Понятие числа прошло длинный путь исторического развития.
Одним из простейших числовых множеств является множество натуральных чисел
В нем всегда выполнимы два основных (прямых) алгебраических действия: сложение и умножение. Это означает, что, каковы бы ни были натуральные числа и
, сумма их
, а также произведение
являются непременно натуральными числами.
При этом соблюдаются следующие пять законов:
1) коммутативный ( переместительный) закон сложения:
![Числовые поля](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/image-35026.png)
2) ассоциативный (сочетательный) закон сложения:
![Числовые поля](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/image-35027.png)
3) коммутативный ( переместительный) закон умножения:
![Числовые поля](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/image-35028.png)
4) ассоциативный (сочетательный) закон умножения:
![Числовые поля](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/image-35029.png)
5) дистрибутивный ( распределительный) закон умножения относительно сложения:
![Числовые поля](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/image-35030.png)
Вычитание и деление в множестве натуральных чисел выполнимы не всегда.
Чтобы действие вычитания было выполнимым всегда, множество натуральных чисел нужно расширить путем присоединения к нему всех отрицательных целых чисел и нуля. В результате мы получим множество всех целых чисел ():
![Числовые поля](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/image-35042.png)
Числовое множество, в котором всегда выполнимы сложение и умножение, подчиненные указанным выше пяти законам, а также вычитание, называется кольцом.
Таким образом, множество образует кольцо . Чтобы действие деления было всегда выполнимым , множество целых чисел расширили путем присоединения к нему всех обыкновенных дробей, то есть чисел вида
, где
и
— произвольные целые числа и
. В результате такого расширения мы получаем множество всех рациональных чисел. Любую обыкновенную дробь можно представить в виде бесконечной периодической дроби, поэтому рациональные числа — это числа, представимые в виде бесконечных периодических десятичных дробей.
Множество чисел, в котором всегда выполнимы действия сложения и умножения, подчиненные пяти основным законам, а также действия вычитания и деления ( кроме деления на нуль), называется полем.
Множество рациональных чисел является простейшим числовым полем.
Числа, которые можно представить, в виде бесконечных непериодических десятичных дробей, называются иррациональными ( т. е. нерациональными).
Все рациональные и все иррациональные числа, взятые вместе, образуют множество действительных чисел ( ).
Множество образует поле. Заметьте, что множество иррациональных чисел поля не образует. Так, например,
.
На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:
Высшая математика краткий курс лекций для заочников
Возможно вам будут полезны эти страницы: