Оглавление:
Дифференцируемость и непрерывность
- Дифференцируемость и непрерывность. Следующее утверждение легко доказать. Это 5.2. Если функция y=1 (x) дифференцируема в
данной точке x, то она непрерывна в этой точке. Д О К а з а т е л ь с т в о. так как функция^(x) дифференцируема в точке x, з
то для ее приращения Du в этом отношении справедливо выражение (5.7), и Людмила Фирмаль
которого Du=0, а это DX — » 0, то в этой точке доказывается теорема функции y=/(x). Обратное утверждение теоремы 5.2 состоит в том, что
из непрерывности функции y=f (x) в данной точке x, вообще говоря, Дифференцируемость функции|(x) в этой точке не следует. Примером является функция y= / x|, которая, очевидно, непрерывна в точке x=0
- (Как видно в конце пункта 2§1), но в этой точке нет дифференцирования. Заметим, что существуют функции, которые
непрерывны в каждой точке определенного интервала, но не имеют производной ни в одной точке этого интервала.
(Первый пример Людмила Фирмаль
такой функции был построен Вейерштрассом. Пример такой функции приведен в приложении к главе 10.)
Смотрите также:
