Действительные аналитические функции

Действительные аналитические функции

Действительные аналитические функции. В этом параграфе вы узнаете о сериале, который должен в первую очередь включать постоянных участников. Однако сначала докажите 1 лемму, которая применяется к степенному ряду комплексной области. Лемма 2.Радиус сходимости ряда И 2 апгп(37.15)） н = 0 И О V » g » +1 Al I + 1 ’(37.16） я = 0 И 2 пас» g » −1(37.17） Н-1 Оно равноценно. Доказательство. Пусть P-радиус сходимости ряда (37.15),-радиус сходимости ряда (37.16), а D2-радиус сходимости ряда (37.17).От неравенства 37.4.Допустимые функции анализа Шестьсот тридцать три И если ряд (37.17) сходится в определенной точке r, то ряд (37.16) также сходится в этой точке, и теорема сравнения если ряд сходится в определенной точке r (см.§ 35.5 ′ s теорема 6), то в той же точке ряд (37.15) также сходится в этой точке. point.

Используя формулу Коши-Адамара для сходящегося радиуса степенного ряда, эту лемму несколько легче доказать. Людмила Фирмаль

• It следует (37.18） Мы покажем это сейчас Д(37.19） Сходятся ряды (37.16) с точками r0 и 0 / th! ^ 5. {/Выберите настоящий r, как Мистер Dh. Тогда n-1, 2,…О \ papg C 1 Н (Н + 1) АПТ + 11 га 1 20 / 2П 4-1 1г Поскольку ряд (37.16) сходится, для r-r общий термин для этого ряда для r = r, для P-V-CO она стремится к нулю. Пт АПН ^ = 0. Н + 1 И затем-» Таким образом, последовательность Н + 1 / dagp + 1 Я п +1, Α= 1, 2,…ограничена. То есть все n-1, 2,…Неравенство существует для M0. (37.20)） .М. Поставьте 7 =и получите неравенство из(37.20) \ Пакет h-1 + MDP] 1, 0? 1. Я 2л Общий знаменатель-r * M? ’; Последовательности с + 1 сходятся(в этом случае Например, легко проверить по критерию д’Аламбера), если r = r0, то ряды также сходятся(37.17).Доказано неравенство (37.19).Из неравенств (37.18) и (37.19)、 д = Д1 = Д2. Я не уверен. Замечание. (см.§ 37.2*).

Поскольку приведенные выше доказательства также не сложны, а также не используют формулу Коши-Адамара, вы можете пропустить пункт 37.2 *во время первого чтения(как указано звездочкой числа). § 37.Должна ли серия Шестьсот тридцать четыре В остальной части этого раздела мы предполагаем, что коэффициенты всех рассматриваемых рядов реальны, и что переменные r и r0 также реальны (в этом случае они обозначаются x и x (1)), когда говорится обратное. Ряд определенным образом преобразуется в степенной ряд мощности сложной области, но для этого необходимо обобщить понятие дифференцирования на функцию комплексных аргументов, что не входит в задачу данного курса. Итак, рассмотрим серию И 2 ап (х-хо) п, (37.21)） н = 0 Где: al(n-0, 1, 2,…), x и x0-действительные числа. Если я радиус И Сходимость αα ряда (r-x0), где r-комплексное число, то есть 11 = 1.

• Это ряд с теми же коэффициентами, что и ряд (37.21), но при рассмотрении в комплексной области ряд (37.21) сходится в случае| x-x0| < H и расходится в случае| x-x0 | > H. В этом случае I называется радиусом сходимости ряда (37.21), а интервал(x0-I, xa -I) его интервалом сходимости. Теорема 6. Х.-радиус сходимости степенного ряда И ！(Х)= 2 (х-х0)(37.22） н = 0 Я-0. 1) функция[расположенная в интервале (x0 -,, x0+)) является производной всех степеней, найденных из ряда(37.22) дифференцированием на член. 2)любого х е(ХІ-я, х0 + я） X С Лго Р = То есть в пределах интервала сходимости можно консолидировать степенные ряды для каждого члена. 3) ряд, производный от ряда (37.22) c. As в результате дифференцирования или консолидации на терм они имеют тот же радиус сходимости, что и сам ряд(37.22).

Доказательство. Радиус сходимости ряда обусловлен Леммой, доказанной в начале этого раздела И 2 отцов{х-хо) » −1、 Н = 1 37.4.Допустимые функции анализа Шестьсот тридцать пять Получено дифференцированием по Терму из ряда (37.22) и ряда И Стали 2ap (х-хо) П + 1 я + 1 н = 0 Он берется из того же ряда интегралом за член и имеет тот же радиус сходимости(37.22), что и ряд (достаточно заменить переменную x-x0-r, чтобы увидеть это). Поскольку все степенные ряды в виде радиуса сходимости равном (37.22) сходятся равномерно к интервалу[x0-R, x0 + R], 0 r # (см. теорему 2 в§ 37.1), , доказанной в пункте 36.4.

Описательная сила теоремы для дифференцирования и интегрирования каждого члена вещественных чисел непосредственно вытекает из соответствующей теоремы о безопасности и возможности для функционального континуума. Людмила Фирмаль

• Например, интервал сходимости (x0-7?Заметим, что возможность интеграла на член степенного ряда (37.22) в пределах (X0 +Я) непосредственно вытекает из того факта, что степенной ряд сходится равномерно ко всем сегментам (см. теорему 36.4§ 9) [x0-r, x0 + r], 0 gI. Из этого следует, что радиус сходимости степенного ряда не уменьшается из-за Интеграла каждого члена. Доказанная теорема содержит более полное описание того, что указанный радиус сходимости далее не увеличивается, то есть остается прежним. Теорема 7.Если функция/является аналитической.

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Формула Коши-Адамара для радиуса сходимости степенного ряда.	Разложение функций в степенные ряды.
Аналитические функции.	Разложение элементарных функции в ряд Тейлора.