Векторный анализ: основные понятия и пример с решением

Скалярным полем называется область, расположенная в плоскости или пространстве, с каждой точкой Векторный анализ которой связано определенное значение некоторой скалярной физической величины .

Функция Векторный анализ , определяющая плоское скалярное поле, зависит от двух переменных , а функция, определяющая пространственное скалярное поле, зависит от трех переменных Векторный анализ .

Линией уровня плоского скалярного поля называется совокупность точек плоскости, в которых функция этого поля имеет одинаковые значения. Линия уровня определяется уравнением Векторный анализ . Различным постоянным значениям функции поля соответствуют различные линии уровня: ,

Поверхностью уровня пространственного скалярного поля называется совокупность точек пространства, в которых функция этого поля имеет одинаковые значения. Поверхность уровня определяется уравнением Векторный анализ .

Через каждую точку проходит только одна поверхность (линия) уровня. Они заполняют всю рассматриваемую область и не пересекаются между собой.

Векторным полем называется плоская или пространственная область, с каждой точкой Векторный анализ которой связано определенное значение некоторой векторной физической величины .

Если векторное поле отнесено к прямоугольной системе координат Векторный анализ , то вектор будет векторной функцией, а его проекции на оси координат будут скалярными функциями от переменных и :

Векторной линией векторного поля называется кривая, направление которой в каждой точке Векторный анализ совпадает с направлением вектора, соответствующего этой точке поля.

Потоком векторного поля, образованного вектором через поверхность , называется поверхностный интеграл

Если вектор Векторный анализ определяет поле скоростей текущей жидкости, то интеграл выражает количество жидкости, протекающей через поверхность за единицу времени. При этом, если Векторный анализ является замкнутой поверхностью, ограничивающей область , и если интеграл берется по внешней стороне , то величина называется потоком вектора изнутри поверхности Векторный анализ , она дает разность между количествами жидкости, вытекшей из области , и втекшей в эту область за единицу времени.

При Векторный анализ из области вытекает жидкости больше, чем в нее втекает, что указывает на наличие в этой области источников, питающих поток жидкости. При из области Векторный анализ вытекает жидкости меньше, чем втекает, что указывает на наличие в этой области стоков, где жидкость удаляется из потока. При из области вытекает жидкости столько же, сколько в нее втекает.

Дивергенцией векторного поля, определяемого вектором ,
называется скаляр

Если дивергенция в точке Векторный анализ больше нуля (), то эта точка называется источником, если , то точка называется стоком. Абсолютная величина характеризует мощность источника или стока.

Векторное поле, во всех точках которого дивергенция равна нулю, называется соленоидальным. Поток такого поля через любую замкнутую поверхность равен нулю.

Формула Остроградского — Гаусса Векторный анализ , где — внешняя нормаль к поверхности . В прямоугольных декартовых координатах формула Остроградского — Гаусса имеет вид: . Она устанавливает связь между потоком и дивергенцией векторного поля: поток векторного поля через замкнутую поверхность Векторный анализ равен тройному интегралу по области , ограниченной этой поверхностью, от дивергенции поля.

Ротором (или вихрем) векторного поля, определяемого вектором Векторный анализ , называется вектор

Запись ротора через определитель удобна для запоминания. Определитель обычно вычисляется разложением по первой строке (правая часть).

Векторное поле, во всех точках которого вихревой вектор равен нулю, называется потенциальным (или безвихревым). В потенциальном поле циркуляция всегда равна нулю.

Векторное поле, являющееся одновременно и соленоидальным и потенциальным, называется гармоническим.

Формула Стокса Векторный анализ , где — нормаль к поверхности , . Направление обхода контура должно быть согласовано с выбранным направлением положительной нормали. Если наблюдатель смотрит с конца нормали, то он видит обход вдоль кривой Векторный анализ против часовой стрелки.

В прямоугольных декартовых координатах формула Стокса имеет вид

смысл которого заключается в следующем: циркуляция вектора по замкнутому контуру Векторный анализ равна потоку вихря вектора через поверхность , ограниченную этим контуром.