Оглавление:
Интегрирование функции комплексного переменного
Определение, свойства и правила вычисления интеграла
Пусть в каждой точке некоторой гладкой кривой с началом в точке и концом в точке определена непрерывная функция .
Разобьем кривую на частей (элементарных дуг) в направлении от к точками (см. рис. 287).
В каждой «элементарной дуге» выберем произвольную точку и составим интегральную сумму , где .
Предел такой интегральной суммы при стремлении к нулю длины наибольшей из элементарных дуг, если он существует, называется интегралом от функции по кривой (по контуру) и обозначается символом .
Таким образом,
Покажем, что если — гладкая кривая, a — непрерывная и однозначная функция, то интеграл (75.1) существует.
Действительно, пусть , , . Тогда
Поэтому
Обе суммы, находящиеся в правой части последнего равенства, являются интегральными суммами для соответствующих криволинейных интегралов (см. п. 56.1).
При сделанных предположениях о кривой и функции пределы этих сумм существуют. Поэтому после перехода к пределу (в последнем равенстве) при получим:
Формула (75.2) показывает, что вычисление интеграла от функции комплексного переменного сводится к вычислению криволинейных интегралов от действительных функций действительных переменных.
Формулу (75.2) можно записать в удобном для запоминания виде:
Если , где — параметрические уравнения кривой , то называют комплексным параметрическим уравнением кривой ; формула (75.3) преобразуется в формулу
Действительно, считая непрерывной и дифференцируемой функцией, получаем
Приведем основные свойства интеграла от функции комплексного переменного.
- .
- , — комплексное число.
- , т. e. при перемене направления пути интегрирования интеграл изменяет свой знак на противоположный (в других обозначениях кривой: ).
- , где , т. e. интеграл по всему пути равен сумме интегралов по его частям и .
- Оценка модуля интеграла. Если во всех точках кривой , то , где — длина кривой .
Действительно,
где — длина ломаной , вписанной в кривую .
Все приведенные свойства интеграла функции комплексного переменного непосредственно вытекают из его определения (75.1) и представления (75.2).
Пример №75.1.
Вычислить
где — полуокружность , (см. рис. 288).
Решение:
Используя формулу (75.3), имеем:
Используя формулу (75.4), имеем :
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Аналитическая функция тфкп |
Геометрический смысл модуля и аргумента производной |
Интегральная теорема Коши |
Интеграл Коши. Интегральная формула Коши |