Математический анализ — задачи с решением и примерами

Оглавление:

Математический анализ задачи с решением

Прежде чем изучать готовые решения задач по матанализу, нужно знать теорию, поэтому для вас я подготовила очень краткий курс теории по предмету «математический анализ», после которого, чуть ниже размещены подробные решения задач.

Эта страница подготовлена для студентов любых специальностей и охватывает полный курс предмета «математический анализ».

Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу!

Математический анализ

Математический анализ — совокупность разделов математики, посвященных исследованию функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчислений. При столь общей трактовке к анализу следует отнести и функциональный анализ вместе с теорией интеграла Лебега, комплексный анализ (ТФКП), изучающий функции, заданные на комплексной плоскости, нестандартный анализ, изучающий бесконечно малые и бесконечно большие числа, а также вариационное исчисление.

В учебном процессе к анализу относят дифференциальное и интегральное исчисление теорию рядов (функциональных, степенных и Фурье) и многомерных интегралов векторный анализ.

Понятия предмета «математический анализ» зависит от того, в какой ситуации оно употребляется. В школьном учебнике математики говорится, что математический анализ — это «часть математики, которая изучает дифференциальное и интегральное исчисление». Авторитетный общероссийский (а еще недавно общесоюзный) реферативный журнал «РЖ математика» относит к математическому анализу , кроме того, теорию функций комплексного переменного, дифференциальные уравнения, вариационное исчисление, функциональный анализ и ряд других разделов.

Само словосочетание «математический анализ» несет в себе очень мало информации — сюда при желании можно было бы отнести, например, и аналитическую геометрию, и математическую логику. С другой стороны, интегральное исчисление можно было бы назвать не анализом, а синтезом. Впрочем, подобным образом нетрудно раскритиковать громадное число терминов, и не только математических. Попробуем все же установить, что в современной математике выделяется термином математический анализ.

Думаю, главной особенностью математического анализа в сравнении с другими областями математики является метод предельного перехода и связанный с этим аппроксимативный подход (т.е. использование приближенных выражений, допускающих любую степень точности). Недаром греческая буква Математический анализ (эпсилон) — точность аппроксимации — занимает такое почетное место в математическом анализе. Имея это в виду, попробуем дать короткое и, разумеется, не исчерпывающее, определение: математический анализ — это раздел математики, изучающий и применяющий (очень разнообразно применяющий) понятие предела.

Комплексные числа

Определение 1.1. Многочленом (полиномом) степени решение задач по математическому анализу с действительными коэффициентами называется любое выражение вида

решение задач по математическому анализу

где решение задач по математическому анализу;

решение задач по математическому анализу— переменная.

Корнем многочлена (1.1) называется любое число решение задач по математическому анализу такое, что

решение задач по математическому анализу

Нетрудно заметить, что некоторые многочлены вообще не имеют действительных корней, например:

решение задач по математическому анализу

Расширим множество действительных чисел. Добавим к этому множеству символ решение задач по математическому анализу, такой что решение задач по математическому анализу (решение задач по математическому анализу называется мнимой единицей). Тогда ±решение задач по математическому анализу — два корня уравнения решение задач по математическому анализу.

Определение 1.2. Множеством комплексных чисел называется множество решение задач по математическому анализу.

Суммой двух комплексных чисел решение задач по математическому анализу называется число

решение задач по математическому анализу

Произведением двух комплексных чисел решение задач по математическому анализу называется число

решение задач по математическому анализу

Для числа решение задач по математическому анализу число а называется действительной частью, число b — мнимой частью. Обозначения:

решение задач по математическому анализу

Относительно операций «+» и « • » комплексные числа С обладают такими же свойствами, как и действительные числа. Эти операции коммутативны и ассоциативны; для них существуют обратные операции: вычитание и деление (кроме деления на 0).

Возможно эта страница вам будет полезна:

Предмет математический анализ

Задачи с решением:

Задача №1.1

Найти решение задач по математическому анализу.

Решение:

решение задач по математическому анализу

Теорема 1.1 (основная теорема алгебры). Любое уравнение вида (1.2) имеет решение во множестве С.

Задача №1.2

Решить уравнение решение задач по математическому анализу

Решение:

решение задач по математическому анализу

Определение 1.3. Для комплексного числа решение задач по математическому анализу число решение задач по математическому анализу называется комплексно-сопряженным, число решение задач по математическому анализу называется модулем решение задач по математическому анализу

решение задач по математическому анализу

Если рассмотреть плоскость с декартовой системой координат решение задач по математическому анализу и на оси решение задач по математическому анализу отложить решение задач по математическому анализу — действительную часть решение задач по математическому анализу, а на оси решение задач по математическому анализу — мнимую часть решение задач по математическому анализу, то получим взаимно однозначное соответствие между множеством С всех комплексных чисел и множеством точек плоскости.

Такая плоскость называется комплексной плоскостью, рис. 1.1.

При этом решение задач по математическому анализу — длина радиуса-вектора точки решение задач по математическому анализу.

решение задач по математическому анализу

Определение 1.4. Аргументом комплексного числа решение задач по математическому анализу называется угол решение задач по математическому анализу, который образует радиус-вектор точки решение задач по математическому анализу с положительным направлением оси решение задач по математическому анализу Аргумент будем обозначать решение задач по математическому анализу. Аргумент определен с точностью до решение задач по математическому анализу. При этом значение решение задач по математическому анализу называется главным и обозначается решение задач по математическому анализу.

Замечание. решение задач по математическому анализу

При этом

решение задач по математическому анализу

Если решение задач по математическому анализу — аргумент решение задач по математическому анализу, to решение задач по математическому анализу представляется в виде

решение задач по математическому анализу

тригонометрическая форма комплексного числа.

Теорема 1.2. Пусть решение задач по математическому анализу.

Тогда

решение задач по математическому анализу

Доказательство

решение задач по математическому анализу

Из формул (1.5) следует, в частности, что

решение задач по математическому анализу — формула Муавра.

Задача №1.3

решение задач по математическому анализу. Представить числа решение задач по математическому анализу в тригонометрической форме.

Решение:

решение задач по математическому анализу четверти,

поэтому по формуле (1.3)

решение задач по математическому анализу

Тогда по формуле (1.4)

решение задач по математическому анализу

поэтому по формуле (1.3)

решение задач по математическому анализу

Тогда решение задач по математическому анализу.

решение задач по математическому анализу

поэтому по формуле (1.3)

решение задач по математическому анализу

Тогда по формуле (1.4)

решение задач по математическому анализу

Из формул (1.5), (1.6) видно, что аргумент (р комплексного числа z при умножении, делении, возведении в степень ведет себя как показатель степени. Обозначим

решение задач по математическому анализу

решение задач по математическому анализу — формула Эйлера. (1.7)

Тогда из теоремы 1.2 следует, что

решение задач по математическому анализу

Учитывая (1.7), формулу (1.4) для решение задач по математическому анализу можно переписать в виде решение задач по математическому анализу -показательная форма комплексного числа.

Задача №1.4

Вычислить решение задач по математическому анализу

Решение:

Согласно задаче 1.3

решение задач по математическому анализу

Поэтому

решение задач по математическому анализу

Определение 1.5. Корнем решение задач по математическому анализу-й степени из числа решение задач по математическому анализу называется такое число решение задач по математическому анализу, что решение задач по математическому анализу, при этом решение задач по математическому анализу обозначается решение задач по математическому анализу Таким образом

решение задач по математическому анализу

Из формулы (1.8) видно что решение задач по математическому анализу корней n-й степени из числа решение задач по математическому анализу, при этом, если решение задач по математическому анализу, то

решение задач по математическому анализу

Задача №1.5

Найти решение задач по математическому анализу.

Решение:

решение задач по математическому анализу, тогда по формуле (1.9)

решение задач по математическому анализу

Пределы числовых последовательностей

Определение 2.1. Пусть решение задач по математическому анализу — множества произвольной природы и каждому элементу решение задач по математическому анализу поставлен в соответствие некоторый элемент решение задач по математическому анализу. Такое соответствие называется функцией. Обозначим его решение задач по математическому анализу или решение задач по математическому анализу При этом множество решение задач по математическому анализу называется областью определения решение задач по математическому анализу функции решение задач по математическому анализу, а множество решение задач по математическому анализу называется областью значений решение задач по математическому анализу функции решение задач по математическому анализу, рис. 2.1.

решение задач по математическому анализу

Задачи с решением:

Задача №2.1

решение задач по математическому анализу — множество всех неотрицательных чисел из R.

решение задач по математическому анализу

Определение 2.2. Числовой последовательностью называется произвольная функция решение задач по математическому анализу. При этом числа решение задач по математическому анализу из области значений решение задач по математическому анализу обозначаются: решение задач по математическому анализу. Число решение задач по математическому анализу называется решение задач по математическому анализу-м членом последовательности.

Для задания последовательности достаточно задать решение задач по математическому анализу.

Задача №2.2

решение задач по математическому анализу. Подставив решение задач по математическому анализу,… получим

решение задач по математическому анализу

Определение 2.3. Число а называется пределом числовой последовательности решение задач по математическому анализу, если решение задач по математическому анализу существует число решение задач по математическому анализу такое что решение задач по математическому анализу выполняется неравенство решение задач по математическому анализу. Более коротко будем записывать это определение в виде

решение задач по математическому анализу

Последовательности, имеющие предел, называются сходящимися, а не имеющие предела — расходящимися.

Задача №2.3

Доказать, что решение задач по математическому анализу.

Доказательство

Пусть решение задач по математическому анализу. Рассмотрим цепочку эквивалентных неравенств

решение задач по математическому анализу

Пусть решение задач по математическому анализу — натуральное число, большее решение задач по математическому анализу, например решение задач по математическому анализу тогда решение задач по математическому анализу удовлетворяет соотношению (2.1), что и требовалось доказать.

Геометрически равенство решение задач по математическому анализу означает, что решение задач по математическому анализу все члены последовательности решение задач по математическому анализу, начиная с номера решение задач по математическому анализу, попадают в решение задач по математическому анализу -окрестность решение задач по математическому анализу точки решение задач по математическому анализу (рис. 2.2).

решение задач по математическому анализу

Например, для последовательности решение задач по математическому анализу из задачи 2.3, если решение задач по математическому анализу

Определение 2.4. Последовательность решение задач по математическому анализу называется ограниченной, если решение задач по математическому анализу, такое что решение задач по математическому анализу.

Теорема 2.1 (необходимый признак сходимости последовательности).

Если последовательность сходится, то она ограничена.

Доказательство

Из соотношений (2.1) следует, что все члены сходящейся последовательности после номера решение задач по математическому анализу лежат в интервале решение задач по математическому анализу, далее доказательство очевидно.

Определение 2.5. Последовательность решение задач по математическому анализу называется бесконечно большой, если решение задач по математическому анализу.

Говорят, что бесконечно большая последовательность имеет предел решение задач по математическому анализу, и пишут решение задач по математическому анализу.

Если все члены бесконечно большой последовательности, начиная с некоторого номера, становятся положительными, то есть

решение задач по математическому анализу

то пишут решение задач по математическому анализу.

Если все члены бесконечно большой последовательности, начиная с некоторого номера, становятся отрицательными, то есть

решение задач по математическому анализу

то пишут решение задач по математическому анализу.

Задача №2.4

решение задач по математическому анализу

Бесконечно большие последовательности не являются сходящимися и отличаются по своим свойствам от свойств сходящихся последовательностей.

Определение 2.6. Числовая последовательность называется возрастающей (убывающей), если

решение задач по математическому анализу

Возрастающие (убывающие) последовательности называются строго монотонными.

Числовая последовательность называется неубывающей (невозрастающей), если

решение задач по математическому анализу

Неубывающие (невозрастающие) последовательности называются монотонными.

Задача №2.5

1. решение задач по математическому анализу. При решение задач по математическому анализу имеем

решение задач по математическому анализу — возрастающая последовательность.

2. Последовательность

решение задач по математическому анализу

последовательных приближений к числу решение задач по математическому анализу — неубывающая последовательность.

Теорема 2.2. (достаточный признак сходимости последовательности). Монотонная ограниченная последовательность сходится.

Задача №2.6

Рассмотрим последовательность решение задач по математическому анализу. Она монотонно возрастает и ограничена, следовательно — сходится:

решение задач по математическому анализу

решение задач по математическому анализу — трансцендентное число, служащее основанием натурального логарифма: решение задач по математическому анализу.

Определение 2.7. Суммой, разностью, произведением, частным последовательностей решение задач по математическому анализу и будем называть последовательности, решение задач по математическому анализу-й член которых равен соответственно:

решение задач по математическому анализу

Теорема 2.3. Пусть последовательности решение задач по математическому анализу сходятся и решение задач по математическому анализу — постоянное число. Тогда

решение задач по математическому анализу

Доказательство

Докажем, например, формулу решение задач по математическому анализу Так как последовательность решение задач по математическому анализу сходится, то она ограничена, то есть решение задач по математическому анализу число решение задач по математическому анализу, такое что решение задач по математическому анализу. Пусть

решение задач по математическому анализу

Так как последовательность решение задач по математическому анализу сходится, то решение задач по математическому анализу, такой что при

решение задач по математическому анализу

Так как последовательность решение задач по математическому анализу сходится, то решение задач по математическому анализу, такой что при решение задач по математическому анализу (считаем, что решение задач по математическому анализу; если решение задач по математическому анализу, то второго слагаемого в формуле (2.3) нет).

Пусть решение задач по математическому анализу Тогда из (2.3) при решение задач по математическому анализу следует

решение задач по математическому анализу

что и требовалось доказать.

Определение 2.8. Пусть решение задач по математическому анализу, тогда последовательность решение задач по математическому анализу называется бесконечно малой. Пусть решение задач по математическому анализу — бесконечно малые последовательности. Тогда решение задач по математическому анализу называется неопределенностью вида решение задач по математическому анализу.

Вычисление таких пределов называется раскрытием неопределенности. Аналогично определяются неопределенности вида решение задач по математическому анализу.

Задача №2.7

решение задач по математическому анализу

Задача №2.8

решение задач по математическому анализу

Задача №2.9

решение задач по математическому анализу

Задача №2.10

решение задач по математическому анализу

Теорема 2.4. а. Пусть последовательность решение задач по математическому анализу — бесконечно малая решение задач по математическому анализу. Тогда последовательность решение задач по математическому анализу — бесконечно большая решение задач по математическому анализу.

б. Пусть последовательность решение задач по математическому анализу — бесконечно большая решение задач по математическому анализу, тогда последовательность решение задач по математическому анализу — бесконечно малая.

Задача №2.11

решение задач по математическому анализу

Теорема 2.5. (о трех последовательностях).

Пусть решение задач по математическому анализу тогда решение задач по математическому анализу сходится и решение задач по математическому анализу.

Определение 2.9. Последовательность решение задач по математическому анализу имеет предел при решение задач по математическому анализу, если решение задач по математическому анализу.

Легко видеть, что число а в определении 2.9 единственно, поэтому определения 2.3 и 2.9 эквивалентны.

Из определения 2.9 следует, что последовательность решение задач по математическому анализу — расходящаяся (не имеет предела), если

решение задач по математическому анализу

Пределы функций

Определение 3.1. решение задач по математическому анализу-окрестностью точки решение задач по математическому анализу называется множество решение задач по математическому анализу — рис. 3.1.

решение задач по математическому анализу

Выколотой решение задач по математическому анализу-окрестностью точки решение задач по математическому анализу называется множество решение задач по математическому анализу, рис 3.2.

решение задач по математическому анализу

Левой выколотой решение задач по математическому анализу-окрестностью точки решение задач по математическому анализу называется множество решение задач по математическому анализу, рис. 3.3.

решение задач по математическому анализу

Правой выколотой решение задач по математическому анализу-окрестностью точки решение задач по математическому анализу называется множество решение задач по математическому анализу, рис. 3.4.

решение задач по математическому анализу

Окрестности точек необходимы для того, чтобы строго определить понятие близости точек и понятие предела функции.

Определение 3.2. Число А называется пределом функции решение задач по математическому анализу при решение задач по математическому анализу (пишут решение задач по математическому анализу), если

решение задач по математическому анализу

такое, что

решение задач по математическому анализу

С учетом определения 3.1 вместо (3.1) можно записать

решение задач по математическому анализу

Задачи с решением:

Задача №3.1

Рассмотрим функцию решение задач по математическому анализу

Докажем, что решение задач по математическому анализу.

решение задач по математическому анализу

Пусть решение задач по математическому анализу и решение задач по математическому анализу, тогда решение задач по математическому анализу, поэтому при решение задач по математическому анализу соотношение (3.2) будет выполняться.

Определение 3.2 подразумевает, что функция решение задач по математическому анализу определена в некоторой окрестности точки решение задач по математическому анализу (или в выколотой окрестности точки решение задач по математическому анализу) и называется определением предела функции по Коши.

Определение 3.3 (предел функции по Гейне).

Число А называется пределом функции решение задач по математическому анализу при решение задач по математическому анализу, если решение задач по математическому анализу последовательности решение задач по математическому анализу такой, что решение задач по математическому анализупоследовательность решение задач по математическому анализу сходится и решение задач по математическому анализу.

При этом пишут решение задач по математическому анализу

Задача №3.2

решение задач по математическому анализу

По Коши решение задач по математическому анализу записывается в виде

решение задач по математическому анализу

Теорема 3.1. Определения 3.2 и 3.3 эквивалентны.

Определение 3.4. Число А называется левым пределом функции решение задач по математическому анализу при решение задач по математическому анализу (пишут решение задач по математическому анализу или решение задач по математическому анализу.

если

решение задач по математическому анализу

Число А называется правым пределом функции решение задач по математическому анализу при решение задач по математическому анализу решение задач по математическому анализу, если

решение задач по математическому анализу

Задача №3.3

Рассмотрим функцию сигнум (signum — знак):

решение задач по математическому анализу

Тогда решение задач по математическому анализу

Теорема 3.2. Пусть функция решение задач по математическому анализу определена в некоторой окрестности решение задач по математическому анализу точки решение задач по математическому анализу или в выколотой окрестности решение задач по математическому анализу и решение задач по математическому анализу

Пусть решение задач по математическому анализу. Тогда решение задач по математическому анализу

Доказательство

Пусть решение задач по математическому анализу, тогда по определению 3.4 решение задач по математическому анализу такие, что

решение задач по математическому анализу

Поэтому, если решение задач по математическому анализу, что и требовалось доказать.

Теорема 3.3. Пусть решение задач по математическому анализу, тогда

решение задач по математическому анализу

Доказательство

Следует из теоремы 2.3. Докажем, например, что решение задач по математическому анализу.

Пусть решение задач по математическому анализу — произвольная последовательность, такая что решение задач по математическому анализу и решение задач по математическому анализу. Тогда по определению 3.3

решение задач по математическому анализу

далее по теореме 2.3 решение задач по математическому анализу с учетом определения 3.3 решение задач по математическому анализу, что и требовалось доказать.

Теорема 3.4. Пусть функции решение задач по математическому анализу определены в некоторой выколотой окрестности решение задач по математическому анализу точки решение задач по математическому анализу. Предположим, что

решение задач по математическому анализу

Тогда

решение задач по математическому анализу

Доказательство легко получается, если использовать определение предела по Гейне и теорему 2.5 о трех последовательностях (доказать самостоятельно)

Определение 3.5. Функция решение задач по математическому анализу называется бесконечно большой в точке решение задач по математическому анализу, если решение задач по математическому анализу такое, что

решение задач по математическому анализу

При этом пишут решение задач по математическому анализу. Аналогично определяются бесконечно-большие функции при решение задач по математическому анализу (справа и слева в точке решение задач по математическому анализу).

Возможно эта страница вам будет полезна:

Методическое пособие по математическому анализу

Задача №3.4

решение задач по математическому анализу

Определение 3.6. Функция решение задач по математическому анализу называется бесконечно малой в точке решение задач по математическому анализу, если решение задач по математическому анализу.

Пусть решение задач по математическому анализу — две бесконечномалые функции в точке решение задач по математическому анализу — Тогда решение задач по математическому анализу называется неопределенностью типа решение задач по математическому анализу. Нахождение таких пределов называется раскрытием неопределенности.

Аналогично раскрываются неопределенности типа решение задач по математическому анализу.

Задача №3.5

решение задач по математическому анализу

Задача №3.6

решение задач по математическому анализу

Пусть решение задач по математическому анализу,тогда решение задач по математическому анализу.

Пусть решение задач по математическому анализу, тогда решение задач по математическому анализу.

Задача №3.7

решение задач по математическому анализу

Рассмотрим дробно-рациональную функцию

решение задач по математическому анализу

Тогда решение задач по математическому анализу.

Задача №3.8

решение задач по математическому анализу

Задача №3.9

решение задач по математическому анализу

Задача №3.10

решение задач по математическому анализу

Задача №3.11

решение задач по математическому анализу

Определение 3.7. Функция решение задач по математическому анализу имеет предел при решение задач по математическому анализу, если решение задач по математическому анализу такое что решение задач по математическому анализу, такое что

решение задач по математическому анализу

Легко видеть, что А в определении 3.7 единственно, поэтому определения 3.2 и 3.7 эквивалентны.

Из определения 3.7 следует, что функция решение задач по математическому анализу не имеет предела при решение задач по математическому анализу, если

решение задач по математическому анализу

удовлетворяющий условию решение задач по математическому анализу, для которого выполнено условие решение задач по математическому анализу.

Теорема 3.5. (критерий Коши). Для того чтобы решение задач по математическому анализу имела предел при решение задач по математическому анализу, необходимо и достаточно, чтобы

решение задач по математическому анализу

такое что

решение задач по математическому анализу

Из теоремы следует, что функция решение задач по математическому анализу не имеет предела при решение задач по математическому анализу, если

решение задач по математическому анализу

Теоремы о пределах

Теорема 4.1.

решение задач по математическому анализу — первый замечательный предел. (4.1)

Доказательство

Докажем, что решение задач по математическому анализу. Пусть решение задач по математическому анализу. Рассмотрим круг единичного радиуса и центральный угол в решение задач по математическому анализу радиан, рис. 4.1.

математический анализ

Тогда

математический анализ

Так как радиус круга равен 1, то

математический анализ

поэтому

математический анализ

Так как математический анализ, то по теореме математический анализ.

Аналогично

математический анализ (по теореме 3.2).

Возможно эта страница вам будет полезна:

Помощь по математическому анализу — решение задач и заданий на заказ

Задачи с решением:

Задача №4.1

математический анализ

Из (4.1) следует, что

математический анализ

При этом если математический анализ — бесконечно малая функция при математический анализ, то

математический анализ

Задача №4.2

математический анализ

Задача №4.3

математический анализ

Задача №4.4

математический анализ

Теорема 4.2.

математический анализ — второй замечательный предел. (4.2)

Формула (4.2) аналогична формуле (2.2). Верны также формулы

математический анализ

Формулы (4.4) и (4.5) следуют из (4.3).

Докажем, например, (4.4):

математический анализ

Задача №4.5

математический анализ

Задача №4.6

математический анализ

Задача №4.7

математический анализ

Задача №4.8

математический анализ

Определение 4.1. Пусть математический анализ — бесконечно малые функции при математический анализ. Пусть математический анализ, тогда математический анализ называется бесконечно малой более высокого порядка малости, чем математический анализ при математический анализ. При этом пишут математический анализ, (о — «о — малое»).

Пусть математический анализ, тогда математический анализ — бесконечно малые одного порядка малости при математический анализ. А если математический анализ, то математический анализ и математический анализ эквивалентные бесконечно малые при математический анализ. При этом пишут математический анализ при математический анализ.

Задача №4.9

математический анализ

Аналогично математический анализ, математический анализ. Все эквивалентности при математический анализ.

Пусть математический анализ

математический анализ

математический анализ. Поэтому, согласно задаче 4.9:

математический анализ

Все равенства при математический анализ.

Теорема 4.3. Пусть математический анализ при математический анализ — произвольная функция и пусть математический анализ, тогда математический анализ и эти пределы равны.

Действительно,

математический анализ

Задача №4.10

Найти математический анализ.

Решение:

математический анализ

Тогда, согласно теореме 3.3:

математический анализ

Непрерывность функции

Определение 5.1. Пусть функция математический анализ определена в некоторой окрестности математический анализ точки математический анализ непрерывна в точке математический анализ, если

математический анализ

Функция математический анализ непрерывна на множестве X если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Точка, в которой функция не является непрерывной, называется точкой разрыва.

Задачи с решением:

Задача №5.1

Функция

математический анализ

дробно-рациональная функция, непрерывная во всех точках из области определения (кроме точек, где знаменатель равен 0).

Задача №5.2

Функции математический анализ непрерывны математический анализ.

математический анализ

Функция математический анализ непрерывна математический анализ.

Функция математический анализ непрерывна математический анализ.

математический анализ

Функция математический анализ непрерывна математический анализ,

математический анализ непрерывна математический анализ.

математический анализ

Функция математический анализ — непрерывна математический анализ из области ее определения.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Математический анализ для 1 курса

Задача №5.3

Рассмотрим функцию Дирихле:

математический анализ — множество рациональных чисел. Она разрывна математический анализ.

Определение 5.2. Функция математический анализ называется непрерывной слева (справа) в точке математический анализ, если математический анализ

Задача №5.4

Единичная функция Хевисайда:

математический анализ непрерывна справа в точке математический анализ.

математический анализ

Теорема 5.1. Пусть функции математический анализ непрерывны в точке математический анализ. Тогда и функции математический анализ непрерывны в точке математический анализ. Если математический анализ — также непрерывны в точке математический анализ.

Доказательство следует из теоремы 3.3 и определения 5.1.

Определение 5.3. Пусть функция математический анализ определена на множестве математический анализ со значениями во множестве математический анализ и функция математический анализ определена на множестве математический анализ со значениями во множестве математический анализ. Тогда функцию математический анализ будем называть сложной функцией математический анализ (композицией функций математический анализ), рис. 5.7.

математический анализ

Теорема 5.2. Пусть функция математический анализ непрерывна в точке математический анализ и функция математический анализ непрерывна в точке математический анализ. Тогда сложная функция математический анализ непрерывна в точке математический анализ.

Доказательство следует из определения 3.2 и определения 5.1.

Задача №5.5

Исследовать на непрерывность функцию

математический анализ

в зависимости от значений математический анализ.

Решение:

Функция математический анализ непрерывна математический анализ (как композиция двух непрерывных функций математический анализ и математический анализ (см. теорему 5.2)).

По теореме 5.1 математический анализ непрерывна математический анализ. Найдем

математический анализ

Поэтому при математический анализ функция непрерывна математический анализ. При математический анализ разрывна в точке математический анализ и непрерывна математический анализ.

Определение 5.4. Пусть функция математический анализ определена в некоторой окрестности математический анализ точки математический анализ, кроме, может быть, самой точки математический анализ. Пусть математический анализ -точка разрыва функции математический анализ и при этом существуют конечные пределы математический анализ. Тогда точка математический анализ называется точкой разрыва 1-го рода функции математический анализ. При этом математический анализ называется скачком функции. Если скачок равен 0, то разрыв называется устранимым.

Задача №5.6

Для функции

математический анализ

(см. задача 3.1), точка математический анализ — точка устранимого разрыва.

Для функции математический анализ (см. упражнение 3.4) математический анализ — точка устранимого разрыва.

Для функции математический анализ (см. теорему 4.1) математический анализ — точка устранимого разрыва.

Для функции математический анализ (см. упражнение 5.2) математический анализ— точка устранимого разрыва.

Для функции математический анализ (см. задача 3.3) математический анализ — точка разрыва 1-го рода. Разрыв — неустранимый. Скачок функции в точке математический анализ равен 2.

Для единичной функции Хевисайда математический анализ(см. задача 5.4) математический анализ — точка разрыва 1-го рода. Разрыв — неустранимый. Скачок функции в точке математический анализ равен 1.

Определение 5.5. Пусть функция математический анализ определена в некоторой окрестности математический анализ точки математический анализ, кроме, может быть, самой точки х0. Точка математический анализ называется точкой разрыва 2-го рода функции математический анализ, если хотя бы один из односторонних пределов математический анализ равен математический анализ или не существует.

Задача №5.7

Для функций математический анализ (см. задача 3.2) математический анализ — точка разрыва 2-го рода. Для функции математический анализ (см. упражнение 3.4) математический анализ — точка разрыва 2-го рода.

Для функций математический анализ (см. упражнения 3.7, 3.8) математический анализ — точка разрыва 2-го рода. Точки математический анализ — точки разрыва 1-го рода. Разрывы неустранимые.

Для функции математический анализ (см. упражнение 5.1) математический анализ — точка разрыва 2-го рода. Для функции Дирихле математический анализ (см. задачу 5.3) любая точка математический анализ — точка разрыва 2-го рода.

Задача №5.8

Исследовать на непрерывность и найти точки разрыва функции математический анализ, рис. 5.8.

математический анализ

Решение:

Функция — дробно-рациональная. Непрерывна везде, кроме точек, где знаменатель обращается в ноль: математический анализ.

Рассмотрим точку математический анализ.

математический анализ

математический анализ — точка устранимого разрыва.

Рассмотрим точку математический анализ.

математический анализ

математический анализ — точка разрыва 2-го рода.

Задача №5.9

Исследовать на непрерывность и определить тип точек разрыва для функции:

математический анализ

Решение:

Функции математический анализ непрерывны математический анализ, поэтому и наша функция непрерывна везде, кроме, может быть, точек математический анализ. Слева и справа от точек математический анализ функция задается различными аналитическими выражениями.

Пусть математический анализ.

математический анализ

то есть

математический анализ

поэтому функция непрерывна в точке математический анализ.

Пусть математический анализ.

математический анализ

то есть

математический анализ — точка разрыва 1-го рода (см. определение 5.3). Разрыв — неустранимый, скачок функции равен 1.

математический анализ

Задача №5.10

Исследовать на непрерывность функцию математический анализ, рис. 5.10.

математический анализ — точки разрыва функции.

математический анализ

Решение:

математический анализ — точка разрыва 1-го рода. Разрыв неустранимый, скачок функции равен -2.

математический анализ — точка разрыва 2-го рода.

Задача №5.11

Определить тип точек разрыва функции математический анализ в зависимости от значений параметра математический анализ.

Решение:

математический анализ — точка разрыва функции. Найдем математический анализ.

1. Если математический анализ, то математический анализ — точка разрыва 2-го рода.

2. Если математический анализ, то

математический анализ — точка устранимого разрыва.

Производная функции

Определение 6.1. Пусть функция математический анализ определена в некоторой окрестности математический анализ точки математический анализ и существует математический анализ.

Этот предел называется производной функции в точке математический анализ и обозначается математический анализ.

Таким образом:

математический анализ

Обозначим математический анализ, тогда (6.1) перепишется в виде

математический анализ

Другие обозначения производной: математический анализ

Задачи с решением:

Задача №6.1

математический анализ. Найти математический анализ.

Решение:

По формуле (6.2)

математический анализ

Таким образом, математический анализ. Аналогично математический анализ.

Задача №6.2

математический анализ. Найти математический анализ.

Решение:

математический анализ

Таким образом, математический анализ. Аналогично математический анализ.

Определение 6.2. Функция математический анализ называется дифференцируемой в точке математический анализ, если ее приращение математический анализ представляется в виде

математический анализ

где А — постоянное число, не зависящее от математический анализ;

математический анализ — бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем математический анализ, при математический анализ.

Теорема 6.1. Для того чтобы математический анализ была дифференцируема в точке математический анализ необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала производная математический анализ. При этом математический анализ и формула (6.3) перепишется в виде

математический анализ

Докозательство

Рассмотрим цепочку эквивалентных утверждений:

математический анализ

что и требовалось доказать.

Определение 6.3. Пусть функция математический анализ дифференцируема в точке математический анализ

Дифференциалом математический анализ функции математический анализ в точке х0 будем называть линейную относительно математический анализ функцию вида

математический анализ

то есть

математический анализ

Для функции математический анализ. Поэтому формулу (6.6) можно переписать в виде

математический анализ

Теорема 6.2. Если функция математический анализ была дифференцируема в точке математический анализ, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство

Рассмотрим цепочку эквивалентных утверждений:

математический анализ

что и требовалось доказать.

Теорема 6.3. Пусть функции математический анализ — дифференцируемы, математический анализ.

Тогда:

1) математический анализ также дифференцируема и

математический анализ

2) математический анализ дифференцируема и

математический анализ

3) математический анализ дифференцируема в точках, где математический анализ и

математический анализ

Доказательство

Докажем, например, формулу (6.9).

математический анализ

что и требовалось доказать.

Из формул (6.8)—(6.10), с учетом (6.7), получим

математический анализ

Возможно эта страница вам будет полезна:

Сборники и решебники задач по математическому анализу

Задача №6.3

Задачи по математическому анализу с решением. Найти Задачи по математическому анализу с решением.

Решение:

Задачи по математическому анализу с решением

Аналогично Задачи по математическому анализу с решением.

Теорема 6.4. Пусть функции Задачи по математическому анализу с решением) дифференцируемы.

Тогда и сложная функция Задачи по математическому анализу с решением дифференцируема и

Задачи по математическому анализу с решением

Доказательство

Пусть Задачи по математическому анализу с решением.

Задачи по математическому анализу с решением

что и требовалось доказать.

Задача №6.4

Найти производную Задачи по математическому анализу с решением.

Решение:

Данная функция представляется как композиция функций

Задачи по математическому анализу с решением

Тогда по формуле (6.11)

Задачи по математическому анализу с решением

Найдем дифференциал функции Задачи по математическому анализу с решением. По формуле (6.7)

Задачи по математическому анализу с решением

С другой стороны, с учетом формулы (6.11)

Задачи по математическому анализу с решением

Формулы (6.12) и (6.13) показывают инвариантность (неизменяемость) формы дифференциала. В формуле (6.12) Задачи по математическому анализу с решением, в формуле (6.13) Задачи по математическому анализу с решением -дифференциал функции Задачи по математическому анализу с решением. Например, для функции

Задачи по математическому анализу с решением

где Задачи по математическому анализу с решением,

Задачи по математическому анализу с решением

где Задачи по математическому анализу с решением.

Задача №6.5

Найти производную функции Задачи по математическому анализу с решением.

Решение:

Задачи по математическому анализу с решением

Таким образом

Задачи по математическому анализу с решением

Задача №6.6

Задачи по математическому анализу с решением

Задачи по математическому анализу с решением. Найти Задачи по математическому анализу с решением.

Решение:

По формуле (6.14)

Задачи по математическому анализу с решением

Задача №6.7

Найти производную функции Задачи по математическому анализу с решением.

Решение:

Задачи по математическому анализу с решением

Таким образом,

Задачи по математическому анализу с решением

в частности: Задачи по математическому анализу с решением.

Задача №6.8

Задачи по математическому анализу с решением. Найти Задачи по математическому анализу с решением.

Решение:

По формуле (6.9)

Задачи по математическому анализу с решением

Определение 6.4. Пусть функция Задачи по математическому анализу с решением определена на множестве Задачи по математическому анализу с решением со значениями во множестве Задачи по математическому анализу с решением и такова, что если Задачи по математическому анализу с решением, рис. 6.1. Пусть Задачи по математическому анализу с решением — множество значений функции Задачи по математическому анализу с решением. Для такой функции можно определить обратную функцию Задачи по математическому анализу с решением, определенную на множестве Задачи по математическому анализу с решением со значениями во множестве Задачи по математическому анализу с решением по правилу

Задачи по математическому анализу с решением
Задачи по математическому анализу с решением

Если Задачи по математическому анализу с решением строго монотонна на интервале Задачи по математическому анализу с решением то Задачи по математическому анализу с решением удовлетворяет условиям определения 6.4 и для нее существует обратная Задачи по математическому анализу с решением, причем если Задачи по математическому анализу с решением непрерывна, то Задачи по математическому анализу с решением также непрерывна; если Задачи по математическому анализу с решением дифференцируема и Задачи по математическому анализу с решением, то Задачи по математическому анализу с решением также дифференцируема в точке Задачи по математическому анализу с решением

и Задачи по математическому анализу с решением

или Задачи по математическому анализу с решением

Задача №6.9

Для функции Задачи по математическому анализу с решением, функция Задачи по математическому анализу с решением, обратная, и тогда по формуле (6.16)

Задачи по математическому анализу с решением

Задача №6.10

Для функции Задачи по математическому анализу с решением, функция Задачи по математическому анализу с решением обратная, и тогда по формуле (6.16)

Задачи по математическому анализу с решением

Таким образом, Задачи по математическому анализу с решением.

Аналогично

Задачи по математическому анализу с решением

Сводка формул

Задачи по математическому анализу с решением

Таблица производных

Задачи по математическому анализу с решением

Определение 6.5. Пусть функция Задачи по математическому анализу с решением непрерывна в точке Задачи по математическому анализу с решением и

Задачи по математическому анализу с решением

тогда Задачи по математическому анализу с решением имеет в точке Задачи по математическому анализу с решением бесконечную производную.

Производная функции, заданной параметрически

Рассмотрим плоскость с фиксированной системой координат Задачи по математическому анализу с решением. Пусть точка Задачи по математическому анализу с решением движется по плоскости, и траектория ее движения

Задачи по математическому анализу с решением

где t — время, или

Задачи по математическому анализу с решением

где Задачи по математическому анализу с решением — радиус-вектор точки М.

Предположим, что для функции Задачи по математическому анализу с решением существует обратная функция Задачи по математическому анализу с решением (например, когда Задачи по математическому анализу с решением строго монотонна). Тогда (7.1) задается также в виде Задачи по математическому анализу с решением.

Пусть Задачи по математическому анализу с решением — точка на кривой (7.1), где

Задачи по математическому анализу с решением

Предположим, что Задачи по математическому анализу с решением дифференцируемы и Задачи по математическому анализу с решением.

Тогда по формулам (6.11), (6.15)

Задачи по математическому анализу с решением

Таким образом для функции, заданной в виде (7.1), производная

Задачи по математическому анализу с решением

Задачи с решением:

Задача №6.11.1

Найти Задачи по математическому анализу с решением для функции Задачи по математическому анализу с решением

Задачи по математическому анализу с решением

Решение:

Функция Задачи по математическому анализу с решением монотонно убывает на промежутке Задачи по математическому анализу с решением. Для нее Задачи по математическому анализу с решением обратная: Задачи по математическому анализу с решением. По формуле (7.2)

Задачи по математическому анализу с решением

Кривая в задаче — параметрическое задание эллипса (верхней части), заданного уравнением Задачи по математическому анализу с решением. Если из формулы (7.3) исключить t, то получим

Задачи по математическому анализу с решением

что совпадает с производной Задачи по математическому анализу с решением.

Сводка формул

Задачи по математическому анализу с решением

Производная функции, заданной неявно

Пусть функция Задачи по математическому анализу с решением задана неявно в виде

Задачи по математическому анализу с решением

то есть Задачи по математическому анализу с решением

Дифференцируем уравнение (8.1) по Задачи по математическому анализу с решением, при этом считаем, что Задачи по математическому анализу с решением -функция от Задачи по математическому анализу с решением, получим уравнение, содержащее Задачи по математическому анализу с решением. Из полученного уравнения выражаем Задачи по математическому анализу с решением.

Задачи с решением:

Задача №8.1

Найти Задачи по математическому анализу с решением. для функции Задачи по математическому анализу с решением, заданной неявно: Задачи по математическому анализу с решением

Решение:

Задачи по математическому анализу с решением

Рассмотренное в задаче 8.1 уравнение эллипса определяет в неявном виде две функции: Задачи по математическому анализу с решением.

Если рассмотреть параметрическое уравнение эллипса

Задачи по математическому анализу с решением

то после подстановки Задачи по математическому анализу с решением и Задачи по математическому анализу с решением в формулу (8.2), получим формулу (7.3) (см. задачу п. 7.1), Задачи по математическому анализу с решением.

Задача №8.2

Найдем производную степенно-показательной функции Задачи по математическому анализу с решением где Задачи по математическому анализу с решением дифференцируемы и Задачи по математическому анализу с решением.

Решение:

Задачи по математическому анализу с решением

Геометрический и физический смысл производной

Пусть Задачи по математическому анализу с решением — прямоугольная система координат на плоскости. Рассмотрим график функции Задачи по математическому анализу с решением (множество точек с координатами Задачи по математическому анализу с решением. Пусть Задачи по математическому анализу с решением — точки на графике (рис. 9.1).

Задачи по математическому анализу с решением

Рассмотрим секущую на графике, проходящую через точки Задачи по математическому анализу с решением, тогда

Задачи по математическому анализу с решением

Задачи по математическому анализу с решением — угловой коэффициент секущей,

и

Задачи по математическому анализу с решением

Определение 9.1. Пусть функция Задачи по математическому анализу с решением дифференцируема в точке Задачи по математическому анализу с решением и Задачи по математическому анализу с решением — ее производная. Касательной к графику функции в точке Задачи по математическому анализу с решением будем называть прямую, заданную уравнением

Задачи по математическому анализу с решением

Из формулы (9.1) видно, что касательная — предельное положение секущей Задачи по математическому анализу с решением при Задачи по математическому анализу с решением.

Действительно, секущая Задачи по математическому анализу с решением задается уравнением Задачи по математическому анализу с решением (уравнение прямой, проходящей через точку Задачи по математическому анализу с решением с угловым коэффициентом Задачи по математическому анализу с решением. Так как выполняется (9.1), то уравнение Задачи по математическому анализу с решением а пределе при Задачи по математическому анализу с решением примет вид (9.2).

Таким образом, Задачи по математическому анализу с решением — угловой коэффициент касательной к кривой Задачи по математическому анализу с решением в точке Задачи по математическому анализу с решением (рис. 9.2).

Задачи по математическому анализу с решением

Определение 9.2. Пусть функция Задачи по математическому анализу с решением имеет в точке хо бесконечную производную (см. определение 6.5). Тогда касательная к графику функции в точке Задачи по математическому анализу с решением — вертикальная прямая Задачи по математическому анализу с решением.

Определение 9.3. Нормалью к графику функции Задачи по математическому анализу с решением в точке Задачи по математическому анализу с решением называется прямая, проходящая через точку Задачи по математическому анализу с решением и перпендикулярная касательной к графику в этой точке.

Если Задачи по математическому анализу с решением, то из (9.2) следует, что уравнение нормали имеет вид

Задачи по математическому анализу с решением

(так как угловые коэффициенты Задачи по математическому анализу с решением перпендикулярных прямых связаны соотношением Задачи по математическому анализу с решением).

Задачи с решением:

Задача №9.1

Задачи по математическому анализу с решением. Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке Задачи по математическому анализу с решением.

Решение:

Задачи по математическому анализу с решением, поэтому точка Задачи по математическому анализу с решением лежит на кривой; Задачи по математическому анализу с решением. Тогда по формуле (9.2)

Задачи по математическому анализу с решением — уравнение касательной.

Далее по формуле (9.3)

Задачи по математическому анализу с решением уравнение нормали.

Задача №9.2

Задачи по математическому анализу с решением. Написать уравнения касательных к кривой, проходящих через точку М.

Решение:

Задачи по математическому анализу с решением, поэтому точка М не лежит на кривой. По формуле (9.2)

Задачи по математическому анализу с решением

Так как точка М лежит на касательной, то

Задачи по математическому анализу с решением

поэтому касательные к кривой в точках Задачи по математическому анализу с решением проходят через точку М.

Тогда из (9.4)

Задачи по математическому анализу с решением — уравнения касательных.

Упражнение с решением 9.2. Рассмотрим функции Задачи по математическому анализу с решением; Задачи по математическому анализу с решением (см. упражнение 6.6). Написать уравнение касательной и нормали к графикам этих функций в точке Задачи по математическому анализу с решением.

Рассмотрим точки Задачи по математическому анализу с решением на графике функции Задачи по математическому анализу с решением. Тогда по формуле (6.6)

Задачи по математическому анализу с решением

а по формуле (9.2)

Задачи по математическому анализу с решением

приращение касательной, когда приращение независимой переменной Задачи по математическому анализу с решением равно Задачи по математическому анализу с решением, поэтому значение Задачи по математическому анализу с решением равно приращению касательной, рис. 9.3.

Задачи по математическому анализу с решением

Приращение Задачи по математическому анализу с решением функции Задачи по математическому анализу с решением отличается от Задачи по математическому анализу с решением

(см. формулу 6.4), то есть

Задачи по математическому анализу с решением

Задача №9.3

Задачи по математическому анализу с решением. Рассмотрим точки Задачи по математическому анализу с решением.

Найти Задачи по математическому анализу с решением при переходе от Задачи по математическому анализу с решением

Решение:

Задачи по математическому анализу с решением

В приближенных вычислениях Задачи по математическому анализу с решениемзаменяют на Задачи по математическому анализу с решением и получают формулу

Задачи по математическому анализу с решением

Задача №9.4

Вычислить приближенно Задачи по математическому анализу с решением.

Решение:

Задачи по математическому анализу с решением

Пусть

Задачи по математическому анализу с решением

Тогда

Задачи по математическому анализу с решением

По формуле (9.6)

Задачи по математическому анализу с решением

Поэтому Задачи по математическому анализу с решением

Пусть Задачи по математическому анализу с решением дифференцируема в точке Задачи по математическому анализу с решением и

Задачи по математическому анализу с решением — ее производная. (9.7)

Числитель дроби Задачи по математическому анализу с решением — приращение функции Задачи по математическому анализу с решением. Сама дробь задает приращение функции на единицу приращения независимой переменной Задачи по математическому анализу с решением (скорость приращения функции). Поэтому, согласно (9.7), Задачи по математическому анализу с решением — мгновенная скорость приращения функции. Если тело движется прямолинейно и Задачи по математическому анализу с решением задает время, а Задачи по математическому анализу с решением — путь, пройденный телом за время t, то Задачи по математическому анализу с решением — мгновенная скорость в момент времени Задачи по математическому анализу с решением.

Задача №9.5

Пусть Задачи по математическому анализу с решением (см. задача 9.3). Тогда

Задачи по математическому анализу с решением — путь, пройденный телом на промежутке времени [1; 1,1];

Задачи по математическому анализу с решением — средняя скорость движения на этом промежутке;

Задачи по математическому анализу с решением — мгновенная скорость в момент времени Задачи по математическому анализу с решением.

Пусть точка Задачи по математическому анализу с решением движется в пространстве, и траектория ее движения

Задачи по математическому анализу с решением

где t — время,

или Задачи по математическому анализу с решением

где Задачи по математическому анализу с решением — радиус-вектор точки М.

Концы вектора (9.9) задают траекторию движения (9.8) — годограф вектор-функции Задачи по математическому анализу с решением.

Определение 9.4. Производной векторной функции Задачи по математическому анализу с решением в точке Задачи по математическому анализу с решением называется вектор

Задачи по математическому анализу с решением

Вектор Задачи по математическому анализу с решением задает мгновенную скорость движения точки при Задачи по математическому анализу с решением;

Задачи по математическому анализу с решением

Задачи по математическому анализу с решением направлен по касательной к кривой (9.8) в точке Задачи по математическому анализу с решением.

Задача №9.6

Задачи по математическому анализу с решением — траектория движения точки,

Задачи по математическому анализу с решением

Найдем Задачи по математическому анализу с решением

Решение:

Задачи по математическому анализу с решением

Производные высших порядков

Определение 10.1. Пусть функция Задачи по математическому анализу с решением дифференцируема Задачи по математическому анализу с решением и Задачи по математическому анализу с решением — ее производная. Предположим, что Задачи по математическому анализу с решением в свою очередь дифференцируема и Задачи по математическому анализу с решением — ее производная. Она называется второй производной функции Задачи по математическому анализу с решением и обозначается Задачи по математическому анализу с решением. Таким образом:

Задачи по математическому анализу с решением

Аналогично,

Задачи по математическому анализу с решением

Другое обозначение для Задачи по математическому анализу с решением

Задачи с решением:

Задача №10.1

Задачи по математическому анализу с решением. Найти Задачи по математическому анализу с решением.

Решение:

Задачи по математическому анализу с решением (см. упражнение 6.4).

Задачи по математическому анализу с решением

Задача №10.2

Найти Задачи по математическому анализу с решением-ю производную функции Задачи по математическому анализу с решением.

Решение:

Задачи по математическому анализу с решением

Таким образом Задачи по математическому анализу с решением.

Задача №10.3

Найти Задачи по математическому анализу с решением для функции Задачи по математическому анализу с решением, заданной неявно:

Задачи по математическому анализу с решением

Решение:

Задачи по математическому анализу с решением (см. задача 8.1).

Задачи по математическому анализу с решением

Упражнение с решением 10.3. Найти Задачи по математическому анализу с решением для функции Задачи по математическому анализу с решением, заданной уравнением

Задачи по математическому анализу с решением

Пусть функция Задачи по математическому анализу с решением задана параметрически в виде

Задачи по математическому анализу с решением

Пусть Задачи по математическому анализу с решением дважды дифференцируемы и Задачи по математическому анализу с решением. Тогда (см. п. 7.2)

Задачи по математическому анализу с решением

первая производная функции Задачи по математическому анализу с решением.

Рассуждая аналогично п. 7:

Задачи по математическому анализу с решением — вторая производная функции.

При этом

Задачи по математическому анализу с решением

поэтому формула (10.1) перепишется в виде

Задачи по математическому анализу с решением

Задача №10.4

Найти Задачи по математическому анализу с решением для функции Задачи по математическому анализу с решением, заданной параметрически в виде

Задачи по математическому анализу с решением

Решение:

По формуле (7.3)

Задачи по математическому анализу с решением

Далее, по формуле (10.1)

Задачи по математическому анализу с решением

Теорема 10.1. Пусть Функции Задачи по математическому анализу с решением раз дифференцируемы, тогда

Задачи по математическому анализу с решением
Задачи по математическому анализу с решением

формула Лейбница, где Задачи по математическому анализу с решением: в частности:

Задачи по математическому анализу с решением

Задача №10.5

Задачи по математическому анализу с решением. Найти Задачи по математическому анализу с решением.

Решение:

По формуле (10.3):

Задачи по математическому анализу с решением

остальные слагаемые равны 0.

Далее

Задачи по математическому анализу с решением

поэтому

Задачи по математическому анализу с решением

Определение 10.2. Пусть функция Задачи по математическому анализу с решением дифференцируема и Задачи по математическому анализу с решением — ее дифференциал. Зафиксируем Задачи по математическому анализу с решением и будем рассматривать Задачи по математическому анализу с решением как функцию одной переменной Задачи по математическому анализу с решением. Дифференциал от дифференциала Задачи по математическому анализу с решением функции Задачи по математическому анализу с решением будем называть вторым дифференциалом этой функции и обозначать Задачи по математическому анализу с решением. Таким образом:

Задачи по математическому анализу с решением

Аналогично

Задачи по математическому анализу с решением

Преобразуем формулы (10.4) и (10.5):

Задачи по математическому анализу с решением

To есть

Задачи по математическому анализу с решением

При вычислении Задачи по математическому анализу с решением приращение независимой переменной берем равным первоначальному приращению Задачи по математическому анализу с решением.

Задача №10.6

Задачи по математическому анализу с решением. Найти Задачи по математическому анализу с решением.

Решение:

Задачи по математическому анализу с решением

Свойство инвариантности верное для первого дифференциала не выполняется для второго.

Например, для функции Задачи по математическому анализу с решением из задачи 10.6 имеем Задачи по математическому анализу с решением;

Задачи по математическому анализу с решением

Тогда для первого дифференциала

Задачи по математическому анализу с решением

но

Задачи по математическому анализу с решением

Таким образом

Задачи по математическому анализу с решением

Если Задачи по математическому анализу с решением, то для функции Задачи по математическому анализу с решением верна формула

Задачи по математическому анализу с решением

Если функции Задачи по математическому анализу с решением раз дифференцируемы, то для Задачи по математическому анализу с решением верны формулы, аналогичные формулам (10.2), (10.3). В частности:

Задачи по математическому анализу с решением

Свойства непрерывных функций

Определение 11.1. Пусть Задачи по математическому анализу с решением — подмножество во множестве действительных чисел Задачи по математическому анализу с решением называется ограниченным сверху (снизу), если Задачи по математическому анализу с решением такое число Задачи по математическому анализу с решением что выполняется неравенство Задачи по математическому анализу с решением.

При этом Задачи по математическому анализу с решением называется верхней (нижней) гранью множества Задачи по математическому анализу с решением. Наименьшая из всех возможных верхних граней множества X называется точной верхней гранью множества X и обозначается Задачи по математическому анализу с решением (латинское supremum (супремум) — наивысшее). Наибольшая из всех возможных нижних граней множества X называется точной нижней гранью множества X и обозначается Задачи по математическому анализу с решением (латинское infimum (инфимум) — наинизшее).

Задачи с решением:

Задача №11.1

Задачи по математическому анализу с решением
Задачи по математическому анализу с решением

Для множества Задачи по математическому анализу с решением

Задачи по математическому анализу с решением

Для множества Задачи по математическому анализу с решением

Задачи по математическому анализу с решением

Аксиома Вейерштрасса. Всякое непустое ограниченное множество Задачи по математическому анализу с решением имеет конечные точные верхние и нижние грани Задачи по математическому анализу с решением и Задачи по математическому анализу с решением.

Для функции Задачи по математическому анализу с решением определяются, как Задачи по математическому анализу с решением — множества значений Задачи по математическому анализу с решением функции Задачи по математическому анализу с решением при Задачи по математическому анализу с решением.

Задача №11.2

Задачи по математическому анализу с решением

При этом Задачи по математическому анализу с решением, рис 11.2.

Задачи по математическому анализу с решением

Теорема 11.1. (теорема Вейерштрасса). Если функция Задачи по математическому анализу с решением непрерывна на отрезке Задачи по математическому анализу с решением, то она достигает на этом отрезке своих точных верхней и нижней граней, то есть Задачи по математическому анализу с решением такие, что

Задачи по математическому анализу с решением

При этом

Задачи по математическому анализу с решением

Если в условии теоремы 10.1 рассматривать не отрезок, а интервал Задачи по математическому анализу с решением или полуинтервал, то она не выполняется.

Например, для Задачи по математическому анализу с решением из задачи 11.2

Задачи по математическому анализу с решением

не имеет минимума на множестве (-1,1).

Теорема 11.2. (теорема Больцано-Коши). Если функция Задачи по математическому анализу с решением непрерывна на отрезке Задачи по математическому анализу с решением и принимает на его концах значения разных знаков, то Задачи по математическому анализу с решением, такая, что Задачи по математическому анализу с решением.

Задача №11.3

Проверить, что уравнение Задачи по математическому анализу с решением имеет корень на интервале Задачи по математическому анализу с решением рис. 11.3.

Задачи по математическому анализу с решением

Решение:

Функция Задачи по математическому анализу с решением непрерывна Задачи по математическому анализу с решением.

Задачи по математическому анализу с решением

по теореме 2 Задачи по математическому анализу с решением, такая что /Задачи по математическому анализу с решением.

Свойства дифференцируемых функций

Определение 12.1. Функция Задачи по математическому анализу с решением называется возрастающей в точке Задачи по математическому анализу с решением, если Задачи по математическому анализу с решением окрестность Задачи по математическому анализу с решением этой точки такая, что Задачи по математическому анализу с решением:

Задачи по математическому анализу с решением

Аналогично определяется убывающая в точке Задачи по математическому анализу с решением функция.

Точка Задачи по математическому анализу с решением называется точкой локального максимума (минимума) функции Задачи по математическому анализу с решением, если Задачи по математическому анализу с решением окрестность Задачи по математическому анализу с решением этой точки такая, что Задачи по математическому анализу с решением, Задачи по математическому анализу с решением:

Задачи по математическому анализу с решением

Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума. Если знаки неравенств в соотношениях (12.1) нестрогие, то говорят о нестрогом локальном максимуме (минимуме).

Теорема 12.1. (теорема Ферма). Пусть функция Задачи по математическому анализу с решением определена в некоторой окрестности Задачи по математическому анализу с решением точки Задачи по математическому анализу с решением, дифференцируема в этой точке и имеет в ней локальный экстремум. Тогда

Задачи по математическому анализу с решением

Доказательство

Докажем теорему, например, для случая, когда Задачи по математическому анализу с решением — локальный максимум:

Задачи по математическому анализу с решением, пусть Задачи по математическому анализу с решением, тогда (см. определение 12.1)

Задачи по математическому анализу с решением

Пусть Задачи по математическому анализу с решением, тогда

Задачи по математическому анализу с решением

Из (12.2) и (12.3) следует, что Задачи по математическому анализу с решением, что и требовалось доказать.

Равенство Задачи по математическому анализу с решением в теореме 12.1 означает, что касательная к графику функции Задачи по математическому анализу с решением в точке Задачи по математическому анализу с решением горизонтальна.

Теорема 12.2. Пусть функция Задачи по математическому анализу с решением дифференцируема в точке Задачи по математическому анализу с решением и Задачи по математическому анализу с решением. Тогда /(х) возрастает (убывает) в точке х0.

Доказательство

Докажем для случая Задачи по математическому анализу с решением. По формуле (6.4)

Задачи по математическому анализу с решением

Задачи по математическому анализу с решением окрестность Задачи по математическому анализу с решением, такая что

Задачи по математическому анализу с решением

Если Задачи по математическому анализу с решением, а для Задачи по математическому анализу с решением, следовательно условия возрастания функции в точке (см. определение 12.1) выполнены.

Теорема 12.3 (теорема Ролля). Пусть функция Задачи по математическому анализу с решением:

1) непрерывна на отрезке Задачи по математическому анализу с решением;

2) дифференцируема на интервале Задачи по математическому анализу с решением;

3) Задачи по математическому анализу с решением.

Тогда Задачи по математическому анализу с решением такая, что Задачи по математическому анализу с решением.

Доказательство

По теореме 11.1 Задачи по математическому анализу с решением такие, что

Задачи по математическому анализу с решением

Если Задачи по математическому анализу с решением — постоянная функция Задачи по математическому анализу с решением, и поэтому Задачи по математическому анализу с решением.

Если Задачи по математическому анализу с решением, то либо max, либо min достигается на Задачи по математическому анализу с решением. Пусть, например, Задачи по математическому анализу с решением. Тогда точка Задачи по математическому анализу с решением удовлетворяет условиям теоремы 12.1, и поэтому Задачи по математическому анализу с решением, что и требовалось доказать.

Упражнение с решением 12.1. Проверить, удовлетворяют ли условиям теоремы Ролля функции Задачи по математическому анализу с решением (см. упражнение 6.6).

Из теоремы Ролля следует, что между двумя последовательными корнями дифференцируемой функции имеется хотя бы один корень ее производной.

Теорема 12.4 (теорема Лагранжа).

Пусть функция Задачи по математическому анализу с решением:

1) непрерывна на отрезке Задачи по математическому анализу с решением;

2) дифференцируема на интервале Задачи по математическому анализу с решением.

Тогда Задачи по математическому анализу с решением такая, что

Задачи по математическому анализу с решением

Доказательство

Рассмотрим функцию Задачи по математическому анализу с решением — непрерывна на отрезке Задачи по математическому анализу с решением и дифференцируема на интервале Задачи по математическому анализу с решением; Задачи по математическому анализу с решением. Поэтому Задачи по математическому анализу с решением удовлетворяет условиям теоремы 12.3, то есть Задачи по математическому анализу с решением такая, что Задачи по математическому анализу с решением что и требовалось доказать.

Угловой коэффициент прямой Задачи по математическому анализу с решением, проходящей через точки Задачи по математическому анализу с решением, равен Задачи по математическому анализу с решением. Поэтому формула (12.4) означает, что Задачи по математическому анализу с решением такая, что касательная к графику функции Задачи по математическому анализу с решением в точке Задачи по математическому анализу с решением параллельна прямой Задачи по математическому анализу с решением, рис. 12.1.

Задачи по математическому анализу с решением

Если Задачи по математическому анализу с решением задает время и Задачи по математическому анализу с решением — путь, пройденный телом при движении по прямой за время Задачи по математическому анализу с решением, то Задачи по математическому анализу с решением средняя скорость движения тела на промежутке времени Задачи по математическому анализу с решением и согласно (12.4) Задачи по математическому анализу с решением такая, что мгновенная скорость Задачи по математическому анализу с решением тела в момент времени с равна средней скорости.

Задачи с решением:

Задача №11.4.1

Дана кривая Задачи по математическому анализу с решением и точки Задачи по математическому анализу с решением на кривой. На интервале (0; 6) найти точку Задачи по математическому анализу с решением, удовлетворяющую условию (12.4). Написать уравнение касательной в точке Задачи по математическому анализу с решением. Сделать чертеж.

Задачи по математическому анализу с решением

Решение:

Подставив точки А и В в формулу (12.4), получим

Задачи по математическому анализу с решением

Уравнение касательной к кривой Задачи по математическому анализу с решением

Задачи по математическому анализу с решением (см. задача 9.9), рис. 12.2.

Теорема 12.5. (терема Коши). Пусть функции Задачи по математическому анализу с решением:

1) непрерывны на отрезке Задачи по математическому анализу с решением;

2) дифференцируемы на интервале Задачи по математическому анализу с решением, причем Задачи по математическому анализу с решением Задачи по математическому анализу с решением. Тогда Задачи по математическому анализу с решением такая, что

Задачи по математическому анализу с решением

Доказательство

Рассмотрим функцию

Задачи по математическому анализу с решением

Задачи по математическому анализу с решением удовлетворяет условиям теоремы 12.3, и далее доказательство аналогично доказательству теоремы 12.4.

Правило Лопиталя

Теорема 13.1 (правило Лопиталя). Пусть функции Задачи по математическому анализу с решением:

1) дифференцируемы в некоторой окрестности Задачи по математическому анализу с решением точки Задачи по математическому анализу с решением;

2) Задачи по математическому анализу с решением;

3) Задачи по математическому анализу с решением;

4) Задачи по математическому анализу с решением

Тогда

Задачи по математическому анализу с решением

Доказательство

Рассмотрим случай Задачи по математическому анализу с решением. Доопределим Задачи по математическому анализу с решением в точке Задачи по математическому анализу с решением :

Задачи по математическому анализу с решением

Тогда они непрерывны Задачи по математическому анализу с решением. Пусть Задачи по математическому анализу с решением, тогда no теореме Коши (теорема 12.5)

Задачи по математическому анализу с решением

где Задачи по математическому анализу с решением

Задачи по математическому анализу с решением, что и требовалось доказать.

1. Если в п. 4 теоремы 13.1 Задачи по математическому анализу с решением также равен Задачи по математическому анализу с решением.

2. Аналогичная теорема верна и для односторонних пределов.

Теорема 13.2. Пусть Задачи по математическому анализу с решением и функции Задачи по математическому анализу с решением:

1) дифференцируемы при Задачи по математическому анализу с решением;

2) Задачи по математическому анализу с решением:

3) Задачи по математическому анализу с решением;

4) Задачи по математическому анализу с решением

Тогда Задачи по математическому анализу с решением

Доказательство

Пусть Задачи по математическому анализу с решением. Рассмотрим функции Задачи по математическому анализу с решением. Тогда условия 1)-3) теоремы 13.1 выполнены в окрестности Задачи по математическому анализу с решением точки Задачи по математическому анализу с решением.

Проверим условие 4):

Задачи по математическому анализу с решением

предел существует, поэтому по теореме 13.1

Задачи по математическому анализу с решением

Тогда

Задачи по математическому анализу с решением

что и требовалось доказать.

По правилу Лопиталя раскрывают неопределенности типа Задачи по математическому анализу с решением.

Неопределенности Задачи по математическому анализу с решением необходимо эквивалентными преобразованиями привести к виду Задачи по математическому анализу с решением. Неопределенности Задачи по математическому анализу с решением раскрывают путем предварительного логарифмирования.

Задачи с решением:

Задача №13.1

Задачи по математическому анализу с решением. Пусть Задачи по математическому анализу с решением. Функции Задачи по математическому анализу с решением:

1) непрерывны и имеют производные при Задачи по математическому анализу с решением;

Задачи по математическому анализу с решением

поэтому по теореме 13.2

Задачи по математическому анализу с решением

Задача №13.2

Найти Задачи по математическому анализу с решением.

Решение:

Задачи по математическому анализу с решением

Задача №13.3

Найти Задачи по математическому анализу с решением.

Решение:

Имеем неопределенность вида Задачи по математическому анализу с решением.

Преобразуем функцию Задачи по математическому анализу с решением.

Найдем

Задачи по математическому анализу с решением

Поэтому

Задачи по математическому анализу с решением

Задача №13.4

Найти Задачи по математическому анализу с решением.

Решение:

Задачи по математическому анализу с решением

Если в условии теоремы 13.1 предположить дополнительно, что функции Задачи по математическому анализу с решением дифференцируемы в точке Задачи по математическому анализу с решением, тогда формула (13.1) перепишется в виде

Задачи по математическому анализу с решением

Геометрически это значит, что предел при Задачи по математическому анализу с решением отношения значений функций Задачи по математическому анализу с решением равен отношению угловых коэффициентов касательных к этим функциям в точке Задачи по математическому анализу с решением.

Задача №13.5

Найти Задачи по математическому анализу с решением (см. Задача 4.2).

Решение:

Задачи по математическому анализу с решением

Формула Тейлора

Пусть функция Задачи по математическому анализу с решением дифференцируема в точке Задачи по математическому анализу с решением. Тогда (см. формулу (9.5)) ее приращение Задачи по математическому анализу с решением

Задачи по математическому анализу с решением

Пусть Задачи по математическому анализу с решением, тогда (14.1) перепишется в виде

Задачи по математическому анализу с решением

Рассмотрим многочлен

Задачи по математическому анализу с решением

Многочлен Задачи по математическому анализу с решением обладает следующими свойствами:

Задачи по математическому анализу с решением

Пусть функция уЗадачи по математическому анализу с решением n раз дифференцируема в точке Задачи по математическому анализу с решением. Найдем многочлен

Задачи по математическому анализу с решением

обладающий аналогичными свойствами:

Задачи по математическому анализу с решением

Из (14.2), (14.3) следует, что

Задачи по математическому анализу с решением

Поэтому коэффициенты Задачи по математическому анализу с решением многочлена (14.2) задаются формулой

Задачи по математическому анализу с решением

Далее

Задачи по математическому анализу с решением

Таким образом свойства (14.3) выполняются (при этом коэффициенты многочлена Задачи по математическому анализу с решением задаются формулами (14.4)). Тем самым теорема доказана.

Теорема 14.1. Пусть функция Задачи по математическому анализу с решением n раз дифференцируема в точке Задачи по математическому анализу с решением, тогда

Задачи по математическому анализу с решением

где Задачи по математическому анализу с решением — бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем Задачи по математическому анализу с решением.

Формула (14.5) называется формулой Тейлора, многочлен

Задачи по математическому анализу с решением

в правой части формулы (14.5) называется многочленом Тейлора, а представление разности Задачи по математическому анализу с решением в виде Задачи по математическому анализу с решением -остаточным членом в форме Пеано.

Если функция Задачи по математическому анализу с решением, то (14.5) перепишется в виде

Задачи по математическому анализу с решением

формула Маклорена.

Если функция Задачи по математическому анализу с решением раз дифференцируема в некоторой окрестности Задачи по математическому анализу с решением точки Задачи по математическому анализу с решением, то остаточный член Задачи по математическому анализу с решением можно представить в виде

Задачи по математическому анализу с решением

остаточный член в форме Лагранжа и формула

Задачи по математическому анализу с решением

называется формулой Тейлора порядка п с остаточным членом в форме Лагранжа.

Кстати тут, теория из учебников может быть вам поможет она.

Задачи с решением:

Задача №14.1

В условиях задачи 9.4 оценим погрешность вычисления значений Задачи по математическому анализу с решением.

Решение:

Запишем формулу Маклорена первого порядка с остаточным членом в форме Лагранжа:

Задачи по математическому анализу с решением

где Задачи по математическому анализу с решением

Тогда

Задачи по математическому анализу с решением

Поэтому

Задачи по математическому анализу с решением

Таким образом, вычисленное значение 3,(1) отличается от истинного с точностью до 0,01.

Упражнение с решением 14.2. Записать формулу Маклорена второго порядка для функции Задачи по математическому анализу с решением и по этой формуле вычислить Задачи по математическому анализу с решением. Оценить погрешность вычислений.

Запишем формулу Маклорена n-го порядка для функции Задачи по математическому анализу с решением:

Задачи по математическому анализу с решением

Задачи по математическому анализу с решением (см. упражнение 10.1. Задачи по математическому анализу с решением

Таким образом, Задачи по математическому анализу с решением и по формуле (14.6)

Задачи по математическому анализу с решением

Аналогично

Задачи по математическому анализу с решением

Формулы (14.7)—(14.11) называются основными разложениями.

Задача №14.3

Разложить Задачи по математическому анализу с решением по формуле Маклорена до члена Задачи по математическому анализу с решением, используя основные разложения. Оценить погрешность при Задачи по математическому анализу с решением.

Решение:

Пусть Задачи по математическому анализу с решением. Тогда (см. формулу (14.10))

Задачи по математическому анализу с решением

Остаточный член запишем в форме Лагранжа:

Задачи по математическому анализу с решением

Если Задачи по математическому анализу с решением,

поэтому

Задачи по математическому анализу с решением

Таким образом,

Задачи по математическому анализу с решением и погрешность при Задачи по математическому анализу с решением меньше чем 0,001, рис. 14.1.

Задачи по математическому анализу с решением

Рис. 14.1. Графики: / -функции у = (1+л“)2 и 2 — ее многочлена Тейлора

Задача №14.4

Найти Задачи по математическому анализу с решением.

Решение:

Воспользуемся разложением (14.7):

Задачи по математическому анализу с решением

Тогда

Задачи по математическому анализу с решением

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Предел функции. Основные способы вычисления пределов

Число А называют пределом функции Примеры решения задач по математическому анализу при Примеры решения задач по математическому анализу (или в точке Примеры решения задач по математическому анализу), если для любого числа Примеры решения задач по математическому анализу существует такое число Примеры решения задач по математическому анализу, что при всех Примеры решения задач по математическому анализу, удовлетворяющих условию Примеры решения задач по математическому анализу, выполняется неравенство Примеры решения задач по математическому анализу.

Обозначают предел Примеры решения задач по математическому анализу.

Если функции Примеры решения задач по математическому анализу имеют пределы в точке Примеры решения задач по математическому анализу, то:

Примеры решения задач по математическому анализу
Примеры решения задач по математическому анализу

Функция Примеры решения задач по математическому анализу называется бесконечно малой в точке Примеры решения задач по математическому анализу, если ее предел в этой точке равен нулю: Примеры решения задач по математическому анализу.

Функция Примеры решения задач по математическому анализу называется бесконечно большой в точке Примеры решения задач по математическому анализу, если для любого числа Примеры решения задач по математическому анализу существует такое число Примеры решения задач по математическому анализу, что для всех Примеры решения задач по математическому анализу, удовлетворяющих неравенству Примеры решения задач по математическому анализу, выполняется неравенство Примеры решения задач по математическому анализу. При этом записывают Примеры решения задач по математическому анализу.

При нахождении предела Примеры решения задач по математическому анализу в случае, когда Примеры решения задач по математическому анализу являются бесконечно малыми (бесконечно большими) функциями в точке Примеры решения задач по математическому анализу, говорят, что отношение Примеры решения задач по математическому анализу при Примеры решения задач по математическому анализу представляет собой неопределенность вида Примеры решения задач по математическому анализу.

Аналогично вводятся неопределенности вида Примеры решения задач по математическому анализу, которые встречаются при нахождении соответственно пределов Примеры решения задач по математическому анализу. Отыскание предела в таких случаях называют раскрытием неопределенности.

При решении задач используют:

а) первый замечательный предел:

Примеры решения задач по математическому анализу

б) второй замечательный предел:

Примеры решения задач по математическому анализу

или

Примеры решения задач по математическому анализу

в) некоторые важные пределы:

Примеры решения задач по математическому анализу

г) эквивалентность бесконечно малых функций.

Пусть Примеры решения задач по математическому анализу бесконечно малые функции в точке Примеры решения задач по математическому анализу.

Если Примеры решения задач по математическому анализу, то Примеры решения задач по математическому анализу называются эквивалентными бесконечно малыми функциями, что обозначается так: Примеры решения задач по математическому анализу.

Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых функций при х -> а не изменится, если каждую из них или только одну заменить другой эквивалентной бесконечно малой функцией.

При замене бесконечно малой функции эквивалентной используют таблицу эквивалентных бесконечно малых функций при Примеры решения задач по математическому анализу:

Примеры решения задач по математическому анализу

Рассмотрим основные методы раскрытия неопределенностей Примеры решения задач по математическому анализу.

Примеры с решением:

Пример №3.1.

Вычислить Примеры решения задач по математическому анализу.

Решение:

Имеем неопределенность Примеры решения задач по математическому анализу.

Преобразуем выражение под знаком предела:

Примеры решения задач по математическому анализу

Пример №3.2.

Вычислить Примеры решения задач по математическому анализу.

Пример №3.3.

Вычислить Примеры решения задач по математическому анализу.

Решение:

Имеем неопределенность Примеры решения задач по математическому анализу. Выделим в числителе и в знаменателе одинаковый множитель Примеры решения задач по математическому анализу. Для этого разложим числитель и знаменатель на сомножители. Имеем:

Примеры решения задач по математическому анализу

Пример №3.4.

Вычислить Примеры решения задач по математическому анализу.

Решение:

Имеем неопределенность Примеры решения задач по математическому анализу. Умножаем числитель и знаменатель на сопряженное выражение Примеры решения задач по математическому анализу:

Примеры решения задач по математическому анализу

Пример №3.5.

Вычислить Примеры решения задач по математическому анализу.

Решение:

Имеем неопределенность Примеры решения задач по математическому анализу. Используем первый замечательный передел. В нашем случае Примеры решения задач по математическому анализу.

Следовательно, получаем Примеры решения задач по математическому анализу.

Пример №3.6.

Вычислить Примеры решения задач по математическому анализу

Решение:

Имеем неопределенность Примеры решения задач по математическому анализу. Заменим бесконечно малую функцию Примеры решения задач по математическому анализу эквивалентной бесконечно малой функцией Примеры решения задач по математическому анализу. Получаем

Примеры решения задач по математическому анализу

Неопределенности вида Примеры решения задач по математическому анализу преобразуются к неопределенности вида Примеры решения задач по математическому анализу

Пример №3.7.

Вычислить Примеры решения задач по математическому анализу.

Решение:

Имеем неопределенность вида Примеры решения задач по математическому анализу. Приведем две дроби к общему знаменателю:

Примеры решения задач по математическому анализу

Пример №3.8.

Вычислить Примеры решения задач по математическому анализу.

Решение:

Имеем неопределенность вида Примеры решения задач по математическому анализу. Преобразуем выражение:

Примеры решения задач по математическому анализу

Для раскрытия неопределенности вида Примеры решения задач по математическому анализу применяют второй замечательный предел. Пусть Примеры решения задач по математическому анализу. Тогда имеем

Примеры решения задач по математическому анализу

Приходим к неопределенности вида Примеры решения задач по математическому анализу

Пример №3.9.

Вычислить

Примеры решения задач по математическому анализу

Пример №3.10.

Вычислить

Примеры решения задач по математическому анализу

Производной функции Примеры решения задач по математическому анализу в точке Примеры решения задач по математическому анализу называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю:

Примеры решения задач по математическому анализу

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Если функции Примеры решения задач по математическому анализу и имеют производные в некоторой точке Примеры решения задач по математическому анализу , то основные правила дифференцирования выражаются формулами:

Примеры решения задач по математическому анализу

Таблица основных производных

Примеры решения задач по математическому анализу

Правило дифференцирования сложной функции

Если Примеры решения задач по математическому анализу — дифференцируемые функции своих аргументов, то производная функции от функции (или сложной функции) Примеры решения задач по математическому анализу существует и равна произведению производной данной функции Примеры решения задач по математическому анализу по промежуточному аргументу и производной промежуточного аргумента и по независимой переменной Примеры решения задач по математическому анализу:

Примеры решения задач по математическому анализу

Пример с решением:

Пример №3.11.

Найти производную функции Примеры решения задач по математическому анализу.

Решение:

Это сложная степенная функция, аргумент которой является сложной тригонометрической функцией.

Первый промежуточный аргумент Примеры решения задач по математическому анализу, второй Примеры решения задач по математическому анализу

Так как Примеры решения задач по математическому анализу

Примеры решения задач по математическому анализу

Дифференцирование неявных функций

Пусть функция Примеры решения задач по математическому анализу задана уравнением Примеры решения задач по математическому анализу. В этом случае говорят, что функция у задана неявно.

Производная Примеры решения задач по математическому анализу может быть найдена из уравнения Примеры решения задач по математическому анализу, где Примеры решения задач по математическому анализу рассматривается как сложная функция от переменной Примеры решения задач по математическому анализу.

Примеры с решением:

Пример №3.12.

Найти производную функции Примеры решения задач по математическому анализу, заданной неявно.

Решение:

Дифференцируем это равенство по Примеры решения задач по математическому анализу, считая, что Примеры решения задач по математическому анализу — функция от Примеры решения задач по математическому анализу: Примеры решения задач по математическому анализу. Отсюда Примеры решения задач по математическому анализу.

Дифференцирование функций, заданных параметрически

Пусть функция Примеры решения задач по математическому анализу задана параметрически: Примеры решения задач по математическому анализу.

Пусть Примеры решения задач по математическому анализу — дифференцируемые функции и Примеры решения задач по математическому анализу. Тогда имеем:

Примеры решения задач по математическому анализу

Пример №3.13.

Найти производную функции Примеры решения задач по математическому анализу.

Решение:

Находим Примеры решения задач по математическому анализу. Тогда по формуле (3.1) получаем

Примеры решения задач по математическому анализу

Дифференцирование степенно-показательной функции

Пусть Примеры решения задач по математическому анализу, где Примеры решения задач по математическому анализу, Примеры решения задач по математическому анализу — дифференцируемые функции по Примеры решения задач по математическому анализу.

Производная степенно-показательной функции находится с помощью предварительного логарифмирования.

Пример с решением:

Пример №3.14.

Найти производную функции Примеры решения задач по математическому анализу

Логарифмируем данное равенство по основанию Примеры решения задач по математическому анализу:

Примеры решения задач по математическому анализу

Дифференцируя обе части последнего равенства по Примеры решения задач по математическому анализу как сложную функцию получаем:

Примеры решения задач по математическому анализу

Откуда находим

Примеры решения задач по математическому анализу

или

Примеры решения задач по математическому анализу

Производные высших порядков

Производной второго порядка функции Примеры решения задач по математическому анализу называется производная от ее производной Примеры решения задач по математическому анализу (которую называют первой производной).

Рассмотрим функцию Примеры решения задач по математическому анализу заданную параметрически:

Примеры решения задач по математическому анализу Имеем Примеры решения задач по математическому анализу. Тогда по формуле (3.1) получаем

Примеры решения задач по математическому анализу

Пример с решением:

Пример №3.15.

Найти Примеры решения задач по математическому анализу

Решение:

Находим Примеры решения задач по математическому анализу. По формуле (3.1) получаем

Примеры решения задач по математическому анализу

Находим

Примеры решения задач по математическому анализу

По формуле (3.2) получаем

Примеры решения задач по математическому анализу

Исследование функций и построение графиков

Если для двух любых значений аргумента Примеры решения задач по математическому анализу, взятых из области определения функции, из неравенства Примеры решения задач по математическому анализу следует, что

а) Примеры решения задач по математическому анализу функция называется возрастающей;

б) Примеры решения задач по математическому анализу, то функция называется неубывающей;

в) Примеры решения задач по математическому анализу, то функция называется убывающей;

г) Примеры решения задач по математическому анализу, то функция называется невозрастающей.

Возрастающие, неубывающие, убывающие и невозрастающие функции называются монотонными. Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными.

Признак монотонности и строгой монотонности функции. Функция Примеры решения задач по математическому анализу, дифференцируемая на Примеры решения задач по математическому анализу, возрастает (убывает) на Примеры решения задач по математическому анализу тогда и только тогда, когда Примеры решения задач по математическому анализу; если при этом не существует интервала Примеры решения задач по математическому анализу, такого, что Примеры решения задач по математическому анализу, то Примеры решения задач по математическому анализу строго возрастает (убывает) на Примеры решения задач по математическому анализу.

Значение Примеры решения задач по математическому анализу называется локальным максимумом (минимумом) функции Примеры решения задач по математическому анализу, если существует такая Примеры решения задач по математическому анализу — окрестность точки Примеры решения задач по математическому анализу, что Примеры решения задач по математическому анализу выполняется неравенство Примеры решения задач по математическому анализу Примеры решения задач по математическому анализу

Локальный максимум и локальный минимум объединяются общим названием локальный экстремум.

Необходимое условие экстремума: если функция Примеры решения задач по математическому анализу в точке Примеры решения задач по математическому анализу имеет локальный экстремум, то ее производная в этой точке равна нулю или не существует.

Внутренние точки множества Примеры решения задач по математическому анализу в которых Примеры решения задач по математическому анализу непрерывна, а ее производная Примеры решения задач по математическому анализу равна нулю или не существует, называются критическими точками функции Примеры решения задач по математическому анализу.

Первое достаточное условие локального экстремума. Если функция Примеры решения задач по математическому анализу дифференцируема в некоторой Примеры решения задач по математическому анализу — окрестности критической точки Примеры решения задач по математическому анализу, кроме, может быть самой точки Примеры решения задач по математическому анализу, а Примеры решения задач по математическому анализу при Примеры решения задач по математическому анализу, и Примеры решения задач по математическому анализу при Примеры решения задач по математическому анализу, то в точке Примеры решения задач по математическому анализу функция имеет локальный максимум (минимум).

Второе достаточное условие локального экстремума. Если в критической точке Примеры решения задач по математическому анализу функция Примеры решения задач по математическому анализу дважды дифференцируема и Примеры решения задач по математическому анализу, то в этой точке функция Примеры решения задач по математическому анализу имеет локальный максимум (минимум).

График дифференцируемой функции Примеры решения задач по математическому анализу называется выпуклым (вогнутым) на Примеры решения задач по математическому анализу, если он на этом интервале расположен ниже (выше) касательной, проведенной в любой его точке Примеры решения задач по математическому анализу , где Примеры решения задач по математическому анализу.

Если функция Примеры решения задач по математическому анализу в интервале Примеры решения задач по математическому анализу дважды дифференцируема и Примеры решения задач по математическому анализу, то график функции в этом интервале выпуклый (вогнутый).

Точка Примеры решения задач по математическому анализу графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую (вогнутую) часть от вогнутой (выпуклой), называется точкой перегиба.

Достаточное условие существования точки перегиба. Если вторая производная Примеры решения задач по математическому анализу функции Примеры решения задач по математическому анализу в точке Примеры решения задач по математическому анализу равна нулю или не существует и меняет знак при переходе через эту точку, то Примеры решения задач по математическому анализу — точка перегиба графика функции Примеры решения задач по математическому анализу.

Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается точка этой кривой при неограниченном удалении от начала координат.

Различают вертикальные и невертикальные асимптоты. Прямая Примеры решения задач по математическому анализу называется вертикальной асимптотой графика функции, если хотя бы один из односторонних пределов функции Примеры решения задач по математическому анализу в точке Примеры решения задач по математическому анализу равен бесконечности: Примеры решения задач по математическому анализу.

Прямая Примеры решения задач по математическому анализу называется наклонной асимптотой графика функции Примеры решения задач по математическому анализу при Примеры решения задач по математическому анализу, если функцию Примеры решения задач по математическому анализу можно представить в виде Примеры решения задач по математическому анализу — бесконечно малая функция при Примеры решения задач по математическому анализу.

Если существуют пределы: Примеры решения задач по математическому анализу,

то уравнение Примеры решения задач по математическому анализу определяет наклонную асимптоту.

Если Примеры решения задач по математическому анализу — горизонтальная асимптота.

Построение графика функции

Исследование функции и построение ее графика можно проводить по следующей схеме:

  1. Найти область определения функции.
  2. Исследовать функцию да четность (нечетность) и периодичность. Найти точки пересечения графика с осями координат.
  3. Найти точки разрыва функции и асимптоты кривой.
  4. Определить интервалы монотонности и локальные экстремумы функции.
  5. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции.
  6. Построить график функции.

Пример с решением:

Пример №3.16.

Исследовать функцию Примеры решения задач по математическому анализу и построить ее график.

Решение:

1. Находим область определения Примеры решения задач по математическому анализу.

2. Поскольку Примеры решения задач по математическому анализу, то функция не является четной, нечетной и периодической.

Находим точки пересечения с осями координат:

а) так как Примеры решения задач по математическому анализу, то график функции не пересекает ось Примеры решения задач по математическому анализу;

б) при Примеры решения задач по математическому анализу график функции пересекает ось Примеры решения задач по математическому анализу в точке Примеры решения задач по математическому анализу.

3. Функция не определена в точке Примеры решения задач по математическому анализу. Поскольку Примеры решения задач по математическому анализу, Примеры решения задач по математическому анализу, то Примеры решения задач по математическому анализу — точка разрыва второго рода. Так как Примеры решения задач по математическому анализу, то прямая Примеры решения задач по математическому анализу есть вертикальная асимптота.

Далее находим

Примеры решения задач по математическому анализу

Следовательно, прямая Примеры решения задач по математическому анализу есть наклонная асимптота.

4. Вычислим Примеры решения задач по математическому анализу

Первая производная не существует в точке Примеры решения задач по математическому анализу, которая не принадлежит области определения Примеры решения задач по математическому анализу и, следовательно, не является критической точкой.

При Примеры решения задач по математическому анализу получаем Примеры решения задач по математическому анализу или Примеры решения задач по математическому анализу.

ТочкиПримеры решения задач по математическому анализу являются критическими (стационарными) точками.

Определим интервалы монотонности из неравенств Примеры решения задач по математическому анализу и Примеры решения задач по математическому анализу:

Примеры решения задач по математическому анализу

Следовательно, функция возрастает при Примеры решения задач по математическому анализу и убывает при Примеры решения задач по математическому анализу.

В точке Примеры решения задач по математическому анализу функция имеет максимум Примеры решения задач по математическому анализу Примеры решения задач по математическому анализу

В точке Примеры решения задач по математическому анализу функция имеет минимум Примеры решения задач по математическому анализуПримеры решения задач по математическому анализу.

5. Находим

Примеры решения задач по математическому анализу

Определяем интервалы выпуклости и вогнутости графика функции из неравенств Примеры решения задач по математическому анализу. Имеем Примеры решения задач по математическому анализу при Примеры решения задач по математическому анализу при Примеры решения задач по математическому анализу. Следовательно, кривая выпукла на Примеры решения задач по математическому анализу и вогнута на Примеры решения задач по математическому анализу. Так как Примеры решения задач по математическому анализу не принадлежит области определения функции и Примеры решения задач по математическому анализу, то точек перегиба нет.

Результаты исследования функции Примеры решения задач по математическому анализу заносим в таблицу.

Примеры решения задач по математическому анализу

6.Исходя из результатов таблицы строим график данной функции.

Примеры решения задач по математическому анализу

Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

Понятие функции нескольких переменных и ее предела

Пусть D — множество точек Примеры решения задач по математическому анализу пространства Примеры решения задач по математическому анализу. Если каждой точке Примеры решения задач по математическому анализу по определенному закону Примеры решения задач по математическому анализу ставится в соответствие некоторое число Примеры решения задач по математическому анализу, то говорят, что на множестве D определена функция m переменных Примеры решения задач по математическому анализу.

При этом Примеры решения задач по математическому анализу называются независимыми переменными или аргументами.

Множество D точек X, для которых существует Примеры решения задач по математическому анализу, называют областью определения функции и обозначают Примеры решения задач по математическому анализу а множество значений Примеры решения задач по математическому анализу обозначают Примеры решения задач по математическому анализу.

Примеры решения задач по математическому анализу — функция двух переменных.

Пусть функция Примеры решения задач по математическому анализу определена на множестве D.

Число Примеры решения задач по математическому анализу называют пределом функции Примеры решения задач по математическому анализу в точке Примеры решения задач по математическому анализу, если для любого числа Примеры решения задач по математическому анализу существует такое число Примеры решения задач по математическому анализу, что для всех точек Примеры решения задач по математическому анализу, удовлетворяющих условию Примеры решения задач по математическому анализу, выполняется неравенство Примеры решения задач по математическому анализу.

Обозначение:

Примеры решения задач по математическому анализу

Частным приращением по переменной Примеры решения задач по математическому анализу функции Примеры решения задач по математическому анализу в точке Примеры решения задач по математическому анализу называется разность

Примеры решения задач по математическому анализу

где Примеры решения задач по математическому анализу — приращение переменной Примеры решения задач по математическому анализу.

Если существует Примеры решения задач по математическому анализу то он называется частной производной функции Примеры решения задач по математическому анализу по переменной Примеры решения задач по математическому анализу в точке Примеры решения задач по математическому анализу и обозначается Примеры решения задач по математическому анализу (или Примеры решения задач по математическому анализу

При нахождении частной производной по одной из переменных пользуются правилами дифференцирования функции одной переменной, считая все остальные переменные постоянными.

Примеры с решением:

Пример №4.1.

Найти частные производные функции Примеры решения задач по математическому анализу.

Решение:

Имеем

Примеры решения задач по математическому анализу

Рассмотрим функцию трех переменных Примеры решения задач по математическому анализу на множестве D.

Полным дифференциалом функции Примеры решения задач по математическому анализу в точке Примеры решения задач по математическому анализу называется главная часть полного приращения функции

Примеры решения задач по математическому анализу

линейная относительно приращений переменных Примеры решения задач по математическому анализу — постоянные числа).

Полный дифференциал находят по формуле

Примеры решения задач по математическому анализу

где Примеры решения задач по математическому анализу.

Производной по направлению вектора Примеры решения задач по математическому анализу функции Примеры решения задач по математическому анализу в точке Примеры решения задач по математическому анализу называется предел

Примеры решения задач по математическому анализу, если этот предел существует.

Обозначим через Примеры решения задач по математическому анализу направляющие косинусы вектора Примеры решения задач по математическому анализу. Тогда

Примеры решения задач по математическому анализу

Градиентом функции Примеры решения задач по математическому анализу в точке Примеры решения задач по математическому анализу называется вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных Примеры решения задач по математическому анализу в этой точке:

Примеры решения задач по математическому анализу

При этом: Примеры решения задач по математическому анализу

Пример №4.2.

Дана функция Примеры решения задач по математическому анализу, точка Примеры решения задач по математическому анализу, вектор Примеры решения задач по математическому анализу. Найти: а) полный дифференциал Примеры решения задач по математическому анализу, б) производную по направлению вектора Примеры решения задач по математическому анализу, в) градиент функции Примеры решения задач по математическому анализу в точке Примеры решения задач по математическому анализу.

Решение:

Найдем частные производные функции Примеры решения задач по математическому анализу:

Примеры решения задач по математическому анализу

Вычислим значения производных в точке М:

Примеры решения задач по математическому анализу

а. Находим полный дифференциал функции в точке М по формуле (4.1):

Примеры решения задач по математическому анализу

б. Найдем направляющие косинусы вектора Примеры решения задач по математическому анализу. Имеем Примеры решения задач по математическому анализу,

Примеры решения задач по математическому анализу

По формуле (4.2) вычисляем производную :

Примеры решения задач по математическому анализу

в. Вычисляем градиент функции в точке М по формуле (4.3):

Примеры решения задач по математическому анализу

Частные производные и дифференциал высших порядков

Пусть функция Примеры решения задач по математическому анализу определена и непрерывна вместе со своими первыми частными производными в некоторой точке Примеры решения задач по математическому анализу

Частные производные по переменным х, у от производных первого порядка называются частными производными второго порядка и обозначаются

Примеры решения задач по математическому анализу

Производные Примеры решения задач по математическому анализу называются смешанными производными.

Если смешанные производные Примеры решения задач по математическому анализу непрерывны, то справедливо равенство Примеры решения задач по математическому анализу.

Полным дифференциалом второго порядка функции Примеры решения задач по математическому анализу называется дифференциал от ее полного дифференциала, который обозначается

Примеры решения задач по математическому анализу

Экстремум функции нескольких переменных

Пусть функция Примеры решения задач по математическому анализу определена в области D. Функция Примеры решения задач по математическому анализу имеет в точке Примеры решения задач по математическому анализу локальный максимум (минимум), равный Примеры решения задач по математическому анализу, если существует такая Примеры решения задач по математическому анализу — окрестность этой точки, что для всех отличных от Примеры решения задач по математическому анализу точек Примеры решения задач по математическому анализу из этой окрестности имеет место неравенство Примеры решения задач по математическому анализу.

Необходимые условия экстремума. Если функция Примеры решения задач по математическому анализу в точке Примеры решения задач по математическому анализу имеет локальный экстремум, то в этой точке обе частные производные, если они существуют, равны нулю или хотя бы одна из них в этой точке не существует.

Если Примеры решения задач по математическому анализу — точка экстремума дифференцируемой функции

Примеры решения задач по математическому анализу

Из этой системы уравнений находят стационарные точки. Сформулируем достаточные условия существования экстремума.

Пусть Примеры решения задач по математическому анализу, где Примеры решения задач по математическому анализу -стационарная точка дважды дифференцируемой функции Примеры решения задач по математическому анализу. Тогда:

1) если Примеры решения задач по математическому анализу, то Примеры решения задач по математическому анализу имеет в точке Примеры решения задач по математическому анализу локальный экстремум (при Примеры решения задач по математическому анализу — локальный максимум, при Примеры решения задач по математическому анализу — минимум);

2) если Примеры решения задач по математическому анализу, экстремума в точке Примеры решения задач по математическому анализу нет;

3) если Примеры решения задач по математическому анализу, функция может иметь, а может и не иметь локальный экстремум.

Кстати тут, теория из учебников по математическому анализу.

Пример с решением:

Пример №4.3.

Найти локальные экстремумы функции Примеры решения задач по математическому анализу.

Решение:

Областью определения данной функции является вся плоскость.

Находим частные производные первого порядка и составляем систему уравнений (4.4):

Примеры решения задач по математическому анализу

Решая эту систему, получим две стационарные точки Примеры решения задач по математическому анализу.

Находим частные производные второго порядка: Примеры решения задач по математическому анализу; Примеры решения задач по математическому анализу. Вычисляем их значения в точках Примеры решения задач по математическому анализу

.

В точке Примеры решения задач по математическому анализу. Тогда имеем Примеры решения задач по математическому анализу. Следовательно, точка Примеры решения задач по математическому анализу не является точкой экстремума.

В точке Примеры решения задач по математическому анализу. Тогда Примеры решения задач по математическому анализу. Так как Примеры решения задач по математическому анализу, то точка Примеры решения задач по математическому анализу — точка локального минимума.

Вычисляем Примеры решения задач по математическому анализу.

Дополнительные задачи и примеры с решениями по всем темам математического анализа

  1. Задачи с решением по теме: исследование функций с помощью производных
  2. Задачи с решением по теме: неопределенный интеграл
  3. Задачи с решением по теме: замена переменной в неопределенном интеграле
  4. Задачи с решением по теме: интегрирование по частям в неопределенном интеграле
  5. Задачи с решением по теме: интегрирование рациональных дробей
  6. Задачи с решением по теме: интегрирование иррациональных функций
  7. Задачи с решением по теме: интегрирование тригонометрических выражений
  8. Задачи с решением по теме: определенный интеграл
  9. Задачи с решением по теме: свойства сумм Дарбу
  10. Доказательство с решением по теме: свойства определенного интеграла
  11. Задачи с решением по теме: формула Ньютона -Лейбница
  12. Задача с решением по теме: замена переменной, интегрирование но частям в определенном интеграле
  13. Задачи с решением по теме: несобственные интегралы первою рода
  14. Задачи с решением по теме: несобственные интегралы второго рода
  15. Определение и теорема по теме: эйлеровы интегралы
  16. Задачи с решением по теме: свойства функций B (a,b), Г (a)
  17. Задачи с решением по теме: вычисление площадей плоских фигур
  18. Задачи с решением по теме: полярная система координат
  19. Задачи с решением по теме: длина дуги кривой
  20. Задачи с решением по теме: объемы тел
  21. Задачи с решением по теме: площадь поверхности вращения

Множества

Понятие множества является одним из основных неопределяемых понятий математики. Под множеством понимают совокупность (собрание, класс, семейство…) некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Так можно говорить о множестве студентов института, о множестве рыб в Черном море, о множестве корней уравненияМатематический анализ, о множестве всех натуральных чисел и т. д.

Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Множества принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита А, В,…, X, Y,…, а их элементы — малыми буквами a,b,…,x,y,…

Если элемент х принадлежит множеству X, то записывают х € X; запись Математический анализ означает, что элемент х не принадлежит множеству X.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым, обозначается символом Математический анализ.

Элементы множества записывают в фигурных скобках, внутри которых они перечислены (если это возможно), либо указано общее свойство, которым обладают все элементы данного множества.

Например, запись А = {1,3,15} означает, что множество А состоит из трех чисел 1, 3 и 15; запись Математический анализ означает, что множество А состоит из всех действительных (если не оговорено иное) чисел, удовлетворяющих неравенству Математический анализ

Множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент множества А является элементом множества В. Символически это обозначают так Математический анализ A включено в В») или Математический анализ («множество В включает в себя множество A»).

Говорят, что множества А и В равны или совпадают, и пишут А = В, если А С В и В С А. Другими словами, множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными.

Объединением (или суммой) множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из этих множеств. Объединение (сумму) множеств обозначают Математический анализ (или А + В). Кратко можно записать Математический анализили Математический анализ}.

Пересечением (или произведением) множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит множеству А и множеству В. Пересечение (произведение) множеств обозначают Математический анализ. Кратко можно записать Математический анализ

В дальнейшем для сокращения записей будем использовать некоторые простейшие логические символы:

Математический анализ— означает «из предложения Математический анализ следует предложение Математический анализ»; Математический анализ — «предложения Математический анализ и Математический анализ равносильны», т. е. из а следует Математический анализ и из Математический анализ следует Математический анализ;

Математический анализ

Например: 1) запись Математический анализ означает: «для всякого элемента Математический анализ имеет место предложение Математический анализ»;

Математический анализ

эта запись определяет объединение множеств А и В.

Числовые множества

Множество действительных чисел

Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми. Примерами числовых множеств являются:

Математический анализ

Между этими множествами существует соотношение

Математический анализ

Множество Математический анализ содержит рациональные и иррациональные числа. Всякое рациональное число выражается или конечной десятичной дробью или бесконечной периодической дробью. Так, Математический анализ— рациональные числа.

Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными.

Теорема 13.1. Не существует рационального числа, квадрат которого равен числу 2.
Допустим, что существует рациональное число, представленное несократимой дробью Математический анализ квадрат которого равен 2. Тогда имеем:

Математический анализ

Отсюда следует, что Математический анализ (а значит, и m) — четное число, т. е. Математический анализ. Подставив Математический анализ в равенство Математический анализ, получим Математический анализ, т. е. Математический анализ. Отсюда следует, что число п — четное, т. е. п = 2l. Но тогда дробь Математический анализсократима. Это противоречит допущению, что Математический анализ дробь несократима. Следовательно, не существует рационального числа, квадрат которого равен числу 2.

Иррациональное число выражается бесконечной непериодической дробью. Так, Математический анализ — иррациональные числа. Можно сказать: множество действительных чисел есть множество всех бесконечных десятичных дробей. И записать

Математический анализ

Множество Математический анализ действительных чисел обладает следующими свойствами.

  1. Оно упорядоченное: для любых двух различных чисел а и b имеет место одно из двух соотношений а < b либо b < а.
  2. Множество Математический анализ плотное: между любыми двумя различными числами а и b содержится бесконечное множество действительных чисел x, т. е. чисел, удовлетворяющих неравенству а < х < b.

Так, если а < b, то одним из них является число Математический анализ

Математический анализ

3. Множество Математический анализ непрерывное. Пусть множествоМатематический анализ разбито на два непустых класса А и В таких, что каждое действительное число содержится только в одном классе и для каждой пары чисел Математический анализ выполнено неравенство а < b. Тогда (свойство непрерывности) существует единственное число с, удовлетворяющее неравенству Математический анализОно отделяет числа класса А от чисел класса В. Число с является либо наибольшим числом в классе А (тогда в классе В нет наименьшего числа), либо наименьшим числом в классе В (тогда в классе А нет наибольшего).

Свойство непрерывности позволяет установить взаимно-однозначное соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством всех точек прямой. Это означает, что каждому числу Математический анализ соответствует определенная (единственная) точка числовой оси и, наоборот, каждой точке оси соответствует определенное (единственное) действительное число. Поэтому вместо слова «число» часто говорят «точка».

Числовые промежутки. Окрестность точки

Пусть а и b — действительные числа, причем а < b. Числовыми промежутками (интервалами) называют подмножества всех действительных чисел, имеющих следующий вид:

Математический анализ

Числа а и b называются соответственно левым и правым концами этих промежутков. Символы Математический анализ не числа, это символическое обозначение процесса неограниченного удаления точек числовой оси от начала 0 влево и вправо.

Пусть Математический анализ — любое действительное число (точка на числовой прямой). Окрестностью точки Математический анализ называется любой интервал (а; b), содержащий точку Математический анализ. В частности, интервал Математический анализ, называется Математический анализокрестностью точки Математический анализ. Число Математический анализ называется центром, а число Математический анализрадиусом.

Математический анализ

Если Математический анализ то выполняется неравенство Математический анализ, или, что то же, Математический анализ. Выполнение последнего неравенства означает попадание точки x в Математический анализ-окрестность точки Математический анализ (см. рис. 97).

Функция

Одним из основных математических понятий является понятие функции. Понятие функции связано с установлением зависимости (связи) между элементами двух множеств.

Пусть даны два непустых множества X и Y. Соответствие f, которое каждому элементу Математический анализсопоставляет один и только один элемент Математический анализ, называется функцией и записывается Математический анализГоворят еще, что функция f отображает множество X на множество Y.

Математический анализ

Например, соответствия f и g, изображенные на рисунке 98 а и б, являются функциями, а на рисунке 98 в и г — нет. В случае в — не каждому элементу х € X соответствует элемент у € Y. В случае г не соблюдается условие однозначности.

Множество X называется областью определения функции f и обозначается D(f). Множество всех Математический анализ называется множеством значений функции f и обозначается E(f).

Числовые функции. График функции. Способы задания функций

Пусть задана функция Математический анализ

Если элементами множеств X и Y являются действительные числа Математический анализ, то функцию / называют числовой функцией. В дальнейшем будем изучать (как правило) числовые функции, для краткости будем именовать их просто функциями и записывать y = f(x).

Переменная х называется при этом аргументом или независимой переменной, а уфункцией или зависимой переменной (от х). Относительно самих величин х и у говорят, что они находятся в функциональной зависимости. Иногда функциональную зависимость у от х пишут в виде у = у(х), не вводя новой буквы (f) для обозначения зависимости.

Частное значение функции f(x) при х = а записывают так: f(а). Например, если Математический анализ

Графиком функции у = f(x) называется множество всех точек плоскости Оху, для каждой из которых х является значением аргумента, а у — соответствующим значением функции.

Например, графиком функции Математический анализявляется верхняя полуокружность радиуса R = 1 с центром в О(0; 0) (см. рис. 99).

Математический анализ

Чтобы задать функцию у = f(x), необходимо указать правило, позволяющее, зная х, находить соответствующее значение у.

Наиболее часто встречаются три способа задания функции: аналитический, табличный, графический.

Аналитический способ: функция задается в виде одной или нескольких формул или уравнений.

Например:

Математический анализ

Если область определения функции у = f(x) не указана, то предполагается, что она совпадает с множеством всех значений аргумента, при которых соответствующая формула имеет смысл. Так, областью определения функции Математический анализ является отрезок [-1; 1].

Аналитический способ задания функции является наиболее совершенным, так как к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию у = f(x).

Графический способ: задается график функции. Часто графики вычерчиваются автоматически самопишущими приборами или изображаются на экране дисплея. Значения функции у, соответствующие тем или иным значениям аргумента х, непосредственно находятся из этого графика.

Преимуществом графического задания является его наглядность, недостатком — его неточность.

Табличный способ: функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции. Например, известны таблицы значений тригонометрических функций, логарифмические таблицы.

На практике часто приходится пользоваться таблицами значений функций, полученных опытным путем или в результате наблюдений.

Основные характеристики функции

1. Функция у = f(х), определенная на множестве D, называется четной, если Математический анализ выполняются условия Математический анализ; нечетной, если Математический анализ выполняются условия Математический анализ

График четной функции симметричен относительно оси Оу, а нечетной — относительно начала координат.

Например, Математический анализ— четные функции; а Математический анализ — нечетные функции; Математический анализ — функции общего вида, т. е. не четные и не нечетные.

2.Пусть функция у = f(х) определена на множестве D и пусть Математический анализ. Если для любых значений Математический анализ аргументов из неравенства Математический анализ вытекает неравенство: Математический анализ то функция называется возрастающей на множестве Математический анализ, то функция называется неубывающей на множестве Математический анализ, то функция называется убывающей на множестве Математический анализ, то функция называется невозрастающей на множестве .

Математический анализ

Например, функция, заданная графиком (см. рис. 100), убывает на интервале (-2; 1), не убывает на интервале (1; 5), возрастает на интервале (3; 5). Возрастающие, невозрастающие, убывающие и неубывающие функции на множестве Математический анализ называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие — строго монотонными. Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервалами монотонности. На рисунке (выше) функция строго монотонна на (—2; 1) и (3;5); монотонна на (1;3).

3. Функцию у =f (х), определенную на множестве D, называют ограниченной на этом множестве, если существует такое число М > 0, что для всех х € D выполняется неравенство Математический анализ(короткая запись: Математический анализ называется ограниченной на D, если Математический анализ. Отсюда следует, что график ограниченной функции лежит между прямыми Математический анализ (см. рис. 101).

4. Функция у = f(х), определенная на множестве D, называется периодической на этом множестве, если существует такое число Т > 0, что при каждом х € D значение (х + Т) € D и f(x + Т) = f(x). При этом число Т называется периодом функции. Если Т — период функции, то ее периодами будут также числа m • Т, где m = ±1; ±2,… Так, для у = sin х периодами будут числа Математический анализОсновной период (наименьший положительный) — это период Математический анализ. Вообще обычно за основной период берут наименьшее положительное число Т, удовлетворяющее равенству Математический анализ.

Математический анализ

Обратная функция

Пусть задана функция у = f(х) с областью определения D и множеством значений Е. Если каждому значению у € Е соответствует единственное значение х € D, то определена функция х = р(у) с областью определения Е и множеством значений D (см. рис. 102). Такая функция Математический анализ называется обратной к функции f(x) и записывается в следующем виде: Математический анализ. Про функции Математический анализ говорят, что они являются взаимно обратными. Чтобы найти функцию Математический анализ, обратную к функции у = f(x), достаточно решить уравнение f(х) = у относительно х (если это возможно).

Примеры

  1. Для функции у = 2х обратной функцией является функция
    Математический анализ
  2. Для функции Математический анализ, обратной функцией является Математический анализ; заметим, что для функции Математический анализ, заданной на отрезке [—1; 1], обратной не существует, т. к. одному значению у соответствует два значения х (так, если Математический анализ).

Из определения обратной функции вытекает, что функция у = f(x) имеет обратную тогда и только тогда, когда функция f(x) задает взаимно однозначное соответствие между множествами D и Е. Отсюда следует, что любая строго монотонная функция имеет обратную. При этом если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает).
Заметим, что функция у = f(x) и обратная ей Математический анализ изображаются одной и той же кривой, т. е. графики их совпадают. Если же условиться, что, как обычно, независимую переменную (т. е. аргумент) обозначить через х, а зависимую переменную через у, то функция обратная функции у = f(x) запишется в виде Математический анализ. Это означает, что точка Математический анализкривой у = f(x) становится точкой Математический анализ кривой Математический анализ. Но точки Математический анализ симметричны относительно прямой у = х (см. рис. 103).

Математический анализ

Поэтому графики взаимно обратных функций у = f(x) и Математический анализсимметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Сложная функция

Пусть функция у = f(u) определена на множестве D, а функция Математический анализ на множестве Математический анализ, причем для Математический анализ соответствующее значение Математический анализ Тогда на множестве Математический анализ определена функция Математический анализ, которая называется сложной функцией от х (или суперпозицией заданных функций, или функцией от функции).
Переменную Математический анализназывают промежуточным аргументом сложной функции.

Например, функция у = sin 2x есть суперпозиция двух функций у = sin u и и = 2x. Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов.

Основные элементарные функции и их графики

Основными элементарными функциями называют следующие функции. 1) Показательная функция Математический анализНа рис. 104 показаны графики показательных функций, соответствующие различным основаниям степени.

Математический анализ

2) Степенная функция Математический анализ. Примеры графиков степенных функций, соответствующих различным показателям степени, предоставлены на рис. 105.

Математический анализ
Математический анализ
Математический анализ

3) Логарифмическая функция Математический анализ; Графики логарифмических функций, соответствующие различным основаниям, показаны на рис. 106.

Математический анализ

4) Тригонометрические функции у = sinx, у = cos я, у = tgx, у = = ctg х; Графики тригонометрических функций имеют вид, показанный на рис. 107.

Математический анализ

5) Обратные тригонометрические функции у = arcsina:, у = = arccosx, у = arctgi, у = arcctgx. На рис. 108 показаны графики обратных тригонометрических функций.
Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных элементарных функций и постоянных с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и операций взятия функции от функции, называется элементарной функцией. Примерами элементарных функций могут служить функции

Математический анализ
Математический анализ
Математический анализ

Примерами неэлементарных функций могут служить функции

Математический анализ

Последовательности

Числовая последовательность

Под числовой последовательностью Математический анализпонимается функция

Математический анализ

заданная на множестве N натуральных чисел. Кратко последовательность обозначается в виде Математический анализ Число Математический анализ называется первым членом (элементом) последовательности, Математический анализ — вторым,…, Математический анализобщим или п-м членом последовательности.
Чаще всего последовательность задается формулой его общего члена. Формула (15.1) позволяет вычислить любой член последовательности по номеру п, по ней можно сразу вычислить любой член последовательности. Так, равенства

Математический анализ

задают соответственно последовательности

Математический анализ

Последовательность Математический анализ называется ограниченной, если существует такое число М > 0, что для любого п € N выполняется неравенство

Математический анализ

В противном случае последовательность называется неограниченной. Легко видеть, что последовательности Математический анализ ограничены, Математический анализ —неограничены.

Последовательность Математический анализ называется возрастающей (неубывающей), если для любого п выполняется неравенство Математический анализ Математический анализ Аналогично определяется убывающая (невозрастающая) последовательность.

Все эти последовательности называются монотонными последовательностями. Последовательности Математический анализ монотонные, а Математический анализ — не монотонная.
Если все элементы последовательности Математический анализ равны одному и тому же числу с, то ее называют постоянной.
Другой способ задания числовых последовательностей — рекуррентный способ. В нем задается начальный элемент Математический анализ(первый член последовательности) и правило определения n-го элемента по (п — 1)-му:

Математический анализ

Таким образом, Математический анализ и т. д. При таком способе задания последовательности для определения 100-го члена надо сначала посчитать все 99 предыдущих.

Предел числовой последовательности

Можно заметить, что члены последовательности Математический анализ неограниченно приближаются к числу 1. В этом случае говорят, что последовательность Математический анализ стремится к пределу 1.

Число а называется пределом последовательности Математический анализ если для любого положительного числа Математический анализ найдется такое натуральное число N, что при всех п > N выполняется неравенство

Математический анализ

В этом случае пишутМатематический анализ и говорят, что
последовательность Математический анализ (или переменная Математический анализ, пробегающая последовательность Математический анализ) имеет предел, равный числу а (или Математический анализ стремится к а). Говорят также, что последовательность Математический анализ сходится к а.

Коротко определение предела можно записать так:

Математический анализ

Пример 15.1. Доказать, что Математический анализ

Решение: По определению, число 1 будет пределом последовательности Математический анализ найдется натуральное число N, такое, что для всех п > N выполняется неравенство Математический анализ Математический анализОно справедливо для всех Математический анализ, т. е. для всех Математический анализ,
где Математический анализ — целая часть числа (целая часть числа х, обозначаемая [х], есть наибольшее целое число, не превосходящее х; так [3] = 3, [5,2] = 5).

Если Математический анализ, то в качестве N можно взять Математический анализ.

Итак, Математический анализ указано соответствующее значение N. Это и доказывает, что Математический анализ

Заметим, что число N зависит от Математический анализ. Так, если Математический анализ , то

Математический анализ

если Математический анализ= 0,01, то

Математический анализ

Поэтому иногда записывают Математический анализ.
Выясним геометрический смысл определения предела последовательности.
Неравенство (15.2) равносильно неравенствамМатематический анализ или Математический анализ, которые показывают, что элементМатематический анализ находится в Математический анализ-окрестности точки а.

Математический анализ

Поэтому определение предела последовательности геометрически можно сформулировать так: число а называется пределом последовательности Математический анализ, если для любой Математический анализ-окрестности точки а найдется натуральное число N, что все значения Математический анализ, для которых п > N, попадут в Математический анализ-окрестность точки а (см. рис. 109).

Ясно, что чем меньше Математический анализ, тем больше число N, но в любом случае внутри Математический анализ-окрестности точки а находится бесконечное число членов последовательности, а вне ее может быть лишь конечное их число. Отсюда следует, что сходящаяся последовательность имеет только один предел. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся. Таковой является, например, последовательность Математический анализ (см. с. 128).

Постоянная последовательность Математический анализ имеет предел, равный числу с, т. е. lim с = с. Действительно, для Математический анализ при всех натуральных п выполняется неравенство (15.2). Имеем Математический анализ

Предельный переход в неравенствах

Рассмотрим последовательности Математический анализ.
Теорема 15.1. Если Математический анализ и, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство Математический анализ

Допустим, что а > b. Из равенств Математический анализ следует, что для любого Математический анализ найдется такое натуральное число Математический анализ, что при всех Математический анализ будут выполняться неравенства Математический анализ т. е. Математический анализ Возьмем Математический анализ . Тогда:

Математический анализ

т.е. Математический анализ. Отсюда следует, что Математический анализ. Это противоречит условию Математический анализ Следовательно, Математический анализ.

Теорема 15.2. Если Математический анализ и справедливо неравенство Математический анализ (начиная с некоторого номера), то Математический анализ

(Примем без доказательства.)

Предел монотонной ограниченной последовательности. Число е. Натуральные логарифмы

Не всякая последовательность имеет предел. Сформулируем без доказательства признак существования предела последовательности.

Теорема 15.3 (Вейерштрасс). Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.
В качестве примера на применение этого признака рассмотрим последовательность Математический анализ

По формуле бинома Ньютона

Математический анализ

Полагая Математический анализ получим

Математический анализ
Математический анализ

или

Математический анализ

Из равенства (15.3) следует, что с увеличением п число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении п число Математический анализубывает, поэтому величины Математический анализвозрастают. Поэтому последовательность Математический анализвозрастающая, при этом

Математический анализ

Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства (15.3) на единицу; правая часть увеличится, получим неравенство

Математический анализ

Усилим полученное неравенство, заменив числа 3, 4, 5,…, стоящие в знаменателях дробей, числом 2:

Математический анализ

Сумму в скобке найдем по формуле суммы членов геометрической прогрессии:

Математический анализ

Поэтому

Математический анализ

Итак, последовательность ограничена, при этом для Математический анализвыполняются неравенства (15.4) и (15.5):

Математический анализ

Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса последовательность Математический анализ имеет предел, обозначаемый обычно буквой е:

Математический анализ

Число е называют неперовым числом. Число е иррациональное, его приближенное значение равно 2,72 (е = 2,718281828459045…). Число е принято за основание натуральных логарифмов: логарифм по основанию е называется натуральным логарифмом и обозначается In х, т. е. Математический анализ

Найдем связь между натуральным и десятичным логарифмами. По определению логарифма имеем Математический анализ. Прологарифмируем обе части равенства по основанию 10:

Математический анализ

Пользуясь десятичными логарифмами, находим Математический анализ. Значит, Математический анализ. Из этой формулы следует, что Математический анализт. е. Математический анализ. Полученные формулы дают связь между натуральными и десятичными логарифмами.

Предел функции

Предел функции в точке:

Пусть функция у = f(x) определена в некоторой окрестности точки хо, кроме, быть может, самой точки Математический анализ.

Сформулируем два, эквивалентных между собой, определения предела функции в точке.
Определение 1 (на «языке последовательностей», или по
Гейне).
Число А называется пределом функции у = f(x) в точке Математический анализ(или при Математический анализ), если для любой последовательности допустимых значений аргумента Математический анализ, сходящейся к Математический анализ (т. е. Математический анализ), последовательность соответствующих значений функции Математический анализ, сходится к числу А (т. е.Математический анализ).

В этом случае пишут Математический анализ. Геометрический смысл предела функции: Математический анализ означает, что для всех точек х, достаточно близких к точке Математический анализ, соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа А.
Определение 2 (на «языке е-6», или по Коши). Число А называется пределом функции в точке Математический анализ (или при Математический анализ), если для любого положительного Математический анализ найдется такое положительное число Математический анализ, что для всех Математический анализ, удовлетворяющих неравенству Математический анализ, выполняется неравенство Математический анализ

Записывают Математический анализ. Это определение коротко можно записать так:

Математический анализ

Геометрический смысл предела функции: Математический анализ, если для любой Математический анализ-окрестности точки А найдется такая «Математический анализ-окрестность точки Математический анализ, что для всех Математический анализиз этой «Математический анализ-окрестности соответствующие значения функции f(x) лежат в Математический анализ-окрестности точки А. Иными словами, точки графика функции у = f(x) лежат внутри полосы шириной Математический анализ, ограниченной прямыми Математический анализ (см. рис. ПО). Очевидно, что величина Математический анализ зависит от выбора Математический анализ, поэтому пишут Математический анализ.

Пример 16.1. Доказать, что Математический анализ

Решение: Возьмем произвольное Математический анализ, найдем Математический анализ такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству Математический анализ, выполняется неравенство Математический анализВзяв Математический анализ, видим, что для всех х, удовлетворяющих неравенству Математический анализ выполняется неравенство Математический анализ Следовательно, Математический анализ

Пример 16.2. Доказать, что, еслиМатематический анализ
Решение: Для Математический анализможно взять Математический анализ Тогда при Математический анализМатематический анализ имеем Математический анализСледовательно, Математический анализ

Математический анализ

Односторонние пределы

В определении предела функции Математический анализ считается, что х
стремится к Математический анализ любым способом: оставаясь меньшим, чем Математический анализ (слева от Математический анализ), большим, чем Математический анализ (справа от Математический анализ), или колеблясь около точки Математический анализ.
Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к Математический анализсущественно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.
ЧислоМатематический анализ называется пределом функции у = f(x) слева в точке
Математический анализ, если для любого число Математический анализ существует число Математический анализ
такое, что при Математический анализ, выполняется неравенство Математический анализПредел слева записывают так: Математический анализ или коротко: Математический анализ (обозначение Дирихле) (см. рис. 111). Аналогично определяется предел функции справа, запишем его с помощью символов:

Математический анализ

Коротко предел справа обозначают Математический анализ

Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами. Очевидно, если существует Математический анализ, то существуют и оба односторонних предела, причем Математический анализ

Справедливо и обратное утверждение: если существуют оба предела Математический анализ и они равны, то существует пределМатематический анализ и Математический анализ

Если же Математический анализ не существует.

Предел функции при Математический анализ

Пусть функция у = f(x) определена в промежутке Математический анализ. Число А называется пределом функции f(х) при Математический анализ, если для любого положительного числа Математический анализ существует такое число Математический анализ, что при всех х, удовлетворяющих неравенству |x| > М выполняется неравенство Математический анализ. Коротко это определение можно записать так:

Математический анализ

Если Математический анализ, то пишут Математический анализ, если Математический анализ, то —Математический анализ. Геометрический смысл этого определения таков: для Математический анализчто при Математический анализсоответствующие значения функции f(х) попадают в Математический анализ-окрестность точки А, т. е. точки графика лежат в полосе шириной Математический анализ, ограниченной прямыми Математический анализ(см. рис. 112).

Математический анализ

Бесконечно большая функция (б.б.ф)

Функция у =f(х) называется бесконечно большой при Математический анализ, если для любого числа М > 0 существует числоМатематический анализ, что для всех х, удовлетворяющих неравенству Математический анализ, выполняется

По определению предела функции равенство (17.1) означает: для любого числа Математический анализ найдется число Математический анализ такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенству Математический анализ, выполняется неравенство Математический анализ

Аналогично определяется б.м.ф. при Математический анализво всех этих случаях Математический анализ

Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми величинами или бесконечно малыми; обозначают обычно греческими буквами Математический анализ и т. д

Примерами б.м.ф. служат функции Математический анализ при Математический анализ

Другой пример: Математический анализ — бесконечно малая последовательность.
Теорема 17.1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.
Пусть Математический анализ— две б.м. функции при Математический анализ. Это значит, что Математический анализ т. е. для любого Математический анализ, а значит, и Математический анализнайдется числоМатематический анализ такое, что для всех x , удовлетворяющих неравенству Математический анализ выполняется неравенство

Математический анализ

Пусть Математический анализ — наименьшее из чисел Математический анализ. Тогда для всех x, удовлетворяющих неравенству Математический анализ, выполняются оба неравенства (17.2) и (17.3). Следовательно, имеет место соотношение

Математический анализ

Таким образом,

Математический анализ

Это значит, что

Математический анализ

б.м.ф. при Математический анализ

Аналогично проводится доказательство для любого конечного числа б.м. функций.

Теорема 17.2. Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая.

Пусть функция f(x) ограничена приМатематический анализ. Тогда существует такое число М > 0, что

Математический анализ

для всех х из Математический анализ-окрестности точки Математический анализ. И пусть Математический анализ — б.м.ф. при Математический анализ. Тогда для любого Математический анализ, а значит, Математический анализ найдется такое числоМатематический анализ, что при всех х, удовлетворяющих неравенству Математический анализ выполняется неравенство

Математический анализ

Обозначим черезМатематический анализ наименьшее из чисел Математический анализ. Тогда для всех х, удовлетворяющих неравенству Математический анализ, выполняются оба неравенства (17.4) и (17.5). Следовательно, Математический анализ. А это означает, что произведение Математический анализ есть бесконечно малая функция.
Следствие 17.1. Так как всякая б.м.ф. ограничена, то из теоремы (17.2) вытекает: произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая.
Следствие 17.2. Произведение б.м.ф. на число есть функция бесконечно малая.
Теорема 17.3. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая.

Пусть Математический анализ Функция Математический анализможет быть представлена в виде произведения б.м.ф. Математический анализ на ограниченную функцию Математический анализ. Но тогда из теоремы (17.2) вытекает, что частное Математический анализ есть функция бесконечно малая.

Покажем, что функция Математический анализ ограниченная. Возьмем Математический анализ. Тогда, на основании определения предела, найдется Математический анализ, что для всех х, удовлетворяющих неравенству Математический анализ выполняется неравенство Математический анализ А так как

Математический анализ

то

Математический анализ

Следовательно,

Математический анализ

т. е. функция Математический анализ — ограниченная.

Теорема 17.4. Если функция Математический анализ — бесконечно малая Математический анализ, то функция Математический анализ есть бесконечно большая функция и наоборот: если функция f(х) — бесконечно большая, то Математический анализ — бесконечно малая.

Пусть Математический анализ есть б.м.ф. при Математический анализ, т. е.Математический анализ. Тогда

Математический анализ

т.е. Математический анализ А это означает, что функция Математический анализ есть бесконечно большая. Аналогично доказывается обратное утверждение.

Замечание: Доказательства теорем приводились для случая, когда Математический анализ, но они справедливы и для случая, когда Математический анализ.

Пример 17.1. Показать, что функция

Математический анализ

при Математический анализ является бесконечно малой.

Решение: Так как Математический анализ то функция Математический анализ есть бесконечно малая при Математический анализ. Функция Математический анализограничена Математический анализ

ФункцияМатематический анализ представляет собой произведение ограниченной функции (g(х)) на бесконечно малую Математический анализ. Значит, f(x) — бесконечно малая при Математический анализ.

Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией

Теорема 17.5. Если функция f(х) имеем предел, равный А, то ее можно представить как сумму числа А и бесконечно малой функции Математический анализ, т. е. если Математический анализ

Пусть Математический анализ. Следовательно,

Математический анализ

т. е. Математический анализ Это означает, что функция f(х) А имеет предел, равный нулю, т.е. является б.м.ф., которую обозначим через Математический анализ Отсюда Математический анализ

Теорема 17.6 (обратная). Если функцию f(х) можно представить в виде суммы числа А и бесконечно малой функции Математический анализ, то число А является пределом функции f(х), т. е. если Математический анализ то.Математический анализ.

Пусть Математический анализ где Математический анализ — б.м.ф. при Математический анализ, т. е. Математический анализ

Тогда

Математический анализ

А так как по условию Математический анализ Получаем

Математический анализ

А это и означает, что Математический анализ.

Пример 17.2. Доказать, чтоМатематический анализ

Решение: Функцию 5 + х можно представить в виде суммы числа 7 и б.м.ф. х — 2 (при Математический анализ), т. е. выполнено равенство 5 + х = 7 + (х — 2). Следовательно, по теореме 17.6 получаем Математический анализ

Основные теоремы о пределах

Рассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределов функции. Формулировка и доказательство теорем для случаев, когда Математический анализ и Математический анализ, аналогичны. В приводимых теоремах будем считать, что пределы Математический анализ существуют.

Теорема 17.7. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:

Математический анализ

Пусть Математический анализ Тогда по теореме 17.5 о связи функции, ее предела и б.м.ф. можно записать Математический анализ Следовательно, Математический анализ Здесь Математический анализ — б.м.ф. как сумма б.м.ф. По теореме 17.6 о связи функции, ее пределаи б.м.ф. можно записать Математический анализ т. е.

Математический анализ

В случае разности функций доказательство аналогично. Теорема справедлива для алгебраической суммы любого конечного числа функций.

Математический анализ

Пусть Математический анализ По теореме 17.7 имеем:

Математический анализ

Отсюда A — В = 0, т. е. A = В.

Теорема 17.8. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

Математический анализ

Доказательство аналогично предыдущему, проведем его без особых пояснений. Так какМатематический анализ то

Математический анализ

где Математический анализ — б.м.ф. Следовательно,

Математический анализ

т. е.

Математический анализ

Выражение в скобках есть б.м.ф. Поэтому

Математический анализ

т. е.

Математический анализ

Отметим, что теорема справедлива для произведения любого конечного числа функций.

Следствие 17.4. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

Математический анализ
Математический анализ

Следствие 17.5. Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела: Математический анализ В частности, Математический анализ

Математический анализ

Теорема 17.9. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:

Математический анализ

Доказательство аналогично предыдущему. Из равенств

Математический анализ

следуют соотношения Математический анализ Тогда

Математический анализ

Второе слагаемое есть б.м.ф. как частное от деления б.м.ф. на функцию, имеющую отличный от нуля предел. Поэтому

Математический анализ

Рассмотрим пример.
Пример 17.3. Вычислить Математический анализ

Решение:

Математический анализ

Пример 17.4. Вычислить

Математический анализ

Решение: Здесь применить теорему о пределе дроби нельзя, т. к. предел знаменателя, при Математический анализ, равен 0. Кроме того, предел числителя равен 0. В таких случаях говорят, что имеем неопределенность вида Математический анализ. Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель дроби на множители, затем сократим дробь на Математический анализ

Математический анализ

Пример 17.5. Вычислить

Математический анализ

Решение: Здесь мы имеем дело с неопределенностью вида Математический анализ. Для нахождения предела данной дроби разделим числитель и знаменатель на Математический анализ

Математический анализ

Функция Математический анализ есть сумма числа 2 и б.м.ф., поэтому

Математический анализ

Признаки существования пределов

Не всякая функция, даже ограниченная, имеет предел. Например, функция у = sinx при Математический анализ предела не имеет. Во многих вопросах анализа бывает достаточно только убедиться в существовании предела функции. В таких случаях пользуются признаками существования предела.

Теорема 17.10 (о пределе промежуточной функции). Если функция f(х) заключена между двумя функциями Математический анализ, стремящимися к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому пределу, т. е. если

Математический анализ

то

Математический анализ

Из равенств (17.6) вытекает, что для любого Математический анализсуществуют две окрестности Математический анализ точки Математический анализ, в одной из которых выполняется неравенство Математический анализ т. е.

Математический анализ

а в другой Математический анализ т. е.

Математический анализ

Пусть Математический анализ — меньшее из чисел Математический анализ. Тогда в Математический анализ-окрестности точки Математический анализ выполняются оба неравенства (17.8) и (17.9). Из неравенств (17.7) находим, что

Математический анализ

С учетом неравенств (17.8) и (17.9) из неравенства (17.10) следуют неравенства Математический анализ

Мы доказали, что

Математический анализ

Теорему 17.10 иногда шутливо называют «принципом двух милиционеров». Роль «милиционеров» играют функции Математический анализ, функция f(х) «следует за милиционерами».

Теорема 17.11 (о пределе монотонной функции). Если функция f(х) монотонна и ограничена при Математический анализ или при Математический анализ, то существует соответственно ее левый предел Математический анализ или ее правый предел Математический анализ

Доказательство этой теоремы не приводим.
Следствие 17.6. Ограниченная монотонная последовательность Математический анализ, имеет предел.

Первый замечательный предел

При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел

Математический анализ

называемый первым замечательным пределом. Читается: предел отношения синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремится к нулю. Докажем равенство (17.11)

Возьмем круг радиуса 1, обозначим радианную меру угла MOB через х (см. рис. 113). Пусть Математический анализ На рисунке |АМ| = sinx, дуга MB численно равна центральному углу х, |BC| = tgx. Очевидно, имеем Математический анализ На основании соответствующих формул геометрии получаем Математический анализ Разделим неравенства на Математический анализ, получим

Математический анализ
Математический анализ

Так как Математический анализпо признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов

Математический анализ

Пусть теперь х < 0. Имеем Математический анализ, где -х > 0. Поэтому

Математический анализ

Из равенств (17.12) и (17.13) вытекает равенство (17.11).

Пример 17.6. Найти Математический анализ

Решение: Имеем неопределенность вида Математический анализ. Теорема о пределе дроби неприменима. Обозначим Зх = t тогда при Математический анализ, поэтому

Математический анализ

Пример 17.7. Найти Математический анализ

Математический анализ

Второй замечательный предел

Как известно, предел числовой последовательности Математический анализ , имеет предел, равный е (см. (15.6)):

Математический анализ

Докажем, что к числу е стремится и функция Математический анализМатематический анализ

Математический анализ

1.Пусть Математический анализ Каждое значение х заключено между двумя положительными целыми числами: Математический анализ, гдеМатематический анализ— это целая часть x;. Отсюда следует

Математический анализ

поэтому

Математический анализ

Если Математический анализ Поэтому, согласно (17.14), имеем:

Математический анализ
Математический анализ

По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов

Математический анализ

2. Пусть Математический анализ Сделаем подстановку Математический анализ тогда

Математический анализ
Математический анализ

Из равенств (17.16) и (17.17) вытекает равенство (17.15).
Если в равенстве (17.15) положить Математический анализ оно запишется в виде

Математический анализ

Равенства (17.15) и (17.18) называются вторым замечательным пределом. Они широко используются при вычислении пределов. В приложениях анализа большую роль играет показательная функция с основанием е. Функция Математический анализ называется экспоненциальной, употребляется также обозначение Математический анализ

Пример 17.8. Найти Математический анализ

Решение: Обозначим х = 2t, очевидно,Математический анализ Имеем

Математический анализ
Математический анализ

Эквивалентные бесконечно малые функции

Сравнение бесконечно малых функций

Как известно, сумма, разность и произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая. Отношение же двух б.м.ф. может вести себя различным образом: быть конечным числом, быть бесконечно большой функцией, бесконечно малой или вообще не стремиться ни к какому пределу.

Две б.м.ф. сравниваются между собой с помощью их отношения. Пусть Математический анализ есть б.м.ф. при Математический анализ, т. е.

Математический анализ
  1. Если Математический анализ называются бесконечно малыми одного порядка.
  2. Если Математический анализ называется бесконечно малой более высокого порядка, чем Математический анализ.
  3. Если Математический анализ называется бесконечно малой более низкого порядка, чем Математический анализ.
  4. Если Математический анализ не существует, то Математический анализ называются несравнимыми бесконечно малыми.

Отметим, что таковы же правила сравнения б.м.ф. при Математический анализ

Пример 18.1. Сравнить порядок функций Математический анализ при Математический анализ.

Решение: При Математический анализ это б.м.ф. одного порядка, так как

Математический анализ

Говорят, что б.м.ф.Математический анализ одного порядка стремятся к нулю с примерно одинаковой скоростью.

Пример 18.2. Являются ли функции Математический анализ б.м.ф. одного порядка при Математический анализ?

Решение: При Математический анализ функция Математический анализ есть б.м.ф. более высокого порядка, чем Математический анализ, так как Математический анализВ этом случае б.м.ф.Математический анализ стремится к нулю быстрее, чем Математический анализ.

Пример 18.3. Сравнить порядок функций Математический анализ при Математический анализ.

Решение: Так как

Математический анализ

то Математический анализ есть б.м.ф. более низкого порядка, чем Математический анализ.

Пример 18.4. Можно ли сравнить функции Математический анализ при Математический анализ?

Решение: Функции Математический анализ приМатематический анализ являются несравнимыми б.м.ф., так как пределМатематический анализ не существует.

Эквивалентные бесконечно малые и основные теоремы о них

Среди бесконечно малых функций одного порядка особую роль играют так называемые эквивалентные бесконечно малые. Если Математический анализ, то Математический анализ называются эквивалентными бесконечно малыми (при Математический анализ); это обозначается так: Математический анализ Например, Математический анализ, т. к. Математический анализ при Математический анализ

Теорема 18.1. Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой.

Пусть Математический анализ при Математический анализ. Тогда

Математический анализ
Математический анализ

Очевидно также, что

Математический анализ

Теорема 18.2. Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая из них.
Пусть Математический анализ при Математический анализ . Тогда

Математический анализ

аналогично Математический анализ

Справедливо и обратное утверждение: если разность б.м.ф. Математический анализ есть бесконечно мал ал высшего порядка, чем Математический анализ — эквивалентные бесконечно малые.

Действительно, так как

Математический анализ
Математический анализ

Аналогично, если

Математический анализ

Теорема 18.3. Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.
Докажем теорему для двух функций. Пусть Математический анализ при Математический анализ, причем Математический анализ — б.м.ф. высшего порядка, чем Математический анализ, т. е. Математический анализ

Тогда

Математический анализ

Следовательно, Математический анализ при Математический анализ.

Слагаемое, эквивалентное сумме бесконечно малых, называется главной частью этой суммы.

Замена суммы б.м.ф. ее главной частью называется отбрасыванием бесконечно малых высшего порядка.

Пример 18.5. Найти предел Математический анализ

Решение:

Математический анализ

поскольку

Математический анализ

Применение эквивалентных бесконечно малых функций

Вычисление пределов:

Для раскрытия неопределённостей вида Математический анализ часто бывают полезным применять принцип замены бесконечно малых эквивалентными и другие свойства эквивалентных бесконечно малых функций. Как известно,Математический анализ. Приведем еще примеры эквивалентных б.м.ф.

Пример 18.6. Покажем, что Математический анализ

Решение:

Математический анализ

Пример 18.7. Найдем Математический анализ

Решение: Обозначим arcsinx = t. Тогда x = sint и Математический анализ

Поэтому

Математический анализ

Следовательно, Математический анализ

Пример 18.8. Покажем, что Математический анализ

Решение: Так как

Математический анализ
Математический анализ
Математический анализ

Ниже приведены важнейшие эквивалентности, которые используются при вычислении пределов:

Математический анализ

Пример 18.9. Найти Математический анализ

Решение: Так как tg 2х ~ 2х, sin Зх ~ Зх при Математический анализ, то

Математический анализ

Пример 18.10. Найти Математический анализ

Решение: Обозначим Математический анализ следует Математический анализ. Поэтому

Математический анализ

Пример 18.11. Найти Математический анализ

Решение: Так как arcsin(x — 1) ~ (х — 1) при Математический анализ, то

Математический анализ

Приближенные вычисления

Если Математический анализ, то, отбрасывая в равенстве Математический анализ бесконечно малую более высокого порядка, т. е. Математический анализ, получим приближенное равенство Математический анализ.

Оно позволяет выражать одни бесконечно малые через другие. Приведенные выше важнейшие эквивалентности служат источником ряда приближенных формул.

Приведенные формулы справедливы при малых х, и они тем точнее, чем меньше х.

Математический анализ

Например, графики функций у = tgx и у = х в окрестности точки 0 практически не различимы (см. рис. 114), а кривая у = sinx в окрестности точки 0 сливается с прямой у = х (рис. 115). На рисунках 116-118 проиллюстрированы некоторые из важнейших эквивалентностей, о которых говорилось выше.

Математический анализ
Математический анализ

Пример 18.12. Найти приближенное значение для ln 1,032.

Решение: Математический анализ Для сравнения результата по таблице логарифмов находим, что Математический анализ

Непрерывность функций

Непрерывность функции в точке:

Пусть функция у = f(х) определена в точке хо и в некоторой окрестности этой точки. Функция у = f(х) называется непрерывной в точке Математический анализ, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т. е.

Математический анализ

Равенство (19.1) означает выполнение трех условий:

  1. функция f(x) определена в точкеМатематический анализ и в ее окрестности;
  2. функция f(x) имеет предел при Математический анализ;
  3. предел функции в точке Математический анализ равен значению функции в этой точке, т. е. выполняется равенство (19.1).

Так как Математический анализ, то равенство (19.1) можно записать в виде

Математический анализ

Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции f(x) можно перейти к пределу под знаком функции, то есть в функцию f(x) вместо аргумента х подставить его предельное значение Математический анализ.

Например, Математический анализ В первом равенстве функция и предел поменялись местами (см. (19.2)) в силу непрерывности функции Математический анализ.

Пример 19.1. Вычислить Математический анализ

Решение:

Математический анализ

Отметим, что Математический анализ

Можно дать еще одно определение непрерывности функции, опираясь на понятия приращения аргумента и функции.

Пусть функция y=f(x) определена в некотором интервале (а; b). Возьмем произвольную точку Математический анализ. Для любого Математический анализ разность Математический анализ называется приращением аргумента х в точке Математический анализ и обозначается Математический анализ («дельта х»): Математический анализ. Отсюда Математический анализ

Разность соответствующих значений функций Математический анализ называется приращением функции f(x) в точке Математический анализ и обозначается Математический анализ

Математический анализ

(см. рис. 119).

Математический анализ

Очевидно, приращения Математический анализ могут быть как положительными, так и отрицательными числами.

Запишем равенство (19.1) в новых обозначениях. Так как условия Математический анализ одинаковы, то равенство (19.1) принимает вид Математический анализ или

Математический анализ

Полученное равенство (19.3) является еще одним определением непрерывности функции в точке: функция у = f(х) называется непрерывной в точке Математический анализ, если она определена в точке Математический анализ и ее окрестности и выполняется равенство (19.3), т. е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Исследуя непрерывность функции в точке, применяют либо первое (равенство (19.1)), либо второе (равенство (19.3)) определение.

Пример 19.2. Исследовать на непрерывность функцию у = sin x.

Решение: Функция у = sin х определена при всех Математический анализ Возьмем произвольную точку х и найдем приращение Математический анализ:

Математический анализ

Тогда

Математический анализ

так как произведение ограниченной функции и б.м.ф. есть б.м.ф.

Согласно определению (19.3), функция у = sin x непрерывна в точке х. Аналогично доказывается, что функция у = cosx также непрерывна.

Непрерывность функции в интервале и на отрезке

Функция у = f(х) называется непрерывной в интервале (а, b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция у = f(х) называется непрерывной на отрезке [а, b], если она непрерывна в интервале (а, b) и в точке х = а непрерывна справа Математический анализ, а в точке х = b непрерывна слева Математический анализ

Точки разрыва функции и их классификация

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Если Математический анализ — точка разрыва функции у = f(х), то в ней не выполняется по крайней мере одно из условий первого определения непрерывности функции, а именно:

  1. Функция определена в окрестности точки Математический анализ, но не определена в самой точке Математический анализ.

Например, функция Математический анализ не определена в точке Математический анализ (см. рис. 120).

Математический анализ

2. Функция определена в точке Математический анализ и ее окрестности, но не существует предела f(x) при Математический анализ. Например, функция

Математический анализ

определена в точке Математический анализ (f(2) = 0), однако в точке Математический анализ имеет разрыв (см. рис. 121), т. к. эта функция не имеет предела при Математический анализ:

Математический анализ
Математический анализ

3.Функция определена в точке Математический анализ и ее окрестности, существует Математический анализ, но этот предел не равен значению функции в точке Математический анализ: Математический анализ

Например, функция (см. рис. 122)

Математический анализ

Здесь Математический анализ — точка разрыва:

Математический анализ
Математический анализ

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода. Точка разрыва Математический анализ называется точкой разрыва первого рода функции у = f(х), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т. е.

Математический анализ

При этом:

а) если Математический анализ, то точка Математический анализ называется точкой устранимого разрыва; б) если Математический анализ, то точка Математический анализ называется точкой конечного разрыва. Величину Математический анализ называют скачком функции в точке разрыва первого рода.

Точка разрыва Математический анализ называется точкой разрыва второго рода функции у = f(х), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности.

  1. Обратимся к функциям, рассмотренным выше (см. рис. 120).Математический анализ — точка разрыва второго рода.
  2. Для функции
    Математический анализ
    Математический анализ является точкой разрыва первого рода, скачок функции равен |1-0| = 1.
  3. Для функции
    Математический анализ
    Математический анализ является точкой устранимого разрыва первого рода. Положив g(x) = 1 (вместо g(х) = 2) при х = 0, разрыв устранится, функция станет непрерывной.

Пример 19.3. Дана функция Математический анализ. Найти точки разрыва, выяснить их тип.

Решение: Функция f(х) определена и непрерывна на всей числовой оси, кроме точки х = 3. Очевидно, Математический анализ Следовательно, Математический анализ Поэтому в точке х = 3 функция имеет разрыв первого рода. Скачок функции в этой точке равен 1 — (-1) = 2.

Основные теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность элементарных функций

Теоремы о непрерывности функций следуют непосредственно из соответствующих теорем о пределах.
Теорема 19.1. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная (для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель равен нулю).
Пусть функцияМатематический анализ непрерывны на некотором множестве X и Математический анализ — любое значение из этого множества. Докажем, например, непрерывность произведения Математический анализ Применяя теорему о пределе произведения, получим:

Математический анализ

Итак, Математический анализ что и доказывает непрерывность функции Математический анализ в точке Математический анализ.

Теорема 19.2. Пусть функции Математический анализ непрерывна в точке Математический анализ, а функция у = f(u) непрерывна в точке Математический анализ. Тогда сложная функция Математический анализ, состоящая из непрерывных функций, непрерывна в точке Математический анализ.
В силу непрерывности функции Математический анализт. е. при Математический анализ имеем Математический анализ Поэтому вследствие непрерывности функции Математический анализ имеем:

Математический анализ

Это и доказывает, что сложная функция Математический анализ непрерывна в точке Математический анализ.
Теорема 19.3. Если функция у = f(x) непрерывна и строго монотонна на [а; b] оси Ох, то обратная функция Математический анализ также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке [с; d] оси Оу (без доказательства).

Так, например, функция Математический анализ в силу теоремы 19.1, есть функция непрерывная для всех значений х, кроме тех, для которых cos х = 0, т. е. кроме значений Математический анализ

Функции arcsin x;, arctg x , arccosx, arcctg x , в силу теоремы 19.3, непрерывны при всех значениях х, при которых эти функции определены.

Можно доказать, что все основные элементарные функции непрерывны при всех значениях х, для которых они определены.

Как известно, элементарной называется такая функция, которую можно задать одной формулой, содержащей конечное число арифметических действий и суперпозиций (операции взятия функции от функции) основных элементарных функций. Поэтому из приведенных выше теорем вытекает: всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Этот важный результат позволяет, в частности, легко находить пределы элементарных функций в точках, где они определены.

Пример 19.4. Найти Математический анализ

Решение: Функция Математический анализ непрерывна в точке Математический анализ, поэтому

Математический анализ

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Непрерывные на отрезке функции имеют ряд важных свойств. Сформулируем их в виде теорем, не приводя доказательств.
Теорема 19.4 (Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.
Изображенная на рисунке 123 функция у = f(x) непрерывна на отрезке [a; b], принимает свое наибольшее значение М в точкеМатематический анализ, а наименьшее m— в точке Математический анализ. Для любого Математический анализ имеет место неравенство Математический анализ
Следствие 19.1. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

Математический анализ

Теорема 19.5 (Больцано-Коши). Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [а;b] и принимает на его концах неравные значенияМатематический анализ то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между А и В.

Геометрически теорема очевидна (см. рис. 124). Для любого числа С, заключенного между А и В, найдется точка с внутри этого отрезка такая, что f(с) = С. Прямая у = С пересечет график функции по крайней мере в одной точке.
Следствие 19.2. Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [а; b] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка [а; b] найдется хотя бы одна точка с, в которой данная функция f(x) обращается в нуль: f(с) = 0.
Геометрический смысл теоремы: если график непрерывной функции переходит с одной стороны оси Ох на другую, то он пересекает ось Ох (см. рис. 125).

Следствие 19.2 лежит в основе так называемого «метода половинного деления», который используется для нахождения корня уравнения f(x) = 0.

Утверждения теорем 19.4 и 19.5, вообще говоря, делаются неверными, если нарушены какие-либо из ее условий: функция непрерывна не на отрезке [а; b], а в интервале (а; b), либо функция на отрезке [a; b] имеет разрыв.

Рисунок 126 показывает это для следствия теоремы 19.5: график разрывной функции не пересекает ось Ох.

Математический анализ

Пример 19.5. Определить с точностью до Математический анализ корень уравнения Математический анализпринадлежащий отрезку [0; 1], применив метод половинного деления.

Решение: Обозначим левую часть уравнения через f(x).

Шаг 1. Вычисляем Математический анализ

Шаг 2. Вычисляем Математический анализ

Шаг 3. Вычисляем у = f(x). Если f(x) = 0, то х — корень уравнения.

Шаг 4. При Математический анализ если Математический анализ, то полагаем Математический анализ иначе полагаем Математический анализ

Шаг 5. Если Математический анализто задача решена. В качестве искомого корня (с заданной точностью Математический анализ) принимается величина Математический анализ Иначе процесс деления отрезка [а; b] пополам продолжаем, возвращаясь к шагу 2.

В результате произведенных действий получим: х = 0,29589.

Производная функции

Задачи, приводящие к понятию производной:

Понятие производной является одним из основных математических понятий. Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики, других наук, в особенности при изучении скорости разных процессов.

Скорость прямолинейного движения

Пусть материальная точка (некоторое тело) М движется неравномерно по некоторой прямой. Каждому значению времени t соответствует определенное расстояние ОМ = S до некоторой фиксированной точки О. Это расстояние зависит от истекшего времени t, т. е. S = S(t).

Это равенство называют законом движения точки. Требуется найти скорость движения точки.

Если в некоторый момент времени t точка занимает положение М, то в момент времени Математический анализ (Математический анализ— приращение времени) точка займет положение Математический анализ, где Математический анализ (Математический анализ — приращение расстояния) (см рис 127). Таким образом, перемещение точки М за время Математический анализ будет Математический анализ

Отношение Математический анализ выражает среднюю скорость движения точки за время Математический анализ:

Математический анализ

Средняя скорость зависит от значения Математический анализ: чем меньше Математический анализ, тем точнее средняя скорость выражает скорость движения точки в данный момент времени t.

Предел средней скорости движения при стремлении к нулю промежутка времени Математический анализ называется скоростью движения точки в данный момент времени (или мгновенной скоростью). Обозначив эту скорость через V, получим

Математический анализ

Касательная к кривой

Дадим сначала общее определение касательной к кривой.

Возьмем на непрерывной кривой L две точки М и Математический анализ (см. рис. 128).

Прямую Математический анализ, проходящую через эти точки, называют секущей.

Пусть точка Математический анализ, двигаясь вдоль кривой L, неограниченно приближается к точке М. Тогда секущая, поворачиваясь около точки М, стремится к некоторому предельному положению МТ. Касательной к данной кривой в данной точке М называется предельное положение МТ секущей Математический анализ, проходящей через точку М, когда вторая точка пересечения Математический анализ неограниченно приближается по кривой к точке Математический анализ.

Рассмотрим теперь график непрерывной кривой у = f(x), имеющий в точке М(х ; у) невертикальную касательную. Найдем ее угловой коэффициент Математический анализ , где Математический анализ— угол касательной с осью Ох.

Для этого проведем через точку М и точку Математический анализ графика с абсциссой Математический анализ ; секущую (см. рис. 129). Обозначим черезМатематический анализ — угол между секущей Математический анализи осью Ох. На рисунке видно, что угловой коэффициент секущей равен

Математический анализ
Математический анализ

При Математический анализ в силу непрерывности функции приращение Математический анализ тоже стремится к нулю; поэтому точка Математический анализ неограниченно приближается по кривой к точке М, а секущая Математический анализ, поворачиваясь около точки М,
переходит в касательную. Угол Математический анализ

Следовательно, Математический анализ

Поэтому угловой коэффициент касательной равен

Математический анализ

К нахождению пределов вида (20.1) и (20.2) приводят решения и множества других задач. Можно показать, что:

  • если Q = Q(t) — количество электричества, проходящего через поперечное сечение проводника за время t, то сила тока в момент времени t равна
Математический анализ
  • если N = N(t) — количество вещества, вступающего в химическую реакцию за время t, то скорость химической реакции в момент времени t равна
Математический анализ
  • если m = m(x) — масса неоднородного стержня между точками 0(0; 0) и М(х;0), то линейная плотность стержня в точке х есть
Математический анализ

Пределы (20.1)-(20.5) имеют одинаковый вид; везде требуется найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Этот предел называют производной. Эти пределы можно записать так:

Математический анализ

(читается «V равно S штрих по t», «тангенс а равен у штрих по х» и т. д.).

Определение производной; ее механический и геометрический смысл. Уравнение касательной и нормали к кривой

Пусть функция у = f(х) определена на некотором интервале (а; b). Проделаем следующие операции:

  • аргументу хМатематический анализ дадим приращение Математический анализ
  • найдем соответствующее приращение функции: Математический анализ
  • составим отношение приращения функции к приращению аргу-мента: Математический анализ
  • найдем предел этого отношения при Математический анализ

Если этот предел существует, то его называют производной функции f(x) и обозначают одним из символов Математический анализ

Производной функции у = f(х) в точке Математический анализ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Итак, по определению

Математический анализ

Производная функции f(х) есть некоторая функция f'(x), произведенная из данной функции.

Функция у = f(х), имеющая производную в каждой точке интервала (а; b), называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Значение производной функции у = f(x) в точке Математический анализ обозначается одним из символов:

Математический анализ

Пример 20.1. Найти производную функции у = С, С = const.

Решение:

  • Значению х даем приращение Математический анализ;
  • находим приращение функции Математический анализ
  • значит, Математический анализ
  • следовательно, Математический анализ

Пример 20.2. Найти производную функции Математический анализ.

Решение:

  • Аргументу х даем приращение Математический анализ;
  • находим
Математический анализ
  • составляем отношение
Математический анализ
  • находим предел этого отношения:
Математический анализ

Таким образом, Математический анализ

В задаче про скорость прямолинейного движения было получено Математический анализ

Это равенство перепишем в видеМатематический анализ, т. е. скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t есть производная от пути S по времени t. В этом заключается механический смысл производной.

Обобщал, можно сказать, что если функция у = f(х) описывает какой-либо физический процесс, то производная у’ есть скорость протекания этого процесса. В этом состоит физический смысл производной.

В задаче про касательную к кривой был найден угловой коэффициент касательной Математический анализ Это равенство перепишем в виде Математический анализ т.е. производная f'(х) в точке х равна угловому коэффициенту касательной к графику функции у = f(х) в точке, абсцисса которой равна х. В этом заключается геометрический смысл производной.

Если точка касания М имеет координатыМатематический анализ (см. рис. 130), то угловой коэффициент касательной есть Математический анализ. Пользуясь уравнением прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении Математический анализ, можно записать уравнение касательной: Математический анализ

Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой.

Так как нормаль перпендикулярна касательной, то ее угловой коэффициент

Математический анализ

Поэтому уравнение нормали имеет вид Математический анализ(если Математический анализ).

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции

Теорема 20.1. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней.
Пусть функция у = f(x) дифференцируема в некоторой точке х.

Следовательно, существует предел Математический анализ.

Отсюда, по теореме 17.5 о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, имеем Математический анализто есть Математический анализ

Переходя к пределу, при Математический анализполучаем Математический анализ. А это и означает, что функция у = f(x) непрерывна в точке х.

Обратная теорема неверна: непрерывная функция может не иметь производной. Примером такой функции является функция

Математический анализ
Математический анализ

Изображенная на рисунке 131 функция непрерывна в точке х = 0, но не дифференцируема в ней.

Действительно, в точке х = 0 имеем

Математический анализ

Отсюда следует, что Математический анализ не существует, т. е. функция Математический анализне имеет производной в точке х = 0, график функции не имеет касательной в точке O(0; 0).

Замечания: 1. Существуют односторонние пределы функции Математический анализв точке х = 0: Математический анализВ таких случаях говорят, что функция имеет односторонние производные (или «производные слева и справа»), и обозначают соответственно Математический анализ

Если Математический анализ то производная в точке не существует. Не существует производной и в точках разрыва функции.

2.Производная у’ = f'(х) непрерывной функции у = f(x) сама не обязательно является непрерывной.

Если функция у =f(х) имеет непрерывную производную у’ = f'(х) в некотором интервале (а; b), то функция называется гладкой.

Производная суммы, разности, произведения и частного функций

Нахождение производной функции непосредственно по определению часто связано с определенными трудностями. На практике функции дифференцируют с помощью ряда правил и формул.

Пусть функции и = и(х) и v = v(x) — две дифференцируемые в некотором интервале (а; b) функции.
Теорема 20.2. Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций: (и ± v)’ = и’ ± v’.
Обозначим у = и ± v. По определению производной и основным теоремам о пределах получаем:

Математический анализ
Математический анализ
Математический анализ
Математический анализ

Теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых.

Теорема 20.3. Производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго: Математический анализ

Пусть у = uv. Тогда

Математический анализ
Математический анализ
Математический анализ
Математический анализ

При доказательстве теоремы использовалась теорема о связи непрерывности и дифференцируемости: так как функции и = и(х) и v = v(x) дифференцируемы, то они и непрерывны, поэтому Математический анализ и Математический анализ при Математический анализ.

Можно показать, что:

Математический анализ

Теорема 20.4. Производная частного двух функций Математический анализ, если Математический анализ равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя:

Математический анализ

Пусть Математический анализ Тогда

Математический анализ
Математический анализ
Математический анализ
Математический анализ
Математический анализ

Следствие 20.1. Математический анализ

Следствие 20.2. Математический анализ

Производная сложной и обратной функций

Пусть Математический анализ, тогда Математический анализ— сложная функция с промежуточным аргументом и и независимым аргументом х.

Теорема 20.5. Если функция Математический анализ имеет производную Математический анализ в точке х, а функция Математический анализ имеет производную Математический анализ в соответствующей точке Математический анализ, то сложная функция Математический анализ имеет производную Математический анализ в точке х, которая находится по формуле Математический анализ

По условию Математический анализ Отсюда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, имеем Математический анализ или

Математический анализ

где Математический анализ при Математический анализ

Функция Математический анализ имеет производную в точке х: Математический анализпоэтому

Математический анализ

Подставив значение Математический анализ в равенство (20.6), получим

Математический анализ

т. е.

Математический анализ

Разделив полученное равенство на Математический анализ и перейдя к пределу при Математический анализ, получим Математический анализ

Итак, для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу.

Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько. Так, если

Математический анализ

Пусть Математический анализ— взаимно обратные функции.

Теорема 20.6. Если функция у = f(х) строго монотонна на интервале (а; b) и имеет неравную нулю производную f'(x) в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция Математический анализ также имеет производную Математический анализ в соответствующей точке, определяемую равенством Математический анализ

Рассмотрим обратную функцию Математический анализ. Дадим аргументу у приращение Математический анализ. Ему соответствует приращение Математический анализ обратной функции, причемМатематический анализв силу строгой монотонности функции у = f(х). Поэтому можно записать

Математический анализ

Если Математический анализ, то в силу непрерывности обратной функции приращение Математический анализ. И так как Математический анализ то из (20.7) следуют равенства

Математический анализ

Таким образом, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

Правило дифференцирования обратной функции записывают так:

Математический анализ

Пример 20.3. Найти производную функции Математический анализ

Решение: Данная функция является сложной. Ее можно представить в виде цепочки «простых» функций: Математический анализ, где Математический анализ По правилу дифференцирования сложной функции Математический анализ получаем:

Математический анализ

Пример 20.4. Пользуясь правилом дифференцирования обратной функции, найти производную Математический анализ для функции Математический анализ

Решение: Обратная функция Математический анализ имеет производную Математический анализ

Следовательно,

Математический анализ

Производные основных элементарных функций

Степенная функция Математический анализ

Дадим аргументу х приращение Математический анализ. Функция Математический анализ получит приращение Математический анализПо формуле бинома Ньютона имеем

Математический анализ

Тогда

Математический анализ

Находим предел составленного отношения при Математический анализ:

Математический анализ

Таким образом,

Математический анализ

Например, Математический анализ

Ниже (см. замечание нас. 175) будет показано, что формула производной степенной функции справедлива при любом Математический анализ (а не только натуральном).

Показательная функция Математический анализ

Найдем сначала производную функции Математический анализ. Придав аргументу х приращение Математический анализ, находим приращение функции

Математический анализ

Стало быть, Математический анализ и

Математический анализ

При вычислении предела воспользовались эквивалентностью Математический анализ

Итак, Математический анализ, т. е.

Математический анализ

Теперь рассмотрим функцию Математический анализ Так как Математический анализ, то по формуле производной сложной функции находим:

Математический анализ

Таким образом, Математический анализ

Пример 20.5. Найти производную функции Математический анализ

Решение: Используя формулу производной сложной функции и формулу производной показательной функции, находим

Математический анализ

Логарифмическая функция Математический анализ

Найдем сначала производную функции Математический анализ Для нее

Математический анализ

Переходя к пределу при Математический анализ и воспользовавшись эквивалентностью Математический анализполучаем:

Математический анализ

т. е. Математический анализ

Теперь рассмотрим функцию Математический анализ

Так как Математический анализто

Математический анализ

Таким образом, Математический анализ

Пример 20.6. Найти производную функции Математический анализ

Решение:

Математический анализ

Производную логарифмической функции Математический анализ можно найти иначе. Так как обратной для нее функцией является Математический анализ, то по формуле производной обратной функции имеем:

Математический анализ

Тригонометрические функции у = sin х, у = cos x, у = tgx, у = ctgx

Для функции у = sin х имеем:

Математический анализ

Переходя к пределу при Математический анализ и воспользовавшись первым замечательным пределом Математический анализполучаем

Математический анализ

т. е. Математический анализ

Найдем производную функции у=cosx, воспользовавшись формулой производной сложной функции:

Математический анализ

Для нахождения производных функций y=tgx и y=ctgx воспользуемся формулой производной частного:

Математический анализ

Проделав аналогичные операции, получим формулу

Математический анализ

Этот результат можно получить иначе:

Математический анализ

Пример 20.7. Найти производную функции у = cos 2х.

Решение:

Математический анализ

Обратные тригонометрические функции у = arcsinx, у = arccosx, у = arctgx, у = arcctgx

Пусть у = arcsinx. Обратная ей функция имеет вид х = sin у, Математический анализ. На интервале Математический анализ верно равенство Математический анализ

По правилу дифференцирования обратных функций

Математический анализ

где перед корнем взят знак плюс, так как cos у > 0 при Математический анализ

Итак, Математический анализ

Аналогично получаем, что Математический анализ Эту формулу можно получить проще: так как Математический анализ т. е. Математический анализто

Математический анализ

Найдем производную функции у = arctgx.

Она является обратной к функции Математический анализ

Поэтому, по правилу дифференцирования обратных функций, получаем, что

Математический анализ

Итак, Математический анализ

Функции arctg х и arcctg х связаны отношением

Математический анализ

Дифференцируя это равенство, находим

Математический анализ
Математический анализ

Пример 20.8. Найти производные функций:

Математический анализ

Решение:

Математический анализ
Математический анализ
Математический анализ

Замечание: Найдем производную степенной функции Математический анализ с любым показателем Математический анализ В этом случае функция рассматривается для х > 0.

Можно записать Математический анализ По правилу дифференцирования сложной функции находим

Математический анализ

Формула остается справедливой и для x< 0, если функция Математический анализсуществует:

Математический анализ

при всех Математический анализ

Пример 20.9. Показать, что функция Математический анализудовлетворяет уравнению Математический анализ

Решение: Находим у’:

Математический анализ

т. е. Математический анализ Подставляем значение у’ в данное уравнение:

Математический анализ

Функция удовлетворяет данному уравнению.

Гиперболические функции и их производные

В математике, механике, электротехнике и некоторых других дисциплинах встречаются гиперболические функции, определяемые следующими формулами:

Математический анализ—гиперболический синус;

Математический анализ—гиперболический косинус («цепная линия»);

Математический анализ — гиперболический тангенс и котангенс, где е — неперово число.

На рисунках 132-135 показаны графики гиперболических функций. Между гиперболическими функциями существуют следующие основные зависимости:

Математический анализ
Математический анализ
Математический анализ

Все эти формулы вытекают из определения гиперболических функций.

Например,

Математический анализ
Математический анализ

Геометрическая интерпретация гиперболических функций (см. рис. 137) аналогична интерпретации тригонометрических функций (см. рис. 136).

Математический анализ
Математический анализ

Найдем производные гиперболических функций:

Математический анализ
Математический анализ

Таблица производных

Выведенные правила дифференцирования, формулы производных основных элементарных функций запишем в виде таблицы.

На практике чаще всего приходится находить производные от сложных функций. Поэтому в приведенной ниже таблице формул дифференцирования аргумент «х» заменен на промежуточный аргумент «и».

Правила дифференцирования

Математический анализ
Математический анализ

Формулы дифференцирования

Математический анализ
Математический анализ
Математический анализ
Математический анализ

Для вычисления производных надо знать лишь правила дифференцирования и формулы производных основных элементарных функций, строго соблюдать эти правила при выполнении упражнений.

Пример 20.10. Найти производную функции Математический анализ

Решение:

Математический анализ

Надо стараться обходиться без лишних записей.

Пример 20.11. Найти производную функции Математический анализ

Решение:

Математический анализ

Производная найдена. В процессе решения использованы правила 2, 3 и формулы 2, 7.

Пример 20.12. Найти производную функции Математический анализ

Решение: Коротко: Математический анализ

Решение с пояснениями: данную функцию можно представить следующим образом: Математический анализ Производную сложной функции найдем по правилу Математический анализ (здесь промежуточных аргументов три):

Математический анализ
Математический анализ
Математический анализ

Дифференцирование неявных и параметрически заданных функция

Неявно заданная функция:

Если функция задана уравнением у = f(х), разрешенным относительно у, то функция задана в явном виде (явная функция).

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x; у) = 0, не разрешенного относительно у. Всякую явно заданную функцию у = f(х) можно записать как неявно заданную уравнением f(х) — у = 0, но не наоборот.

Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно у (например, Математический анализ

Если неявная функция задана уравнением F(x; у) = 0, то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно продифференцировать это уравнение по х, рассматривая при этом у как функцию х, и полученное затем уравнение разрешить относительно у’.

Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у.

Пример 21.1. Найти производную функции у, заданную уравнением Математический анализ

Решение: Функция у задана неявно. Дифференцируем по х равенство Математический анализ Из полученного соотношения

Математический анализ

следует, что

Математический анализ

Функция, заданная параметрически

Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически в виде двух уравнений

Математический анализ

где t — вспомогательная переменная, называемая параметром.

Найдем производную Математический анализ, считая, что функции (21.1) имеют производные и что функция х = x(t) имеет обратную Математический анализ. По правилу дифференцирования обратной функции

Математический анализ

Функцию у = f(x), определяемую параметрическими уравнениями (21.1), можно рассматривать как сложную функцию у = y(t), где Математический анализ.

По правилу дифференцирования сложной функции имеем: Математический анализ

С учетом равенства (21.2) получаем

Математический анализ

Полученная формула позволяет находить производную Математический анализ от функции заданной параметрически, не находя непосредственной зависимости у от х.

Пример 21.2. Пусть Математический анализ Найти Математический анализ.

Решение: Имеем Математический анализ Следовательно,Математический анализ т.е. Математический анализ

В этом можно убедиться, найдя непосредственно зависимость у от х.

Действительно, Математический анализ Тогда Математический анализОтсюда Математический анализ т. е. Математический анализ

Логарифмическое дифференцирование

В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать. А затем результат продифференцировать. Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием.

Пример 22.1. Найти производную функции

Математический анализ

Решение: Можно найти у’ с помощью правил и формул дифференцирования. Однако такой способ слишком громоздкий. Применим логарифмическое дифференцирование. Логарифмируем функцию:

Математический анализ

Дифференцируем это равенство по х:

Математический анализ

Выражаем у’:

Математический анализ

т. е.

Математический анализ

Существуют функции, производные которых находят лишь логарифмическим дифференцированием. К их числу относится так называемая степенно-показательная функция Математический анализ, где и = и(х) и v= v(x) — заданные дифференцируемые функции от х. Найдем производную этой функции:

Математический анализ

т. е.

Математический анализ

или

Математический анализ

Сформулируем правило запоминания формулы (22.1): производная степенно-показательной функции равна сумме производной показательной функции, при условии и = const, и производной степенной функции, при условии v = const.

Пример 22.2. Найти производную функции Математический анализ

Решение: Пользуясь формулой (22.1), получаем:

Математический анализ

Отметим, что запоминать формулу (22.1) необязательно, легче запомнить суть логарифмического дифференцирования.

Производные высших порядков

Производные высших порядков явно заданной функции:

Производная у’ = f'(x) функции у = f(x) есть также функция от х и называется производной первого порядка.

Если функция f'(х) дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается у» (или Математический анализ. Итак, у» = (у’)’.

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается у'» Математический анализ. Итак, у'» = (у»)’.

Производной п-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной (п — 1) порядка:

Математический анализ

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках (Математический анализ — производная пятого порядка).

Пример 23.1. Найти производную 13-го порядка функции у= sinx.

Решение:

Математический анализ
Математический анализ

Механический смысл производной второго порядка

Пусть материальная точка М движется прямолинейно по закону S = f(t). Как уже известно, производная Математический анализ равна скорости точки в данный момент времени: Математический анализ

Покажем, что вторая производная от пути по времени есть величина ускорения прямолинейного движения точки, т. е. Математический анализ

Пусть в момент времени t скорость точки равна V, а в моментМатематический анализ — скорость равна Математический анализ, т. е. за промежуток времени Математический анализ скорость изменилась на величину Математический анализ.

Отношение Математический анализ— выражает среднее ускорение движения точки за время Математический анализ. Предел этого отношения при Математический анализназывается ускорением точки М в данный момент t и обозначается буквой a: Математический анализт. е. V’ = a.

Но Математический анализ Поэтому Математический анализ

Производные высших порядков неявно заданной функции

Пусть функция у = f(х) задана неявно в виде уравнения F(x, y) = 0.

Продифференцировав это уравнение по х и разрешив полученное уравнение относительно у’, найдем производную первого порядка (первую производную). Продифференцировав по х первую производную, получим вторую производную от неявной функции. В нее войдут х, у и у’ . Подставляя уже найденное значение у’ в выражение второй производной, выразим у» через х и у.

Аналогично поступаем для нахождения производной третьего (и дальше) порядка.

Пример 23.2. Найти у'», если Математический анализ

Решение: Дифференцируем уравнение Математический анализМатематический анализ. ОтсюдаМатематический анализ Далее имеем: Математический анализ т. е.

Математический анализ

следовательно,

Математический анализ

Производные высших порядков от функций, заданных параметрически

Пусть функция у = f(х) задана параметрическими уравнениями

Математический анализ

Как известно, первая производная Математический анализ находится по формуле

Математический анализ

Найдем вторую производную от функции заданной параметрически. Из определения второй производной и равенства (23.1) следует, что

Математический анализ

т. е.

Математический анализ

Аналогично получаем

Математический анализ

Пример 23.3. Найти вторую производную функции Математический анализ

Решение: По формуле (23.1)

Математический анализ

Тогда по формуле (23.2)

Математический анализ

Заметим, что найти Математический анализ можно по преобразованной формуле (23.2):

Математический анализ

запоминать которую вряд ли стоит.

Дифференциал функции

Понятие дифференциала функции:

Пусть функция у = f(x) имеет в точке х отличную от нуля производную Математический анализ Тогда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать Математический анализ где Математический анализ при Математический анализ, или Математический анализ

Таким образом, приращение функции Математический анализ представляет собой сумму двух слагаемых Математический анализ являющихся бесконечно малыми при Математический анализ. При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с Математический анализ, так как Математический анализ а второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем Математический анализ:

Математический анализ

Поэтому первое слагаемое Математический анализ называют главной частью приращения функцииМатематический анализ.

Дифференциалом функции у =f(x) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dy (или Математический анализ:

Математический анализ

Дифференциал dy называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции у = х.

Так как у’ = х’ = 1, то, согласно формуле (24.1), имеем Математический анализ, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: Математический анализ

Поэтому формулу (24.1) можно записать так:

Математический анализ

иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Из формулы (24.2) следует равенство Математический анализ. Теперь обозначение производной Математический анализ можно рассматривать как отношение дифференциалов dy и dx.

Пример 24.1. Найти дифференциал функции

Математический анализ

Решение: По формуле dy = f'(x) dx находим

Математический анализ

Пример 24.2. Найти дифференциал функции

Математический анализ

Вычислить dy при x = 0, dx = 0,1.
Решение:

Математический анализ

Подставив х = 0 и dx = 0,1, получим

Математический анализ

Геометрический смысл дифференциала функции

Выясним геометрический смысл дифференциала.

Для этого проведем к графику функции у = f(x) в точке М(х; у) касательную МТ и рассмотрим ординату этой касательной для точки Математический анализ (см. рис. 138). На рисунке Математический анализ Из прямоугольного треугольника МАВ имеем:

Математический анализ
Математический анализ

Но, согласно геометрическому смыслу производной, Математический анализПоэтому Математический анализ

Сравнивая полученный результат с формулой (24.1), получаем dy = АВ, т. е. дифференциал функции у = f(x) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получит приращение Математический анализ. В этом и состоит геометрический смысл дифференциала.

Основные теоремы о дифференциалах

Основные теоремы о дифференциалах легко получить, используя связь дифференциала и производной функции (dy = f'(x)dx) и соответствующие теоремы о производных.

Например, так как производная функции у = с равна нулю, то дифференциал постоянной величины равен нулю: Математический анализ

Теорема 24.1. Дифференциал суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций определяются следующими формулами:

Математический анализ

Докажем, например, вторую формулу. По определению дифференциала имеем:

Математический анализ

Теорема 24.2. Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

Пусть Математический анализ две дифференцируемые функции, образующие сложную функцию Математический анализ По теореме о производной сложной функции можно написать

Математический анализ

Умножив обе части этого равенства на dx, получаем Математический анализ Но Математический анализ Следовательно, последнее равенство можно переписать так:

Математический анализ

Сравнивая формулы Математический анализ видим, что первый дифференциал функции у = f(х) определяется одной и той же формулой независимо от того, является ли ее аргумент независимой переменной или является функцией другого аргумента.

Это свойство дифференциала называют инвариантностью (неизменностью) формы первого дифференциала.

Формула Математический анализ по внешнему виду совпадает с формулой Математический анализ но между ними есть принципиальное отличие: в первой формуле х — независимая переменная, следовательно, Математический анализ во второй формуле и есть функция от х, поэтому, вообще говоря, Математический анализ

С помощью определения дифференциала и основных теорем о дифференциалах легко преобразовать таблицу производных в таблицу дифференциалов.

Например,

Математический анализ

Таблица дифференциалов

Математический анализ
Математический анализ
Математический анализ
Математический анализ
Математический анализ

Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Как уже известно, приращение Математический анализ функции у =f(х) в точке х можно представить в виде Математический анализ при Математический анализ Отбрасывая бесконечно малую Математический анализ более высокого порядка, чем Математический анализ, получаем приближенное равенство

Математический анализ

причем это равенство тем точнее, чем меньше Математический анализ.

Это равенство позволяет с большой точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции.

Дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение функции, поэтому формула (24.3) широко применяется в вычислительной практике.

Пример 24.3. Найти приближенное значение приращения функции

Математический анализ

Решение: Применяем формулу (24.3):

Математический анализ
Математический анализ

Итак, Математический анализ

Посмотрим, какую погрешность допустили, вычислив дифференциал функции вместо ее приращения. Для этого найдем Математический анализ:

Математический анализ

Абсолютная погрешность приближения равна

Математический анализ

Подставляя в равенство (24.3) значения Математический анализ и dy, получим

Математический анализ

или

Математический анализ

Формула (24.4) используется для вычислений приближенных значений функций.

Пример 24.4. Вычислить приближенно arctg 1,05.

Решение: Рассмотрим функцию f(х) = arctgx. По формуле (24.4) имеем:

Математический анализ

т.е.

Математический анализ

Так какМатематический анализ получаем:

Математический анализ

Можно показать, что абсолютная погрешность формулы (24.4) не превышает величины Математический анализ, где М — наибольшее значение |f»(x)| на сегменте Математический анализ (см. с. 196).

Пример 24.5. Какой путь пройдет тело при свободном падении на Луне за 10,04 с от начала падения. Уравнение свободного падения тела

Математический анализ

Решение: Требуется найти H(10,04). Воспользуемся приближенной формулой Математический анализ

Математический анализ

При t = 10 с и Математический анализ находим

Математический анализ

Задача (для самостоятельного решения). Тело массой m = 20 кг движется со скоростью v = 10,02 м/с. Вычислить приближенно кинетическую энергию тела Математический анализ

Дифференциалы высших порядков

Пусть у = f(х) дифференцируемая функция, а ее аргумент х независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал dy = f'(х) dx есть также функция х; можно найти дифференциал этой функции.

Дифференциал от дифференциала функции у = f(х) называется ее вторым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) и обозначается Математический анализ

Итак, по определению Математический анализ Найдем выражение второго дифференциала функции у = f(х).

Так как Математический анализ не зависит от х, то при дифференцировании считаем dx постоянным:

Математический анализ

т.е.

Математический анализ

Здесь Математический анализ обозначает Математический анализ

Аналогично определяется и находится дифференциал третьего порядка:

Математический анализ

И, вообще, дифференциал n-го порядка есть дифференциал от дифференциала (п — 1)-го порядка:

Математический анализ

Отсюда находим, что Математический анализВ частности, при п = 1, 2, 3 соответственно получаем:

Математический анализ

т. е. производную функции можно рассматривать как отношение ее дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.

Отметим, что все приведенные выше формулы справедливы только, если х — независимая переменная. Если же функцию у = f(x), где хфункция от какой-то другой независимой переменной, то дифференциалы второго и выше порядков не обладают свойством инвариантности формы и вычисляются по другим формулам. Покажем это на примере дифференциала второго порядка.

Используя формулу дифференциала произведения Математический анализполучаем:

Математический анализ

Сравнивая формулы (24.5) и (24.6), убеждаемся, что в случае сложной функции формула дифференциала второго порядка изменяется: появляется второе слагаемое Математический анализ

Ясно, что если х — независимая переменная, то

Математический анализ

и формула (24.6) переходит в формулу (24.5).

Пример 24.6. Найти Математический анализ, если Математический анализ— независимая переменная.

Решение: Так как Математический анализто по формуле (24.5) имеем Математический анализ

Пример 24.7. Найти Математический анализ, если Математический анализ — независимая переменная.

Решение: Используем формулу (24.6): так как

Математический анализ

то

Математический анализ

Другое решение: Математический анализ Следовательно, Математический анализ Тогда по формуле (24.5)

Математический анализ

Исследование функций при помощи производных

Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях:

Рассмотрим ряд теорем, имеющих большое теоретическое и прикладное значение.
Теорема 25.1 (Ролль). Если функция f(х) непрерывна на отрезке [а; b], дифференцируема на интервале (а; b) и на концах отрезка принимает одинаковые значения f(а) = f (b), то найдется хотя бы одна точка с € (а; b), в которой производная f'(х) обращается в нуль, т. е. f'(с) = 0.

Так как функция f(х) непрерывна на отрезке [а; b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений (по теореме 19.4), соответственно, М и m. Если М = m, то функция f(х) постоянна на [а; b] и, следовательно, ее производная f'(х) = 0 в любой точке отрезка [а; b].

Если Математический анализ то функция достигает хотя бы одно из значений М или m во внутренней точке с интервала (а; b), так как f(a) = f(b).

Пусть, например, функция принимает значение М в точке х = с € (а; b), т.е. f(с) = М. Тогда для всех х € (а; b) выполняется соотношение

Математический анализ

Найдем производную f'(х) в точке х = с:

Математический анализ
Математический анализ

В силу условия (25.1) верно неравенство Математический анализ Если Математический анализ (т. е. Математический анализ справа от точки х = с), то

Математический анализ

Если Математический анализ, то

Математический анализ

Таким образом, f'(с) = 0.

В случае, когда f(с) = m, доказательство аналогичное.

Геометрически теорема Ролля означает, что на графике функции у = f(х) найдется точка, в которой касательная к графику параллельна оси Ох (см. рис. 139 и 140). На рисунке 141 таких точек две.

Теорема 25.2 (Коши). Если функции Математический анализ непрерывны на отрезке [а; b], дифференцируемы на интервале (а; b), причем Математический анализдля Математический анализ, то найдется хотя бы одна точка Математический анализтакая, что выполняется равенство

Математический анализ

Отметим, что Математический анализ так как в противном случае по теореме Ролля нашлась бы точка с, такая, что Математический анализ чего не может быть по условию теоремы. Рассмотрим вспомогательную функцию

Математический анализ

Она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: непрерывна на отрезке [а; b] и дифференцируема на интервале (а; b), так как является линейной комбинацией функций Математический анализ; на концах отрезка она принимает одинаковые значения F(a) = F(b) = 0.

На основании теоремы Ролля найдется точка Математический анализтакая, что F'(c) = 0. Но Математический анализ, следовательно,

Математический анализ

Отсюда следует

Математический анализ

Теорема 25.3 (Лагранж). Если функция f(х) непрерывна на отрезке [a; b], дифференцируема на интервале (a;b), то найдется хотя бы одна точка Математический анализ такая, что выполняется равенство

Математический анализ

Решение: Теорему Лагранжа можно рассматривать как частный случай теоремы Коши. Действительно, положив Математический анализ, находим

Математический анализ

Подставляя эти значения в формулу Математический анализполучаем

Математический анализ

Полученную формулу называют формулой Лагранжа или формулой о конечном приращении: приращение дифференцируемой функции на отрезке [a; b] равно приращению аргумента, умноженному на значение производной функции в некоторой внутренней точке этого отрезка.

Математический анализ

Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл. Запишем формулу (25.2) в виде

Математический анализ

где а<с<b. Отношение Математический анализесть угловой коэффициент секущей АВ, а величина f'(с) — угловой коэффициент касательной к кривой в точке с абсциссой х=с.

Следовательно, геометрический смысл теоремы Лагранжа таков: на графике функции у = f(х) найдется точка С(с; f(c)) (см. рис. 142), в которой касательная к графику функции параллельна секущей АВ.
Следствие 25.1. Если производная функции равна нулю на некотором промежутке, то функция постоянна на этом промежутке.

Пусть f'(х) = 0 для Математический анализ. Возьмем произвольные Математический анализ из (а; b) и пусть Математический анализ. Тогда по теореме Лагранжа Математический анализ такая, что Математический анализ Но по условию f'(х) = 0, стало быть, f'(с) = 0, где Математический анализ Поэтому имеем Математический анализ т.е. Математический анализ. А так как Математический анализ — произвольные точки из интервала (а; b), то Математический анализимеем f(х) = с.

Следствие 25.2. Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке, то они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.

ПустьМатематический анализ при Математический анализ. Тогда Математический анализ Следовательно, согласно следствию 25.1, функция Математический анализесть постоянная, т. е.

Математический анализ

Пример 25.1. Доказать, что

Математический анализ

Решение: Пусть f(х) = arcsin x + arccos x. Тогда Математический анализ) имеем

Математический анализ

Отсюда следует, что f(х) = С, т. е. arcsin х+arccos х = С. Положив х = 0, находим Математический анализ

Поэтому Математический анализ Это равенство выполняется и при х = ±1 (проверьте!). •

Аналогично доказывается, что Математический анализ

Математический анализ

Формуле Лагранжа можно придать другой вид. Применив теорему Лагранжа к отрезкуМатематический анализ будем иметь

Математический анализ

Каждое число Математический анализ можно записать в виде Математический анализгде Математический анализ (действительно,

Математический анализ

положим Математический анализ). Формула (25.3) примет вид

где Математический анализ.

Используя теорему Лагранжа, можно оценить точность приближенного равенства Математический анализСделаем это, считая, что функция f(x) имеет непрерывную вторую производную f»(x):

Математический анализ

где Математический анализ (рис. 143).

Итак, Математический анализ Пусть Математический анализ Так как Математический анализ то получаем оценку Математический анализ

Математический анализ

Правила Лопиталя

Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей вида Математический анализ, который основан на применении производных.

Теорема 25.4 (Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида Математический анализ). Пусть функции Математический анализ непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки Математический анализ и обращаются в нуль в этой точке:Математический анализ Пусть Математический анализ в окрестности точки Математический анализ. Если существует предел

Математический анализ

Применим к функциям Математический анализ теорему Коши для отрезка Математический анализ, лежащего в окрестности точки Математический анализ. ТогдаМатематический анализгде с лежит междуМатематический анализи х (рис. 144). Учитывая, что Математический анализ получаем

Математический анализ

При Математический анализ, величина с также стремится кМатематический анализ; перейдем в равенстве (25.4) к пределу:

Математический анализ

Так как Математический анализ Поэтому Математический анализ

Коротко полученную формулу читают так: предел отношения двух бесконечно малых равен пределу отношения их производных, если последний существует.

Замечания: 1. Теорема 25.4 верна и в случае, когда функции Математический анализ не определены при Математический анализ, но Математический анализ

Достаточно положить

Математический анализ

2.Теорема 25.4 справедлива и в том случае, когда Математический анализ. Действительно, положив Математический анализ, получим

Математический анализ

3.Если производные Математический анализ удовлетворяют тем же условиям, что и функции Математический анализ, теорему 25.4 можно применить еще раз:

Математический анализ

и т.д.

Пример 25.2. Найти Математический анализ

Решение:

Математический анализ

Пример 25.3. Найти Математический анализ

Решение:

Математический анализ

Теорема 25.4 дает возможность раскрывать неопределенность вида
Математический анализ. Сформулируем без доказательства теорему о раскрытии неопределенности вида Математический анализ.

Теорема 25.5 (Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида Математический анализ).

Пусть функции Математический анализ непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки хо (кроме, может быть, точки хо), в этой окрестности Математический анализЕсли существует предел

Математический анализ

Пример 25.4. Найти Математический анализ

Решение:

Математический анализ

2-й способ:

Математический анализ

Раскрытие неопределенностей различных видов

Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределенностей вида Математический анализ которые называют основными. Неопределенности вида Математический анализ сводятся к двум основным видам путем тождественных преобразований.

1.Пусть Математический анализ Тогда очевидны следующие преобразования:

Математический анализ

Например,

Математический анализ

2.Пусть Математический анализ Тогда можно поступить так:

Математический анализ

На практике бывает проще, например,

Математический анализ

3.Пусть или Математический анализ или Математический анализ Для нахождения предела вида Математический анализ удобно сначала прологарифмировать выражение

Математический анализ

Пример 25.5. Найти Математический анализ

Решение: Имеем неопределенность вида Математический анализ. Логарифмируем выражение Математический анализ, получим:Математический анализ Затем находим предел:

Математический анализ

Решение можно оформить короче, если воспользоваться «готовой» формулой

Математический анализ

(использовано основное логарифмическое тождество:Математический анализ).

Пример 25.6. Найти Математический анализ

Решение:

Математический анализ

Пример 25.7. Пусть

Математический анализ

Найти f'(x). (Дополнительно: найти Математический анализ.)

Решение: При Математический анализ имеем

Математический анализ

При х = 0 по определению производной:

Математический анализ

Делаем замену Математический анализ применяем правило Лопиталя

Математический анализ

Таким образом,

Математический анализ

Аналогично можно показать, что Математический анализ

Возрастание и убывание функций

Одним из приложений производной является ее применение к исследованию функций и построению графика функции. Установим необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции.
Теорема 25.6 (необходимые условия). Если дифференцируемая на интервале (а; b) функция f(x) возрастает (убывает), то Математический анализ

Математический анализ

Пусть функция f(x) возрастает на интервале (a; b). Возьмем произвольные точки Математический анализ на интервале (a; b) и рассмотрим отношение Математический анализ Функция f(x) возрастает, поэтому если Математический анализ если Математический анализВ обоих случаях Математический анализтак как числитель и знаменатель дроби имеют одинаковые знаки. По условию теоремы функция f(x) имеет производную в точке х и является пределом рассматриваемого отношения. Следовательно,

Математический анализ

Аналогично рассматривается случай, когда функция f(х) убывает на интервале (a; b).

Математический анализ

Геометрически теорема 25.6 означает, что касательные к графику возрастающей дифференцируемой функции образуют острые углы с положительным направлением оси Ох или в некоторых точках (на рисунке 145 в точке с абсциссой Математический анализ) параллельны оси Ох.

Теорема 25.7 (достаточные условия). Если функция f(х) дифференцируема на интервале (а; b) и f'(х) > 0 (f'(х) < 0) для Математический анализ, то эта функция возрастает (убывает) на интервале (а; b).

Пусть f'(x) > 0. Возьмем точкиМатематический анализ из интервала (а; b), причем Математический анализ Применим к отрезку Математический анализ теорему Лагранжа:

Математический анализ

По условию Математический анализ Следовательно,

Математический анализ

т. е. функция f(х) на интервале (а; b) возрастает.

Рассмотренные теоремы 25.6 и 25.7 позволяют довольно просто исследовать функцию на монотонность. Напомним, что функция возрастающая или убывающая называется монотонной (см. с. 122).

Пример 25.8. Исследовать функцию Математический анализ на возрастание и убывание.

Решение: Функция определена на Математический анализ Ее производная равна:

Математический анализ

Ответ: данная функция возрастает на интервалах Математический анализубывает на интервале (-1; 1).

Максимум и минимум функций

Точка хо называется точкой максимума функции у = f(x), если существует такая Математический анализ-окрестность точки Математический анализ, что для все Математический анализ из этой окрестности выполняется неравенствоМатематический анализ

Аналогично определяется точка минимума функции: Математический анализточка минимума функции, если

Математический анализ

На рисункеМатематический анализ— точка минимума, а точка Математический анализ— точка максимума функции у = f(х)

Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум (минимум) функции называется экстремумом функции.

Понятие экстремума всегда связано с определенной окрестностью точки из области определения функции. Поэтому функция может иметь экстремум лишь во внутренних точках области определения. Рассмотрим условия существования экстремума функции.

Теорема 25.8 (необходимое условие экстремума). Если дифференцируемая функция у = f(х) имеет экстремум в точке Математический анализ, то ее производная в этой точке равна нулю: Математический анализ

Пусть, для определенности, Математический анализ— точка максимума. Значит, в окрестности точки Математический анализ выполняется неравенство Математический анализ

Но тогда Математический анализ если Математический анализ. По условию теоремы производная

Математический анализ

существует. Переходя к пределу, при Математический анализ, получим Математический анализ, если Математический анализ, и Математический анализ, если Математический анализ. Поэтому Математический анализ. Аналогично доказывается утверждение теоремы 25.8, если Математический анализ — точка минимума функции f(x).

Геометрически равенство Математический анализ означает, что в точке экстремума дифференцируемой функции у = f(х) касательная к ее графику параллельна оси Ох (см. рис. 147).

Отметим, что обратная теорема неверна, т. е. если Математический анализ, то это не значит, чтоМатематический анализ— точка экстремума. Например, для функции Математический анализее производнаяМатематический анализ равна нулю при х= 0, но х = 0 не
точка экстремума (см. рис. 148).

Математический анализ

Существуют функции, которые в точках экстремума не имеют производной. Например, непрерывная функция у = |х| в точке х = 0 производной не имеет, но точка х = 0 — точка минимума (см. рис. 149).

Таким образом, непрерывная функция может иметь экстремум лишь в точках, где производная функции равна нулю или не существует. Такие точки называются критическими.
Теорема 25.9 (достаточное условие экстремума). Если непрерывная функция у = f(х) дифференцируема в некоторой Математический анализ-окрестности критической точки Математический анализ и при переходе через нее (слева направо) производная f‘(х) меняет знак с плюса на минус, то Математический анализ есть точка максимума; с минуса на плюс, то Математический анализ — точка минимума.

Рассмотрим Математический анализ-окрестность точки Математический анализ. Пусть выполняются условия:

Математический анализ

Тогда функция f(х) возрастает на интервале Математический анализ, а на интервале Математический анализона убывает. Отсюда следует, что значение f(х) в точке Математический анализ является наибольшим на интервале Математический анализ для всех Математический анализ. Это и означает, что Математический анализ— точка максимума функции.

Графическая интерпретация доказательства теоремы 25.9 представлена на рисунке 150.

Аналогично теорема 25.9 доказывается для случая, когда

Математический анализ
Математический анализ

Исследовать функцию на экстремум означает найти все ее экстремумы. Из теорем 25.8 и 25.9 вытекает следующее правило исследования функции на экстремум:

  1. найти критические точки функции у = f(x);
  2. выбрать из них лишь те, которые являются внутренними точками области определения функции;
  3. исследовать знак производной f'(х) слева и справа от каждой из выбранных критических точек;
  4. в соответствии с теоремой 25.9 (достаточное условие экстремума) выписать точки экстремума (если они есть) и вычислить значения функции в них.

Пример 25.9. Найти экстремум функции Математический анализ

Решение: Очевидно, D(y) = R. Находим

Математический анализ

Производная не существует при Математический анализ и равна нулю при Математический анализ Эти точки разбивают всю область определения данной функции на три интервала Математический анализ Отметим на рисунке 151 знаки производной слева и справа от каждой из критических точек.

Математический анализ

Следовательно, Математический анализ — точка максимума, Математический анализ и Математический анализ — точка минимума, Математический анализ

Иногда бывает удобным использовать другой достаточный признак существования экстремума, основанный на определении знака второй производной.

Теорема 25.10. Если в точке Математический анализ первая производная функции f(x) равна нулю (Математический анализ), а вторая производная в точке Математический анализсуществует и отлична от нуля Математический анализ, то приМатематический анализ в точке Математический анализ функция имеет максимум и минимум — при Математический анализ.
Пусть для определенности Математический анализ. Так как

Математический анализ

то Математический анализ в достаточно малой окрестности точки Математический анализ. Если

Математический анализ

Таким образом, при переходе через точку Математический анализ первая производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, по теореме 25.9, Математический анализ есть точка минимума.
Аналогично доказывается, что еслиМатематический анализ, то в точкеМатематический анализ функция имеет максимум.

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Пусть функция у = f(х) непрерывна на отрезке [a; b]. Как известно, такая функция достигает своих наибольшего и наименьшего значений. Эти значения функция может принять либо во внутренней точке Математический анализ отрезка [а; b], либо на границе отрезка, т. е. при Математический анализ Если Математический анализ, то точку хо следует искать среди критических точек данной функции (см. рис. 152).

Получаем следующее правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на [а; b]:

  1. найти критические точки функции на интервале (а; b);
  2. вычислить значения функции в найденных критических точках;
  3. вычислить значения функции на концах отрезка, т. е. в точках
    х = а и х = b;
  4. среди всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Замечания: 1. Если функция у = f(х) на отрезке [a; b] имеет лишь одну критическую точку и она является точкой максимума (минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее) значение. На рисунке 152 Математический анализ (нб — наибольшее, max — максимальное).

2.Если функция у =f(х) на отрезке [a;b] не имеет критических точек, то это означает, что на нем функция монотонно возрастает или убывает. Следовательно, свое наибольшее значение (М) функция принимает на одном конце отрезка, а наименьшее (m) — на другом.

Математический анализ

Пример 25.10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Математический анализ на отрезке [-2; 1].

Решение: Находим критические точки данной функции:

Математический анализ
Математический анализ

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции широко применяется при решении многих практических задач математики, физики, химии, экономики и других дисциплин.

Практические задачи: транспортная задача о перевозке груза с минимальными затратами, задача об организации производственного процесса с целью получения максимальной прибыли и другие задачи, связанные с поиском оптимального решения, приводят к развитию и усовершенствованию методов отыскания наибольших и наименьших значений. Решением таких задач занимается особая ветвь математики — линейное программирование.

Рассмотрим более простую задачу.

Пример 25.11. Из шара радиуса R выточить цилиндр наибольшего объема. Каковы его размеры?
Решение: Обозначим через х и у высоту и диаметр цилиндра. Тогда, как видно из рисунка 153, Математический анализ, а потому объем цилиндра

Математический анализ

где Математический анализ

Находим наибольшее значение функции V = V(x) на промежутке [0; 2R]. Так как

Математический анализ

кроме Математический анализ Поэтому Математический анализ— точка максимума. Так как функция имеет одну критическую точку, то цилиндр будет иметь наибольший объем (равный Математический анализ) при Математический анализ диаметр основания цилиндра равен

Математический анализ

Таким образом, искомый цилиндр имеет высоту, равную Математический анализ и
диаметр, равный Математический анализ

Выпуклость графика функции. Точки перегиба

График дифференцируемой функции у = f(x) называется выпуклым вниз на интервале (а; b), если он расположен выше любой ее касательной на этом интервале. График функции у = f(х) называется выпуклым вверх на интервале (а; b), если он расположен ниже любой ее касательной на этом интервале.

Точка графика непрерывной функции у = f(х), отделяющая его части разной выпуклости, называется точкой перегиба.

На рисунке 154 кривая у = f(х) выпукла вверх в интервале (a;с), выпукла вниз в интервале (с; b), точка М(с;f(с)) — точка перегиба.

Интервалы выпуклости вниз и вверх находят с помощью следующей теоремы.

Математический анализ

Теорема 25.11. Если функция у =f(х) во всех точках интервала (а;b) имеет отрицательную вторую производную, т.е. f»(x) < 0, то график функции в этом интервале выпуклый вверх. Если же f»(х) > 0 Математический анализ — график выпуклый вниз.

Пусть f»(х) < 0 Математический анализ. Возьмем на графике функции произвольную точку М с абсциссой хо Математический анализ и проведем через М касательную (см. рис. 155). Покажем, что график функции расположен нижe этой касательной. Для этого сравним в точке Математический анализ ординату у кривой у = f(x) с ординатой Математический анализ ее касательной. Уравнение касательной, как известно, есть

Математический анализ

По теореме Лагранжа, Математический анализ где с лежит между Математический анализ и х. Поэтому

Математический анализ

т. е.

Математический анализ

Разность Математический анализ снова преобразуем по формуле Лагранжа:

Математический анализ

где Математический анализ лежит между Математический анализ и с. Таким образом, получаем

Математический анализ

Исследуем это равенство:

Математический анализ
Математический анализ

Итак, доказано, что во всех точках интервала (а;b) ордината касательной больше ординаты графика, т. е. график функции выпуклый вверх. Аналогично доказывается, что при f»(x) > 0 график выпуклый вниз.

Для нахождения точек перегиба графика функции используется следующая теорема.

Теорема 25.12 (достаточное условие существования точек перегиба). Если вторая производная f»(х) при переходе через точку Математический анализ, в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой хо есть точка перегиба.
Пусть f»(х) < 0 приМатематический анализ и f»(х) > 0 при Математический анализ. Это значит, что слева от Математический анализ график выпуклый вверх, а справа — выпуклый вниз. Следовательно, точка Математический анализ графика функции является точкой перегиба.

Аналогично доказывается, что если f»(х) > 0 при Математический анализ и f»(х) < 0 при Математический анализ, то точка Математический анализ — точка перегиба графика функции y = f(x).

Пример 25.12. Исследовать на выпуклость и точки перегиба график функции Математический анализ
Решение: Находим, что Математический анализ Вторая производная существует на всей числовой оси; у» = 0 при х = 0. Отмечаем, что у» > 0 при х > 0; у» < 0 при х < 0. Следовательно, график функции Математический анализ в интервале Математический анализ — выпуклый вверх, в интервале Математический анализ — выпуклый вниз. Точка (0; 5) есть точка перегиба.

Асимптоты графика функции

Построение графика функции значительно облегчается, если знать его асимптоты. Понятие асимптоты рассматривалось при изучении формы гиперболы (см. с. 81).

Напомним, что асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой (рис. 156).

Математический анализ

Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными.

Говорят, что прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у =f(х), если Математический анализ, или Математический анализ , или Математический анализ

Действительно, в этом случае непосредственно из рисунка 156 видно, что расстояние точки М(х; у) кривой от прямой х = а равно d = |х — a|. Если Математический анализ Согласно определению асимптоты, прямая х = а является асимптотой кривой у = f(х). Для отыскания вертикальных асимптот нужно найти те значения х, вблизи которых функция f(х) неограниченно возрастает по модулю. Обычно это точки разрыва второго рода.

Например, кривая Математический анализ имеет вертикальную асимптоту (см.рис. 157) х = — 1, так как Математический анализ

Уравнение наклонной асимптоты будем искать в виде

Математический анализ

Найдем k и b.

Математический анализ

Пусть М(х; у) — произвольная точка кривой у = f(x) (см. рис. 158). По формуле расстояния от точки до прямой Математический анализнаходим расстояние от точки М до прямой (25.5) Математический анализ

Условие Математический анализ будет выполняться лишь тогда, когда числитель дроби стремится к нулю, т. е.

Математический анализ

Отсюда следует, что Математический анализ бесконечно малая: Математический анализ Разделив обе части равенства Математический анализ и перейдя к пределу при, Математический анализполучаем:

Математический анализ

Так как Математический анализто

Математический анализ

Из условия (25.6) находим b:

Математический анализ

Итак, если существует наклонная асимптота Математический анализнаходятся по формулам (25.7) и (25.8).

Верно и обратное утверждение: если существуют конечные пределы (25.7) и (25.8), то прямая (25.5) является наклонной асимптотой.

Если хотя бы один из пределов (25.7) или (25.8) не существует или равен бесконечности, то кривая у = f(x) наклонной асимптоты не имеет.

В частности, если Математический анализ. Поэтому у = b — уравнение горизонтальной асимптоты.

Замечание: Асимптоты графика функции у = f(x) при Математический анализ могут быть разными. Поэтому при нахождении пределов (25.7) и (25.8) следует отдельно рассматривать случай, когда Математический анализ и когда Математический анализ

Пример 25.13. Найти асимптоты графика функции Математический анализ.

Решение: Так как Математический анализто график функции при Математический анализ наклонной асимптоты не имеет. При Математический анализ справедливы соотношения

Математический анализ

Следовательно, при Математический анализ график имеет горизонтальную асимптоту y = 0.

Общая схема исследования функции и построения графика

Исследование функции у = f(x) целесообразно вести в определенной последовательности.

  1. Найти область определения функции.
  2. Найти (если это можно) точки пересечения графика с осями координат.
  3. Найти интервалы знакопостоянства функции (промежутки, на которых f(x) > 0 или f(х) < 0).
  4. Выяснить, является ли функция четной, нечетной или общего вида.
  5. Найти асимптоты графика функции.
  6. Найти интервалы монотонности функции.
  7. Найти экстремумы функции.
  8. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции.

На основании проведенного исследования построить график функции. Заметим, что приведенная схема исследования не является обязательной. В более простых случаях достаточно выполнить лишь несколько операций, например 1,2, 7. Если же график функции не совсем понятен и после выполнения всех восьми операций, то можно дополнительно исследовать функцию на периодичность, построить дополнительно несколько точек графика, выявить другие особенности функции. Иногда целесообразно выполнение операций исследования сопровождать постепенным построением графика функции.

Пример 25. 14. Исследовать функцию Математический анализ и построить ее график.

Решение: Выполним все восемь операций предложенной выше схемы исследования.

  1. Функция не определена при х = 1 и х = — 1. Область ее определения состоит из трех интервалов Математический анализ а график из трех ветвей.
  2. Если х = 0, то у = 0. График пересекает ось Оу в точке О(0; 0); если у = 0, то х = 0. График пересекает ось Ох в точке О(0; 0).
  3. Функция знакоположительна (у > 0) в интервалах Математический анализ и (0;1); знакоотрицательна— в (—1;0) и Математический анализ.
  4. Функция Математический анализ является нечетной, т. к.
Математический анализ

Следовательно, график ее симметричен относительно начала координат. Для построения графика достаточно исследовать ее при Математический анализ

5. Прямые х = 1 и х = —1 являются ее вертикальными асимптотами. Выясним наличие наклонной асимптоты:

Следовательно, есть горизонтальная асимптота, ее уравнение у = 0. Прямая у = 0 является асимптотой и при Математический анализ, и при Математический анализ

6.Находим интервалы возрастания и убывания функции. Так как

Математический анализ

то у’ > 0 в области определения, и функция является возрастающей на каждом интервале области определения.

7. Исследуем функцию на экстремум. Так как Математический анализ то критическими точками являются точки Математический анализ (у’ не существует), но они не принадлежат области определения функции. Функция экстремумов не имеет.

8.Исследуем функцию на выпуклость. Находим у»:

Математический анализ
Математический анализ

Вторая производная равна нулю или не существует в точках Математический анализ На рисунке 159 представлена схема изменения знаков второй производной исследуемой функции.

Точка О(0,0) — точка перегиба графика функции. График выпуклый вверх на интервалах Математический анализ); выпуклый вниз на интервалах Математический анализ.

График функции изображен на рисунке 160.

Формула Тейлора

В определении функции у =f(х) не говорится о том, при помощи каких средств находятся значения у по значениям х. В тех случаях, когда функция является формулой вида Математический анализ значения функции найти легко с помощью четырех арифметических действий. Но как найти значения, например, функций у = sin x, у = lп(1 +х) при любых (допустимых) значениях аргумента?

Для того, чтобы вычислить значения данной функции у=f(х), ее заменяют многочленом Математический анализ степени n, значения которого всегда и легко вычисляемы. Обоснование возможности представлять функцию многочленом дает формула Тейлора.

Формула Тейлора для многочлена

Пусть функция f(х) есть многочлен Математический анализ степени п:

Математический анализ

Преобразуем этот многочлен также в многочлен степени п относительно разности Математический анализ где Математический анализ — произвольное число, т. е. представим Математический анализ в виде

Математический анализ

Для нахождения коэффициентов Математический анализ продифференцируем п раз равенство (26.1):

Математический анализ
Математический анализ

Подставляя Математический анализ в полученные равенства и равенство (26.1), имеем:

Математический анализ
Математический анализ

Подставляя найденные значения Математический анализ в равенство (26.1), получим разложение многочлена n-й степени Математический анализ по степеням (Математический анализ):

Математический анализ

Формула (26.2) называется формулой Тейлора для многочлена Математический анализ степени п.

Пример 26.1. Разложить многочлен Математический анализ по степеням х + 1.

Решение: Здесь

Математический анализ

Поэтому

Математический анализ

Следовательно,

Математический анализ

т. е.

Математический анализ

Формула Тейлора для произвольной функции

Рассмотрим функцию у =f(х). Формула Тейлора позволяет, при определенных условиях, приближенно представить функцию f(х) в виде многочлена и дать оценку погрешности этого приближения.
Теорема 26.1. Если функция f(х) определена в некоторой окрестности точки Математический анализ и имеет в ней производные до (п + 1)-го порядка включительно, то для любого х из этой окрестности найдется точка Математический анализ такая, что справедлива формула

Математический анализ

Формула (26.3) называется формулой Тейлора для функции f(х). Эту формулу можно записать в виде Математический анализ где

Математический анализ

называется многочленом Тейлора, а

Математический анализ

называется остаточным членом формулы Тейлора, записанным в форме Лагранжа. Математический анализ есть погрешность приближенного равенства Математический анализ Таким образом, формула Тейлора дает возможность заменить функцию у = f(х) многочленом Математический анализ с соответствующей степенью точности, равной значению остаточного членаМатематический анализ.

При Математический анализполучаем частный случай формулы Тейлора — формулу Маклорена:

Математический анализ

где с находится между 0 и х Математический анализ

Математический анализ

При п = 0 формула Тейлора (26.3) имеет вид