннему контуру » (контуры и обходят в одном направлении).
Следствие 75.1. Если — аналитическая функция в односвязной области , то интеграл от нее не зависит от формы пути интегрирования, а зависит лишь от начальной точки и конечной точки пути интегрирования.
Действительно, пусть и — две кривые в области , соединяющие точки и (рис. 291).
По теореме Коши , т. е. , или , откуда .
В таких случаях, когда интеграл зависит только от начальной точки и конечной точки пути интегрирования, пользуются обозначением . Если здесь зафиксировать точку , а точку изменять, то будет функцией от . Обозначим эту функцию через . Можно доказать, что если функция аналитична в односвязной области , то функция также аналитична в , причем
Функция называется первообразной для функции в области , если .
Можно показать, что если есть некоторая первообразная для , то совокупность всех первообразных определяется формулой , где .
Совокупность всех первообразных функций называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом , т. е.
, где .
Пусть функция есть первообразная функция для . Следовательно, . Положив здесь , получим (контур замкнется, интеграл равен нулю). Отсюда , а значит,
Полученная формула называется формулой Ньютона Лейбница.
Интегралы от элементарных функций комплексного переменного в области их аналитичности вычисляются с помощью тех же формул и методов, что и в действительном анализе.
Так,
и т.д.
Пример №75.2.
Вычислить интегралы: , где есть окружность радиуса с центром в точке , обходимая против часовой стрелки (см. рис. 292).
Решение:
а) Теорема Коши неприменима, т.к. функция не аналитична в точке . Параметрические уравнения окружности есть , где . Следовательно,
Таким образом, мы получили, что комплексно-параметрическое уравнение данной окружности есть , . Поэтому по формуле (75.4) получим:
б) При имеем:
Итак,
, — целое, .
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Геометрический смысл модуля и аргумента производной |
Интегрирование функции комплексного переменного |
Интеграл Коши. Интегральная формула Коши |
Нули аналитической функции |