Оглавление:
Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел 
формально соединенных знаком сложения:
Числа называются членами ряда, а выражение 
-ым или общим членом ряда.
Сумма 
первых членов ряда называется -ой частичной суммой ряда:
Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, являющийся суммой ряда:
и расходящимся, если указанный предел расходится или не существует
Расходящийся ряд суммы не имеет.
В качестве примеров приведем следующие числовые ряды:
- Гармонический ряд
- Обобщенный гармонический ряд
сходится при 
, расходится при 
.
- Геометрический ряд
где 
— начальный член; 
— знаменатель геометрической прогрессии. Геометрический ряд сходится к сумме 
при 
и расходится при 
.
Знакоположительные числовые ряды
Знакоположительным рядом называется ряд 
, члены которого неотрицательны: 
.
Необходимый признак сходимости. Если числовой ряд сходится, то предел его общего члена 
при 
равен нулю:
Следствие. Если предел общего члена ряда при не равен нулю, то ряд расходится:
Пример:
Проверить, выполняется ли необходимый признак сходимости для числового ряда
► Для проверки необходимого признака сходимости выпишем и найдем предел общего члена данного числового ряда
Для раскрытия неопределенности такого типа воспользуемся правилом Лопиталя:
Применяя правило Лопиталя повторно, получим:
Необходимый признак сходимости для данного числового ряда выполняется, следовательно, расходимость ряда не доказана.
Признак сравнения. Пусть даны два положительных ряда 
и 
. Если члены ряда не превосходят соответствующих членов ряда т. е. 
при всех , то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимоси ряда следует расходимость ряда .
Пример:
Используя признак сравнения, исследовать на сходимость числовой ряд
► Сравним данный ряд с рядом 
Последний является геометрической прогрессией со знаменателем
т. е. сходящимся рядом. Так как
то по признаку сравнения данный числовой ряд сходится.
Предельный признак сравнения. Если для двух знакоположительных рядов и существует конечный, отличный от нуля предел отношения их общих членов
то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.
Пример:
Используя предельный признак сравнения, исследовать на сходимость числовой ряд
► Если общий член ряда представляет собой отношение двух многочленов, то при подборе эталонного обобщенного гармонического ряда значение 
выбирают равным разности наибольших показателей степеней знаменателя и числителя. Так как в нашем случае = 3 — 1 = 2. то для сравнения возьмем обобщенный гармонический
который сходится. Применяя предельный признак, найдем
Поскольку предел 
конечен и отличен от нуля, то исследуемый ряд также является сходящимся.
Признак сходимости Даламбера. Если для знакоположительного ряда существует предел отношения 
при 
, то в зависимости от значения этого предела возможны три случая:
Пример:
Используя признак сходимости Даламбера, исследовать на сходимость числовой ряд
► Для проверки сходимости с помощью признака Даламбера запишем предел отношения ( + 1)-го члена к 
-му:
Так как предел полученного выражения меньше единицы, следовательно, данный числовой ряд сходится.
Интегральный признак Коши. Пусть члены знакоположительного числового ряда 
соответствуют при = 1,2,3,… значениям некоторой функции 
, положительной, непрерывной, монотонно убывающей на интервале 
. Тогда несобственный интеграл 
и соответствующий числовой ряд 
сходятся или расходятся одновременно.
Пример:
Используя интегральный признак сходимости Коши, исследовать на сходимость числовой ряд
► Для проверки сходимости с помощью интегрального признака Коши запишем формулу общего члена ряда в виде функции натурального аргумента
и составим соответствующую ей функцию действительного аргумента
а затем вычислим несобственный интеграл от полученной функции:
Определенный интеграл, стоящий под знаком предела, вычисляется с помощью подстановки 
:
Вычисляя предел полученного выражения, приходим к выводу, что заданный числовой ряд расходится:
Знакопеременные ряды
Зпакочередующимся числовым рядом называется ряд
в котором любые два соседних члена имеют разные знаки.
Признак Лейбница. Пусть для знакочередующегося ряда
выполнены условия:
- Члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине:
- Общий член ряда стремится к нулю:
Тогда ряд сходится, причем его сумма 
Знакопеременным числовым рядом называется ряд 
, который содержит как положительные, так и отрицательные члены.
Заметим, что знакочередующийся числовой ряд является частным случаем знакопеременного числового ряда.
Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится числовой ряд 
— составленный из абсолютных величин его членов. Сходимость ряда влечет за собой сходимость ряда .
Ряд называется условно сходящимся, если ряд расходится, а исходный ряд сходится.
Пример:
Используя признак Лейбница, исследовать на сходимость знакочередующийся ряд. В случае сходимости ряда, определить тип сходимости.
► Для проверки сходимости с помощью признака Лейбница заметим, что при 
члены данного ряда 
монотонно убывают по абсолютной величине:
и
Отбрасывание конечного числа членов не влияет на его сходимость, поэтому по признаку Лейбница ряд сходится.
Определим тип сходимости ряда. Для этого исследуем сходимость ряда, составленного из абсолютных величин его членов:
Применяя предельный признак сравнения, возьмем в качестве эталонного ряда гармонический ряд
и вычислим предел
т.е. предел конечен и отличен от нуля. Следовательно, исследуемый ряд ведет себя так же, как и эталонный ряд. Из расходимости эталонного ряда следует расходимость исследуемого ряда.
Таким образом, сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится, т.е. ряд сходится условно.
Этот материал взят со страницы заказа помощи по математике, там можно заказать помощь и ознакомиться с краткой теорией по предмету математика:
Возможно эти страницы вам будут полезны:
