Дивергенция поля. Формула Остроградского-Гаусса

Дивергенция поля. Формула Остроградского-Гаусса

Важной характеристикой векторного поля (71.1) является так называемая дивергенция, характеризующая распределение и интенсивность источников и стоков поля.

Дивергенцией (или расходимостью) векторного поля

в точке называется скаляр вида и обозначается символом , т. е.

Отметим некоторые свойства дивергенции.

1. Если — постоянный вектор, то .
2. , где .
3. , т. e. дивергенция суммы двух векторных функций равна сумме дивергенции слагаемых.
4. Если — скалярная функция, — вектор, то

Эти свойства легко проверить, используя формулу (71.6). Докажем, например, справедливость свойства 4.

Так как , то

Используя понятия потока и дивергенции векторного поля, запишем известную в анализе (см. (58.9)) формулу Остроградского Гаусса

в так называемой векторной форме.

Рассматривая область , ограниченную замкнутой поверхностью , в векторном поле (71.1), можно утверждать, что левая часть формулы (71.7) есть поток вектора через поверхность ; подынтегральная функция правой части формулы есть дивергенция вектора . Следовательно, формулу (71.7) можно записать в виде

(в котором она чаще всего и встречается).

Формула Остроградского-Гаусса означает, что поток векторного поля через замкнутую поверхность (в направлении внешней нормали, т. е. изнутри) равен тройному интегралу от дивергенции этого поля по объему , ограниченному данной поверхностью.

Используя формулу (71.8), можно дать другое определение дивергенции векторного поля в точке (не связанное с выбором координатных осей).

По теореме о среднем для тройного интеграла (см. п. 54.1) имеем:

где — некоторая (средняя) точка области . Тогда формулу (71.8) можно переписать в виде . Отсюда

Пусть поверхность стягивается в точку. Тогда , и мы получаем выражение для в точке :

Дивергенцией векторного поля в точке называется предел отношения потока поля через (замкнутую) поверхность , окружающую точку , к объему тела, ограниченного этой поверхностью, при условии, что вся поверхность стягивается в точку .

Определение (71.9) дивергенции эквивалентно (можно показать) определению (71.6).

Как видно из определения, дивергенция векторного поля в точке является скалярной величиной. Она образует скалярное поле в данном векторном поле.

Исходя из физического смысла потока (обычно условно считают; что есть поле скоростей фиктивного стационарного потока несжимаемой жидкости), можно сказать, что: при точка представляет собой источник, откуда жидкость вытекает; при точка есть сток, поглощающий жидкость. Как следует из равенства (71.9), величина характеризует мощность (интенсивность, платность) источника или стока в точке . В этом состоит физический смысл дивергенции.

Понятно, что если в объеме , ограниченном замкнутой поверхностью , нет ни источников, ни стоков, то .

Векторное поле, в каждой точке которого дивергенция поля равна нулю, т. е. , называется соленоидальным (или трубчатым).

Пример №71.4.

Найти дивергенцию поля линейных скоростей жидкости, вращающейся как твердое тело вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью .

Решение:

Примем ось вращения жидкости за ось . Тогда, как показано ранее (см. пример 69.2), . Имеем:

Поле — соленоидальное.

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

• Решение задач по высшей математике

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Интеграл Фурье

Градиент скалярного поля и его свойства

Циркуляция векторного поля

Ротор векторного поля. Формула Стокса