Арифметическая прогрессия в математике с примерами решения и образцами выполнения

Оглавление:

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой разница между двумя соседними числами — постоянна.

Пример:

Последовательность 1, 2, 3, 4,… является арифметической прогрессией с шагом(разностью) прогрессии 1.

Пример:

Последовательность 3, 5, 7, 9, 11,… является арифметической прогрессией с разностью 2.

Пример:

Последовательность 20, 10, 0, -10, -20, -30,… является арифметической прогрессией с разностью -10.

Последовательности

Будем выписывать в порядке возрастания положительные четные числа. Первое такое число равно 2, второе 4, третье 6, четвертое 8 и т. д. Получим последовательность

2; 4; 6; 8; … .

Очевидно, что на пятом месте в этой последовательности будет число 10, на десятом — число 20, на сотом — число 200. Вообще для любого натурального числа п можно указать соответствующее ему положительное четное число; оно равно 2n.

Рассмотрим еще одну последовательность. Будем выписывать в порядке убывания правильные дроби с числителем, равным 1:

Для любого натурального числа n мы можем указать соответствующую ему дробь; она равна Арифметическая прогрессия Так, на шестом месте должна стоять дробь на тридцатом дробь , на тысячном — дробь

Числа, образующие последовательность, называют соответственно первым, вторым, третьим, четвертым и т. д. членами последовательности. Члены последовательности обычно обозначают буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена. Например, Арифметическая прогрессия (читают: «а первое, а второе, а третье, а четвертое» и т. д.). Вообще член последовательности с номером n, или, как говорят, n-й член последовательности, обозначают Арифметическая прогрессия Саму последовательность будем обозначать так:

Заметим, что последовательность может содержать конечное число членов. В таком случае ее называют конечной. Например, конечной является последовательность двузначных чисел:

Чтобы задать последовательность, нужно указать способ, позволяющий найти член последовательности с любым номером.

Часто последовательность задают с помощью формулы n-го члена последовательности. Например, последовательность положительных четных чисел можно задать формулой Арифметическая прогрессия последовательность правильных дробей с числителем, равным 1, — формулой Приведем другие примеры.

Пример:

Пусть последовательность задана формулой Арифметическая прогрессия Подставляя вместо n натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5 и т. д., получаем:

Рассматриваемая последовательность начинается так:

Пример:

Пусть последовательность задана формулой Арифметическая прогрессия Все члены этой последовательности с нечетными номерами равны —10, а с четными номерами равны 10:

Получаем последовательность

Пример:

Формулой Арифметическая прогрессия задается последовательность, все члены которой равны 5:

Рассмотрим еще один способ задания последовательности.

Пример:

Пусть первый член последовательности Арифметическая прогрессия равен 3, а каждый следующий член равен квадрату предыдущего, т. е.

С помощью формулы Арифметическая прогрессия можно по известному первому члену последовательности вычислить второй, затем по известному второму найти третий, по известному третьему — четвертый и т. д. Получим последовательность

Формулу, выражающую любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько), называют рекуррентной (от латинского слова recurro — возвращаться).

Определение арифметической прогрессии

Формула n-го члена арифметической прогрессии:

Рассмотрим последовательность натуральных чисел, которые при делении на 4 дают в остатке 1:

Каждый ее член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену числа 4. Эта последовательность является примером арифметической, прогрессии.

Определение:

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

Иначе говоря, последовательность — арифметическая прогрессия, если для любого натурального п выполняется условие

где d — некоторое число.

Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым ее членом, начиная со второго, и предыдущим членом равна d, т. е. при любом натуральном n верно равенство

Число d называют разностью арифметической прогрессии.

Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать ее первый член и разность. Приведем примеры.

Если Арифметическая прогрессия то получим арифметическую прогрессию

члены которой — последовательные натуральные числа.

Если Арифметическая прогрессия то получим арифметическую прогрессию

которая является последовательностью положительных нечетных чисел.

Если Арифметическая прогрессия то получим арифметическую прогрессию

которая является последовательностью отрицательных четных чисел.

Если Арифметическая прогрессия то имеем арифметическую прогрессию

все члены которой равны между собой.

Зная первый член и разность арифметической прогрессии, можно найти любой ее член, вычисляя последовательно второй, третий, четвертый и т. д. члены. Однако для нахождения члена прогрессии с большим номером такой способ неудобен. Постараемся отыскать способ, требующий меньшей вычислительной работы.

По определению арифметической прогрессии

Точно так же находим, что Арифметическая прогрессия и вообще, чтобы найти нужно к прибавить (n — 1) d, т. е.

Мы получили формулу n-го члена арифметической прогрессии.

Приведем примеры решения задач с использованием этой формулы.

Пример:

Последовательность — арифметическая прогрессия, в которой с1 = 0,62 и d = 0,24. Найдем пятидесятый член этой прогрессии.

Имеем:

Пример:

Выясним, является ли число —122 членом арифметической прогрессии Арифметическая прогрессия

В данной арифметической прогрессии Арифметическая прогрессия и Запишем формулу n-го члена прогрессии:

Число —122 является членом арифметической прогрессии Арифметическая прогрессия , если существует такое натуральное число n, при котором значение выражения 28,8 — 5,8n равно —122. Решим уравнение 28,8 — 5,8n = 122:

Значит, число —122 является 26-м членом данной арифметической прогрессии.

Формулу n-го члена арифметической прогрессии Арифметическая прогрессия можно записать иначе:

Отсюда ясно, что любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой вида

где k и b — некоторые числа.

Верно и обратное: последовательность , заданная формулой вида

где k и b — некоторые числа, является арифметической прогрессией.

Действительно, найдем разность (n + 1)-го и n-го членов последовательности Арифметическая прогрессия :

Значит, при любом n справедливо равенство Арифметическая прогрессия и по определению последовательность является арифметической прогрессией, причем разность этой прогрессии равна k.

Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии

Пусть требуется найти сумму первых ста натуральных чисел. Покажем, как можно решить эту задачу, не выполняя непосредственного сложения чисел.

Обозначим искомую сумму через S и запишем ее дважды, расположив в первом случае слагаемые в порядке возрастания, а во втором — в порядке убывания:

Каждая пара чисел, расположенных друг под другом, дает в сумме 101. Число таких пар равно 100. Поэтому, сложив равенства почленно, получим:

Итак,

С помощью аналогичных рассуждений можно найти сумму первых членов любой арифметической прогрессии.

Обозначим сумму n первых членов арифметической прогрессии Арифметическая прогрессия через и запишем эту сумму дважды, расположив в первом случае слагаемые в порядке возрастания их номеров, а во втором случае в порядке убывания:

Сумма каждой пары членов прогрессии, расположенных друг под другом, равна Арифметическая прогрессия Действительно,

и т. д.

Число таких пар равно n. Поэтому, сложиd почленно равенства (1) и (2), получим:

Разделив обе части последнего равенства на 2, получим формулу суммы п первых членов арифметической прогрессии:

Приведем примеры на вычисление суммы членов арифметической прогрессии.

Пример:

Найдем сумму первых тридцати членов арифметической прогрессии 4; 5,5; … .

В данной арифметической прогрессии Арифметическая прогрессия Тридцатый член прогрессии найдем по формуле n-го члена:

Теперь вычислим сумму первых тридцати членов:

Заметим, что если заданы первый член и разность арифметической прогрессии, то удобно пользоваться формулой суммы, представленной в другом виде. Подставим в формулу (I) вместо Арифметическая прогрессия выражение получим:

Если для решения рассмотренной задачи воспользоваться формулой (II), то вычисления будут выглядеть так:

Пример:

Найдем сумму первых сорока членов последовательности Арифметическая прогрессия , заданной формулой

Последовательность Арифметическая прогрессия является арифметической прогрессией, так как она задана формулой вида и b = — 4.

Найдем первый и сороковой члены этой арифметической прогрессии: Арифметическая прогрессия Теперь по формуле (I) вычислим S40:

Пример:

Найдем сумму 1 + 2 + 3 + … + n, слагаемыми в которой являются все натуральные числа от 1 до n.

Применив формулу Арифметическая прогрессия к арифметической прогрессии 1; 2; 3; … получим, что

Пример:

Найдем сумму всех натуральных чисел, кратных шести и не превосходящих 250.

Натуральные числа, кратные шести, образуют арифметическую прогрессию, которую можно задать формулой Арифметическая прогрессия Чтобы выяснить, сколько членов этой прогрессии не превосходит 250, решим неравенство

Значит, число членов прогрессии, сумму которых надо найти, равно 41. Имеем:

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике: