Функции одной переменной в математике с примерами решения и образцами выполнения

Начинаем изучение важнейшего понятия математического анализа — понятия функции. В этой главе будет введено понятие предела функции, а также понятие непрерывности функции.

Понятие функции

Определение функции. Определение. Пусть X и Y — некоторые числовые множества. Функцией называется множество f упорядоченных пар чисел (х; у) таких, что , и каждое х входит в одну и только одну пару этого множества, а каждое у входит, по крайней мере, в одну пару. При этом говорят, что числу х поставлено в соответствие число у, и пишут y = f(x). Число у называется значением функции f в точке х. Переменную у называют зависимой переменной, а переменную х — независимой переменной (или аргументом), множество X — областью определения (или существования) функции, а множество Y — множеством значений функции.

Кроме буквы f для обозначения функций используют и другие буквы, например: у=у(х), y=g(x), у =ф(х), у=А(х), у=F(х) и т. д. Другими буквами могут обозначаться зависимая и независимая переменные. Иногда зависимую переменную также называют функцией.

Наряду с термином «функция» употребляют равнозначный Термин «отображение», а вместо записи y = f(x) пишут f: и говорят, что отображение f отображает число х в число у, или, Что то же самое, число у является образом числа х при отображении f .

При вычислениях запись y = f(х) обычно удобнее записи вида f:. Например, запись f (x)= значительно удобнее и проще использовать при аналитических преобразованиях, чем запись

Функция, все значения которой равны между собой, называется постоянной. Постоянную функцию часто обозначают буквой С.

Про функцию f (х), определенную на некотором множестве х говорят, что она ограничена сверху (снизу) на этом множестве если существует число М (m) такое, что для любого выполняется неравенство . Функция, ограниченная сверху и снизу на множестве X, называется ограниченной на этом множестве. Условие ограниченности функции f (х) можно записать в виде: существует число М>0 такое, что для любого выполняется неравенство . Например, Функция f(x) = sinx ограничена на всей числовой прямой, так как 1 при любом х, а функция f(x)=1/x не является ограниченной сверху на интервале (0; 1), так как не существует числа М такого, что для любого (0; 1) выполняется неравенство 1/хМ.

На плоскости функция изображается в виде графика — множества точек (х; у), координаты которых связаны соотношением y=f(x), называемым уравнением графика.

График функции может представлять собой некоторую «сплошную» линию (кривую или прямую), а может состоять из отдельных точек, например график функции (рис. 45).

Заметим, что не всякая линия является графиком какой-либо функции. Например, окружность не является графиком функции, так как каждое (—1; 1) входит не в одну, а в две пары чисел (х; у) этого множества с разными значениями и , что противоречит требованию однозначности в определении функции (рис. 43). Однако часть окружности, лежащая в нижней полуплоскости, является графиком функции , а другая ее часть, лежащая в верхней полуплоскости, — графиком функции

2.Способы задания функций. Задать функцию f — значит указать, как по каждому значению аргумента х находить соответствующее ему значение функции f (х). Существуют три основных способа задания функций: аналитический, табличный и графический.

1) Аналитический способ. Этот способ состоит в том, что зависимость между переменными величинами определяется с помощью формулы, указывающей, какие действия нужно выполнить, чтобы получить значение функции, соответствующее данному значению аргумента.

Рассмотрим примеры.

1.Формула задает функцию, область определения которой— числовая прямая , а множество значений — полупрямая (рис. 44,а).

Формула задает функцию, областью определения которой является отрезок [-1, 1], а множеством значений отрезок [0, 1] (рис. 44, б).

3. Формула ставит в соответствие каждому натуральному числу (т. е. целому положительному числу) n число у=Например, если n=3, то у=3! =6. Таким образом формула задает функцию, область определения которой , а множество значений —(Рис. 45).

Данная функция задана с помощью нескольких формул. Она определена на всей числовой прямой , а множество ее значений состоит из трех чисел: — 1, 0 и +1 (рис. 46).

5.Функция Дирихле

Эта функция определена на всей числовой прямой , а множество ее значений состоит из двух чисел: 0 и 1.

Заметим, что функцию Дирихле изобразить графически не представляется возможным.

2)Табличный способ. Приведем следующую таблицу:

Поставим в соответствие каждому х, записанному в первой троке таблицы, число у, стоящее во второй строке под этим числом х’ и будем говорить, что полученная функция задана таблицей и областью определения данной функции является множество, стоящее из девяти чисел х, перечисленных в первой строке таблицы, а множеством ее значений — множество, состоящее из девяти чисел у, перечисленных во второй ее строке.

С помощью таблицы можно задать функцию только при конец, ном числе значений аргумента. Таблицы часто используют для задания функций. Так, хорошо известны, например, таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов и многие другие Примером табличного способа задания функции может служить расписание движения поезда, которое определяет местоположение поезда в отдельные моменты времени.

3) Графический способ. Графический способ задания функции обычно используют в практике физических измерений, когда соответствие между переменными х и у задается посредством графика. Во многих случаях такие графики чертятся с помощью самопишущих приборов.

Так, например, для измерения давления атмосферы на различных высотах используют специальный самопишущий прибор — барограф, который записывает на движущейся ленте в виде кривой линии изменение давления в зависимости от высоты.

3.Классификация функций. Постоянная функция f(x)=C, G=const, степенная функция (а — любое число), показательная функция , логарифмическая функция logax (0<a1), тригонометрические функции: sin х, cos х, tgx, ctgх и обратные тригонометрические функции: arcsin х, arccos х, arctg х, arcctg х называются простейшими элементарными функциями.

Все функции, получаемые с помощью конечного числа арифметических действий над простейшими элементарными функциями, а также суперпозицией (или наложением) этих функций, составляют класс элементарных функций. Примерами элементарных функций являются:

Имеет место следующая классификация элементарных функции-

1) Функция вида

где m0 — целое число; — любые числа — коэффициенты , называется целой рациональной функцией или алгебраическим многочленом степени m. Многочлен первой степени называется также линейной функцией.

2) Функция, представляющая собой отношение двух целых рациональных функций

называется дробно-рациональной функцией.

Совокупность целых рациональных и дробно-рациональных функций образует класс рациональных функций.

3)Функция, полученная с помощью конечного числа суперпозиций и четырех арифметических действий над степенными функциями как с целыми, так и с дробными показателями и не являющаяся рациональной, называется иррациональной функцией.

Например,

и т. д. — иррациональные функции.

4)Всякая функция, не являющаяся рациональной или иррациональной, называется трансцендентной функцией. Это, например, функции f(х) = sin х, f(x) = sin х+х и т. д.

Предел функции

1. Предел функции при Пусть функция f(х) определена на некотором множестве X и пусть точка или . Возьмем из X последовательность точек, отличных от :

сходящуюся к . Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность

и можно ставить вопрос о существовании ее предела.

Определение 1. Число А называется пределом функции f (х) в точке х= (или при ), если для любой сходящейся к последовательности (1) значений аргумента х, отличных от , соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к числу А.

Символически это записывается так:

Функция f (х) может иметь в точке только один предел. Это следует из того, что последовательность имеет только один предел.

Рассмотрим примеры:

1. Функция f(х)=С=const имеет предел в каждой точке числовой прямой. В самом деле, если (1) —любая последовательность, сходящаяся к , то последовательность (2) имеет вид С, С, …. С, …, т. е. =С. Отсюда заключаем, что при или

2. Функция f(х)=х имеет в любой точке числовой прямой предел, равный . В этом случае последовательности (1) и (2) тождественны, т. е. Следовательно, если , то при или

3. Функция f(x) = sin (1/х) (рис. 47), определенная для всех х0, в точке х=0 не имеет предела. Действительно, возьмем две последовательности значений аргумента сходящиеся к нулю. Для них соответствующими последовательностями значений функции являются:

Так как при любом то для первой последовательности а для второй последовательности

Таким образом, для двух сходящихся к нулю последовательностей значений аргумента х соответствующие последовательности значений функции имеют разные пределы. А это по определению предела функции и означает, что не существует.

4. Функция имеет в точке х=0 предел, равный 1. Действительно, возьмем любую последовательность значений аргумента х, сходящуюся к нулю, т. е. тогда в силу теорем 2.7—2.9 имеем

Таким образом, существует , и так как он не зависит от выбора последовательности {х„}, сходящейся к нулю, то на основании определения предела функции заключаем, что

5. Функция Дирихле, значения которой в рациональных точках равны единице, а в иррациональных — нулю, не имеет предела ни в одной точке числовой прямой. Действительно, для сходящейся к точке последовательности рациональных значений аргумента предел соответствующей последовательности значений функции равен единице, а для сходящейся к точке последовательности иррациональных значений аргумента предел соответствующей последовательности значении функции равен нулю.

Существует другое определение предела функции

Определение:

Число А называется пределом функции f (х) в точке , если для любого числа е>0 существует число б>0 такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство

Используя логические символы, определение 2 можно записать в виде

Отметим, что неравенства можно записать в виде

Первое определение основано на понятии предела числовой последовательности, поэтому его часто называют определением «на языке последовательностей». Второе определение называют определением «на языке е — б».

Теорема:

Первое и второе определения предела функции эквивалентны.

Доказательство:

1) Пусть А — предел f (х) в точке х0 согласно первому определению. Покажем, что А — предел согласно второму определению. Предположим обратное, т. е. А не является пределом этой функции согласно второму определению. Это значит, что не для любого е>0 можно указать такое б>0, чтобы из неравенства следовало бы неравенство , т. е. существует такое , для которого, какое бы б>0 ни взять, найдется хоть одна точка такая, что , но . Будем выбирать в качестве б последовательно числа:

Тогда:

для б=1 в X существует такое , что

для б=1/2 в X существует такое , что

для б=1 /3 в X существует такое , что

для б=1/n в X существует такое , что

В результате получается последовательность точек, отличных от :

сходящаяся к точке х0, так как при . Поэтому, согласно первому определению предела функции, соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А. Следовательно, для е0 найдется номер N такой, что для всех n>N будет выполнено неравенство Но этого быть не может, так как для всех выполняется неравенство Полученное противоречие доказывает, что число А — предел функции f(х) в точке согласно второму определению.

2) Пусть теперь А — предел f(х) в точке согласно второму определению. Это значит, что для любого е>0 существует б>0 такое, что из неравенства следует неравенство Покажем, что А — предел f (х) согласно первому определению. Возьмем любую последовательность точек

сходящуюся к точке . Тогда для данного значения б>0, соответствующего е по второму определению, найдется такое N, что при n>N будут выполнены неравенства б. Но вместе с этим в силу второго определения будет выполняться и неравенство . А так как е было выбрано произвольно, то это и означает, что для любой последовательности , сходящейся к точке , т. е. число А является пределом f (х) в точке х0 согласно первому определению.

Итак, установлена эквивалентность обоих определений предела функции и можно использовать любое из них в зависимости от того, какое более удобно при решении той или иной задачи.

Заметим, что определение предела функции «на языке последовательностей» называют также определением предела функции по Гейне, а определение предела функции «на языке е-б» — определением предела функции по Коши.

2. Предел функции при и при .

В дальнейшем будут использованы понятия односторонних пределов функции, которые определяются следующим образом.

Определение:

Число А называется правым (левым) пределом функции f(х) в точке , если для любой сходящейся к последовательности (1), элементы которой больше (меньше) , соответствующая последовательность (2) сходится к А.

Символическая запись:

B качестве примера рассмотрим функцию f(x)= sgn х. Она имеет в точке х=0 правый и левый пределы:В самом деле, если (1) —любая сходящаяся к нулю последовательность значений аргумента этой функции, элементы которой больше нуля , то и Следовательно, Аналогично устанавливается, что

Можно дать равносильное определение односторонних пределов функции «на языке е-б»: число А называется правым (левым) пределом функции f (х) в точке , если для любого е>0 существует б>0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенствам выполняется неравенство Символическая запись:

Связь между односторонними пределами и пределом функции устанавливает следующая теорема.

Теорема:

Функция f(х) имеет в точке предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют как правый, так и левый пределы, и они равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределам.

Доказательство:

Пусть

Тогда, согласно определению предела функции слева и справа, для любого е>0 существуют числа такие, что для всех х, удовлетворяющих неравенствам , и для всех х, удовлетворяющих неравенствам , выполняется неравенство . Возьмем . Тогда для всех х, удовлетворяющих неравенствам будет выполняться неравенство А это, согласно определению 2, и означает, что

Обратно, пусть Тогда, согласно определению предела функции в точке , для любого е>0 существует число б>0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенствам выполняется неравенство Тем самым, как для , так и для , справедливо неравенство А это, согласно определению односторонних пределов, и означает, что

3. Предел функции при , при и при

Кроме рассмотренных понятий предела функции при и односторонних пределов существует также понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности.

Определение:

Число А называется пределом функции f (х) при , если для любой бесконечно большой последовательности (1) значений аргумента соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к А.

Символическая запись:

Определение:

Число А называется пределом функции f(х) при если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента, элементы которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность значений функции сходится к А.

Символическая запись:

Рассмотрим пример. Пусть . Эта функция имеет предел, при равный нулю. Действительно, если — бесконечно большая последовательность значений аргумента, то соответствующая последовательность значений функции: по теореме 2.1 является бесконечно малой и поэтому имеет предел, равный нулю, т. е. (рис. 48).

Определения 4—5 даны «на языке последовательностей». Можно дать равносильные определения «на языке е-б» и записать их с помощью логических символов. Рекомендуем сделать это самостоятельно. В качестве примера сформулируем определение предела функции при

Определение:

Число А называется пределом функции f (х) при если для любого числа е>0 существует число б такое, что для всех удовлетворяющих неравенству х>б, выполняется неравенство

Теоремы о пределах функций

Определение предела функции «на языке последовательностей» дает возможность перенести доказанные выше теоремы о пределах последовательностей на функции. Покажем это на примере двух теорем.

Теорема:

Пусть функции f(х) и g(х) имеют в точке пределы В и С. Тогда функции (при ) имеют в точке пределы, равные соответственно

Доказательство:

Пусть — произвольная сходящаяся к последовательность значений аргумента функций Соответствующие последовательности значений этих функций имеют пределы В и С. Но тогда в силу теорем 2.7—2.9 последовательности и (при ) имеют пределы, соответственно равные Согласно определению 1 предела функции это означает, что

Теорема:

Пусть функции определены в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки , и функции имеют в точке предел, равный А, т. е. Пусть, кроме того, выполняются неравенства Тогда

Доказательство:

Пусть — произвольная сходящаяся к последовательность значений аргумента функций Соответствующие последовательности значений этих функций имеют предел, равный А, т. е. при Используя неравенства, данные в условии теоремы, можно записать

Отсюда по теореме 2.11 следует, что Согласно определению 1 предела функции это означает, что

Замечание:

Теоремы 4.3 и 4.4 верны также и в случае, когда является одним из символов

Два замечательных предела

Первый замечательный предел

Докажем, что

Рассмотрим дугу окружности радиуса R=1 с центральным углом, радианная мера которого равна (рис. 49). Тогда

Очевидно, что площадь треугольника ОАМ меньше площади сектора ОАМ, которая меньше площади треугольника ОАТ, или, что то же самое,

Принимая во внимание равенства (1), последнее соотношение можно записать в виде откуда получаем

Разделив эти неравенства на sin х, получим откуда находим: Так как sin(x/2)<1, то Поэтому, учитывая первое неравенство (2), для всех х, удовлетворяющих неравенствам получаем
Итак,

Возьмем любое и положим Тогда для всех х, удовлетворяющих неравенствам будет выполняться неравенство поэтому

Это означает, что 1 является правым пределом функции в точке х=0, т. е. Заметим теперь, что функция — четная, так как Поэтому и левый предел функции в точке х=0 равен 1. Отсюда в силу теоремы 4.2 следует, что

Замечание:

Используя неравенства при полученные при рассмотрении первого замечательного предела, легко доказать, что

С помощью первого замечательного предела вычисляются многие другие пределы.

Пример:

Найти

Решение:

Знаменатель дроби при стремится к нулю. Поэтому теорема 4.3 здесь неприменима. Для нахождения предела преобразуем данную дробь:

Пример:

Найти

Решение:

Имеем

Пример:

Найти

Решение:

Имеем

Второй замечательный предел

Докажем, что

Как известно, Пусть х>1. Положим — натуральное число, а удовлетворяет условию Так как

При

Отсюда по теореме 4.4 получаем

Пусть теперь x< -1; положим х= -у. Тогда
при

Объединяя оба случая, окончательно имеем Второй замечательный предел имеет широкое применение. С его помощью находятся многие другие пределы.

Пример:

Найти

Решение:

Сделаем замену переменной, полагая Тогда очевидно, что при Поэтому

Пример:

Найти

Решение:

Положим x = 3t. Тогда при Следовательно.

Пример:

Найти х — О *

Решение:

Для нахождения предела преобразуем данную дробь:

Но (см. пример 4). Поэтому

В частности,

Бесконечно малые функции

Определение:

Функция f (х) называется бесконечно малой функцией (или просто бесконечно малой) в точке (или при ), если

Аналогично определяются бесконечно малые функции при

и «на языке последовательностей»: функция f(x) называется бесконечно малой в точке если для любой сходящейся к последовательности значений аргумента х, отличных от , соответствующая последовательность является бесконечно малой. Имеет место следующая теорема.

Теорема:

Для выполнения равенства необходимо и достаточно, чтобы функция была бесконечно малой при

Доказательство:

Необходимость. Пусть

Рассмотрим разность и покажем, что а(х) — бесконечно малая функция при Действительно, пределы каждой из функций f (х) и А при равны А, и поэтому в силу теоремы 4.3

Достаточность. Пусть где а(х)— бесконечно малая функция при Покажем, что

Так как

Из теоремы 4.5 получаем специальное представление для функции, имеющей в точке предел, равный А :

При этом обычно говорят, что функция f (х) в окрестности точки отличается от А на бесконечно малую функцию.

Бесконечно малые функции обладают такими же свойствами, что и бесконечно малые последовательности. Справедлива следующая теорема.

Теорема:

Алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций при а также произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию являются бесконечно малыми функциями при

Эта теорема непосредственно вытекает из первого определения предела функции и теорем 2.2—2.4.

Все сказанное о бесконечно малых функциях при справедливо и для бесконечно малых функций при

Бесконечно большие функции

Определение:

Функция f(х) называется бесконечно большой функцией (или просто бесконечно большой) в точке (или при ), если для любого существует такое, что для всех удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство

В этом случае пишут и говорят, что функция стремится к бесконечности при или что она имеет бесконечный предел в точке

Если же выполняется неравенство то пишут и говорят, что функция имеет в точке бесконечный предел, равный

Используя логические символы, определение 2 можно записать в виде

По аналогии с конечными односторонними пределами определяются и бесконечные односторонние пределы:

Так, например, пишут если для любого существует такое, что для всех удовлетворяющих неравенствам выполняется неравенство Символическая запись

«На языке последовательностей» это же определение записывается так: если для любой сходящейся к последовательности значений аргумента х, элементы которой больше , соответствующая последовательность значений функции является бесконечно большой положительного знака.

Точное определение других подобных пределов рекомендуем сделать самостоятельно.

Аналогично определяются бесконечно большие функции при Так, например, функция f(х) называется бесконечно большой при если для любого существует такое, что для всех удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство При этом пишут

Символическая запись определения бесконечно большой функции при

Если же выполняется неравенство то пишут

Предлагаем самостоятельно сформулировать определение бесконечно большой функции при

В заключение покажем, что между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями существует такая же связь, как и между соответствующими последовательностями, т. е. функция, обратная бесконечно малой, является бесконечно большой, и наоборот.

В самом деле, пусть при Докажем, что Зададим произвольное . Так как f(х) — бесконечно малая функция в точке , то для числа существует такое, что для всех удовлетворяющих неравенствам выполняется неравенство Но тогда для тех же х выполняется неравенство т. е. — бесконечно большая функция в точке что и требовалось, доказать. Обратное утверждение рекомендуем доказать самостоятельно.

Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций

Как было показано, сумма, разность и произведение бесконечно малых функций являются бесконечно малыми функциями. Этого, вообще говоря, нельзя сказать о частном: деление одной бесконечно малой на другую может привести к различным результатам. Так, например, если

Если же

Рассмотрим правила сравнения бесконечно малых функций. Пусть при функции являются бесконечно малыми. Тогда:
1) если то — бесконечно малая более высокого порядка, чём (говорят также, что имеет более высокий порядок малости, чем ; при );
2) если — бесконечно малые одного порядка;
3) если — эквивалентные бесконечно малые. Эквивалентность обозначается так:

В некоторых случаях недостаточно знать, что одна из двух бесконечно малых является бесконечно малой более высокого порядка, чем другая. Нужно еще оценить, как высок этот порядок. Поэтому вводится следующее правило:
4) если — бесконечно малая n-го порядка относительно .

Существуют аналогичные правила для сравнения бесконечно малых функций при а также при справа и слева.

Рассмотрим примеры:

1. Функции и х являются при эквивалентными бесконечно малыми, так как .
2. Функции являются при бесконечно малыми одного порядка, так как
3. Функция является при бесконечно малой второго порядка малости по отношению к бесконечно малой х так как

При сравнении бесконечно малых функций часто используют символ о («о малое»). Если функция — бесконечно малая в в точке более высокого порядка, чем бесконечно малая в этой же точке , то это условно записывается так:

Если функции — бесконечно малые в точке , то функция имеет более высокий порядок малости, чем каждый из сомножителей. В самом деле,

и поэтому

Если и существует то существует и причем

В самом деле, имеем

Доказанное утверждение во многих случаях упрощает вычисление пределов

Пример:

Найти
Решение:

Так как то

Для бесконечно больших функций имеют место аналогичные правила сравнения.

Рассмотрим несколько примеров.
1. Функции являются при эквивалентными бесконечно большими, так как

В этом случае говорят также, что имеют одинаковый порядок роста при

2. Функция является при бесконечно большой более низкого порядка, чем (имеет менее высокий порядок роста), так как
3. Бесконечно большие при функции и имеют одинаковый порядок роста, так как
4. Функция является при бесконечно большой второго порядка по отношению к бесконечно большой так как

Понятие непрерывности функции

Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий математического анализа.

Определение непрерывности функции

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки

Определение:

Функция называется непрерывной в точке , если предел функции и ее значение в этой точке равны, т. е.

Так как то соотношение (1) можно записать в следующем виде:

т. е. для непрерывной функции можно переставить знак функции и знак предела.

Приведем равносильное определение непрерывности функции «на языке последовательностей»: функция называется непрерывной в точке Если для любой последовательности значений аргумента х: сходящейся к последовательность соответствующих значений функции: сходится к

Сформулируем определение непрерывности функции «на языке ».

Определение:

Функция называется непрерывной в точке , если для любого существует такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство

Эквивалентность этих определений очевидна.

Запишем определение 2, используя логические символы:

Если то функцию называют непрерывной в точке справа (слева). Если функция непрерывна в точке и слева и справа, то она непрерывна в этой точке. Действительно, в силу теоремы 4.2 в данном случае предел Функции в точке равен ее значению в этой точке.

Приведем еще одно определение непрерывности функции, которое по существу является перефразировкой первого определения. Перенесем в равенстве (1) в левую часть и внесем под знак предела. Так как условия равносильны, то получаем

Разность называется приращением аргумента х в точке и обозначается, как правило, а разность — приращением функции в точке , вызванным приращением аргумента , и обозначается . Таким образом,

Отметим, что при фиксированной точке является функцией аргумента . Геометрический смысл приращений ясен из рис. 50. Равенство (2) в новых обозначениях принимает вид

Соотношение (3) и является еще одним определением непрерывности функции, которое можно сформулировать так.

Определение:

Функция называется непрерывной в точке , если ее приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при

Последнее определение для практического использования бывает иногда более удобным, и им будем также пользоваться.

Арифметические действия над непрерывными функциями

Теорема:

Пусть функции непрерывны в точке .

Тогда функции , также непрерывные в этой точке (последняя при ).

Доказательство:

Так как непрерывные в точке функции имеют в этой точке пределы, равные и то по теореме 4.3 пределы функций существуют и соответственно равны Но эти величины равны значениям соответствующих функций в точке . Следовательно, согласно определению 1 функции непрерывны в точке

Непрерывность некоторых элементарных функций

Одним из важных свойств элементарных функций является их непрерывность в каждой точке, в окрестности которой они определены. На примере некоторых функций проверим данный факт, используя определение непрерывности функции в точке и теорему 4.7.

Непрерывность рациональных функций

Простейшим примером функции, непрерывной в любой точке числовой прямой, может служить постоянная функция Действительно, в этом случае (см. пример 1, § 2), т.е. постоянная функция непрерывна в каждой точке числовой прямой. Непрерывна также в каждой точке числовой прямой функция (см. пример 2, § 2), т.е.

предел функции в точке равен ее значению в этой точке. Из сказанного и теоремы 4.7 следует, что в любой точке функции (n — натуральное число) непрерывны. Как известно, функция называется степенной, а функция вида

где — целое число; — любые числа,—алгебраическим многочленом. Каждое из слагаемых

есть произведение двух непрерывных функций (постоянной и степенной). По теореме 4.7 оно непрерывно в любой точке х. Многочлен Р (х) является, таким образом, суммой функций, непрерывных в любой точке х, и, следовательно, непрерывен в любой точке х.

Дробно-рациональная функция, т. е. функция вида

где — алгебраические многочлены, непрерывна во всех таких точках х, в которых ее знаменатель не равен нулю (т. е. во всех точках, за исключением корней знаменателя), как частное непрерывных функций.

Например, функция непрерывна во всех точках х, отличных от +1 и —1.

Непрерывность тригонометрических функций

Рассмотрим тригонометрические функции Покажем, что функция sin x непрерывна в любой точке х. Воспользуемся определением 3 непрерывности функции. Задав аргументу х приращение получим приращение функции

Переходя к пределу в левой и правой частях равенства при получаем

так как

а произведение ограниченной функции на бесконечно малую есть бесконечно малая. Таким образом, функция sin х непрерывна в любой точке х.

Непрерывность функции cos х в любой точке х доказывается аналогично.

Из непрерывности функций по теореме 4.7 следует непрерывность функций во всех точках, где т.е. во всех точках, кроме и функций и во всех точках, кроме

Непрерывность функции

Функция график которой изображен на рис. 51, определена и непрерывна во всех точках числовой прямой. Действительно, в точках интервала она непрерывна, так как при (см. п. 1). В точках интервала функция также непрерывна, так как при ее можно представить как произведение двух непрерывных функций (— 1) и х и применить теорему 4.7 о непрерывности произведения. Чтобы установить непрерывность функции |х| в точке х=0, вычислим односторонние пределы функции в этой точке:

Итак, пределы функции в точке х=0 слева и справа совпадают и равны значению функции в этой точке. Отсюда следует, что функция |х| непрерывна в точке х=0 и, следовательно, непрерывна во всех точках числовой прямой.

Таким образом, рассмотренные функции непрерывны в каждой точке, в окрестности которой они определены. На основании теоремы 4.7 о непрерывности суммы, разности, произведения и частного можно утверждать, что функции, получаемые из них с помощью конечного числа арифметических действий, являются также непрерывными функциями в каждой точке, в окрестности которой они определены.

Будем говорить, что функция f(х) непрерывна в интервале (а, b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала; непрерывна на отрезке если она непрерывна в интервале (а, b), и непрерывна в точке а справа, а в точке b слева, т. е.

Классификация точек разрыва функции

Определение и классификация точек разрыва функции:

Определение:

Точка называется точкой разрыва функции f(х), если f(х) в точке не является непрерывной.

Разрывы функций классифицируются следующим образом.
Разрыв 1-го рода. Точка называется точкой разрыва 1-го рода функции f(х), если в этой точке функция f(х) имеет конечные, но не равные друг другу правый и левый пределы:

Пример:

Для функции точка х = О является точкой разрыва 1-го рода (см.рис.46), так как

Разрыв 2-го рода. Точка называется точкой разрыва 2-го рода функции f(х), если в этой точке функция f(х) не имеет, по крайней мере, одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.

Пример:

Для функции точка х=0 является точкой разрыва 2-го рода (см. рис. 48), так как

Кусочно-непрерывные функции

Функция f(х) называется кусочно-непрерывной на отрезке если она непрерывна во всех внутренних точках за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых имеет разрыв 1-го рода и, кроме того, имеет односторонние пределы в точках а и b.

Функция называется кусочно-непрерывной на числовой прямой, если она кусочно-непрерывна на любом отрезке.

Пример:

Функция кусочно-непрерывна как на любом отрезке, так и на всей числовой прямой. Напомним, что символ обозначает целую часть числа х. График функции изображен на рис. 52, функция [х] в точках Непрерывна справа и разрывна слева. Во всех других точках она Непрерывна как справа, так и слева.

Основные свойства непрерывных функций

Теорема об устойчивости знака непрерывной функции

Теорема:

Пусть функция f(х) непрерывна в точке Тогда существует такое, что для всех функция f(х) имеет тот же знак, что

Доказательство:

Пусть (рис. 53). Тогда в силу второго определения непрерывности функции для любого существует такое, что неравенство выполняется для всех х, удовлетворяющих условию или, что то же самое, выполняются неравенства

для всех Возьмем Тогда из левого неравенства (1) получаем: f(х)>0 для всех что и требовалось доказать.

Если же то рассмотрим функцию Так как то по доказанному существует -окрестность точки в которой и, следовательно, f(х)<0. ■

Прохождение непрерывной функции через любое промежуточное значение

Рассмотрим теорему о прохождении непрерывной функции через нулевое значение при смене знаков.

Теорема:

Первая теорема Больцано — Коши. Пусть функция f(х) непрерывна на отрезке [а, b] и на концах отрезка имеет значения разных знаков. Тогда существует точка в которой

Доказательство:

Пусть для определенности и (рис. 54). Разделим отрезок [а, b] пополам. Если значение функции в середине отрезка [а, b] равно нулю, то теорема доказана. В противном случае выберем тот из двух полученных отрезков, на концах которого функция имеет значения разных знаков, и обозначим его Разделим отрезок пополам. Если значение функции в середине отрезка равно нулю, то теорема доказана. В противном случае выберем тот из двух полученных отрезков, на концах которого функция f(х) имеет значения разных знаков, и обозначим его Если продолжить этот процесс неограниченно, то либо на каком-то k-м шаге значение функции в середине отрезка окажется равным нулю и тогда теорема доказана, либо получим последовательность

вложенных отрезков, причем и на концах каждого отрезка функция имеет значения разных знаков.

По теореме 2.13 о вложенных отрезках существует точка с, принадлежащая всем отрезкам. Докажем, что f(c)=0. Действительно, если допустить, что f(c)>0, то по теореме 4.8 об устойчивости знака непрерывной функции существует окрестность точки с, в которой f(x)>0. В эту окрестность при достаточно большом п попадет отрезок , следовательно, на отрезке , будет выполнено неравенство f (х)>0. Но это противоречит тому, что на концах отрезка функция имеет значения разных знаков. Диалогично доказывается, что f (с) не может быть меньше нуля.

Доказанная теорема имеет простой геометрический смысл: непрерывная кривая при переходе из одной полуплоскости, границей которой является ось абсцисс, в другую пересекает эту ось.

Рассмотрим теорему о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение.

Теорема:

Вторая теорема Больцано—Коши. Пусть функция f(х) непрерывна на отрезке [а, b], причем f(a) = A, f(b) = B. Пусть, далее, С — любое число, заключенное между А и В. Тогда на отрезке [а, b] найдется точка с такая, что f(c) = C.

Другими словами, непрерывная функция при переходе от одного значения к другому принимает и все промежуточные значения.

Доказательство:

Пусть для определенности А<В и A<С<В (рис. 55). Рассмотрим вспомогательную функцию

Эта функция непрерывна на отрезке [а, b] (как разность непрерывных функций) и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков;

По теореме 4.9 существует точка такая, что Отсюда

Следствие:

Если функция f(х) определена и непрерывна на некотором промежутке X, то множество ее значений Y также представляет собой некоторый промежуток.

Прежде чем доказать это следствие, введем понятие точных граней функции. Пусть функция y = f(x) определена на множестве

X, а У—множество ее значений. Если множество У ограничено сверху (снизу), то оно имеет точную верхнюю (нижнюю) грань. Точная верхняя (нижняя) грань множества У называется точной верхней (нижней) гранью функции y=f(x) на множестве X и обозначается . Иными словами, определение точной верхней (нижней) грани функции y=f(х) на множестве X можно сформулировать так: число М (m) называется точной верхней (нижней) гранью функции у=f(х) на множестве X, если выполнены два условия:

Первое из этих условий показывает, что число М(m) является одной из верхних (нижних) граней функции y=f(x) на множестве X, а второе условие показывает, что М(m) — наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) граней функции, т. е. точная грань.

Первое из этих условий показывает, что число М(m) является одной из верхних (нижних) граней функции y=f(x) на множестве X, а второе условие показывает, что М(m) — наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) граней функции, т. е. точная грань.

Если множество Y не ограничено сверху (снизу), то пишут В этом случае для любого числа А существует такая точка

Докажем теперь следствие теоремы 4.10.

Доказательство:

Пусть

Возьмем любое у из У, не равное m и М, и выберем два значения функции f(х) так, чтобы выполнялись неравенства

(если Существование таких значений функции f(х) следует из определения точных граней. Тогда по теореме 4.10 о промежуточных значениях непрерывной функции существует точка х такая, что f (х)=у. Следовательно, множество Y представляет собой некоторый промежуток (конечный или бесконечный) с концами m и М, которые в зависимости от конкретного случая могут ему принадлежать или не принадлежать»

Теорема об ограниченности непрерывной функции на отрезка

Напомним, что функция f(х) называется ограниченной на отрезке если существует число М>0 такое, что для всех выполняется неравенство т.е. график f(х) не выходит из полосы, ограниченной прямыми у=М и у= —М (рис. 56).

Теорема:

Первая теорема Вейерштрасса. Если функция f(х) определена и непрерывна на отрезке то она ограничена на этом отрезке.

Предварительно докажем следующую лемму.

Лемма:

Функция f(х), непрерывная в точке , ограничена в некоторой ее окрестности.

Доказательство:

Пусть тогда согласно второму определению непрерывности функции в точке для данного е существует такое, что для всех выполняется неравенство Используя это неравенство, получаем Отсюда заключаем, что функция f(х) ограничена в -окрестности точки.

Доказательство теоремы. Предположим обратное, т. е. допустим, что функция f(х) неограниченна на отрезке [a, b]. Разделим отрезок [a, b] пополам, тогда, по крайней мере, на одном из двух полученных отрезков функция f(х) неограниченна (в противном случае она была бы ограничена на [a, b]). Обозначим этот отрезок через . Разделим пополам и обозначим через тот отрезок, на котором функция f(х) не ограничена, и т. д. Продолжая этот процесс неограниченно, получаем последовательность
вложенных отрезков, на каждом из которых f (х) не ограничена, причем при

По теореме 2.1З о вложенных отрезках существует точка с, принадлежащая всем отрезкам. Функция f(х) по условию определена и непрерывна в точке с, следовательно, согласно доказанной лемме в некоторой окрестности точки с она ограничена. При достаточно большом п в эту окрестность попадет отрезок , на котором функция f(x) также ограничена. Но это противоречит тому, что f(x) не ограничена на каждом из вложенных отрезков. Полученное противоречие доказывает теорему. ■

Замечание:

Теорема неверна, если отрезок [a, b] заменить интервалом (a, b). Так, например, функция f(х)=1/х непрерывна

На (0,1), но не ограничена, так как Доказательство теоремы для интервала «не проходит» там, где утверждается, Что в точке с функция определена и непрерывна. Для интервала точка с может совпадать с его концом и тогда f(х) не будет определена и непрерывна в точке с.

4. Теорема о достижении функцией, непрерывной на отрезке своих точных граней. В том случае, когда точные грани функции являются значениями функции, говорят, что функция достигает своих точных граней. Однако [см. формулу (1), гл. I, теорему 1.1] не всякому множеству принадлежат его точные грани. Следующий пример показывает, что точные грани функции не всегда достигаются.

Пусть на отрезке определена функция f {х)=х — [х], график которой изображен на рис. 57. Множеством ее значений является [0,1). Функция ограничена и сверху и снизу, имеет на данном отрезке точную верхнюю грань, равную 1, и точную нижнюю грань, равную 0. Очевидно, функция принимает значение, равное 0, но не принимает значения, равного 1. Следовательно, можно сказать, что функция достигает своей точной нижней и не достигает своей точной верхней грани.

Установим, при каком условии функция достигает своих точных граней.

Теорема:

Вторая теорема Вейерштрасса. Если функция f(х) непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на этом отрезке своих точных граней, т. е. существуют точки такие, что (рис. 58)

Доказательство:

Так как функция f(х) непрерывна на отрезке [а,b], то по теореме 4.11 она ограничена на этом отрезке-Следовательно, согласно теореме 1.1 существуют точная верхняя М и точная нижняя m грани функции f(х) на отрезке [а,b].

Покажем, что функция f (х) достигает М, т. е. существует такая точка что Будем рассуждать от противного-Пусть функция f(х) не принимает ни в одной точке значения, равного М. Тогда для всех справедливо неравенство Рассмотрим на [a, b] вспомогательную, всюду положительную функцию

По теореме 4.7 функция F(х) непрерывна как частное двух непрерывных функций. В этом случае согласно теореме 4.11 функция F(х) ограничена, т. е. найдется положительное число ц такое, что для всех

Таким образом, число меньшее М, является верхней гранью f(х) на отрезке [a, b]. Но это противоречит тому, что число, M является точной верхней, т. е. наименьшей верхней гранью функции f(х) на отрезке [а, b]. Это противоречие и доказывает, что существует точка в которой

Аналогично доказывается, что функция f(х) достигает на [a, b] своей точной нижней грани m.

Замечание:

После того как доказано, что функция f(x), непрерывная на отрезке [a, b], достигает на этом отрезке своих точных верхней М и нижней т граней, можно назвать точную верхнюю грань максимальным значением, а точную нижнюю грань минимальным значением функции f(х) на этом отрезке и сформулировать теорему 4.12 в следующем виде: непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке максимальное и минимальное значения.

Замечание:

Разность между наибольшим и наименьшим значениями непрерывной функции f(х) на отрезке [a, b] называется колебанием непрерывной функции на этом отрезке и обозначается буквой : где

Понятие равномерной непрерывности функции

К числу других свойств функции, непрерывной на отрезке, относится очень важное свойство, называемое равномерной непрерывностью. Оно широко используется при доказательстве ряда фундаментальных теорем.

Пусть f(х) — функция, непрерывная на некотором промежутке X, и пусть точка Так как функция f(х) непрерывна в точке . то согласно второму определению непрерывности для любого найдется такое, что при Ясно, что зависит от но зависит также и от При изменении в пределах рассматриваемого промежутка (при постоянном ) число будет различным для разных Чем «круче» идет график функции f(х) в окрестности точки , тем меньше будет , соответствующее этой точке (рис. 59).

Таким образом, при заданном е каждой точке х рассматриваемого промежутка соответствует некоторое . Если бы точек было конечное число, то из конечного множества чисел можно было бы выбрать наименьшее положительное , которое зависело бы только от е и было «пригодно» для всех х. Для бесконечного числа точек этого, вообще говоря, сделать нельзя, так как этим точкам соответствует бесконечное множество чисел , среди которых могут найтись и сколь угодно малые.

Возникает вопрос, существуют ли непрерывные функции, определенные на некоторых промежутках, для которых по любому е находилось бы , не зависящее от х, т. е. б было бы общим для всех х из рассматриваемого промежутка. Это приводит к понятию равномерной непрерывности функции.

Определение. Функция f(х) называется равномерно-непрерывной на промежутке X, если для любого существует такое, что для любых двух точек удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство

В логических символах это определение имеет вид

По самому определению, зависит только от е и является общим для всех промежутка X. Из определения очевидно, что равномерно-непрерывная функция на X является непрерывной на этом промежутке.

Следующая теорема устанавливает условие, при котором непрерывная функция является и равномерно-непрерывной.

Теорема о равномерной непрерывности функции

Теорема Кантора:

Если функция f(х) непрерывна на отрезке [а, b], то она и равномерно-непрерывна на нем.

Доказательство:

Докажем сначала, что если функция f(х) непрерывна на [а, b], то для любого отрезок [а, b] можно разбить на конечное число отрезков, любые два из которых или не имеют общих точек, или имеют только одну общую граничную точку и на каждом из которых для любых двух точек х’, х» будет выполняться неравенство

Предположим обратное, т. е. допустим, что существует , для которого такое разбиение отрезка [a, b] невозможно. Разделим [a, b) пополам и выберем тот из полученных отрезков, для которого такое разбиение невозможно. Обозначим его Разделим теперь отрезок пополам и выберем тот из полученных двух отрезков, для которого такое разбиение невозможно, и т. д. Продолжая этот процесс неограниченно, получаем последовательность вложенных отрезков

обладающих тем свойством, что ни один из них нельзя разбить на конечное число отрезков, на каждом из которых для любых двух точек х’ и х» будет выполняться неравенство . По теореме 2.13 о вложенных отрезках существует точка с, принадлежащая всем отрезкам. Так как функция f(х) непрерывна в точке с. то для рассматриваемого найдется такое, что для любого х из -окрестности точки с. Тогда для любых двух точек х’ и х» -окрестности точки с будет выполняться неравенство

В -окрестность точки с при достаточно большом попадет отрезок , и, следовательно, для любых двух точек х’ и х» этого отрезка справедливо неравенство а это противоречит выбору последовательности вложенных отрезков.

Перейдем теперь непосредственно к доказательству теоремы. По только что доказанному для любого существует разбиение [а,b] на конечное число отрезков, в каждом из. которых разность между любыми двумя значениями функции f(х) по абсолютной величине меньше Обозначим через длину наименьшего из отрезков разбиения и рассмотрим любые две точки х’ и х» отрезка [а,b], отстоящие друг от друга меньше, чем на , т. е. Возможны два случая: 1) точки х’ и х» принадлежат одному отрезку разбиения; 2) точки х’ и х» принадлежат Двум соседним отрезкам разбиения. В первом случае во втором случае, обозначая через х0 общую граничную точку соседних отрезков, имеем

Таким образом, для любого найдется такое, что любых двух точек х’ и х» отрезка [а, b], удовлетворяющих Неравенству выполняется неравенство что и требовалось доказать. ■

Следствие:

Пусть функция f(х) непрерывна на отрезке Тогда для любого существует , такое, что если [а,b] произвольно разбить на конечное число отрезков с длинами, меньшими , то на каждом из них колебание со функции f(х) будет меньше .

Замечание. Теорема неверна, если отрезок [a, ft] заменить интервалом или полуинтервалом.

Доказательство:

Действительно, по доказанной теореме функция f(x) равномерно-непрерывна на [а, b). Следовательно, для любого найдется такое, что для любых точек х’ и х» отрезка [a, b], удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство Разобьем отрезок [a, b] произвольным образом на конечное число отрезков с длинами, меньшими указанного . Поскольку функция f(х) непрерывна на [a, b], на каждом из частичных отрезков можно указать такие точки х’ и х», что где m и М — точные нижняя и верхняя грани функции f(х) на данном частичном отрезке. Так как поэтому

Пример:

Рассмотрим функцию на интервале (0, 1). Данная функция непрерывна на интервале (0, 1), но не является равномерно-непрерывной на нем. Это следует из того, что для любого фиксированного , какое бы мы не взяли, всегда найдутся точки х’ и х», достаточно близкие к нулю, расстояние между которыми меньше , а модуль разности больше (рис. 60).

Понятие сложной функции

Определение:

Если на некотором промежутке X определена функция с множеством значений Z, а на множестве 1 определена функция то функция называется сложной функцией от х, а переменная z — промежуточной переменной сложной функции.

Пример:

Функция — сложная функция, определенная на всей числовой прямой, так как

Теорема:

Пусть функция непрерывна в точке а функция непрерывна в точке Тогда сложная функция непрерывна в точке

Доказательство:

Возьмем из X любую последовательность точек
сходящуюся к точке Тогда в силу непрерывности функции в точке имеем: т. е.
соответствующая последовательность точек сходится к точке . В силу же непрерывности функции f(z) в точке получаем

Следовательно, предел функции в точке равен ее значению в этой точке, что и доказывает непрерывность сложной функции в точке

Пример:

Доказать непрерывность функции в точке х= 0.

Решение:

Функция непрерывна в точке х=0, а функция непрерывна в точке z=0, поэтому по доказанной теореме сложная функция непрерывна в точке х=0.

Понятие обратной функции

Определение обратной функции: Будем говорить, что функция f(x) не убывает (не возрастает) на множестве X, если для любых удовлетворяющих условию справедливо неравенство

Неубывающие и невозрастающие функции объединяют общим названием монотонные функции.

Если для любых удовлетворяющих условию то справедливо неравенство ,функция f(x) называется возрастающей (убывающей) на множестве X. Возрастающие и убывающие функции называются также строго монотонными.

Примеры:

Функция является неубывающей на всей числовой прямой.
2. Функция f(х)=x является возрастающей на всей числовой прямой. Введем теперь понятие обратной функции.

Определение:

Пусть X и Y — некоторые множества и пусть задана функция f, т. е. множество пар чисел в котором каждое число х входит в одну, и только одну пару, а каждое число у, — по крайней мере, в одну пару. Если в каждой паре этого множества числа х и у поменять местами, то получим множество пар чисел (у; х), которое называется обратной функцией к функции f.

Обратную функцию будем обозначать символом

Отметим, что обратная функция, вообще говоря, не является Функцией, так как каждое число у может входить не только в одну, но и в несколько пар. Так, например, для функции у=х обратная Функция х=у — однозначна (каждое число у входит в одну пару), для функции обратная функция — двузначна (каждое число у входит в две пары), а обратная функция для функции — многозначна (каждое число у входит в бесконечное число пар). Геометрически данный факт очевиден.

Из определения следует, что если обратная функция однозначна, т. е. является функцией в обычном смысле, то множество значений Y функции f является областью определения обратной функции , а область определения X функции f — множеством значений обратной функции . Пусть, например, функция определена на отрезке [а, b], отрезок является множеством ее значений и каждое соответствует ровно одному х из [а, b]. Тогда, по определению, на отрезке определена однозначная обратная функция множеством значений которой служит отрезок [а,b] (рис. 61).

Таким образом, функция y=f(x) и обратная функция имеют один и тот же график. Так, например, функция у=5х и обратная функция х=1/5у изображаются графически одной прямой.

Если оси Ох и Оу поменять местами, для чего следует повернуть в пространстве плоскость Оху вокруг биссектрисы первого координатного угла на 180°, то новое положение графика обратной функции является графиком обратной функции (рис. 61).

Теорема о непрерывности обратной функции

Теорема:

Пусть функция y=f(x) определена, строго монотонна и непрерывна на некотором промежутке X и пусть Y — множество ее значений. Тогда на множестве Y обратная функция однозначна, строго монотонна и непрерывна.

Доказательство:

Пусть для определенности функция f(х) возрастает на X, т. е. для любых удовлетворяющих условию выполняется неравенство (рис. 62).

Однозначность обратной функции следует из того, что в силу возрастания функции у=f(х) на X справедливо неравенство и, значит, каждому соответствует единственное значение

Докажем теперь, что обратная функция возрастает на Y. Действительно, если то и так как если бы было то из возрастания f(х) следовало бы, что что противоречило бы предположению. Таким образом, факт строгой монотонности обратной функции установлен.

И наконец, покажем, что обратная функция непрерывна на У. Согласно следствию теоремы 4.10 множество Y является промежутком с концами m и М, где

Пусть Рассмотрим сначала случай, когда (рис. 63). В этом случае точка является, очевидно, внутренней точкой промежутка X. Возьмем таким, чтобы и положим Тогда в силу возрастания f(х) получим

Возьмем теперь таким, чтобы выполнялись неравенства

Тогда, если у удовлетворяет неравенствам

и, следовательно, в силу возрастания (y) имеем

Таким образом, доказано что для любого достаточно малого существует такое, что для всех у, удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство т. е. обратная функция (у) непрерывна в точке . Но — произвольная точка интервала (m, М). Значит, обратная функция непрерывна на (m, М).

Если или то с помощью аналогичных рассуждений можно доказать непрерывность справа в точке т и слева в точке М.

Итак, факт непрерывности обратной функции на Y Доказан.

В случае убывания функции f (х) доказательство теоремы аналогично.■

Замечание. Если обратная функция однозначна, то, очевидно, функция y = f(x) является обратной для функции . Такие функции называют также взаимно обратными.

Пример:

Функция на отрезке возрастает, непрерывна и множеством ее значений является отрезок [ — 1, 1]. По теореме 4.15 на отрезке [—1, 1] существует непрерывная возрастающая обратная функция с множеством значений

Эту обратную функцию обозначают График ее совпадает с графиком функции , рассматриваемой при (рис. 64).

Если теперь х и у поменять местами, т. е. если рассматривать функцию у=arcsin х, то получится график, изображенный на рис. 64 сплошной линией.

Дополнение к функциям одной переменной

Если каждому элементу из некоторого множества по определенному правилу ставится в соответствие единственный элемент из множества , то говорят, что задана функция. Обозначается этот факт как .

Переменная величина называется аргументом или независимой переменной, а переменная величина — функцией или зависимой переменной.

Множество называется областью определения функции, а множество — областью значений функции , если для всякого найдется такое , что значение функции в точке равняется . Говорят также, что функция отображает множество на множество . Область определения функции будем обозначать как , а область ее значений — .

Графиком функции называется множество всех точек плоскости , координаты которых можно представить в виде .

Функция называется ограниченной на множестве , если существует такое , что для всех . Причем, если функция ограничена снизу, то верно неравенство , а если функция ограничена сверху, то верно неравенство (см. графики на рис. 3.2).

Если множество симметрично относительно точки = 0 и функция удовлетворяет условию , то функция называется четной (см. штриховую линию на рис. 3.2), а если , то нечетной (см. сплошную линию на рис. 3.2). Если существует такое число , что для всех , то функция называется периодической (см. оба графика на рис. 3.2), а наименьшее из чисел называется ее периодом.

Чтобы определить функцию , необходимо указать правило, позволяющее находить ее значения у по известным значениям аргумента . Аналитическим называется способ задания функции с помощью одной или нескольких формул.

Например:

Аналитический способ определения функции является наиболее совершенным, так как позволяет не только сравнительно легко находить значения функции , но и в полной мере использовать весь арсенал методов математического анализа для исследования ее свойств.

Используются также табличный и графический способы задания функции.

Этот материал взят со страницы заказа помощи по математике, там можно заказать помощь и ознакомиться с краткой теорией по предмету математика:

Помощь по математике

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Парабола в математике

Предел последовательности в математике

Предел функции в математике

Бесконечно малые и бесконечно большие функции в математике

Исследование функций одной переменной

Признаки возрастания и убывания функции

Определение:

Функция f(х), определенная на отрезке [а, b], называется неубывающей на [а, b], если для любых x1,x2 ∈ [а, b] из условия x1 < x2 следует неравенство f(x1) ≤ f(x2). Если из х, < х2 всегда следует f{x1) < f(x2), то функция f(x) называется возрастающей на [а, b].

Если на отрезке [a, b] из условия x1 < х2 следует неравенство f{x1) ≥ f(x2), тo функция f(x) называется невозрастающей на отрезке [а, b]. Если из условия x1 < х2 всегда следует f(х1) > f(x2), то функция f(х) называется убывающей на [а, b).

Определение:

Функция f(х) называется монотонной на [а, b], если она на [а, b] только неубывающая (в частности, возрастающая) или только невозрастающая (в частности, убывающая). Возрастающие и убывающие функции часто называют также строго монотонными.

Теорема:

Пусть функция f(х) непрерывна на отрезке [ a, b] и имеет производную f'{x) по крайней мере в интервале (а, b). Для того, чтобы функция f(x) на отрезке [а, b] была неубывающей, необходимо и достаточно выполнение условия f'(x) ≥ 0 для всех точек х из интервала (а, b).

Необходимость:

Пусть функция f(x) на отрезке [а, b] неубывающая (рис.1). Докажем, что на интервале (а, b) производная f'(х) ≥ 0. Возьмем точки х и х + ∆х в интервале (а, b). Так как по условию f(х) неубывающая, то при любом ∆х (положительном или отрицательном) знаку ∆х и f(х + ∆х) -f(х) один и тот же, и поэтому

Учитывая, что по условию в каждой точке I интервала (а, b) существует производная f'(х), из последнего неравенства получим

Итак, в любой точке х ∈ (a, b) имеем f'(х) ≥ 0.

Достаточность:

Пусть f'(х) ≥ 0 на интервале (а, b). Докажем, что функция f(х) неубывающая на отрезке [а, b]. Действительно, пусть x1 < х2 — любые две точки отрезка [а, b]. По теореме Лагранжа

Так как по условию f'(x) ≥ 0 в каждой точке х интервала (а, b),то и f'( ξ ) ≥ 0. Кроме того, x2 > x1. Поэтому

Итак, из неравенства x1 < х2 следует неравенство f(x1) ≤ f(х2), а это и означает, что на отрезке [а, b] функция f(х) неубывающая.

Аналогично доказывается

Теорема:

Пусть функция f(х) непрерывна на отрезке [а, b] и имеет производную f'(х) по крайней мере на интервале (a, b). Для того, чтобы функция f(х) на отрезке [а, b] была невозрастающей, необходимо и достаточно выполнение условия f'(х) ≤ 0 для всех точек х из интервала (а, b).

Таким образом, интервалы знакопостоянства производной f'(х) являются интервалами монотонности функции f(х). Справедливо следующее утверждение (достаточное условие возрастания функции):

если f'(х) > 0 на интервале (а, b), то f(x) на отрезке [a, b] возрастает.

Однако если f(х) возрастает на [а, b], то отсюда не следует, что f'(х) > 0 всюду на интервале (а, b).

Пример:

Функция f(x) = х3 возрастает на отрезке (-1, 1), однако ее производная f'(x) = Зх2 обращается в нуль в точке х = 0-

Принято говорить также о возрастании или убывании функции в точке.

Определение:

Функция /(х) называется возрастающей в точке х = хо, если существует такая окрестность (хо — δ , хо + δ ) точки хо, в которой для всех х < хо имеем f(х) < f(х0), а для всех х > хо верно f(х) > f(xо) (рис.2).

Функция/(х) называется убывающей в точке х = xo ecли в некоторой окрестности точки хо для всех х < х0 имеем f(х) > f(xо), а для всех х > хо имеем f(х) < f(х0).
Следующая теорема выражает достаточные условия возрастания и убывания функции в точке.

Теорема:

Пусть функция f(x) в точке х = хо имеет производную f'(х0). Если f'(х0) > 0, то функция f(x) в точке Хо возрастает; если f'(x0) < 0, тоf(х) в точке х0 убывает.

Пусть f'(хо) > 0. Это означает, что

Но тогда существует такое δ > 0, что для всех ∆х, удовлетворяющих условию 0 < | ∆х| < δ, верно неравенство

Отсюда следует, что при 0 < |∆х| < δ величины ∆х и f(х0 + ∆х) — f(хо) имеют один и тот же знак: если ∆х < 0, то и f(xo + ∆х) — f(xo) < 0, т. е. f(х0 + ∆х) < f(хо); если же ∆х > 0, то и f(xо + ∆х) — f(хо) > 0, т. е.f(хо + ∆х) > f(х0). Согласно определению, это означает, что функция f(х) в точке хо возрастает.

Подобными рассуждениями можно доказать, что если f'(хо) < 0, то функция f(х) в точке хо убывает.

Замечание:

Теорема дает достаточные условия возрастания и убывания функции в точке. Так, функция, график которой представлен на рис. 3, возрастает в точке х = 0, но в этой точке производная функции не существует. Функция f(x) =x3 (рис.4) возрастает в точке х = 0, но ее производная f'(x) = Зx2 в точке х = 0 обращается в нуль.

Экстремум функции

Пусть функция f(х) определена в некоторой окрестности точки хо, включая и саму точку хо.

Определение:

Точка хо называется точкой локального максимума функции f(х), если существует такое δ > 0, что для всех х из интервала (хо — δ , х0 + δ ) верно неравенство

(рис.5). Если существует δ > 0 такое, что для всех х из интервала (хо — δ, хо + δ) верно неравенство

то точка х0 называется точкой локального минимума функции f(х) (рис.6).

Значение функции f(х) в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума — локальным минимумом данной функции. Максимум и минимум функции называются ее локальными экстремумами.

Эти определения означают, что f(хо) есть локальный максимум функции f(х), если существует такой интервал (хо — δ , хо + δ ), в котором f(х0) является наибольшим значением функции f(x), и f(x0) есть локальный минимум функции f(x), если существует интервал (хо — δ , хо + δ ), в котором f(xо) является наименьшим значением функции f(x) на этом интервале.

Термин локальный (относительный) экстремум обусловлен тем, что введенное понятие экстремума связано с окрестностью данной точки в области определения функции, а не со всей этой областью. Так, для функции у = f(х), график которой представлен на рис. 7, точка х0 есть точка локального максимума, а точка x1 — локального минимума, но f(х0) < f(x). В дальнейшем слово «локальный» будем для краткости опускать.

Мы будем рассматривать лишь точки строгого максимума и минимума.

Определение:

Точка хо называется точкой строгого максимума (минимума) функции f(x), если существует δ > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих условию

верно строгое неравенство

В приведенном определении локального экстремума мы не предполагаем непрерывности функции f(х) в точке хо.

Пример:

Так, функция

разрывна в точке х = 0, но имеет в этой точке максимум. В самом деле, существует b > 0 (например, 6 1) такое, что для всех х ≠ 0 из интервала (-1,1) верно неравенство (рис. 8)

f(x) — f(0) = f(x) — 1< 0.

Задача:

Исходя из определения максимума и минимума, доказать, что функция

имеет в точке х = 0 минимум, а функция

не имеет в точке 1=0 экстремума.

Задача:

Исследовать на экстремум в точке хо функцию /(х) = (х-хо)п<р(х), считая, что производная tp'(x) не существует, но функция tp(x) непрерывна в точке хд и ip(x0) ф О, п — натуральное число.

Необходимое условие экстремума

Теорема 4. Функция f(x) может иметь экстремум только в тех точках, в которых ее производная f'(x) либо равна нулю, либо не существует.

А Пусть в точке хо функция f(х) имеет производную и f'(xо) ≠ о. Для определенности пусть f'(x0) > 0. Тогда функция f(x) в точке х0 будет возрастающей. Поэтому найдется такое δ > 0, что для всех х из интервала (хо — δ ,хо) верно неравенство f(x) < f(x0), а для всех х из интервала (хо, хо + δ) верно неравенство f(xо) < f(x) (рис.9). Из этого следует, что не существует окрестности точки xo, в которой величина f(x0) была бы наибольшим или наименьшим значением функции f(х), и поэтому точка хо не будет ни точкой максимума, ни точкой минимума функции f(x).

Аналогичными рассуждениями придем к тому же выводу при f'(xо) < 0.

Итак, если в точке хо существует производная f'(х0) ≠ 0, то в точке хо не может быть ни максимума, ни минимума функции f(х). Следовательно, экстремум функции f(х) может быть только в такой точке, в которой производная f'(х) либо равна нулю, либо не существует.

Геометрическую иллюстрацию теоремы дает рис. 10. Функция у = /(х), график которой представлен на этом рисунке, имеет экстремумы в точках x1, x2, хз, x4; при этом в точках х1 и x4 производная f'(х) не существует, а в точках х2 и хз она равна нулю.

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для функции f(х), называются критическими точками этой функции. Они определяются как корни уравнения

f'(х) = 0

и как точки, где f'(х) не существует (в частности, где f'(x) — бесконечно большая функция). Корни уравнения f'(х) = 0 называют стационарными точками функции f(х): скорость изменения /(х) в такой точке равна нулю.

Теорема выражает лишь необходимое условие экстремума, и не в каждой своей критической точке функция f(x) обязательно имеет максимум или минимум.

Пример:

Так, например, для функции f(x) = х3 имеем f'(0) = 0. Поэтому точка х = 0 является критической для данной функции. Но функция f(x) = х3 в точке х = 0 экстремума не имеет, т.к. f(0) = 0, f(х) < 0 для х < 0 и f(х) > 0 для х > 0, так что в точке х = 0 данная функция возрастает.

Достаточные условия максимума и минимума

Теорема:

Пусть х = хо есть критическая точка для функции f{х),т.е. либо f'(х0) = 0, либо f'(хо) не существует, но сама функция f(x) непрерывна в точке xo.

Пусть существует такое δ > 0, что для всех х из интервала (хо — δ, xо) производная f'(x) > 0, а для всех х из интервала (xo,xo + δ ) имеем f'(x) < 0, т. е. при переходе х через точку хо производная f'(x) меняет знак с плюса на минус. Тогда в точке х0 функция f(x) имеет максимум. < Так как по условию f'(х) > 0 в интервале (х0 — δ ,х0), то на отрезке [хо — δ , хо] функция f(х) возрастает; так как f'(x) < 0 в интервале (хо, хо + δ ), то на отрезке [х0, х0 + δ ] функция f(х) убывает. Следовательно, f(xо) есть наибольшее значение функции f(х) в окрестности (х0 — δ , х0 + δ ) точки хо (рис. 11), а это означает, что f(х0) есть локальный максимум функции f(x).

Аналогично доказывается

Теорема:

Пусть х = х0 есть критическая точка для функции f(х), т.е. либо f'(xо) = 0, либо f'(xо) не существует, но сама f(x) в точке хо непрерывна. Пусть существует такое δ > 0, что для всех х из интервала (хо — δ, xo) имеем f(x) < 0, а для всех х из интервала (хо, xo + δ) f'(х) > 0, т. е. производная f'(х) при переходе х через точку хо меняет знак с минуса на плюс. Тогда точка хо есть точка минимума функции f(x).

Если в некоторой окрестности (хо — δ, х0+ δ ) критической точки х0 и слева и справа отточки хо знак производной f'(x) один и тот же, то в точке х0 нет экстремума функции f(x). Так, если f'(x) > 0 как для х ∈ (хо — δ , х0), так и для х ∈ (хо, хо + δ), то f(x) будет возрастающей как слева, так и справа от точки хо. Поэтому каким бы малым интервал (х0- δ , хо + δ) ни был, f(хо) не будет ни наибольшим, ни наименьшим значением f(x) в этом интервале, т. е. в точке хо не будет ни максимума, ни минимума функции f(х).

Условие непрерывности функции f(х) в самой точке х0 является существенным. Рассмотрим функцию

(рис. 12). В точке х = 0 производная f'(х) не существует. При переходе х через эту точку производная f'(x) меняет знак, но в точке х = 0 функция f(х) экстремума не имеет: не существует окрестности точки х = 0, в которой f0) = 1 было бы наибольшим или наименьшим значением функции f(x). Здесь нарушено условие непрерывности функции f(х) в точке х = 0.

Правило 1 (отыскания экстремумов функции). Чтобы найти точки максимума и минимума функции f(х), надо:

1) найти производную f'(x), приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение f'(x) = 0;

2) найти точки, в которых производная f'(x) не существует. Эти точки и корни уравнения f'(x) = 0 будут критическими точками для функции f(x).

3) исследовать знак производной f'(x) слева и справа от каждой критической точки. Если при переходе х через критическую точку хо производная f(x) меняет свой знак с плюса на минус, то в точке х0 функция f(x) имеет максимум; если знак f'(x) меняется с минуса на плюс, то в точке хо функция f(x) имеет минимум. Если при переходе х через критическую точку xо знак f(x) не меняется, то в точке то функция f{x) не имеет ни максимума, ни минимума.

Примеры:

1. Исследовать на экстремум функцию

1) Находим производную:

2) Приравнивая у’ нулю, находим критические точки функции у(х): х = 0, х = 2.

3) Исследуем знак производной слева и справа от каждой из критических точек:

Таким образом, точка х — 0 есть точка минимума, точка х = 2 — точка максимума данной функции (рис. 13).

2. Исследовать на экстремум функцию

1) Находим производную:

2) Производная нигде не обращается в нуль, но не существует в точке х = 0:

3} Исследуем знак у’ слева и справа от точки х = 0:

Таким образом, точка х = 0 есть точка минимума данной функции (рис. 14).

3. Исследовать на экстремум функцию

1) Находим производную: у’ = Зх².

2) Приравнивая у’ нулю, находим критические точки функции у(х): ч = 0.

3) Исследуем знак производной у’ слева и справа от точки х=0:

Производная у'(х) = Зх2 > 0 как слева, так и справа от точки х = 0. Следовательно, в точке х = 0 экстремума нет, функция возрастает в точке х = 0.

Замечание:

Если функция f(х) имеет в точке хо экстремум, например, минимум, то это еще не значит, что справа отточки хо функция возрастает, а слева убывает. Это показывает следующий пример. Пусть функция f(х) задана равенством

(рис. 15). Нетрудно видеть, что в точке х = 0 данная функция непрерывна и имеет минимум. Производная функции

любой окрестности точки х = 0, исключая саму точку х = 0, непрерывна и меняет знак бесконечно много раз. А сама функция f(х) не монотонна ни слева, ни справа от точки х = 0.

Исследование функций на максимум и минимум при помощи второй производной

Следующая теорема опять выражает достаточные условия максимума и минимума функции.

Теорема:

Пусть в точке х0 функция f(х) имеет первую и вторую производные, причем f'(х0) — 0, a f»(х0) ≠ 0. Тогда в точке х0 данная функция f(x) имеет максимум, если f»(xо) < 0, и минимум, если f»(х0) > 0.
Прежде всего заметим, что точка х0 является критической точкой для данной функции f(x), т. к. f'(xо) = 0.

Пусть f»(х0) <0. Из этого следует, что в точке х0 первая производная f'(x) убывает, т. е. существует такая окрестность (х0 — δ, хо + δ) точки х0, что для всех х из интервала (х0 — δ , х0) верно неравенство f'(х) > f'(x0) = 0, а для всех х из интервала (хо, xо + δ) верно f'(х) < f'(х0) = 0. Таким образом, при переходе х через критическую точку х0 производная f'(x) меняет свой знаке плюса на минус. Следовательно, функция f(х) в точке х0 имеет максимум.

Подобными же рассуждениями доказывается, что если в критической точке х0 вторая производная f»(х0) > 0 то функция f(х) в точке х0 имеет минимум. Отсюда получаем второе правило отыскания точек экстремума функции.

Правило 2 (отыскания экстремумов функции). Чтобы найти точки максимума и минимума функции f(х), надо найти критические точки f(х). Для этого поступаем так, как указано в правиле 1. Затем ищем вторую производную f»(х). Если она в критической точке х0 существует и меньше нуля: f»(хо) < 0, то в точке хо функция f(x) имеет максимум, если же f»(хо) > 0, то в точке хо функция f(х) имеет минимум. Если в критической точке xо вторая производная равна нулю или не существует, то такую точку xо можно исследовать с помощью первой производной.

Пример:

Исследовать на экстремум функцию

Имеем

откуда х = 0 — критическая точка.

Далее находим

Отсюда у»(0) = -2 < О,

так что точка х = 0 — точка максимума функции (рис. 16).

Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке

Если функция f(х) определена и непрерывна на отрезке [а, b], то, согласно второй теореме Вейерштрасса, она на этом отрезке принимает наибольшее и наименьшее значения.

Если свое наибольшее значение М функция f(х) принимает во внутренней точке х0 отрезка [а, b], т. е. когда а < хо < b, то М = f(х0) будет локальным максимумом функции f(x), т. к. в этом случае существует окрестность точки хо такая, что значения f(x) для всех точек х из этой окрестности будут не больше f(x0) как в точках слева от точки хо, так и в точках справа отточки хо.

Однако свое наибольшее значение М функция f(х) может принимать и на концах отрезка [а, b].

Поэтому, чтобы найти наибольшее значение М непрерывной на отрезке [а, b] функции f(х), надо найти все максимумы функции f(х) в интервале (а, b) и значения f(х) на концах отрезка [а, b], т. е. f(а) и f(b), и выбрать среди них наибольшее число. Наименьшим значением то непрерывной на отрезке [а, b] функции f(х) будет наименьшее число среди всех минимумов функции f(х) в интервале (а, b) и значений f(а) и f(b).

Для функции, график которой изображен на рис. 17, имеем М = f(b), то = f(х0).

Пример:

Из квадратного листа жести со стороной а, вырезая по углам равные квадраты и сгибая края, составляют прямоугольную открытую коробку. Как получить коробку наибольшей вместимости?

Обьем v коробки, как функция х, определяется формулой (см. рис. 18):

Имеем

Отсюда критические точки функции v(x): В интервале (a, ) лежит критическая точка .

Находим вторую производную функцию v(x):

При имеем < 0, так что в точке функция v(x) имеет максимум:

На концах отрезка [0, ] имеем v(0) = = 0.

Таким образом, наибольшее значение функции v(x) — наибольшая вместимость коробки — будет, если выбрать ; при этом вместимость коробки будет равна

Направление выпуклости и точки перегиба кривой

Пусть дана кривая уравнением у = f(x) и пусть функция f(х) в точке хо имеет конечную производную f'(x0), т.е. в точке М0(х0,f(хо)) существует касательная к данной кривой, не параллельная оси Оу.

Определение:

Если существует такая окрестность (хо — δ,хо + δ) точки хо, что все точки данной кривой, абсциссы которых содержатся в этой окрестности, расположены над касательной к кривой в точке Мо, то говорят, что выпуклость данной кривой в точке Мо направлена вниз (рис. 19).

Если все точки кривой с абсциссами из некоторой окрестности точки хо находятся под касательной к этой кривой в точке Мо, то говорят, что выпуклость данной кривой в точке Mo направлена вверх (рис. 20).

Определение:

Будем говорить, что график функции у = f(х), дифференцируемой на интервале (а, b), имеет на этом интервале выпуклость, направленную вверх (вниз), если график этой функции в пределах интервала (а, b) лежит не выше (не ниже) любой своей касательной.

Определение:

Точка Мo(хо, f(хо)) называется точкой перегиба кривой у = f(х), если существует окрестность (хо- δ, xо + δ) точки хо такая, что для х < хо из этой окрестности выпуклость кривой направлена в одну сторону, а при х > хо — в противоположную (рис.21).
Иными словами, точка Мo — точка перегиба кривой, если в этой точке кривая переходите одной стороны касательной на другую, меняя направление выпуклости.

Укажем аналитический способ для определения направления выпуклости кривой и отыскания точек перегиба. Обозначим через у ординату точки кривой у = f(х), а через Y — ординату точки касательной, проведенной к этой кривой в точке М0(х0, f(хо)) .отвечающие одной и той же абсциссе х (рис. 22).

Очевидно, что если у — Y > 0 для всех х ≠ х0 в достаточно малой окрестности точки хо, то выпуклость кривой в точке Мo направлена вниз, а если у — Y < 0 для указанных значений х, то выпуклость кривой в точке Мо направлена вверх. Таким образом, вопрос о направлении выпуклости кривой в точке Мо сводится к вопросу о знаке разности у — Y в окрестности точки xо.

Учитывая, что уравнение касательной к данной кривой вточке Мо(хо, f(хо)) есть

имеем

Пусть функция у = f(х) в окрестности точки хо имеет производную второго порядка, непрерывную в точке хо. Воспользовавшись формулой Тейлора, будем иметь

Из формул (1) и (2) получаем

Если f»(х0) ≠ 0, то в силу устойчивости знака непрерывной функции в достаточно малой окрестности точки х0 знак f»[xо + θ ⋅ (х — хо)] совпадает со знаком f»(х0).

Таким образом, из равенства (3) следует, что знак разности y-Y совпадает со знаком f»(хо). Поэтому, если f»(хо) >0, то у-У>0 для всех точек х ≠ х0, достаточно близких к точке хо, и в точке Мо(хо,f(х0)) выпуклость кривой у = f(х) направлена вниз, а если f»(хо) < 0, то выпуклость кривой в точке Мо направлена вверх (рис.23). Отсюда получаем необходимое условие точки перегиба.

Теорема:

Точка М0(хо, f(хо)) может быть точкой перегиба кривой у = f(х) только если f»(хо) = 0 (или f»(xо) не существует).

Это условие не является достаточным. Так, например, для функции f(х) = х⁴ имеем f»(x) = 12х² и f»(0) = 0, но точка 0(0,0) не есть точка перегиба кривой у = х⁴: в этой точке выпуклость кривой направлена вниз (рис. 24).

Достаточный признак точки перегиба выражается следующей теоремой

Теорема:

Пусть функция f(х) имеет вторую производную в некоторой окрестности точки xo, непрерывную в точке хo. Если f»(xо) = 0 и при переходе х через точку х0 вторая производная f»(x) меняет знак, то точка Мо(х0, /(хо)) есть точка перегиба кривой y = f(x).

Пусть для функции у = f(x) условие f»(хо) = 0 выполнено и пусть существует такая окрестность (хо — δ , х0 + δ ) точки х0, что в этой окрестности для всех х < хо знак f»(х) один, а для всех х > х0 знак f»(х) противоположный. Тогда при переходе через точку Мо(х0, f(х0)) направление выпуклости кривой меняется. Поэтому точка Mo будет точкой перегиба данной кривой.

Если же f»(х0) = 0, но в некоторой окрестности точки х0 знак f»(x) один и тот же как при х < хо, так и при х > хо, то точка Мо не будет точкой перегиба: в этой точке выпуклость кривой направлена вниз, если f»(х) > 0 как слева, так и справа отточки х0, и выпуклость кривой направлена вверх, если f»(х) < 0 как слева, так и справа от точки х0.

Задача:

Доказать, что если функция f(x) имеет в точке хо конечную третью производную и удовлетворяет условиям f»(хо) = 0, f'»(x) ≠ 0, то график функции у = f(х) имеет перегиб в точке Мo(хo, f(х0)).

Может оказаться, что в точке перегиба Мо(хо, f(хо)) кривой у = f(х) касательная вертикальна, и поэтому f»(х) в точке хо не существует.

Пример:

Рассмотрим, например, функцию

Имеем

Очевидно, нет ни одной точки, в которой f»(х) = 0. Но есть точка х = 0, в которой f»(х) не существует.

Исследуем знак f»(х) в окрестности этой точки. Нетрудно видеть, что f»(x) > 0 в интервале (- δ , 0) и f»(х) < 0 в интервале (0, δ), где δ > 0. Таким образом, слева от точки O (0,0) выпуклость кривой направлена вниз, справа от точки O (0,0) — вверх. Следовательно, точка O (0.0) есть точка перегиба кривой

Касательная в точке O(0,0) к этой кривой перпендикулярна оси Ох.

Окончательно достаточный признак точки перегиба может быть сформулирован так.

Пусть кривая у = f(х) имеет в точке Мо(хо, f(х0)) касательную, хотя бы и параллельную оси Оу. Пусть функция f(х) в некоторой окрестности точки xo, кроме, быть может, самой точки х0, имеет непрерывную вторую производную. Если f»(x) в точке х0 равна нулю или не существует и при переходе х через точку хо производная f»(x) меняет свой знак, то точка Мо(х0,f(хо)) есть точка перегиба кривой у =f(х).

Асимптоты графика функции

Определение:

Асимптотой кривой с бесконечной ветвью называется такая прямая, что расстояние δ точки М кривой до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки М по бесконечной ветви от начала координат (рис. 25).

Вертикальные асимптоты

Прямая х = х0 является вертикальной асимптотой графика функции у = f(x), если хотя бы одно из предельных значений

равно + ∞ или — ∞. Действительно, при этом расстояние δ = |х — х0| от точки М{х, f(xо)) графика функции у = f(x) до прямой х = xo стремится к нулю, а сама точка М неограниченно удаляется от начала координат.

Так, график функции у = 1/x имеет вертикальную асимптоту x = 0, поскольку

(рис.26).

Кривая у = имеет вертикальную асимптоту х = 0, так как

На рис. 27 представлены возможные случаи взаимного расположения кривой и вертикальной асимптоты.

Для разыскания вертикальных асимптот кривой у= f(x) поступаем так:

1) находим на оси Ох точки разрыва функции f(x)

2) выделяем те из них, в которых хотя бы один из пределов функции f(х) (слева или справа) равен + ∞ или — ∞. Пусть это будут точки x1, х2, …., хт. Тогда прямые х = х1, х = x2…,х = хт будут вертикальными асимптотами графика функции у = f(x).

Например, для кривой у = вертикальными асимптотами будут прямые х — -1 и х = 1 (рис. 28).

Вертикальная прямая х = х0 может оказаться асимптотой графика функции у = f(x) и в том случае, когда точка х0 является концом интервала, в котором определена функция f(x). Это будет тогда, когда хо — левый конец интервала и

либо когда хо — правый конец интервала и

Например, функция у = ln х определена в интервале 0 < х < + ∞, и для нее

так что прямая х = О (ось Оу) является вертикальной асимптотой графика функции у=In х.

Наклонные асимптоты

Пусть функция у = f(x) определена для всех х ≥ а (или х ≤ а). И пусть прямая у = kх + b является асимптотой графика функции у = f{x). Такую асимптоту называют наклонной.

Для определенности будем рассматривать сколь угодно большие значения аргумента х положительного знака. Тот факт, что прямая у = kx + b является асимптотой кривой у = f(x), означает, согласно определению асимптоты, что расстояние δ от точки М(х, f(x)) кривой до этой прямой стремится к нулю при х —» + ∞. Обозначим через а (а ≠ ) угол, образованный асимптотой с осью Ох. Из рис. 29 видно, что δ =|MN| cos а. Поскольку cos а ≠ О, стремление к нулю величины δ при х —» + ∞ влечет за собой стремление к нулю величины |MN| и наоборот. Замечая, что |MN| = |f(x)- kх- b|, приходим к выводу: прямая у = kх + b будет наклонной асимптотой графика функции у = f(х) при х —> + ∞ тогда и только тогда, когда

т. е. когда функция f(x) представима в виде

Существование асимптоты у = kх + b у кривой у = f(х) при х —> + ∞ означает, что при х —> +оо функция y = f(х) ведет себя «почти как линейная функция», т.е. отличается от линейной функции у = кх + b на бесконечно малую функцию при х —> + ∞.

Теорема:

Для того, чтобы график функции у = f(х) имел при х —> + ∞ наклонную асимптоту у = kх + b, необходимо и достаточно, чтобы существовали оба предела

Необходимость.:

Пусть график функции у = f(х) при х —> + ∞ имеет асимптоту у = kх + b, т. е. для f(x) справедливо представление (1):

Тогда

т. е. существуют оба предела (2).

Достаточность:

Пусть существуют оба предела (2). Существование второго из этих пределов дает право утверждать, что разность f(x) -kx-b является бесконечно малой функцией при х → + ∞. Обозначив эту разность через а(х), получим

Это означает, что график функции у = f(х) имеет наклонную асимптоту у = kх + b.

Аналогично исследуется случай х → — ∞.

Пример:

Рассмотрим функцию

Ее график имеет вертикальную асимптоту х = 1.

Запишем функцию в виде

Величина стремится к нулю при х → ∞. Таким образом, функция допускает представление

Отсюда следует, что график данной функции имеет наклонную асимптоту у = х + 1 (рис. 30).

Полезно исследовать знак разности

∆ = f(x) — kх — b.

Если ∆ > 0, то кривая расположена над асимптотой; если ∆ < 0, то под асимптотой.

Горизонтальная асимптота (частный случай наклонной, k = 0)

Если при х → + ∞ (или при х → — ∞ ) функция f(x) имеет конечный предел, равный числу b:

то прямая у = b есть горизонтальная асимптота соответственно для правой или левой ветви графика функции у = f(x).

Примеры:

1. Пусть у = 1/x. Для функции f(х) = 1/x имеем

так что график функции у = -1/x имеет горизонтальную асимптоту у = 0.

2. Пусть у = arctg x. Для функции f(x) = arctg x имеем

Таким образом, правая ветвь графика функции у = arctg х имеет горизонтальную асимптоту у = , а левая ветвь — асимптоту у = —(рис. 31).

3. Пусть у = , у(0) = 1. Поскольку

прямая у = 0 является горизонтальной асимптотой графика функции у = (рис. 32).

Последний пример показывает, что кривая у = f(x) может пересекать свою асимптоту, и даже бесконечное множество раз.

Задача:

Установить условия существования асимптот у графика рациональной функции.

Схема построения графика функции

Одна из возможных схем исследования функции и построения ее графика разлагается на следующие этапы решения задачи:

1. Область определения функции (О.О.Ф.).
2. Точки разрыва функции, их характер. Вертикальные асимптоты.
3. Четность, нечетность, периодичность функции.
4. Точки пересечения графика с осями координат.
5. Поведение функции на бесконечности. Горизонтальные и наклонные асимптоты.
6. Интервалы монотонности функции, точки максимума и минимума.
7. Направления выпуклости кривой. Точки перегиба.
8. График функции.
   

Пример:

Построить график функции

(вeрэиера или локон Марии Аньези).

1. О.О.Ф. — вся числовая ось.
2. Точек разрыва нет; вертикальных асимптот нет.
3. Функция четная: f(-x) = f(x), так что график ее симметричен относительно оси Оу. непериодическая. Из четности функции следует, что достаточно построить ее график на полупрямой х ^ О, а затем зеркально отразить его в оси Оу.
4. При ч = 0 имеем у = 1, у ≠ 0, у > 0 ∀х, так что график функции лежит в верхней полуплоскости у > 0.
5. так что график имеет горизонтальную асимптоту У 0; наклонных асимптот нет.
6. Так что функция f(x) возрастает при х<0 и убывает, когда х>0. Точка x = 0 — критическая. При переходе х через точку х = 0 производная у'(х) меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, точка x = 0 — точка максимума, у(0) = 1. Результат этот достаточно очевиден: f(x) =
7. Вторая производная обращается в нуль в точках х = ± . Исследуем точку х = (далее соображение симметрии). При х > имеем у» > 0, т.е. кривая выпукла вниз; при х < получаем у» < 0 (кривая выпукла вверх). Следовательно, точка х = = — точка перегиба графика функции.

Результаты исследования сведем в таблицу;

В таблице стрелка указывает на возрастание функции, стрелка — на ее убывание. График функции изображен на рис. 33.

Пример:

Построить график функции

1. О.О.Ф. — вся числовая ось, исключая точку х = 0.

2. Точка разрыва функции х = 0. Имеем

так что прямая x = 0 — вертикальная асимптота.

3. Функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего положения); непериодическая.

4. Полагая у = 0, получаем х2 + 1/x = 0 или =0, откуда х = -1, т. е. график функции пересекает ось Ох в точке (—1,0).
5.

наклонных и горизонтальных асимптот нет.

6.

откуда х =— критическая точка.
Вторая производная функции у» = 2 + > 0 в точке х = так что х = — — точка минимума.

Вторая производная у» = обращается в нуль в точке х = — 1 и меняет свой знак с « + » на «-» при переходе через эту точку. Следовательно, точка (—1,0) — точка перегиба кривой. Для х ∈ (- ∞ ,-1) и х ∈ (0,+ ∞ ) имеем у» > 0, т.е. выпуклость кривой направлена вниз; для -1 < х < 0 имеем у» < 0, т.е. выпуклость кривой направлена вверх.

Результаты исследования сводим в таблицу:

График функции изображен на рис. 34.

Пример:

Построить график функции

1. О.О.Ф. — полупрямая х > 0.

2. В области определения функции точек разрыва нет. При х —» 0 + 0 имеем

так что прямая 1=0, проходящая через граничную точку области определения функции у(х), является вертикальной асимптотой графика функции.

3. Функция общего положения, непериодическая.

4. Полагая у = 0, получаем х + =0, или х2 + In x =0. Приближенное решение этого уравнения можно получить графически (рис. 35).

5.

Отсюда у = x — наклонная асимптота графика.

6.

Из рис. 36 видно, что х2+1 > In x ∀x > 0 и, значит у’ > 0 ∀x, т. е. функция f(x) возрастает на (0, + ∞). Экстремумов нет.

Вторая производная обращается в нуль при х = е3/2, и при переходе х через эту точку у» меняет знак с « — » на « + ». Следовательно, х = е3/2 — абсцисса точки перегиба кривой. Результаты исследования сводим в таблицу:

График функции изображен на рис. 37.
Пример:

Построить график функции

1. О.О.Ф. — вся числовая ось, исключая точку х = 0.

2. Точка х = 0 — точка разрыва 2-го рода функции. Так как = + ∞ , то прямая x = + ∞ , то прямая х = 0 — вертикальная асимптота графика функции.

3. Функция общего положения, непериодическая.

4. Полагая у = 0, имеем х3 + 1 = О, откуда х = -1, так что график функции пересекает ось Ох в точке (-1,0).

5.

Следовательно, график функции имеет наклонную асимптоту у = х.

6.

Из условия у’ = 0 получаем х3 — 2 = 0, т. е. х = — критическая точка. Вторая производная функции у» = > 0 всюду в области определения, в частности, в точке х = . Так что х = — точка минимума функции.

7. Поскольку у» = > 0 ∀x, х ≠ 0, то всюду в области определения функции выпуклость ее графика направлена вниз.

Результаты исследования сводим в таблицу:

График функции изображен на рис. 38.

Пример:

Построить график функции

1. О.О.Ф. — вся числовая ось.

2. Непрерывна всюду. Вертикальных асимптот нет.

3. Общего положения, непериодическая.

4. Функция обращается в нуль при х = 0 и 1 = 3.5.

Таким образом, график функции имеет наклонную асимптоту у = х — 2.

6.

Производная у'(х) обращается в нуль в точке х = 1 и не существует при х = 0 и х = 3. При переходе х через точку х = 0 (х < I) производная у'(х) не меняет знак, так что в точке х = 0 экстремума нет. При переходе точки х через точку х = 1 (0 < х < 3) производная у'(х) меняет знак с « + » на «-». Значит в точке х = 1 функция имеет максимум. При переходе х через точку х = 3 (х > 1) производная у'(х) меняет знак с « — » на « + », т. е. в точке х = 3 функция имеет минимум.

7. Находим вторую производную

Вторая производная у»(х) не существует в точке х = 0 и при переходе х через точку х = 0 у» меняет знак с « + » на « -», так что точка (0,0) кривой — точка перегиба с вертикальной касательной. В точке х = 3 перегиба графика нет. Всюду в полуплоскости х > 0 выпуклость кривой направлена вверх.

Результаты исследования сводим в таблицу:

График функции представлен на рис. 39.

Исследование функций на экстремум с помощью производных высшего порядка

Для отыскания точек максимума и минимума функций может быть использована формула Тейлора.

Теорема:

Пусть функция f(x) в некоторой окрестности точки xq имеет производную п-го порядка, непрерывную в точке xo. Пусть f'(x0) = f»(x0) =… = f(n-1)(xо) = 0, но f(n)(xо) ≠ 0. Тогда если число п — нечетное, то функция f(x) в точке х0 не имеет экстремума; когда же п — четное, то в точке х0 функция f(x) имеет максимум, если f(n)(xо) < 0, и минимум, если f(п)(х0) > 0.

В силу определения точек максимума и минимума вопрос о том, имеет ли функция f(x) в точке х0 экстремум, сводится к тому, существует ли такое δ > 0, что в интервале (хo — δ, хо + δ) разность f(x) — f(x0) сохраняет знак. По формуле Тейлора

Так как по условию

то из (1) получаем

По условию f(n)(х) непрерывна в точке f(n)(хо) ≠ 0. Поэтому в силу устойчивости знака непрерывной функции существует такое δ > 0, что в интервале (хо — δ, xo + δ) знак f(n)(x) не меняется и совпадает со знаком f(n)(хо). Рассмотрим возможные случаи:

1) п — четное число и f(n)(хо) > 0. Тогда

потому в силу (2)

Согласно определению это означает, что точка хо есть точка минимума функции f(х).

2) п — четное и f(n)(xо) < 0. Тогда будем иметь

вместе с этим и f(х) — f(хо) ≤ 0 ∀x ∈ (хо — δ, Хо + δ). Поэтому точка хо будет в этом cлучае точкой максимума функции f(х).

3) п — нечетное число, f(n)(xо) ≠ 0. Тогда при х > хо знак

будет совпадать со знаком f(n)(xо), а при х < хо будет противоположным. Поэтому при сколь угодно малом f(n)(xо) > 0 знак разности f(х) — f(xо) не будет одним и тем же для всех х ∈ (хо — δ, хо + δ). Следовательно, в этом случае функция f(х) в точке xо экстремума не имеет.

Пример:

Рассмотрим функции 1) у = x4; 2) у = х3.

Легко видеть, что точка х = 0 является критической точкой обеих функций. Для функции у = хx первая из отличных от нуля производных в точке х = 0 есть производная 4-го порядка: x(4)(0) = 24 > 0. Таким образом, здесь п = 4 — четное и x(4)(0) > 0. Следовательно, в точке х = 0 функция у = х4 имеет минимум.

Для функции у = х3 первая из отличных от нуля в точке х = 0 производных есть производная 3-го порядка. Так что в этом случае п = 3 — нечетное, и в точке х = 0 функция у = х3 экстремума не имеет.

Замечание:

С помощью формулы Тейлора можно доказать следующую теорему, выражающую достаточные условия точки перегиба.

Tеорема:

Пусть функция /(х) в некоторой окрестности точки х0 имеет производную п-го порядка, непрерывную в точке х0. Пусть но f(п)(xо) ≠ 0. Тогда, если п — нечетное число, то точка Mo(xo, f(xо)) есть точка перегиба графика функции у = f(x).

Простейший пример доставляет функция f(x) = х3.

Вычисление корней уравнений методами хорд и касательных

Задача состоит в нахождении действительного корня уравнения

f(x)= 0. (1)

Предположим, что выполнены следующие условия:

1) функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b];

2) числа f(а) и f(b) противоположны по знаку: f(а) • f(b) < 0;

3) на отрезке [а, b] существуют производные f'(x) и f»(х), сохраняющие на этом отрезке постоянный знак.

Из условий 1) и 2) в силу теоремы Больцано—Коши (с. 220) следует, что функция f(х) обращается в нуль по крайней мере в одной точке ξ ∈ (а, b), т. е. уравнение (1) имеет по крайней мере один действительный корень ξ в интервале (в, b).

Так как в силу условия 3) производная f'(х) на [а, b] сохраняет постоянный знак, то f(х) монотонна на [а, b] и поэтому в интервале (а, b) уравнение (1) имеет только один действительный корень ξ .

Рассмотрим метод вычисления приближенного значения этого единственного действительного корня ξ ∈ (а, b) уравнения (I) с любой степенью точности. Возможны четыре случая (рис.40):

на отрезке [а, b].

Возьмем для определенности случай, когда f'(x) > 0, f»(x) > 0 на отрезке a, b. Соединим точки А{а, f(а)) и B(b, f(b)) хордой АВ. Это отрезок прямой, проходящей через точки А и В, уравнение которой

Точка a1, в которой хорда АВ пересекает ось Ох, расположена между а и ξ и является лучшим приближением к ξ чем а. Полагая в (2) у = 0, найдем

Из рис. 41 нетрудно заметить, что точка а1 будет всегда расположена с той стороны от ξ в которой знаки f(х) и f»(x) противоположны.

Проведем теперь касательную к кривой у = f(х) в точке B(b, f(b)), т. е. в том конце дуги АВ, в котором f(х) и f»(x) имеют один и тот же знак. Это существенное условие: без его соблюдения точка пересечения касательной с осью Ох может вовсе не давать приближение к искомому корню. Точка b1, в которой касательная пересекает ось Ох, расположена между ξ и b с той же стороны, что и b, и является лучшим приближением к ξ чем b. Касательная эта определяется уравнением

Полагая в (3) у = 0, найдем b1:

Таким образом, имеем

Пусть абсолютная погрешность приближения ξ* корня ξ задана заранее. За абсолютную погрешность приближенных значений а1 и b1 корня ξ можно взять величину |b1 — а1|. Если эта погрешность больше допустимой, то, принимая отрезок [a1, b1] за исходный, найдем следующие приближения корня ξ

Продолжая этот процесс, получим две последовательности приближенных значений

(4)

(5)

Последовательности {аn} и {bn} монотонные и ограниченные и, значит, имеют пределы. Пусть

Можно показать, что если выполнены сформулированные выше условия 1)-3), то а = β = ξ — единственному корню уравнения f(x) = 0.

Пример:

Найти корень ξ уравнения х2 — 1 = 0 на отрезке [0,2].

Результат очевиден: ξ = 1. Попытаемся его получить методом хорд. Функция f(х) = x2 — 1

1) непрерывна на отрезке [0, 2];

2) f(0) = -1 < 0, f(2) = 3 > 0, так что f(0) • f(2) < 0;

3) f'(x) = 2х и f»(x) = 2 сохраняют знак на отрезке [0, 2].

Таким образом, выполнены все условия, обеспечивающие существование единственного корня ( уравнения x2 — 1 = 0 на отрезке [0, 2], и метод должен сработать. S нашем случае а = 0, b = 2, При п = 1 из (4) и (5) находим

При п = 2 получаем

что дает приближение к точному значению корня ξ с абсолютной погрешностью ∆( ξ ‘) < 0, 1.

Функция одной переменной и её вычисление

Понятие числовой функции:

Определение:

Пусть даны два множества действительных чисел X и У. Числовой функцией у = f(x) называется правило, которое каждому числу х ∈ X ставит в соответствие единственное число у ∈ Y. Переменную х называют независимой переменной или аргументом, переменную у — зависимой переменной или функцией, множество X называется областью определения D(f), множество Y называется областью изменения или множеством значений функции E(f).

Наряду с обозначениями функции у = f (x) используются и другие, в частности у =у (х). Значение функции для фиксированного значения аргумента x₀ будем обозначать y₀ = f(x₀) или y₀ = y(x₀). Сама функция, ее аргумент и значение могут быть обозначены и другими буквами, например: V = F(u).

Если переменные х и у рассматривать как декартовы координаты точек на плоскости, то графиком числовой функции у = f(x) называется множество точек координатной плоскости Oxy с координатами (x; f(x)).

Основными способами задания функции являются аналитический, графический и табличный.

При аналитическом способе функция задается посредством формул.

При этом она может быть задана в декартовых и полярных координатах в явном и неявном виде, в параметрическом виде.

Если в уравнении, определяющем функцию, значение функции у выражено в явном виде (изолировано в левой части уравнения), то говорят, что функция задана в явном виде:
y = f(x).

Пример:

у = 2x + 1.

Данная функция, заданная в явном виде, каждому действительному числу х ∈ R ставит в соответствие единственное действительное число у, для получения которого необходимо значение х умножить на 2 и к результату прибавить 1.

Область определения данной функции D(f) = (-∞;+∞), область изменения E(f) = (-∞;+∞).

Если в уравнении, определяющем функцию, значение функции у не выражено в явном виде (не изолировано в левой части уравнения), то говорят, что функция задана в неявном виде уравнением вида:
F(x,y) = 0.

Заметим, что при этом остается требование, чтобы каждому числу х из области определения соответствовало единственное значение у из множества значений. Так, например, уравнение x² + y² = R² определяет две функции: у = и у = — . К этому примеру мы еще вернемся.

Пример:

ху = 1.

Функция задана уравнением в неявном виде. Для каждого действительного значения х ≠ 0 существует единственное значение у, удовлетворяющее этому уравнению. Область определения этой функции D(f) = (-∞; 0) ⋃ (0; +∞), область изменения E(f) = (—∞; 0) ⋃ (0; +∞).

При графическом способе функция задается с помощью графика.

Например, по графику функции, изображенному на рис. 26, можно установить, что значению х = 0 соответствует единственное значение у = 1, значению х = 1 соответствует единственное значение у = 2 и т. д.

При параметрическом задании функции в декартовых координатах значение функции у и ее аргумента х задаются как функции от третьей переменной величины, так называемого параметра t из множества Т:
(3.1)

Если эти функции вычислить при одном и том же значении параметра t, мы получим координаты точки на плоскости M(x;y); когда переменная t пробегает все значения из множества Т, точка M(x,y) описывает некоторую линию в плоскости Оху.

Уравнения ( 3.1) называются параметрическими уравнениями этой линии. Иногда, исключив параметр t из системы ( 3.1), можно получить явное или неявное уравнение функции.

Пример 3.3.
(3.2)

Если эти уравнения почленно возвести в квадрат и сложить, то в силу тождества sin²t + cos²t = 1 получится уравнение x² + y² = R². Этому уравнению удовлетворяют координаты точек окружности с центром в начале координат и радиусом R, так как в силу формулы ( 2.6) для точек М(х,у), координаты которых удовлетворяют этому уравнению, расстояние до начала координат 0(0; 0) постоянно и равно R.

Если из уравнения x² + y² = R² выразить у в явном виде, получим две элементарные функции: у = и у = — . Каждая из этих функций задается параметрически одними и теми же уравнениями, но области изменения параметра для этих функций различны: для первой из них 0 ≤ t ≤ π (графиком служит верхняя полуокружность), для второй π ≤ t ≤ 2π трафиком является нижняя полуокружность).

Пример:
(3.3)

Эти уравнения называются параметрическими уравнениями циклоиды. Можно показать, что линия, описываемая этими уравнениями (циклоида), получается как траектория фиксированной точки M окружности радиусом а, касавшейся в начальный момент оси абсцисс в начале координат, которая катится без скольжения по оси абсцисс (рис. 27). При этом в начальный момент точка M совпадает с началом координат.

При изменении параметра t от 0 до 2π окружность совершит один полный оборот. Точка M при этом опишет одну арку циклоиды.
При задании функции в явном виде в полярных координатах полярный радиус г выражается через полярный угол .
(3.4) r = r().

При этом каждому значению из области определения соответствует единственное значение r. Это, однако, не гарантирует, что при переходе к декартовым координатам каждому значению х будет соответствовать единственное значение у.

Пример:

r = a(1+ cos).

Кривая, описываемая этим уравнением в полярных координатах, называется кардиоидой (рис. 28).

Составив таблицу для некоторых значений полярного угла и соответствующих им значений r, построим получившуюся кривую

	0	π /4	π /2	3π /4	π	5π /4	3π /2	7π /4	2π
r	2a		a		0		a		2a

При табличном способе функция задается посредством таблицы. Например, следующая таблица устанавливает закон, который каждому из перечисленных в этой таблице значений аргумента х ставит в соответствие единственное значение у.

x	-2	-1	-0,5	0	1
y	-3	-1	0	1	3

Пример:

Найти область определения и область изменения функции у = .

Решение: Так как операция извлечения квадратного корня определена только для неотрицательных величин, то данная функция определена только для значений аргумента х, удовлетворяющих неравенству: 2x-1 ≥ 0. Решая это неравенство, получаем: D(f) = [0,5;+∞). Поскольку арифметический корень не может быть отрицательным, заключаем, что область изменения E(f) = [0; +∞).

Ответ: D(f) = [0,5;+∞), E(f) = [0; +∞).

Пример:

Найти область определения и область изменения функции
y = log₂(x² — 3x + 2).

Решение:

Поскольку областью определения логарифмической функции является бесконечный интервал (0; +∞), заключаем, что область определения D(f) = {x∣x² — 3x + 2 >0}. Решим это неравенство, для чего определим корни уравнения:
x² — 3x + 2 = 0 ⇒ x₁ = 1, х₂ = 2. Следовательно, решением неравенства x²- Зх + 2 > 0 является (- ∞; 1) ⋃ (2; +∞).

Областью значений логарифмической функции является множество R, поэтому E(f) = {y∣y ∈ R}.

Ответ: D(f) = (-∞; 1) ⋃ (2;+∞) E(f) = (-∞; +∞).

Пример:

Найти область определения функции у = ∙

Решение:

Недопустимыми значениями аргумента х являются решения уравнения (х + 1)(х — 2) = 0. Решениями данного уравнения являются x₁ = -1, x₂ = 2, следовательно
D(f) = (-∞ ; -1) ⋃ (-1; 2) ⋃ (2; +∞).

Ответ: D(f) = (-∞ ; —1) ⋃ (—1; 2) ⋃ (2; + ∞).

Пример:

Найти область определения функции у =.

Решение:

Допустимые значения аргумента х удовлетворяют неравенству 1 — х² > 0. Решая это неравенство, находим, что D(f) = (-1;1).

Ответ: D(f) = (-1;+1).

Операции над функциями

Пусть даны две функции: у = f(x) и у = g(x) с областью определения D(f) и D(g) соответственно. Тогда можно определить новую функцию у = f(x) + g(x), значения которой при каждом х из области определения вычисляются как сумма значений f(x) и g(x). Область определения функции у = f(x) + g(x) есть D(f) ∩ D(g).

Аналогично определяются функции у = f(x)g(x), у = f(x)- g(x) и у = , причем область определения функции у = есть множество D(f) ∩ D(g) ∩ {x∣g(x) ≠ 0}.

Пример:

Найти область определения функции у =

Решение:

Представим нашу функцию в виде у = f(x) + g(x), где f(x) = , g(x) =. Найдем область определения каждой функции.
D(f) : х — 1 ≥ 0 ⇔ D(f) = [1;+∞),
D(g) : х — 1 ≠ 0 ⇔ D(g) = (-∞; 1) U (1; +∞).

Область определения исходной функции есть пересечение этих множеств.

Ответ: (1; +∞).

Сложная функция

Пусть u = f(x) — числовая функция с областью определения D(f) и областью изменения E(f), а у = g(u) — числовая функция с областью определения D(g), E(f) ⊂ D(g) и областью изменения E(g).

Тогда каждому х ∈ D(f) соответствует единственное значение у ∈ Е(g) : каждому х ∈ D(f) функция u= f(x) ставит в соответствие единственное значение u ∈ E(f), которому функция у = g(u) ставит в соответствие единственное значение у ∈ Е(g). Полученная функция называется сложной функцией (или суперпозицией двух функций) и обозначается y = g(f(x))∙ Функция u = f (х) называется внутренней функцией, функция у = g(u) — внешней.

Например, если u = х² — Зх + 2, и у = log₂ и, то можно определить сложную функцию у = Iog₂ (х² — Зх + 2).

Пример:

Записать сложную функцию, являющуюся суперпозицией двух функций: u = 1 — x² и у =.

Решение:

В данном примере f(x) = 1 — х² ⇒ D(f) = R, E(f) = (-∞ ;1], g(u) = ⇒ D(g) = (0;+∞), E(g) = (0;+∞). Как видим, E(f) D(g). Однако, если определить внутреннюю функцию на множестве {x|l — x² > 0} = (-1; 1), это требование будет выполнено.

Ответ: у = при x ∈ (—1; 1).

Четные и нечетные функции

Определение:

Множество X ⊂ R называется симметричным относительно начала координат, если -х∈ X для любого х ∈ X. На числовой оси симметричное множество X расположено симметрично относительно точки О.

Определение:

Числовая функция у = f(x) называется четной, если область ее определения симметрична относительно начала координат и f(-x) = f(х) для всех х ∈ D(f).

График четной функции симметричен относительно оси ординат, т.к. точки (x;f(x)) и (-x;f(-x)) для четной функции симметричны относительно оси Оу, поскольку f(-x) = f(x)- Например, функция у = x² + 1 является четной, поскольку D(f) = (-∞;+∞) симметрична относительно начала координат и f(-x) = (-х)² + 1 = x² + 1 = f(х).

График функции у = x²+1 симметричен относительно оси Oy (рис. 29).

Сумма, разность, произведение и частное двух четных функций есть четная функция.

Попробуйте доказать это самостоятельно

Определение:

Числовая функция у = f(x) называется нечетной, если область ее определения симметрична относительно начала координат и f(-x) = -f(x) для всех х ∈ D(f).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки О), т.к. точки (х; f(r)) и (-x;f(-x)) для нечетной функции симметричны относительно точки О, поскольку f(-х) = —f(x). Например, функция у = x³ является нечетной, поскольку ее область определения D(f) = (-∞; +∞) симметрична относительно начала координат и f(-x) = (-x)³ = -x³ = —f(x).

График функции у = х³ симметричен относительно точки О ( рис. 30). Сумма и разность нечетных функций есть нечетная функция.
Произведение и частное нечетных функций есть четная функция.

Доказательство этих утверждений проводится аналогично тому, как это было сделано для четных функций: сначала устанавливается симметричность области определения, затем проверяется справедливость требуемого равенства. Докажите их самостоятельно.

Наряду с четными и нечетными существуют функции, не являющиеся ни теми, ни другими, т.е. не обладающие свойством четности-нечетности. Например, функции у = x³ + 1, у — √х, у =, у= lg x не являются ни четными, ни нечетными.

Заметим, что любую функцию у = (x) с областью определения D(f), симметричной относительно начала координат, можно представить в виде суммы четной и нечетной функции: (x) = f(x) + g(х), где f(x) = есть функция четная (докажите), a g(x) =есть функция нечетная. Например, функция у = x³ + 1 представима в виде суммы четной функции f(x) = 1 и нечетной функции g(x) = х³.

Пример:

Функция у = √х не является ни четной, ни нечетной, т. к. ее область определения D(f) = [0; +∞) не является симметричной относительно О.

Пример:

Является ли функция четной или нечетной?

Решение:

Область определения этой функции
D(f) = (-∞ ;0) ⋃ (0; +∞) симметрична относительно О.

Проверим выполнение одного из равенств:
f(—х) = f(x) или f(-x) = -f(x),
f(—х) = = ≠ f(-x),
— f(х) = ≠ f(-x) .

Ответ: у = не является ни четной ни нечетной функцией.

Пример:

Является ли функция у = четной или нечетной ?

Решение:

Область определения этой функции
D(f) = (-∞; —1) ⋃ (-1; 1) ⋃ (1; +∞) симметрична относительно О.

Проверим выполнение одного из равенств:
f(-x) = f(x) или f(-x) = —f(x).
f(-х) = = = f(х)

Ответ: у = четная функция.

Периодичность функции

Функция у = f(x) называется периодической с периодом T ≠ 0, если х — T и х + T принадлежат области определения, f(x) = f(x ± Т) для любого х ∈ D(f). Обычно под периодом функции понимают наименьший из всех положительных периодов, если такой период существует. В этом случае все периоды T кратны наименьшему периоду T₀ : T = n ∙ T₀, где n ∈ Z. Из определения следует, что T₀ > 0.

Пример:

Функция у = sin x имеет период T₀ = 2π, т.к. х + 2π ∈ D(f), х — 2π ∈ D(f) и sin (x ± 2τr) = sin x.

Пример:

Функция у = {x} имеет период T₀ = 1, т.к. х + 1 ∈ D(f), x- ∈ D(f) u {x + 1} = {x}.

Сумма, разность, произведение и частное периодических функций с периодом T является периодической функцией с периодом Т.

Например, у = {x} + 1 является периодической функцией с периодом T = 1, т.к. у = {x} и у = 1 периодические функции с тем же периодом. Если u = f(x) есть периодическая функция с периодом Т, то сложная функция у = g(f(x)) тоже периодическая (возможно с другим периодом), если выполняется первое требование в определении периодической функции.

Например, у = sin² х является периодической функцией с периодом T₀ = π.

В пункте 5.2 лекции 5 будет показана справедливость следующего утверждения:

Теорема:

Если функция у = f(х) периодическая с периодом Т, то функция у = Kf(kx + b) + а будет также периодической с периодом T₁ = ∈ R.

Пример:

Найти период функции у = 2sin(3x + 2).

Решение:

у = sin х имеет период T = 2π, k = 3. Поэтому период T₁ функции у = 2sin(3x + 2) будет равен T₁ = .
Ответ: T₁ = .

Пример:

Является ли функция у =√x периодической ?

Решение: Эта функция не является периодической, т. к., например, для х=0 и Т>0 х- T не принадлежит области определения. При T < 0 х + T при х = 0 не принадлежит области определения. Таким образом, не выполняется первое требование определения периодической функции.

Пример:

Является ли функция у = х периодической ?

Решение: D(f) = (-∞; +∞), поэтому х+Т ∈ D(f) и х-Т ∈ D(f), если х ∈ D(f). Найдем период T₀ из условия: f(x + Т₀) = f(х), т. е. х + T₀ = х. Отсюда T₀ = 0.

Ответ: у = х не является периодической функцией.

Ограниченные функции

Определение:

Функция у = f(x) называется ограниченной сверху, если существует такое число М, что для всех х ∈ D(f) выполняется неравенство: f(x) ≤ М. Функция у = f(x) называется ограниченной снизу, если существует такое число т, что для всех х ∈ D(f) выполняется неравенство: f(x) ≥ т. Функция, ограниченная сверху и снизу, называется просто ограниченной.

Например, у = x² ограничена снизу, например, числом m = -2 и не ограничена сверху. Функция у = — х⁴ ограничена сверху, например, числом M = 1 и не ограничена снизу. Функция у = sin x ограничена: —1 ≤ sin x ≤ 1. Функции у = х, у = lg(x), у = tg(x), у = не ограничены.

Возрастание и убывание функций

Определение:

Функция у = f(x) называется возрастающей на множестве X ⊂ D(f), если для любых x₁ ∈ X и x₂ ∈ X из неравенство x₁ > x₂ следует f(x₁) > f(x₂) (т.е. ’’чем больше х, тем больше у”), функция у = f(x) называется убывающей на множестве X ⊂ D(f), если для любых x₁ ∈ X и x₂ ∈ X из неравенства x₁ > x₂ следует f(x₁) < f(x₂) (т.е- ’’чем больше х, тем меньше у”). Функция у = f(x) называется неубывающей на множестве X ⊂ D(f), если для любых x₁ ∈ X и x₂ ∈ X из неравенства x₁ > x₂ следует f(x₁) ≥ f(x₂)∙ Функция у = f(x) называется невозрастающей на множестве X ⊂ D(f), если для любых x₁ ∈ X и x₂ ∈ X из неравенства x₁ > x₂ следует f(x₁) ≤ f(x₂) ∙ Функции только возрастающие или только убывающие, называются монотонными, а соответствующие множества X — областями монотонности.

Например, функция у = х² на (-∞;0] убывает, а на [0; +∞) возрастает.

Пример:

Доказать возрастание функции у = √x.

Решение:

D(f) = [0;+∞). Возьмем x₁ > x₂ > 0 два значения аргумента из области определения. Необходимо доказать, что f(x₁) > f(x₂). Рассмотрим разность f(x₁) — f(x₂) — √x₁ — √x₂. Умножим и разделим на сумму корней:
√x₁ — √x₂ = =,
Т.к. x₁ > x₂ ⇔ x₁ — x₂ > 0 ⇔ > 0 ⇔ √x₁-√x₂ > 0
⇔ f(x₁) — f(x₂) > 0 ⇔ f(x₁) > f(x₂)- Утверждение доказано.

Пример:

Функция, изображенная на рис. 91, возрастает на интервалах
(a; x₁), (x₂, x₃), (x₄, b) и убывает на интервалах (x₁; x₂), (x₃, x₄).

Обратные функции

Пусть у = f(x)-числовая функция с областью определения D(f) и областью изменения E(f). Согласно определению функции, каждому значению х ∈ D(f) соответствует единственное значение у ∈ E(f). Однако разным значениям x₁ ∈ D(f) и x₂ ∈ D(f), x₁ ≠ x₂ , может соответствовать одно значение у ∈ E(f). Например, функция у = x² ставит в соответствие двум разным значениям аргумента x₁ = 1 и x₂ = — 1 одно значение у = 1.

Определение:

Функция у = f{x) называется обратимой, если разным значениям аргумента x₁ ≠ x₂ соответствуют разные значения функции у₁ ≠ y₂ .

Если функция у = f(x) обратима, то можно каждому значению у ∈ E(f) поставить в соответствие единственное число х ∈ D(f). Такое обратное соответствие называют функцией, обратной κ y = f(x) и обозначают х = f⁻¹(y). Аргумент обратной функции обычно обозначают через х, а значения функции через у. Тогда обратная функция запишется в виде: y = f⁻¹ (x).

Если функция f⁻¹ является обратной по отношению к f, то f⁻¹ является обратимой, и f является обратной по отношению к f⁻¹. Функции f и f⁻¹ называют взаимно обратными. Для взаимно обратных функций имеют место следующие равенства:
D( f⁻¹) = E(f)-, f⁻¹ (f(x)) = х для x ∈ D(f)∙, E( f⁻¹) = D(f), f( f⁻¹(x)) = х для х ∈ D( f⁻¹).

Функция является обратимой тогда и только тогда, когда каждое свое значение она принимает только один раз. В частности, периодические и четные функции не являются обратимыми.

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой у = х ( рис. 32), что является следствием замены х на у и у на х. Примем без доказательства следующую теорему.

Теорема:

Если у = f(x) возрастающая (убывающая) непрерывная функция, то она имеет обратную, которая тоже является возрастающей (убывающей).

Функция, обратная нечетной, также нечетная.

Пример:

Найти обратную функцию к функции у = 2х — 1. Построить графики обеих функций.

Решение:

Выразим значение х через у : у = 2x — 1 ⇔ х = . Заменим х на у, а у на х. Уравнение обратной функции примет вид: у =. Графики этих функций изображены на рис. 33.

Функция у = х², как отмечалось, необратима, однако если ее рассматривать только при х ∈ [0; +∞), то она будет монотонной и, следовательно, обратимой. График обратной функции у = √х изображен на рисунке 34

Элементарные функции. Свойства основных элементарных функций

Определение:

Основными элементарными функциями являются: постоянная функция (у = с), степенная (у = xⁿ,n ∈ R), показательная (у = ), логарифмическая (у = logₐ х), тригонометрические (у = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x) и обратные к ним (y = arcsin x, у = arccos х, у = arctg х, у — arcctg х).

Определение:

Элементарными функциями называются те функции, которые можно задать в явном виде одним аналитическим выражением из основных элементарных функций с помощью арифметических операций и нахождения функции от функций, примененных конечное число раз.

Примерами элементарных функций являются многочлены, дробно-рациональная функция (отношение двух многочленов), иррациональные (корень из элементарной функции) и т. д. Не являются элементарными, например, функции:

и т. д.

Рассмотрим свойства некоторых элементарных функций.

Линейная функция. Прямая на плоскости

Определение:

Линейной функцией называется функция вида:
(4.1) у = kх + b.
D(f) = (-∞;+∞); при k ≠ 0 E(f) = (-∞;+∞), функция неограничена, непериодическая. При b = 0 функция нечетная; при k > 0 функция возрастает, при k <0 — убывает, при k = 0 — постоянна. (Докажите все эти свойства самостоятельно).

Точки пересечения с осями координат (0;b) и ( ;0); Графиком функции у = kх + b является прямая с угловым коэффициентом (тангенс угла с осью Ох) k = tg (рис. 35, 36) при k ≠ 0. Обратная функция у = также является линейной.

Условием параллельности двух невертикальных прямых на плоскости у = k₁x + b₁ и у = k₂x + b₂ является:
(4.2) k₁ = k₂,
т.к. ₁ = ₂ ⇔ tg ₁ = tg ₂ ⇔ k₁ = k₂.

Угол между двумя прямыми на плоскости определяется с помощью известной тригонометрической формулы: tg(₂ — ₁ ) =

(4.3)

Используя формулу ( 4.3), получим условие перпендикулярности двух невертикальных прямых. В этом случае ₂ — ₁= 90° ⇒tg(₂ — ₁ ) =
∞ ⇒ 1+k₁‧k₂- 0. Окончательно получаем условие перпендикулярности двух прямых на плоскости:

(4.4) k₁‧k₂=-1

Как известно, две точки определяют прямую на плоскости. Покажем, что уравнение прямой на плоскости, проходящей через две точки (x₁; y₁) и (x₂; y₂), имеет вид:
(4.5)

Действительно, выразив у из уравнения ( 4.5), получим уравнение вида (4.1) при и , кроме того, координаты данных двух точек удовлетворяют уравнению ( 4.5), т. е. эта прямая проходит через данные две точки.

Из изложенного следует, что уравнение ( 4.5) описывает любую прямую на плоскости, кроме вертикальной. Действительно, если две точки лежат на вертикальной прямой, то x₁ = x₂ и в уравнении ( 4.5) k = не существует (угол = 90° ⇒ k = tg = ∞). Заметим также, что если две точки лежат на горизонтальной прямой, то y₁=y₂ ⇒ k = 0 и уравнение прямой ( 4.5) приобретает вид у = b. Данная точка прямой (x₀; y₀) и угловой коэффициент k также определяют прямую. Легко показать (сделайте это самостоятельно по аналогии с предыдущим), что ее уравнение имеет вид:
(4.6) у — y₀= k(x — х₀).

Определение:

Пучком прямых, проходящих через данную точку (х₀;y₀), называется множество всех прямых на плоскости, проходящих через данную точку.

Из сказанного следует, что однопараметрическое уравнение всех прямых пучка, кроме вертикальной, имеет вид (4.6). Уравнение конкретной прямой пучка получается из ( 4.6) при фиксированном k.

Наряду с уравнением ( 4.1) прямая на плоскости может быть задана так называемым общим уравнением прямой:
(4.7) Ax + By + C = 0,
где коэффициенты А и В не равны нулю одновременно.

Действительно, уравнение ( 4.1) легко записать в виде ( 4.7), перенеся все члены в левую часть. Наоборот, если В ≠ 0 в уравнении ( 4.7), то выражая у, получаем уравнение у = в вида ( 4.1) При B = O, A ≠ О из уравнения ( 4.7) можно выразить х = и получается уравнение вертикальной прямой. Таким образом, уравнение ( 4.7) является более общим уравнением прямой, чем ( 4.1), что объясняет его название.

Обратная пропорциональная зависимость

Определение:

Обратной пропорциональной зависимостью называется функция вида: у =; D(f) = (-∞; 0) ∪ (0; +∞); E(f) = (-∞; 0) ∪ (0; +∞).

Функция неограниченная, непериодическая. Функция нечетная т.к. D(f) симметрична относительно точки О и f(-х) = = = — f(x)∙ Функция убывает на(-∞;0) и на (0;+∞).

Докажем последнее утверждение. Возьмем x₁ > x₂ > 0 и рассмотрим f(x₁)-(x₂) =‧ x₁ > x₂ > 0 ⇔ x₂ — x₁ < 0, x₁ ‧ x₂ > 0 ⇔ < 0 ⇔ f( x₁) — f (x₂) < 0 ⇔ f( x₁) < f (x₂).

Точек пересечения с осями координат нет. Графиком функции является гипербола (рис. 37). Функция обратимая, обратная функция .

Неправильно говорить, что убывает на (—∞;0) ∪ (0; +∞), т.к., например, для x₁ = 1, x₂ = -1, x₁ > x₂, f( x₁) > f(x₂)∙ Нельзя так же утверждать, что функция на объединении интервалов возрастает, т.к., например, f(2) < f(1).

Квадратичная зависимость

Квадратичная зависимость у = x². D(f) = (-∞; +∞ ); E(f) = [0; +∞) Функция ограничена снизу: у ≥ 0; не периодическая. Функция четная, т.к. D(f) симметрична относительно О и f(-х) = ( — х)² =x² = f(x). Функция убывает на (-∞; 0) и возрастает на (0; +∞). Докажем возрастание на (0; +∞).Возьмем x₁ > x₂ > 0 и рассмотрим f(x₁) — f(x₂) = x₁² — x₂² = (x₁ — x₂) (x₁ + x₂), x₁ > x₂ > 0 ⇔ x₁ — x₂ > 0, x₁ + x₂ > 0 ⇔ (x₁ — x₂) (x₁ + x₂) > 0 ⇔ f(x₁) — f(x₂) > 0 ⇔ f(x₁) > f(x₂). Точка пересечения с осью Oy (0;0). Графиком функции у = х² является парабола (рис. 38).Функция необратимая, но если рассмотреть одну ее ветвь на [0; +∞) (или на (—∞; 0]), то существует обратная функция у = √x (или у = -√x).

4.5. Степенная функция у = хⁿ. Рассмотренные функции у = х, у = х², у = являются частными случаями этой функции при n = 1,2, —1 соответственно. Рассмотрим другие случаи, у = x³; D(f) = (-∞;+∞), E(f) = (-∞;+∞) Функция неограниченная, непериодическая. Функция нечетная. Функция монотонно возрастает. Точка пересечения с осями (0;0). Графиком функции у = х³ является кубическая парабола (рис. 39). Функция имеет обратную функцию у = ∛x. Функции у = x⁵, у = х⁷, у = х⁹ и т.д. обладают аналогичными свойствами и имеют приблизительно такие же графики. Функции у = х⁴, у = х⁶, у = x⁸ и т. д. обладают свойствами, аналогичными свойствам функции у = х² и имеют похожий график.

Показательная функция

Показательная функция у = , a > 0, α ≠ 1. D(f) = = (-∞; +∞), E(f) = (0; +∞) Функция ограничена снизу: у > 0; непериодическая. Функция ни четная, ни нечетная. Функция при a > 1 возрастает, при a < 1 убывает. Точка пересечения с осью Oy : (0; 1). График функции приведен на рис. 40. Функция обратимая, обратная функция у = Iogₐ х.

Логарифмическая функция

Логарифмическая функция у = logₐ х, a > 0, α ≠ 1. Поскольку функция у = Iogₐ х является обратной к функции у =, она обладает следующими свойствами: D(f) = (0;+∞), E(f) = (-oo;+oo). Функция неограниченная, непериодическая. Функция ни четная, ни нечетная. Функция при a > 1 возрастает, при a < 1 убывает. Точка пересечения с осью Ox : (1;0). График функции приведен на рис. 40. Функция обратимая, обратная функция у = .

Тригонометрические функции

у = sin x.

D(f) = (-∞;+∞), E(f) = [— 1; 1]. Функция ограничена: -1 ≤ sinx ≤

1. Функция нечетная, т.к. D(f) симметрична относительно О и f(—х)=sin(—х) = -sinx = —f(x). Функция периодическая с периодом T = 2π. Функция не монотонная: возрастает на (),n ∈ Z; убывает на (), где n ∈ Z. Точки пересечения с осью Ox : (πn; 0), n ∈ Z, с осью Oy : (0;0). Графиком функции является синусоида (рис. 41). Функция необратимая, но если рассмотреть ее на , то существует обратная функция у = arcsin x.

у = cos х.

D(f) — (-∞;+∞), E(f) = [-1;1] Функция ограничена —1 ≤ cos x ≤ 1. Функция четная, т.к. D(f) симметрична относительно О и f(-x) = cos(-x) = cos x = f(x). Функция периодическая с периодом T = 2π.

Функция не монотонная: убывает на (2πn; π + 2πn) и возрастает на (π + 2πn; 2π + 2πn), n ∈ Z.

Точки пересечения с осью Ох: ( + πn; 0); n ∈ Z точка пересечения с осью Оу: (0;1).

График функции у = cos x изображен на рис. 42.

Функция необратимая, но если рассмотреть ее на [0; π], то существует обратная функция у = arccos х.

y = tg х.

D(f) = {х| х ∈ R,х ≠ + πn, где n ∈ Z}; E(f) = (-∞;+∞).

Функция неограниченная.

Функция нечетная, т.к. D(f) симметрична относительно О и f(-x) = tg(-x) = -tgx = —f(x).

Функция периодическая с периодом T = π.

Функция не монотонная; возрастает на(-+ πn; + πn), п ∈ Z.

Точки пересечения с осью Ox: (πn; 0); n ∈ Z, точка пересечения с осью Оу: (0;0).

График функции у = tg х изображен на рис. 43

Функция необратимая, но если рассмотреть ее на ( ), то существует обратная функция у = arctg х.

y = ctg х.

D(f) = {x| х ∈ R ,x ≠ πn, где n ∈ Z}; E(f) = (-∞;+∞).

Функция неограниченная.

Функция нечетная, т.к. D(f) симметрична относительно О и f(-x) = ctg(-х) = — ctgx = —f(x).

Функция периодическая с периодом T = π.

Функция не монотонная; убывает на (πn; n + πn), n ∈ Z.

Точки пересечения с осью Ох: ( + πn∙,0) n ∈ Z.

График функции у = Ctg х изображен на рис. 44.

Функция необратимая, но если рассмотреть ее на (0; π), то существует обратная функция у = arcctg х.

Обратные тригонометрические функции

Свойства этих функций получаются из свойств тригонометрических функций на основании п. 3.8

у = arcsin х.

D(f) = [-l;l]; E(f) = [] .

Функция ограничена: — ≤ arcsin x ≤ .

Функция нечетная: arcsin(-х) = — arcsin х.

Функция непериодическая.

Функция возрастает на области определения.

Точка пересечения с осями: (0;0).

График функции изображен на рис. 45.

у = arccos х.

D(f) = [-l;l]; E(f) = [0; π].

Функция ограничена: 0 ≤ arccosx ≤ π. Можно показать, что arccos(-х) = π — axccos х.

Функция убывает на области определения.

очка пересечения с осью Ох: (1;0); с осью Оу: (0; ).

График функции изображен на рис. 46.

у = arctgx.

D(∕) = (-∞j÷∞); E(/) = (-|;|).

Функция ограничена: — < arctg x < .

Функция нечетная: arctg(-x) = — arctg х

Функция непериодическая.

Функция возрастает на области определения.

Точка пересечения с осями: (0;0).

График функции изображен на рис. 47.

у = arcctg х.

D(f) = (-∞;+∞); E(f) = ().

Функция ограничена: 0 < arcctg х < π.

Можно показать, что arcctg (— х) = π — arcctg х.

Функция убывает на области оределения.

Точка пересечения с осью Оу: (0; ).

График функции изображен на рис. 48.

Решение заданий на тему: Функция одной переменной

Пример:

Найдите область определения функции:

Решение:

Область определения данной функции есть пересечение областей определения функций у = √-x т.е.-х ≥ 0 и т.е.:

Таким образом, область определения искомой функции есть решение системы неравенств:

Ответ: (—2;0].

Пример:

Найдите область определения функции у = arcsin (x + 1)

Решение:

Область определения данной функции есть множество решений системы неравенств:

Решая данную систему, получаем:

Ответ: D(f) = [-2;0]

Пример:

Исследуйте функцию на четность и нечетность: y=

Решение:

Область определения данной функции D(f) = (-∞ ; +∞) симметрична относительно начала координат. Проверим выполнение второго условия: f(-х) = = f(x) т.e. функция четная.
Ответ: четная.

Пример:

Исследуйте функцию у = x² — 5x + 6 на четность и нечетность.

Решение:

Область определение этой функции есть (-∞ ;+∞), симметрична относительно 0. Проверим выполнение второго условия:
f(—х) = (-x)² — 5(-x) + 6 = x² + 5x + 6≠ ±f(х)

Следовательно, данная функция свойствами четности, нечетности не обладает. Заметим, что ее можно представить в виде суммы четной (у = x² + 6) и нечетной (у = —5х) функций.
Ответ: четностью, нечетностью не обладает.

Пример:

Для приведенной функции найдите наименьший положительный период T, если она периодическая: у = 5 sin 3x.

Решение:

Период функции у = sin х равен 2π. В соответствии с теоремой п.3.5 наименьший положительный период функции у = 5sin3x будет равен .
Ответ: .

Пример:

Найдите наименьший положительный период функции у = 3 sin 5x + 4 cos 7х.

Решение:

В соответствии с теоремой 3.1 функция у = 3 sin 5х будет периодической с периодом T₁ = функция у = 4cos7x — периодической с периодом T₂ = . Таким образом значения первой функции будут повторяться через , , ,…, второй — через , ,…. Очевидно, что наименьший общий положительный период этих двух функций равен 2π; это и будет наименьшим положительным периодом их суммы.
Ответ: T = 2π

Пример:

Для данной функции определите область, в которой она будет обратимой, и найдите обратную функцию: у = 2х + 3.

Решение:

Данная линейная функция монотонно возрастает при х ∈ R, поэтому обратима. Для нахождения обратной функции выразим х через у и затем обозначим х через у а у через х: у = 2x + 3 ⇔ х = ⇔
Ответ: Множество, на котором функция обратима: R. Обратная функция

Пример:

Пусть f(x) = ; найдите .

Решение:

Подставим в искомую функцию у = вместо f(х) данное выражение: f(x) = . Получим: y = или: у = -1-х².
Ответ: .

Пример:

Найдите уравнение прямой, удовлетворяющей следующим условиям: прямая проходит через точку M (1; 1) под углом 135° к оси Ох.

Решение:

В уравнении прямой (4.6) у — у₀ = k(x — х₀) угловой коэффициент равен тангенсу угла прямой с осью Ox : k = tg(). Для данной прямой k = tgl35° = -1. Подставив в уравнение прямой (4.6) координаты точки М, получим у — 1 = —(х — 1).
Ответ: у = — х+2.

Пример:

Вычислите углы треугольника, стороны которого даны уравнениями: l₁ : 18x+6y-17 = 0, l₂ : 14x-7y+15 = 0, l₃ = 5x+10y-9 = 0.

Решение:

Обозначим A-точку пересечения прямых l₁ и l₂, B-прямых l₂ и l₃, С-прямых l₁ и l₃. Найдем угол A Δ ABC по формуле: tg ∠A = , где k₁, k₂-угловые коэффициенты прямых l₁ и l₂. Выразим у из уравнений l₁ и l₂ : l₁ : 18х + 6у — 17 = 0 ⇔ у = -3x + ; l₂ : 14x — 7y + 15 = 0 ⇔ у = 2х + ; осюда k₁ = —3, k₂ = 2. Получаем: tg ∠ A = = +1 ⇒ ∠A = 45°. Остальные углы ΔABC найдите самостоятельно.

Пример:

Найдите координаты вершины А в Δ ABC, стороны которого даны уравнениями: AB : у — х, AC : у = —х + 4, BC : у = 5х — 4.

Решение:

Найдем координаты вершины А как решение системы уравнений:
Ответ: A(2; 2).

Пример:

Функция f(x)-линейная. Найдите эту функцию если f(-1) = 2 и f(2) = -3;

Решение:

Линейная функция имеет вид f(x) = kх + b. Подставив данные значения аргумента и функции, получаем систему уравнений для нахождения неизвестных параметров k и b:

Ответ:

Пример:

Напишите условия, задающие множество точек Δ ABC, если A(l;l), В(2;3), C(3;0).

Решение:

Напишем уравнение сторон Δ ABC, используя уравнение прямой, проходящей через две точки.

Прямая AB делит плоскость Oxy на две полуплоскости: у ≥ 2x — 1 и у ≤ 2х — 1. Δ ABC расположен в той из них, в которой находится вершина С. Поскольку координаты точки C(3;0) удовлетворяют второму из приведенных неравенств, заключаем, что Δ ABC лежит в полуплоскости, удовлетворяющей неравенству у ≤ 2х — 1.

Аналогично определяем, что координаты точек ΔABC, удовлетворяют неравенствам у ≤ -Зх + 9 и y ≥ . Окончательно заключаем, что ΔABC определяется пересечением этих полуплоскостей, т.е. системой неравенств:

Решение заданий и задач по предметам:

• Математика
• Высшая математика
• Математический анализ
• Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Комплексные числа
17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
18. Алгебраические уравнения
19. Неопределенные уравнения
20. Соединения
21. Бином Ньютона
22. Число е
23. Непрерывные дроби
24. Функция
25. Исследование функций
26. Предел
27. Интеграл
28. Двойной интеграл
29. Тройной интеграл
30. Интегрирование
31. Неопределённый интеграл
32. Определенный интеграл
33. Криволинейные интегралы
34. Поверхностные интегралы
35. Несобственные интегралы
36. Кратные интегралы
37. Интегралы, зависящие от параметра
38. Квадратный трехчлен
39. Производная
40. Применение производной к исследованию функций
41. Приложения производной
42. Дифференциал функции
43. Дифференцирование в математике
44. Формулы и правила дифференцирования
45. Дифференциальное исчисление
46. Дифференциальные уравнения
47. Дифференциальные уравнения первого порядка
48. Дифференциальные уравнения высших порядков
49. Дифференциальные уравнения в частных производных
50. Тригонометрические функции
51. Тригонометрические уравнения и неравенства
52. Показательная функция
53. Показательные уравнения
54. Обобщенная степень
55. Взаимно обратные функции
56. Логарифмическая функция
57. Уравнения и неравенства
58. Положительные и отрицательные числа
59. Алгебраические выражения
60. Иррациональные алгебраические выражения
61. Преобразование алгебраических выражений
62. Преобразование дробных алгебраических выражений
63. Разложение многочленов на множители
64. Многочлены от одного переменного
65. Алгебраические дроби
66. Пропорции
67. Уравнения
68. Системы уравнений
69. Системы уравнений высших степеней
70. Системы алгебраических уравнений
71. Системы линейных уравнений
72. Системы дифференциальных уравнений
73. Арифметический квадратный корень
74. Квадратные и кубические корни
75. Извлечение квадратного корня
76. Рациональные числа
77. Иррациональные числа
78. Арифметический корень
79. Квадратные уравнения
80. Иррациональные уравнения
81. Последовательность
82. Ряды сходящиеся и расходящиеся
83. Тригонометрические функции произвольного угла
84. Тригонометрические формулы
85. Обратные тригонометрические функции
86. Теорема Безу
87. Математическая индукция
88. Показатель степени
89. Показательные функции и логарифмы
90. Множество
91. Множество действительных чисел
92. Числовые множества
93. Преобразование рациональных выражений
94. Преобразование иррациональных выражений
95. Геометрия
96. Действительные числа
97. Степени и корни
98. Степень с рациональным показателем
99. Тригонометрические функции угла
100. Тригонометрические функции числового аргумента
101. Тригонометрические выражения и их преобразования
102. Преобразование тригонометрических выражений
103. Комбинаторика
104. Вычислительная математика
105. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
106. Прямая и плоскость
107. Линии и уравнения
108. Прямая линия
109. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
110. Кривые второго порядка
111. Кривые и поверхности второго порядка
112. Числовые ряды
113. Степенные ряды
114. Ряды Фурье
115. Преобразование Фурье
116. Функциональные ряды
117. Функции многих переменных
118. Метод координат
119. Гармонический анализ
120. Вещественные числа
121. Предел последовательности
122. Аналитическая геометрия
123. Аналитическая геометрия на плоскости
124. Аналитическая геометрия в пространстве
125. Высшая алгебра
126. Векторная алгебра
127. Векторный анализ
128. Векторы
129. Скалярное произведение векторов
130. Векторное произведение векторов
131. Смешанное произведение векторов
132. Операции над векторами
133. Непрерывность функций
134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
135. Предел и непрерывность функции одной переменной
136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
139. Матрицы
140. Линейные и евклидовы пространства
141. Линейные отображения
142. Дифференциальные теоремы о среднем
143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
144. Функции комплексного переменного
145. Преобразование Лапласа
146. Теории поля
147. Операционное исчисление
148. Системы координат
149. Рациональная функция
150. Интегральное исчисление
151. Интегральное исчисление функций одной переменной
152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
153. Отношение в математике
154. Математическая логика
155. Графы в математике
156. Линейные пространства
157. Первообразная и неопределенный интеграл
158. Линейная функция
159. Выпуклые множества точек
160. Система координат