Функциональные свойства суммы ряда. Случай положительных рядов

Оглавление:

Функциональные свойства суммы ряда. Случай положительных рядов

Функциональные свойства суммы ряда. Случай положительных рядов. Для этого конкретного типа рядов, как доказал Дини*), равномерная сходимость не только достаточна, но и является предпосылкой для непрерывности итогов ряда. Теорема 2.Предположим, что член ряда (1) непрерывен с интервалом%= \ a> b]и не отрицателен. Если ряд Total f (x)>непрерывен даже на интервале 3, то ряд сходится равномерно на этом интервале. Доказательство. Рассмотрим остальные части серии(1）： Ноль ноль 4> n (x)= 2 ik (x)= f(x) f(x).

Функция yn(x) как разность двух непрерывных функций также непрерывна. Людмила Фирмаль

Учитывая положительность членов ряда, последовательность {pC * O константы x уменьшается(не увеличивается）：？| М ^ М ^ ^ ^ М&М. 。。Наконец, поскольку ряд (1) сходится на интервале любой константы x Нш Р » ОС) = 0. Н ► 00 Чтобы установить равномерную сходимость ряда, достаточно доказать, что для каждого числа ε> 0, для каждого x существует по крайней мере 1 значение η, гдеpn (^)^ e существует одновременно(чем больше значение η, тем больше это неравенство и т. д.).

Доказательства этого будут отменены, если e> 0, то будем считать, что такого числа n не существует. Тогда любой из интервалов 37 η= 1, 2, 3,…Существует значение x = xm, которое будетη (xn)Эпсилон. Примените лемму Больцано-Вейерштрасса[n°37] к последовательности (xn) Y, в которой все элементы включены в конечный интервал, и оттуда извлеките частичную последовательность| xPk, сходящуюся к пределу x<>. учитывая непрерывность pm (g)、 А? М(х, к)= ПМ(х0）、 Вместе. С другой стороны, для любого l, для достаточно большого k： Х ^ м, и, таким образом.?»(Х » к) 3 ==(xpk все)3 * е.

Впрочем, есть классы случаев, когда равномерная сходимость все же оказывается необходимой. Людмила Фирмаль

Здесь, как k-oo, мы передаем его до предела、 Что-то в этом роде. Т(х?) = С? Т(г:?Е. Л-так.* Однако, это неравенство, которое применяется к M>、 Тю <ПМ(д0)= 0. т* * * ы Теорема доказана. Перефразируя теорему Дини в случае последовательности、 Теорема 2.Предположим, что последовательность (7) непрерывной функции интервала 37 = [a, b) становится L— oo, монотонно возрастая, для предельной функции f (x). / П + 1 (х) 23 = /»（*）• Функция φ (χ) также непрерывна в? Fn (x) сходится равномерно к f (x) при 37.

Условие равномерной сходимости.	Почленный переход к пределу.
Непрерывность суммы ряда.	Почленное интегрирование рядов.

Если вам потребуется помощь по математическому анализу вы всегда можете написать мне в whatsapp.