Производная и ее применение в математике с примерами и образцами решения и выполнения

Оглавление:

Производная функции — это понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Производная и ее применения

Пример:

На станции метро расстояние от тормозной отмет­ки до остановки первого вагона равно 80 м. С какой скоростью
поезд метро должен подойти к тормозной отметке, если дальше
он двигается равнозамедленно с ускорением Производная?

Для решения задачи нужно найти скорость движения поезда в момент прохождения тормозной отметки, т. е. мгновенную
скорость в этот момент времени. Тормозной путь вычисляется по
формуле Производная где a — ускорение, t — время торможения. В
дан­ном случае s = 8 0 , s = 1 ,6 , поэтому Производная, откуда t = 10 с.
По формуле v = а t находим мгновенную скорость v = 1,6 * 10 = 16, т. е. v = 16 м/с. ▲

От мгновенной скорости зависит решение многих практических
задач. Например, от скорости вхождения в воду спортсмена,
прыгающего с вышки, зависит глубина его погружения; от скорос­ти запуска спутника зависит выход его на заданную орбиту. При
нахождении мгновенной скорости используется средняя скорость
движения за малый промежуток времени. Рассмотрим, как
связа­ны между собой средняя и мгновенная скорости движения.

Гильберт Давид (1862—1943) — немецкий математик. Труды Гильберта оказали большое влияние на развитие многих разделов математики (теория чисел, математическая логика, дифференциальное и интегральное исчисления, математическая физика и др.).

Пусть точка движется вдоль прямой и за время t от начала
движения проходит путь s (t), т. е. задана функция s (t).
Зафиксируем какой-нибудь момент времени t и рассмотрим
промежуток времени от t до t + h, где h — малое число. За время
от t до t+h точка прошла путь длиной
s (t + h) — s (t)

Средняя скорость движения точки за этот промежуток времени
равна отношению

Производная

Из курса физики известно, что при уменьшении h это отношение приближается к некоторому числу, которое называется мгновенной скоростью v момент времени t и обозначается v (t). Число v (t) называют пределом данного отношения при h, стремящемся к ну­лю, и записывают так:

Производная

Это равенство означает, что отношение Производная можно
рассматривать как приближенное значение мгновенной скорости
v (t). Если h, уменьшаясь, стремится к нулю, то погрешность
при­ближения становится сколь угодно малой, т. е. также стремится к нулю.

Например, если Производная то

Производная


Если Производная то ПроизводнаяПроизводная


Отношение Производнаяназывают разностным отношением, а
его предел при h -► 0 называют производной функции s (t) и
обо­значают s ‘(t) (читается: «Эс штрих от тэ»).

Вообще пусть функция f (х) определена на некотором про­межутке, х — точка этого промежутка и число Производнаятакое, что
х + h также принадлежит данному промежутку. Тогда предел
разностного отношения Производная при Производная(если этот предел существует) называется производной функций f (х) в точ­ке х и обозначается f ‘ (х) (читается: «Эф штрих от икс».).
Таким образом,

Производная

Отметим, что в формуле (1) число h, где Производная, может быть как
положительным, так и отрицательным, при этом число x + h
должно принадлежать промежутку, на котором определена
функ­ция f(x).

Если функция f (х) имеет производную в точке х, то эта функция
называется дифференцируемой в этой точке. Если функция f (х)
имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, то
говорят, что эта функция имеет производную на этом промежутке.
Операция нахождения производной называется
дифференциро­ванием.

Пример:

Найти производную функции Производная

Составим разностное отношение:

Производная

Если Производная, то Производная, поэтому ПроизводнаяПроизводнаяСледовательно, Производная

Пример:

Найти производную функции Производная

Найдем сначала разность ПроизводнаяПроизводнаяПроизводнаяПроизводнаяПроизводная

Составим теперь разностное соотношение

Производная

Если Производная, то Производная и Производная поэтому Производная

Следовательно,

Производная

Пример:

Найти производную функции f (х)= С, где С —
заданное число.

Производная

Так как разностное отношение равно нулю при любом Производная, т. е.
его значение не меняется при Производная, то предел этого отношения также равен нулю. Таким образом, производная постоянной равна нулю: (С)’ = 0.

Пример:

Найти производную линейной функции f(x) = kx+b

Производная

Так как разностное отношение равно k при любом Производная, то
и предел этого отношения при Производная также равен к. Следовательно,
(kх + b)’ = k. ▲

Применяя формулу

Производная

например, получаем (3х + 7)’ = 3; ( —2 x + 1 ) ‘= — 2; (5x)’ = 5;
(x)’ = 1

Изучение теории пределов не входит в программу средней
школы. Поэтому мы не рассматриваем строгое определение преде­ла разностного отношения и его свойства. По этой же причине
в курсе математики средней школы некоторые формулы для
производных строго не доказываются или вообще принимаются без
доказательства.
При нахождении производных простейших функций мы пользу­емся наглядными представлениями. Например, мы считаем нагляд­но понятным, что если Производная, то и Производная, Производная Производная и т. п.

Производная степенной функции

Пример:

Доказать, что Производная

Пусть ПроизводнаяПроизводная. Тогда

Производная

Если Производная, то Производная, и поэтому знаменатель дроби стремится к Производная

Следовательно, Производная

При этом предполагалось, что если х > 0 , то и х + h > 0 , а если
х < 0 , то x + h < 0 . Таким образом, формула Производнаясправедлива при Производная

Пример:

Доказать, что Производная.

Пусть ПроизводнаяПроизводнаяПроизводная

Составим разностное отношение:

Производная

Умножим числитель и знаменатель на сумму Производная

Полу­чим:

Производная

Если Производная, то Производнаястремится, поэтому знаменатель
последней дроби стремится к Производная

Следовательно, Производная
Таким образом, формула Производнаясправедлива при Производная

Итак, получены следующие формулы для производных:

Производная

Четыре последние формулы являются формулами производной
степенной функции Производная для Производная

Их можно запи­сать так:

Производная

Вообще справедлива формула производной степенной функции для
любого действительного показателя:

Производная

Эта формула справедлива при тех значениях х, при которых
правая часть формулы (1) имеет смысл.
Например, ПроизводнаяПроизводная ПроизводнаяПроизводная

Пример:

Вычислить f ‘ (9), если Производная

Производная

Пользуясь формулами Производная и Производная можно найти производные степенной и линейной функции, например ПроизводнаяПроизводная В более сложных случаях, например при нахождении производной функции Производная можно воспользоваться следующей формулой:

Производная

Применяя формулу (2) при k = 3, b= — 1, р = 7, получаем

Производная

Пример:

Вычислить f’ ( — 3), если Производная

Запишем данную функцию так: Производная

По формуле (2) находим Производная При х = —3 получаем Производная ПроизводнаяПроизводная

Пример:

Доказать, что Производнаяна промежутке: Производная
1) Если х < 0 , то Производнаяи по формуле (1) получаем

Производная

2) Если x < 0, то ПроизводнаяПроизводная и по формуле (2) получаем

Производная

Правила дифференцирования


При вычислении производной полезными являются следующие
правила дифференцирования:

  1. Производная суммы равна сумме производных:
Производная

Подробно это свойство производной формулируется так: если
каждая из функций f (х) и g (х) имеет производную, то их сумма
также имеет производную и справедлива формула (1).

Обозначим Производная

Тогда ПроизводнаяПроизводная Производная

Поэтому разностное отношение равно

Производная

При Производная первая дробь в правой части имеет предел, равный
f (х), вторая дробь имеет предел, равный g’ (x). Поэтому левая часть имеет предел, равный Производная т. е. справедливо
равенство (1).

Аналогично доказывается, что производная суммы нескольких функций равна сумме производных этих функций; производ­ная разности равна разности производных.

Производная

2. Постоянный множитель можно вынести за знак производной:

Производная

Обозначим cf(x) = F(x), тогда

Производная

откуда при получаем Производная получаем Производная

Пример:

Вычислить f ‘( — 2), если ПроизводнаяПроизводная

Производная

Приведем без доказательства формулы производной произве­дения и частного.

3. Производная произведения

Производная

Пример:

Проверить справедливость формулы (3), если ПроизводнаяПроизводная.

В левой части формулы (3) получаем Производная

Производная

В правой части формулы (3) получаем
ПроизводнаяПроизводная

Производная

Пример:

Найти значения х, при которых значение
произ­водной функции ПроизводнаяПроизводнаяравно нулю.

По формуле (3) получаем ПроизводнаяПроизводная

Производная

Решая уравнение ПроизводнаяПроизводнаяПроизводная находим:
f’ (х) = 0 при ПроизводнаяПроизводнаяПроизводная

4. Производная частного

Производная

Пример:

Найти производную функции Производная

Обозначим Производная ПроизводнаяПо формуле (4) находим:

Производная

Пример:

Найти значения х, при которых значение произ­водной функции Производная

По формуле (4) получаем Производная

1) Решая неравенство Производнаянаходим: f’ (х) > 0 при х< 0.
2) Решая неравенство Производнаянаходим: f’ (х) < 0 при x > 0.

Производные некоторых элементарных функций

Элементарными функциями называют степенную, показатель­ную, логарифмическую и тригонометрические функции, а также их
различные комбинации. При решении многих практических задач
часто приходится находить производные таких функций.
Например, напряжение в цепи переменного тока выражается
формулой Производная для нахождения силы тока J (t)
нужно уметь находить производную U’ (t), так как J (t) = U’ (t) .

Производная показательной функции

Показательная функция Производная где а > 0 , Производная, определена
на всей числовой прямой и имеет производную каждой ее точке.
Любую показательную функцию можно выразить через показа­
тельную функцию с основанием е по формуле

Производная

так как Производная

В курсе высшей математики доказывает­ся, что функция Производнаяобладает замечательным свойством: её произ­водная также равна Производная, т. е.

Производная

Можно также доказать, что

Производная

Например,

Производная

Пример:

Найти производную функции Производная, где а > 0, Производная.

Используя формулы (1) и (3), находим ПроизводнаяПроизводнаяПроизводная

Итак,

Производная

Например, ПроизводнаяПроизводная

Производная логарифмической функции

Логарифмическую функцию Производнаяс любым основанием а > 0 ,
Производная можно выразить через логарифмическую функцию с
основа­нием е с помощью формулы перехода

Производная

Производная функции ln х выражается формулой

Производная

Справедлива также формула

Производная

Например,

Производная

Пример:

Найти производную функции Производная где а > 0 , Производная

Используя формулы (5) и (6), находим:

Производная

Итак,

Производная

Например, ПроизводнаяПроизводная

Производные тригонометрических функций

Покажем, как можно вывести формулу производной синуса.
Обозначим f (х) = sin х, составим разностное отношение

Производная
Производная

Если , Производная то Производнаяи Производная Можно доказать, что Производная при Производная. В этом можно наглядно убедиться с помощью микрокалькулятора. Например, при h= 0,5; 0,1; 0,01; 0,001 дробь Производнаяпринимает соответственно значения:

Производная

Таким образом, (sin х)’ = cos х.
Аналогично можно убедиться в том, что (cos x)’ = — sin х.
Итак, справедливы формулы

Производная

Справедливы также формулы

Производная

Например,

Производная
Производная

Пример:

Найти производную функции tg х.
Используя правило дифференцирования частного и формулы (9), находим

Производная
Производная

Применение правил дифференцирования и формул для производных к решению задач

Приведём сводную таблицу

Производная

Пример:

Найти производную функции:

Производная

Пример:

Найти значения x, при которых значение произ­водной функции Производная равно нулю; положительно;
от­рицательно.

Найдем производную ПроизводнаяПроизводная

Заметим, что равенство Производнаясправедливо при тех значениях х, при которых обе его части имеют смысл, т. е.
при х > 0 .
Выражение Производнаяравно нулю при Производнаяположительно
на промежутках — 1 < х < 0 и x > 1 , отрицательно на промежутках
x < — 1 и 0 < x < 1.

Так как x > 0, то f’ (х)= 0 только при x = 1; f ‘ (x ) > 0 при х > 1,
f (x) < 0 при 0 < х < 1.

Геометрический смысл производной

Напомним, что графиком линейной функции y = kx+b являет­ся прямая (рис. 47). Число Производнаяназывают угловым
коэффици­ентом
прямой, а угол Производнаяуглом между этой прямой и осью Ох.

Если k > 0 , то Производная (рис. 47, а); в этом случае функция
y = kx+ b возрастает и говорят, что прямая направлена вверх.
Если k< 0, то Производная (рис. 47, б); в этом случае
функция y = kx+b убывает и говорят, что прямая направлена вниз.

Производная
Производная

Выясним геометрический смысл производной дифференцируе­мой функции у = f(х).

Пусть точки А и М принадлежат графику функции у = f (х)
(рис. 48). Если точка А неподвижна, а точка М движется по графи­ку, приближаясь к точке А, то прямая АМ приближается к некото­рой предельной прямой АВ (рис. 48). Эту прямую АВ называют
касательной к графику функции
у = f (х) в точке А.

Пусть х и х + h — абсциссы точек А и М (рис. 49), тогда их
ординаты равны f (х) и f (х+h). Из треугольника АСМ (рис. 49)
имеем Производная или

Производная

Если число х фиксировано, а Производная, то точка А неподвижна, а точка М, двигаясь по графику, стремится к точке А. При этом пря­мая АМ стремится к касательной АВ, угол САМ стремится к
уг­лу Производная, и поэтому левая часть формулы (1) стремится к Производная

Правая часть формулы (1) при Производная стремится к f'(x). Таким образом, из формулы (1) при Производная получаем:

Производная

Итак, геометрический смысл производной состоит в том,
что значение производной функции в точке равно угловому
коэффициенту касательной к графику функции в этой
точке.

Пример:

Найти угол между касательной к графику функ­ции
у = sin x : в точке (0; 0) и осью Ох.

Найдем угловой коэффициент касательной к кривой у = sin х в точке (0; 0), т. е. значение производной этой функции при x = 0.

Производная

Производная функции f (х) = sin х равна f’ (х) = соs х. По фор­муле (2) находим ПроизводнаяПроизводная, откуда Производная (рис. 50).

Отметим, что это свойство полезно для построения графика
у = sin х: в точке (0; 0) синусоида касается прямой у = х (рис. 50).

Пример:

Найти угол между касательной к параболе Производнаяв точке (1; 1). и осью Ох и написать уравнение этой касательной.

Производная функции Производнаяравна f’ (х) = 2х. По форму­ле (2) находим ПроизводнаяПроизводная, откуда Производная (рис. 51).
Найдем теперь уравнение касательной АВ к параболе Производная
в точке А (1; 1) (рис. 51). Если у = kх + b — уравнение прямой АВ,
то Производная т. е. уравнение касательной имеет вид Производная

Подставляя в это уравнение координаты точки (1; 1), получаем
Производная, откуда b = — 1. Следовательно, у = 2х — 1
уравне­ние искомой касательной.

Аналогично тому, как это сделано в задаче 2, выведем уравне­ние касательной к графику дифференцируемой функции у = f(х)
в точке Производная (рис. 52).
Если у = kх + b — искомое уравнение, то по формуле (2) нахо­дим ПроизводнаяПроизводная, т. е. уравнение касательной имеет вид

Производная
Производная

Подставляя в это уравнение координаты точки Производная, получаем Производная, откуда Производная

Итак, уравнение касательной

Производная

или

Производная

Пример:

Найти уравнение касательной к графику функции
y = cos х в точке с абсциссой Производная.

Значения функции f( х ) = cos х и ее производной в точке Производная равны: Производная, ПроизводнаяПроизводная

Ис­пользуя формулу (3), найдем искомое уравнение касательной:
Производная или Производная

Касательная к графику функции y = cos х в точке изображена на рисунке 53.

Пример:

Показать, что касательная к параболе Производная
в точке с абсциссой Производная пересекает ось Ох в точке Производная.

Пусть Производная, тогда ПроизводнаяПроизводнаяи Производная

По формуле (3) находим уравнение касательной:

Производная

Найдем точку пересечения этой касательной с осью абсцисс.
Из равенства Производная, находим Производная

Производная

Отсюда следует простой геометрический способ построения
ка­сательной
к параболе Производная в точке А с абсциссой Производная: прямая, проходящая через точку А и точку Производная оси абсцисс, касается пара­болы в точке А (рис. 54).

Построив касательную к параболе, можно построить ее фокус F .
Напомним, что фокусом является точка, в которую нужно
помес­тить источник света, чтобы все лучи, отраженные от параболичес­кого зеркала, были параллельны оси симметрии параболы. Для построения фокуса F нужно построить прямую АВ, параллельную оси Оу, и прямую AF, образующую с касательной такой же угол, как и прямая АВ (рис. 55).

Применение производной к исследованию функций

Возрастание и убывание функции

Производная широко используется для исследования функций,
т. е. для изучения различных свойств функций. Например, с
по­мощью производной можно находить промежутки возрастания и убывания функции, ее наибольшие и наименьшие значения.

Рассмотрим применение производной к нахождению промежут­ков возрастания и убывания функций.


Пусть значения производной функции у = f(х) положительны
на некотором промежутке, т. е. f ‘ (х )> 0 . Тогда угловой коэффици­ент касательной Производная к графику этой функции в каждой
точке данного промежутка положителен; это означает, что
каса­тельная к графику функции направлена вверх и поэтому график функции на этом промежутке «поднимается», т. е. функция f (х) возрастает (рис. 56).

Если f’ (х )< 0 на некотором промежутке, то угловой коэффици­ент касательной Производная к графику функции у = f (х) отрицате­лен. Это означает, что касательная к графику функции направлена
вниз и поэтому график функции на этом промежутке «опускается»,
т. е. функция f (х) убывает (рис. 57).

Крылов Алексей Николаевич (1863— 1945) — советский математик, механик и кораблестроитель, академик. Основные исследования относятся к теории корабля, строительной механике, теории дифференциальных уравнений и истории науки.

Производная

Итак, если f'(x)>0 на промежутке, то функция f(x) возрастает на этом промежутке.
Если f'(x)<0 на промежутке, то функция f(x) убывает на этом промежутке.
Строгое доказательство этого утверждения выходит за рамки школьного курса математики.

Пример:

Доказать, что функция Производнаявозрастает на промежутке х > 1 .
Найдем производную: ПроизводнаяПроизводнаяЕсли х > 1, то Производнаят. е. f ‘ (х) > 0 при х > 1, и поэтому данная функция
возрастает на промежутке х > 1 .

Промежутки возрастания и убывания функции часто называют
промежутками монотонности этой функции.

Производная

Пример:

Найти интервалы монотонности функции Производная

Найдем производную: ПроизводнаяПроизводная Решая неравенство
f ‘ (х )> 0 , т. е. неравенство Производная находим
интервалы возрастания: х < 0 , х > 2 .

Решая неравенство f ‘ (х )< 0 т. е. не­равенство Производнаянаходим интер­вал убывания: 0 < х < 2 .

Производная

▲ График функции Производная изобра­жен на рисунке 58. Из этого рисунка видно, что функция Производная воз­растает не только на интервалах х < 0 и х > 2 , но и на промежут­ках Производная и Производная ; убывает не только на интервале 0 < х < 2 , но и
на отрезке Производная

Экстремумы функции

На рисунке 58 изображен график функции Производная

Рас­смотрим окрестность точки х = 0, т. е. некоторый интервал, содер­жащий эту точку. Как видно из рисунка, существует такая окрест­ность точки х = 0 , что наибольшее значение функция Производнаяв этой окрестности принимает в точке x = 0. Например, на интервале (— 1; 1) наибольшее значение, равное 0, функция принимает в точ­ке x = 0. Точку х = 0 называют точкой максимума этой функции.

Аналогично точку х = 2 называют точкой минимума функции
Производная, так как значение функции в этой точке не больше ее значе­ния в любой точке некоторой окрестности точки х = 2, например окрестности (1,5; 2,5).

Точка Производная называется точкой максимума функции f(x), если существует такая окрестность точки Производная, что для всех x из этой окрестности выполняется неравенство

Производная

Например, точка Производная является точкой максимума функции Производная так как f (0)= 1 и при всех значениях х верно нера­венство Производная(рис. 59).

Точка Производнаяназывается точкой минимума функции f(x), если существует такая окрестность точки Производная, что для всех x из этой окрестности выполняется неравенство

Производная

Например, точка Производнаяявляется точкой минимума функции
Производная так как f (2) = 3 и Производная при всех х (рис. 60).

Точки минимума и максимума называют точками экстремума.

Рассмотрим функцию f (х), которая определена в некоторой
окрестности точки Производная и имеет производную в этой точке.

Производная
Производная

Если Производная — точка экстремума дифференцируемой функции f (х), то Производная
Это утверждение называют теоремой Ферма*.


Теорема Ферма имеет наглядный геометрический смысл: в точ­ке экстремума касательная параллельна оси абсцисс и поэтому
ее угловой коэффициент Производная равен нулю (рис. 61).
Например, функция Производная(рис. 59) имеет в точке Производная
максимум, ее производная f’ (х)= — 2х, f’ (0)= 0. Функция ПроизводнаяПроизводная имеет минимум в точке Производная (рис. 60), f ‘ (х) =
= 2 (х — 2), f’ (2 )= 0 .

Отметим, что если Производная то этого недостаточно, чтобы
ут­верждать, что Производная обязательно точка экстремума функции f (х).
Например, если Производная то f ‘(0 )= 0 . Однако точка х = 0 не
является точкой экстремума, так как функция Производнаявозрастает на
всей числовой оси (рис. 62).

Итак, точки экстремума дифференцируемой функции нужно
искать только среди корней уравнения f’ (х)= 0, но не всегда корень
этого уравнения является точкой экстремума. Точки, в которых
производная функции равна нулю, называют стационарными.

Таким образом, для того чтобы точка Производная была точкой экстрему­ма, необходимо, чтобы она была стационарной точкой.
Приведем достаточные условия того, что стационарная точка
является точкой экстремума, т. е. условия, при выполнении
кото­рых стационарная точка есть точка максимума или минимума функции.

Если производная левее стационарной точки положительна,
а правее — отрицательна, т. е. при переходе через эту точку
производная меняет знак с « + » на « — », то эта стационарная
точка является точкой максимума (рис. 63)

*Ферма Пьер (1601 — 1665) — французский математик, один из основопо­ложников теории чисел и математического анализа.

Производная

Действительно, в этом случае левее стационарной точки функ­ция возрастает, а правее убывает, т. е. данная точка есть точка
максимума.

Если при переходе через стационарную точку производная
меняет знак с « — » на « + », то эта стационарная точка является
точкой минимума (рис. 64).

Если при переходе через стационарную точку производная
не меняет знак, т. е. слева и справа от стационарной точки
производная положительна или отрицательна, то эта точка не
является точкой экстремума.

Пример:

Найти точки экстремума функции ПроизводнаяПроизводная

Найдем производную:

Производная

Най­дем стационарные точки:

Производная

Методом интервалов устанавливаем, что производная ПроизводнаяПроизводная положительна при х > 3 , отрицательна при х < 0 и при 0 < х < З .

Так как при переходе через точку Производная знак производной не
меняется, то эта точка не является точкой экстремума.
При переходе через точку Производная производная меняет знак
с « — » на « + ». Поэтому Производная— точка минимума. ▲

Эскиз графика функции Производная изображен на рисунке 65.

Пример:

Найти точки экстре­мума функции Производная и значе­ния функции в этих точках.

Производная равна ПроизводнаяПроизводнаяПроизводная

Приравнивая производную к нулю, на­ ходим две стационарные точки: Производная и Производная

При переходе через точку Производная производная меняет знак с
« + » на « — ». Поэтому Производная — точка максимума.

Производная

При переходе через точку Производнаяпроизводная меняет знак с
« — » на « + », поэтому Производная — точка минимума. Значение функции в точке максимума равно ПроизводнаяПроизводная

в точке минимума Производная

Применение производной к построению графиков функций

Если график функции на некотором промежутке представляет
собой непрерывную линию, т. е. линию, которую можно провести,
не отрывая карандаша от листа бумаги, то эту функцию называют
непрерывной на этом промежутке
(рис. 66). Существуют также
функции, которые не являются непрерывными. Например, на
ри­сунке 67 изображен график функции, которая непрерывна на
промежутках [а; с] и (с; b] но разрывна в точке х = с и потому не

Производная

является непрерывной на всем отрезке [а; b]. Все функции, которые
изучаются в школьном курсе математики, являются непрерывными
на каждом промежутке, на котором они определены.

Отметим, что если функция имеет производную на некотором
промежутке, то она непрерывна на этом промежутке.

Обратное утверждение неверно. Функция, непрерывная на про­
межутке, может не иметь производную в некоторых точках этого
промежутка. Например, функция Производнаянепрерывна на про­межутке х > 0 , но не имеет производной в точке х = 1 , так как в этой точке график функции не имеет касательной (рис. 68).

Перейдем к построению графиков с помощью производной.

Пример:

Построить график функции Производная

Эта функция определена при всех Производная С помощью произ­водной найдем промежутки монотонности этой функции и ее точ­ки экстремума. Производная равна Производная

Найдем стационарные точки: Производная откуда Производная Для определения знака производной разложим квадратный трехчлен Производная на множители: ПроизводнаяПроизводная

Производная положительна на промежутках Производная и х > 1 ;
следовательно, на этих промежутках функция возрастает.

При Производнаяпроизводная отрицательна; следовательно, на
этом интервале функция убывает.

Точка Производнаяявляется точкой максимума, так как слева от
этой точки функция возрастает, а справа убывает. Значение функции в этой точке равно

Производная

Точка Производнаяявляется точкой минимума, так как слева от этой
точки функция убывает, а справа возрастает; ее значение в точке
минимума равняется f (1) = 0.

Результаты исследования представим в следующей таблице:

Производная

Знак Производная означает, что функция возрастает, а знак Производная озна­чает, что функция убывает.
При построении графика обычно находят точки пересечения
графика с осями координат. Так как f (0)= 0, то график проходит
через начало координат. Решая уравнение f (х)= 0, находим точки
пересечения графика с осью абсцисс:

Производная

откуда х = 0, х = 1.

Для более точного построения графика найдем значения функ­ции еще в двух точках:

Производная

Используя результаты исследования, строим график функции Производная (рис. 69).
Для построения графика функции обычно сначала исследуют
свойства этой функции с помощью ее производной примерно по
та­кой же схеме, как и при решении задачи 1.
При исследовании свойств функции полезно найти:
1) область ее определения;
2) производную;
3) стационарные точки;
4) промежутки возрастания и убывания;
5) точки экстремума и значения функции в этих точках.
Результаты исследования удобно записать в виде таблицы.
Затем, используя таблицу, строят график функции. Для более
точного построения графика обычно находят точки его пересече­ния с осями координат и, быть может, ещё несколько точек
графика.

Производная

Пример:

Построить график функции Производная

1) Область определения — множество R? всех действительных
чисел.
2) ПроизводнаяПроизводная

3) Решая уравнение Производная находим стационарные
точки Производнаяи Производная
4) Производная положительна на интервале — 1 < х < 0, следовательно, на этом интервале функция возрастает. На
проме­жутках х < — 1 и х > 0 производная отрицательна, следовательно, на этих промежутках функция убывает.
5) Стационарная точка Производнаяявляется точкой минимума,
так как при переходе через эту точку производная меняет знак
с « —» на « + » : f ( — 1)= —0,5. Точка Производная — точка максимума,
так как при переходе через нее производная меняет знак с « + »
на « — »; f (0 )= 1.

Составим таблицу:

Производная

Используя результаты исследования, строим график функции
Производная (рис. 70).
График функции Производнаяпостроен с помощью 0
иссле­дования некоторых свойств этой функции. По графику можно выя­вить и другие свойства данной функции. Например, из рисунка 70 видно, что уравнение Производная имеет три различных дейст­вительных корня.

Для построения графика четной (нечетной) функции доста­точно исследовать свойства и построить ее график при х > 0 , а затем отразить его симметрично относительно оси ординат
(начала координат). Приведем пример.

Пример:

Построить график функции Производная

1) Область определения: Производная
2) Данная функция нечетная, так как ПроизводнаяПроизводная

Поэтому сначала исследуем эту функцию и построим ее график при х > 0.

3) ПроизводнаяПроизводная

4) На промежутке х > 0 функция имеет одну стационарную
точку х = 2.
5) Производная положительна на промежутке х > 2 ,
следова­тельно, на этом промежутке функция возрастает. На интервале 0 < х < 2 производная отрицательна, следовательно, на этом ин­тервале функция убывает.
6) Точка х = 2 является точкой минимума, так как при пере­ходе через эту точку производная меняет знак с « —» на « + »; f (2) = 4.

Составим таблицу:

Производная

Найдем значения функции еще в двух точках: f (1 )= 5 , f (4)=5. Используя результаты исследования, строим график функции Производная при х > 0 . График этой функции при х < 0 строим с по­мощью симметрии относительно начала координат (рис. 71).

Для краткости записи решения задач на построение графиков
функции большую часть рассуждений, предшествующих таблице,
можно проводить устно.
В некоторых задачах требуется исследовать функцию не на всей области определения, а только на некотором промежутке.

Производная

Пример:

Построить график функции Производнаяна
отрезке [ — 1; 2].
Найдем производную

Производная

Со­ставим таблицу:

Производная

Используя эту таблицу, строим график функции Производнаяна отрезке [— 1; 2] (рис. 72).

Наибольшее и наименьшее значения функции

На практике часто приходится решать задачи, в которых
требуется найти наибольшее или наименьшее значение из всех
тех значений, которые функция принимает на отрезке.
Рассмотрим, например, график функции Производная на
отрезке [— 1; 2]. Этот график был построен (рис. 72).
Из рисунка видно, что наибольшее значение на этом отрезке,
равное 2, функция принимает в двух точках: х = — 1 и х = 1;
наи­меньшее значение, равное —7, функция принимает при х = 2.
Точка х = 0 является точкой минимума функции ПроизводнаяПроизводная

Это означает, что есть такая окрестность точки х = 0 , например интервал Производная что наименьшее значение в этой окрестности функция принимает при х = 0 . Однако на боль­шем промежутке, например на отрезке [— 1; 2] наименьшее значе­ние функция принимает не в точке минимума, а на конце отрезка.
Таким образом, для нахождения наименьшего значения функ­ции на отрезке нужно сравнить ее значения в точках минимума и на концах отрезка.

Вообще пусть функция f (х) непрерывна на отрезке [а; b] и имеет
производную в каждой внутренней точке этого отрезка.
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений
функции на отрезке [а; b] нужно:
1) найти значения функции в концах отрезка, т. е. числа
2) найти ее значения в тех стационарных точках, которые
принадлежат интервалу (а; b);
3) из найденных значений выбрать наибольшее и наи­меньшее.

Пример:

Найти наибольшее и наименьшее значения функ­ции Производная на отрезке Производная

Производная

Интервалу Производная принадлежит одна стационарная точка ПроизводнаяПроизводная

3) Из чисел Производная и 4 наибольшее Производная, наименьшее 4.

О т в е т. Наибольшее значение функции равно Производная,
наимень­шее равно 4.

Пример:

Найти наибольшее и наименьшее значения функ­ции Производная на отрезке [2; 4}

Производная

На интервале (2; 4) стационарных точек нет.
3) Из чисел 2,5 и 4,25 наибольшее 4,25, наименьшее 2,5.

О т в е т. Наибольшее значение функции равно 4,25, наимень­шее равно 2,5.

2.При решении многих задач часто приходится находить
наи­большее или наименьшее значение функции не на отрезке, а на интервале.
В практических задачах обычно функция / (х) имеет на задан­
ном интервале только одну стационарную точку: либо точку
макси­мума, либо точку минимума. В этих случаях в точке максимума функция f (х) принимает наибольшее значение на данном интервале (рис. 73), а в точке минимума — наименьшее значение на данном интервале (рис. 74).

Пример:

Число 36 записать в виде произведения двух
положительных чисел, сумма которых наименьшая.

Пусть первый множитель равен х, тогда второй множитель равен .Производная. Сумма этих чисел равна Производная По условию задачи х — положительное число. Таким образом, задача свелась к нахождению такого значения х, при котором функция Производная прини­мает наименьшее значение на интервале
х > 0 .

Найдем производную

Производная

Стационарные точки Производная и Производная

На интервале х > 0 есть только одна стационарная точка х = 6. При переходе через точку х = 6 производная меняет знак с « —» на «+», и поэтому х = 6 — точка минимума. Следовательно, наименьшее значение на интервале x > 0 функция Производнаяпринимает в точке х = 6 (это зна­чение f (6)= 12).
О т в е т. Производная

Производная

3* При решении некоторых задач на нахождение наиболь­шего и наименьшего значений функции полезно использовать следующее утверждение:
Если значения функции f (х) неотрицательны на некотором
промежутке, то эта функция и функция Производная где n
нату­ральное число, принимают наибольшее (наименьшее) значение в одной и той же точке.

Пример:

Из всех прямоугольников, вписанных в окруж­ность радиуса R, найти прямоугольник наибольшей площади.

Найти прямоугольник — это значит найти его размеры, т. е.
длины его сторон. Пусть прямоугольник АВСD вписан в
окруж­ность радиуса R (рис. 75). Обозначим АВ=х. Из Производная по теоре­ме Пифагора находим Производная

Площадь прямоугольника равна:

Производная

Задача свелась к нахождению такого значения х, при котором функция S (х) принимает наибольшее значение на интервале
0 < х< 2R. Так как S (х )> 0 на интервале 0< х< 2R , то функции S (x)
и Производная принимают наибольшее значение на этом интер­вале в одной и той же точке.

Таким образом, задача свелась к нахождению такого значения х, при котором функция ПроизводнаяПроизводная принимает
наибольшее значение на интервале 0 < x < 2R.

Найдем производную

Производная

На интервале 0 < х < 2 R есть только одна стационарная точка Производная— точка максимума. Следовательно, наибольшее
значение функция f (х) (а значит, и функ­ция f (х)) принимает при Производная

Итак, одна сторона искомого прямо­угольника равна Производная другая равна Производная т. е. искомый пря­моугольник — квадрат со стороной Производная его площадь равна Производная

Производная

Механический смысл производной

Представим себе, что мы отправляемся в автомобильную поездку. Садясь в машину, посмотрим на счетчик километража. Теперь в любой момент времени мы сможем определить путь, пройденный машиной. Скорость движения мы узнаем по спидометру. Таким образом, с нашим движением (как и с движением любой материальной точки) связаны две величины — путь s и скорость v, которые являются функциями времени t.

Ясно, что путь и скорость связаны между собой. В конце XVII в. великий английский ученый Исаак Ньютон открыл общий способ описания этой связи. Открытие Ньютона стало поворотным пунктом в истории естествознания. Оказалось, что связь между количественными характеристиками самых различных процессов, исследуемых физикой, химией, биологией, техническими науками, аналогична связи между путем и скоростью.

Основными математическими понятиями, выражающими эту связь, являются производная и интеграл. Как вы убедитесь в дальнейшем, скорость — это производная пути, а путь — это интеграл от скорости.

Построенная Ньютоном модель механического движения остается самым важным и простым источником математического анализа, изучающего производную и ее свойства. Вот почему на вопрос, что такое производная, короче всего ответить так: производная — это скорость.

А что такое скорость? Оказывается, объяснить это не так просто. Прочтите диалог между водителем-женщиной и полицейским, взятый из знаменитых «Фейнмановских лекций по физике»:

  • — Мадам, Вы нарушили правила уличного движения. Вы ехали со скоростью 90 километров в час.
  • — Простите, это невозможно. Как я могла проехать 90 километров за час, если я еду всего лишь 7 минут!
  • — Я имею в виду, мадам, что если бы Вы продолжали ехать таким же образом, то через час Вы бы проехали 90 километров.
  • — Если бы я продолжала ехать, как ехала, еще час, то налетела бы на стенку в конце улицы!
  • — Ваш спидометр показывал 90 километров в час.
  • — Мой спидометр сломан и давно не работает.

Как видите, полицейский не смог объяснить, что такое скорость 90 км/ч. А вы смогли бы?

Попробуйте объяснить, что такое скорость равномерного движения и как ее можно измерить.

Разберемся в том, что же такое скорость произвольного движения. Пусть точка движется по прямой. Мы считаем, что нам задан закон, по которому можно вычислить путь s как функцию времени t.

Например, если точка движется под действием силы тяжести

с нулевой начальной скоростью, то Производная (Мы считаем, что g — ускорение силы тяжести — постоянно.) Возможны и другие законы движения. Так, ракета, стартовавшая с поверхности Земли вертикально вверх с начальной скоростью, позволяющей полностью преодолеть земное притяжение (так называемой второй космической скоростью), удаляется от центра Земли по закону Производная где A и С — некоторые константы.

Рассмотрим отрезок времени [t1; t2]. Определим среднюю скорость точки на отрезке [t1; t2] как отношение пройденного пути к продолжительности движения:

Производная

Для определения скорости точки в момент времени t (ее в механике часто называют мгновенной скоростью) поступим так: возьмем отрезок времени [t; t1] вычислим среднюю скорость на этом отрезке и начнем уменьшать отрезок [t; t1] , приближая t1 к t. Мы заметим, что значение средней скорости при приближении t1 к t будет приближаться к некоторому числу, которое и считается значением скорости в момент времени t.

В качестве примера рассмотрим свободное падение тела. Считаем известным, что зависимость пути от времени задается функцией Производная Зафиксируем произвольный момент времени [t; t1] и вычислим среднюю скорость на отрезке:ill-it

Производная

Если теперь будем стягивать отрезок [t; t1] к точке t, т. е. будем брать значения t1 все ближе и ближе к t, то сумма t1+t будет приближаться к t + t=2t, а выражение Производная будет приближаться к Производная Последнее число и является значением мгновенной скорости в точке t. Мы получим хорошо известную формулу скорости v = gt. Процедура, подобная переходу от средней скорости на отрезке [t; t1] к мгновенной скорости в точке t при стягивании отрезка в точку t, носит название предельного перехода.

Производная

Лейбниц Готфрид Вильгельм

(1646—1716) — немецкий математик, физик, философ, создатель Берлинской академии наук. Основоположник дифференциального и интегрального исчисления, пел большую часть современной символики математического анализа. В работах Лейбница впервые появились идеи теории алгоритмов.

«Предупреждаю, чтобы остерегались отбрасывать dx,— ошибка, которую часто допускают и которая препятствует продвижению вперед».

Г. В. Лейбниц

Обычно говорят, что при стремлении t1 к t выражение Производнаястремится к gt, и записывают это следующим образом:

Производная

Используя слово «предел», можно сказать, что мгновенная скорость в точке t — это предел средней скорости при стягивании отрезка, на котором она измеряется, в точку t или в символической записи

Производная

Геометрический смысл производной

Честь открытия основных законов математического анализа наравне с Ньютоном принадлежит немецкому математику Г. Лейбницу. К этим законам Лейбниц пришел, решая задачу проведения касательной к произвольной кривой.

Производная

Чтобы составить наглядное представление о том, как провести касательную, нужно вообразить себе, что к кривой, изготовленной из жесткого материала (например, из проволоки), вы приставляете
линейку так, чтобы она коснулась этой кривой в выбранной точке (рис. 40, а).

Если вы вырезаете из бумаги криволинейную фигуру, то ножницы направлены по касательной к ее границе.

Постараемся перевести наглядное представление о касательной на более точный язык. Будем считать, что кривая — это ломаная с очень большим числом маленьких звеньев. Именно такая точка зрения была у создателей дифференциального исчисления. В первом учебнике по анализу, написанном 300 лет назад последователем Лейбница маркизом Лопиталем, дано следующее определение касательной: «Если продолжить одно из маленьких I звеньев ломаной, составляющей кривую линию, то эта продолженная таким образом сторона будет называться касательной к кривой» (рис. 40, б).

Хорошее представление о касательной дает следующее описание. Посмотрим в микроскоп на маленький участок кривой. На рисунке 41 в разных масштабах изображены участки одной и той же параболы вблизи точки М. На первом графике ясно видно, что парабола искривлена, на втором это искривление уже менее заметно, а на третьем участок кривой почти неотличим от отрезка прямой линии, которая и является касательной к параболе в точке М.

Более точно объяснить, что такое касательная, так же непросто, как и дать точное определение скорости. Для этого понадобится предельный переход, аналогичный тому, который мы совершили при вычислении скорости.

Пусть дана некоторая кривая и точка Р на ней (рис. 42). Возьмем на этой кривой другую точку Р1 и проведем прямую через точки Р и Р1. Эту прямую обычно называют секущей. Станем приближать точку Р1 к Р. Положение секущей РР1 будет меняться, но с приближением Р1 к Р начнет стабилизироваться. Предельное положение секущей РР\ при стремлении точки Р1 к точке Р и будет касательной к кривой в точке Р.

Как перевести описанное построение на язык формул? Пусть кривая является графиком функции y = f(x), а точка Р, лежащая на графике, задана своими координатами (х; у). Касательная является некоторой прямой, проходящей через точку Р. Чтобы построить эту прямую, достаточно найти ее угловой коэффициент. Обозначим угловой коэффициент касательной k. Сначала найдем угловой коэффициент k1 секущей РР1. Пусть абсцисса точки Р1 равна Х1. Из рисунка 43 ясно, что Производная
Для нахождения k надо устремить x1 к х. Тогда точка Р1 начнет приближаться к точке Р, а секущая РР1 — к касательной в точке Р. Таким образом, угловой коэффициент касательной можно найти как предел выражения Производная при стремлении х1 к х, или в символической записи:

Производная
Производная

Мы пришли к той же задаче, которая встретилась при нахождении скорости: осуществить предельный переход в выражении

вида Производная при стремлении х1 к х. Этот предельный переход носит название дифференцирования функции f.

Дифференцирование, или нахождение производной,— это новая математическая операция, имеющая тот же смысл, что в механике нахождение скорости, а в геометрии вычисление углового коэффициента касательной.

Для нахождения значения производной в данной точке надо рассмотреть маленький участок изменения аргумента вблизи этой точки. Производная будет приближенно равна средней скорости на этом участке (на языке механики) или угловому коэффициенту секущей (на языке геометрии). Для точного вычисления производной надо совершить предельный переход — стянуть отрезок изменения аргумента в точку. Тогда средняя скорость превратится в мгновенную, а секущая — в касательную, и мы вычислим производную.

Определение производной

Математический анализ, созданный Ньютоном и Лейбницем, долго развивался на основе интуитивного понятия производной как «скорости изменения функции». Современное определение производной появилось лишь в XIX в. после того, как были уточнены основные понятия математического анализа: вещественное число, функция, предел. С их помощью можно дать следующее определение:

Производной функции y=f (х) называется предел отношения Производная при стремлении x1 к х.

Исторически сложилась символика для обозначения участвующих в этом определении выражений. Разность значений аргумента обозначают ∆ х (дельта икс) и называют приращением аргумента, а разность значений функций обозначают ∆ у и называют приращением функции. Иначе говоря, х1— x = ∆ x, а f (x + ∆ x) — f (х) = ∆ у. Средняя скорость изменения функции записывается как Производная.

Стягивание отрезка в точку означает стремление ∆ х к нулю. Производную функции y = f(x) обозначают с помощью штриха: у’ или f’ . Получается новый вариант определения производной:

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Символически определение производной можно записать так:

Производная
Производная

Ньютон Исаак

(1643—1727) — английский физик и математик. Создал современную механику (законы Ньютона) и открыл закон всемирного тяготения. В его главном сочинении «Математические начала натуральной философии» дан математический вывод основных фактов о движении небесных тел. Один из создателей дифферен- , циального и интегрального исчисления.

«Когда величина является максимальной или минимальной, в этот момент она не течет ни вперед, ни назад».

И. Ньютон

Как вычисляют производную? Первый шаг: вычисляют ∆ у — приращение функции на

отрезке [х; x+ ∆x] и составляют отношениеПроизводная.

Второй шаг: представляют себе, что ∆ х приближается к нулю, и переходят к пределу, т. е. находят, к какому значению приближается отношение Производная при ∆x → 0.

Предельные переходы

При определении скорости, при нахождении углового коэффициента касательной, при вычислении производной мы совершаем предельные переходы. Попробуем более точно описать их суть.

Мы имеем дело с переменными величинами. Пусть, например, переменная у является функцией переменной х. Нас интересует поведение у при приближении аргумента х к некоторому значению а. Отметим сразу, что это значение а может входить в область определения функции, а может и не входить. Так, исследуя функции

Производная

вблизи значения х=1, мы заметим, что его можно подставить в формулы для у1и y4 и нельзя — в формулы для y2 и уз. Предельный переход для функций у1 и у4 при приближении х к 1 (при x → 1) совершить просто — надо вычислить значения этих функций при х= 1:

Производная

Так обычно ведут себя функции, заданные известными нам формулами: предел функции при стремлении аргумента к а, входящему в область определения, равен значению функции в точке а, т. е.

Производная

если а входит в область определения функции f. Этот принцип, который отражает непрерывность элементарных функций во всех точках, где они определены, позволяет осуществить большое количество важных предельных переходов. Мы так и будем называть его: принцип непрерывности. Этот принцип удобно формулируется на языке приращений:

Производная

Предельные переходы для функций y2 и уз при x → 1 так просто осуществить нельзя: y2 и уз не определены при х=1. Предельный переход, который мы хотим осуществить, поясним на примере более простой функции Производная Ясно, что при всех х ≠ О значения этой

функции равны 1. При х = 0 эта функция не определена, но очевидно, что ее предельным значением при х → 0 надо считать у= 1. Это значение получается при сокращении числителя и знаменателя дроби Производная на х. Аналогичное сокращение можно произвести и для функций y2 и уз:

Производная

Полученные после сокращения выражения уже определены при х=1, и поэтому предельные значения можно получить, подставляя в них число 1 вместо х:

Производная

Приведенные примеры не исчерпывают всего разнообразия встречающихся случаев — в дальнейшем мы встретимся с более сложными предельными переходами.

Вычисление производной

Схема вычисления производной:

Вычисление производной функции y = f(x) производится по следующей схеме:

1) Находим приращение функции на отрезке [x; х+ ∆ х]:

Производная

2) Делим приращение функции на приращение аргумента:

Производная

3) Находим предел Производная устремляя ∆x к нулю.

Переход к пределу мы будем записывать либо с помощью знака lim, либо с помощью стрелки → .

Примеры:

Производная линейной функции.

а) у = С— постоянная функция.

Производная

Так как отношение Производнаяпостоянно и равно нулю, то производная у тоже равна нулю: у’ =0. Итак, производная постоянной равна нулю: С’ = 0.

б) y = ax+b— линейная функция.

Производная

Как и в первом примере, отношение Производная является постоянным.

Поэтому в качестве производной надо взять функцию, принимающую это постоянное значение а, т. е. у’ = а. Итак, производная линейной функции равна коэффициенту при переменной:

(ах + b)’ = а.

Производная функции у = ах2.

Производная

Производная функции у = х3.

Производная

Производная функции Производная

Производная

Во всех рассмотренных примерах находится производная рациональной функции. При этом дробь Производная всегда можно сократить на ∆ х. Переход к пределу сводится к тому, что можно положить (после сокращения) ∆ x = 0.

Рассмотрим более сложный пример.

Производная функцииПроизводная

Производная

Для того чтобы сократить на ∆х, умножим числитель и знаменатель на сумму радикалов:

Производная

При маленьких ∆х значение корняПроизводная близко кПроизводная Поэтому при переходе к пределу надо заменить в знаменателе Производная на Производная. Получим:

Производная

Производные, вычисленные в этих примерах, нужно запомнить:

Производная

Правила дифференцирования

Теорема:

Производные суммы и произведения вычисляются по следующим формулам:

Производная

Доказательство. Первый шаг в вычислении производной — это нахождение приращения функции. Обозначим аргумент функции буквой х, значение функции буквой у и вычислим ∆у, т. е. приращение функции у на отрезке [х; x + ∆x].

1) y = u+v — функция у есть сумма двух функций u и v. Значение функции у в любой точке является суммой значений функций и и v в этой точке:

y{x)=u(x)+v(x).

Вычисляем ∆у:

Производная

Первая скобка — это ∆ u, вторая — ∆ v. Запишем кратко результат вычисления:

Производная

т. е. приращение суммы функций равно сумме приращений слагаемых.

2) у = Сu — функция у представлена как произведение постоянной С на функцию u. Значение функции у в любой точке является произведением постоянной С на значение функции и в этой точке: у (х) = Cu (х).

Вычисляем ∆у:

Производная

т. е. при умножении функции на постоянное число приращение функции умножается на это число.

3) у = uv — функция у есть произведение функций u и v. Значение функции у в любой точке является произведением значений функций и и и в этой точке:

у (х) = u (х) v (х).

Вычисляем ∆у:

Производная

Для того чтобы выделить приращения сомножителей ∆ u и ∆ v, заменим u (х + ∆х) и v (х + ∆x) на равные им выражения u(x) + ∆x и v(x) + ∆v:

Производная

Окончательно

Производная

или

Производная

Объединим второй и третий шаги в вычислении производной, т. е. составим отношение Производнаяи перейдем к пределу при ∆x → 0.

1) y=u + v.

Производная

Пусть ∆x → 0. По определению производной Производная будет приближаться к u’, Производная— к v’, а их сумма будет приближаться к сумме u’ + v’, т. е.

y’ = u’ + v’.

2) у = Сu,

Производная

Пусть ∆x → 0. При этом Производнаябудет приближаться к u’, а тогда и Производнаябудет приближаться к Сu’, т. е.

у’ = Сu’.

3) y = uv,

Производная

Пусть ∆x → 0 . Тогда Производная

Перейдем к пределу в каждом слагаемом.

Производная

Третье слагаемое является произведением двух переменных множителей, ведущих себя по-разному при ∆x → 0 . Мы уже знаем, чтоПроизводная Если ∆x → 0 , то по принципу непрерывности ∆v → 0 . Следовательно, Производная, что и требовалось доказать.

Замечание:

Формула (Сu)’ = Сu’ является следствием формулы производной произведения: y = uv,v = C, y = u’v+uv’ = u’С+u0 = Сu’. Однако формула (Cu)’ = Cu’ настолько важна, что мы дали ее отдельный вывод.

Теорема:

Производная частного вычисляется по формуле

Производная

Доказательство. Формулу производной частного можно получить, следуя обычной схеме вычисления производной. Можно поступить проще. Обозначим функцию Производнаячерез h. Получим Производная=h, u = hv. Найдем производную функции и по правилу дифференцирования произведения:

U’=h’v + hv’.

Выразим из этой формулы h’, а вместо h подставим его значение ПроизводнаяПолучим:

Производная

Окончательно

Производная

Замечание. Производную функции Производная найденную ранее, можно заново получить, пользуясь формулой производной частного. Представим Производная как частное функций «=1 и v — x. Получим:

Производная

Производная степени

Производную любой степени с натуральным показателем можно получить, пользуясь правилом дифференцирования произведения. Например, для нахождения производной функции у = х4 представим х4 как х3 ⋅ х. Зная производные функций у=х3 и у=х, вычислим производную произведения:

Производная

Выпишем формулы:

Производная

Легко заметить общую закономерность:

Производная

Теперь найдем производную функции Производная:

Производная

Заметим следующее: если дробь Производная записать как у = хk, где k=—n (т. е. как степень с отрицательным показателем), то ПроизводнаяЕсли заменим ( — n) на к, то получим Производная т. е. формула дифференцирования степени, полученная нами для натуральных показателей, остается верной и для целых отрицательных показателей:

Производная

где k — любое целое число, кроме нуля.

Выведенная формула остается верной и для дробных показателей. Возьмем известный уже нам случай Производная.

Это функция Производная. По формуле получится:

Производная

Линейная замена аргумента

Как меняется производная функции y = f (х), если вместо аргумента х подставить новую функцию? Ответ на этот вопрос мы дадим в заключительной беседе, а сейчас разберем важный частный случай линейной замены аргумента.

Теорема:

Производная функции y=f(kx+b) вычисляется по формуле

(f(kx + b))’=kf'(kx+b).

Словами теорему можно сформулировать так: при линейной замене аргумента производная умножается на коэффициент при аргументе.

Доказательство:

Вычислим производную функции y = f (kx + b), следуя общей схеме вычисления производной. Предварительно введем обозначения. Функцию y = f (kx + b) как функцию от х обозначим через g, т. е. g (х) = f (kx + b). Выражение kx+b обозначим через z, т. е. z = kx + b, откуда g(x) = f(z).

Найдем зависимость между ∆ х и ∆ z:

∆ z = k(x + ∆ x) + b—(kx + b)=k ∆ x,

т. е. ∆ z = k ∆ x.

Вычислим Производная

Производная

Перейдем к пределу. Пусть ∆ х → 0. Тогда по принципу непрерывности ∆ z → 0.

Производная

Итак, Производная, что и требовалось доказать.

Физический смысл выведенной формулы очень простой. Переход от функции y = f(x) к функции y = f(kx+b) означает изменение начала отсчета и масштаба переменной х. Изменение начала отсчета не может повлиять на вычисление скорости: показания спидометра не зависят от начального показания счетчика километража. Изменение масштаба измерения аргумента (времени) в k раз повлечет за собой такое же изменение величины скорости. Так, скорость, измеренная в километрах в час в 60 раз больше скорости, измеренной в километрах в минуту.

Примеры:

Производная

При дифференцировании функций вида у =(kх)n выведенной формулой пользоваться нерационально. Лучше вынести константу за знак производной:

Производная

Пример:

у = {Зх)3. Сделав преобразование (3х)3 = 33х3 = 27х3, вычисляем производную у’=27 • Зх2 = 81×2.

Исследование функции с помощью производной

Связь свойств функции и ее производной:

В первой главе мы научились читать график, т. е. находить свойства функции по ее графику. Сейчас перед нами стоит обратная задача — научиться строить график функции, зная необходимые для этого ее свойства.

Два важнейших свойства функции, необходимые для построения ее графика,— промежутки монотонности и точки экстремума — определяются с помощью производной.

Связь между свойствами функции и свойствами ее производной мы установим с помощью механического истолкования производной как скорости движения материальной точки.

Пусть материальная точка движется по координатной прямой. Положение точки определяется значением одной переменной — ее координатой. Эта переменная зависит от другой переменной — времени. В механике мы обычно обозначаем время буквой t, координату точки, движущейся по прямой, буквой х. Движение точки по прямой определяется заданием х как функции времени t. Разумеется, обозначения для переменных можно выбирать по-раз-ному. Если мы хотим произвольную функцию y = f (х) рассматривать как закон движения материальной точки, то независимую переменную, аргумент х, мы должны считать временем, а зависимую переменную у считать координатой движущейся точки.

Итак, пусть дана функция y=f(x). Рассмотрим ее как закон прямолинейного движения некоторой материальной точки Р. Это означает, что точка Р движется по оси, причем ее положение зависит от времени, которое обозначено через х. Для более отчетливого механического истолкования функции и ее свойств, составим таблицу, с помощью которой легко найдем связь между поведением функции и ее производной.

Производная
Производная

Теорема:

Признак постоянства функции. Если на некотором промежутке производная тождественно равна нулю, то функция на этом промежутке постоянна.

Доказательство:

Будем понимать заданную функцию у=f (х) как закон движения материальной точки Р (строка 3 таблицы) по оси у. Если производная обратилась в нуль, то точка Р остановилась (строка 9 таблицы). Если производная все время равна нулю, то точка Р все время стоит на месте, а тогда функция у является постоянной (строка 4), что и требовалось доказать.

Заметим, что верна и обратная теорема: если функция постоянна, то ее производная равна нулю. Производную постоянной функции мы вычислили ранее, это же следует и из строк 4 и 9. Таким образом,

Производная

Теорема:

Признак монотонности функции. Промежутки монотонности функции совпадают с промежутками постоянного знака ее производной.

Доказательство:

Будем понимать заданную функцию y=f(x) как закон движения материальной точки Р по оси у в зависимости от времени х (строка 3). Пусть на некотором промежутке функция f возрастает. На языке механики это означает, что материальная точка Р движется по оси у в положительном направлении (строка 6). Так как знак скорости совпадает с направлением движения (строка 10), то скорость точки, т. е. производная функции f, положительна.

Обратно: если производная, т. е. скорость точки, положительна, то точка движется по оси у в положительном направлении (строка 10), следовательно, функция возрастает (строка 6).

Аналогично рассматривается случай убывания функции.

Замечание:

Если точка движется в одном направлении, то ее скорость сохраняет постоянный знак, однако в отдельные моменты времени точка может остановиться (ее скорость обратится в нуль), а затем продолжать двигаться в том же направлении. Функция, описывающая такое движение точки, будет монотонной. Значит, если Производная Верно и обратное. Однако если f (х) обращается в нуль не в отдельных точках, а на целом промежутке, то на этом промежутке функция будет постоянной. Если включить промежутки постоянства функции в промежутки ее монотонности (как иногда говорят, не требовать строгой монотонности функции), то можно коротко результат исследования записать так:

Производная

Теорема:

Необходимое условие экстремума функции. В точке экстремума производная обращается в нуль.

Доказательство:

Рассмотрим заданную функцию y = f(х) как закон движения материальной точки Р (строка 3). Пусть при х=х0 функция у имеет экстремум. Тогда в момент времени x=x0 точка Р занимает на оси у самое высокое (или самое низкое) положение (строка 8). В этот момент времени точка останавливается, т. е. ее скорость обращается в нуль, а значит, f {хо)=0 (строка 9), что требовалось доказать.

Обратное утверждение неверно. Нельзя утверждать, что если в некоторой точке производная обратилась в нуль, то в этой точке у функции экстремум. Кроме обращения производной в нуль, мы наложим на функцию еще дополнительное условие.

Теорема:

Достаточное условие экстремума функции. Если в некоторой точке производная обращается в нуль и, кроме того, производная, проходя через нее, меняет свой знак, то в этой точке функция достигает экстремума.

Доказательство:

Рассмотрим заданную функцию y=f (х) как закон движения материальной точки Р по оси у в зависимости от времени х (строка 3). Пусть f'(x0) = 0. Если перед точкой хо имеем f (х)>0, то до момента остановки скорость точки Р была положительна (строка 10) и точка Р двигалась по оси у вверх. Так как по условию производная, проходя через точку х0, меняет свой знак, то после x0 имеем f (х)<0, т. е. после момента остановки скорость точки Р становится отрицательной (строка 11) и точка Р движется вниз. Тогда в момент времени хо точка Р достигает самого высокого положения на оси у и функция f принимает максимальное значение (строка 8). Теорема доказана.

Вернемся еще раз к различию между необходимыми и достаточными условиями экстремума функции. Пусть производная функции обратилась в нуль в некоторой точке х0 (необходимое условие). С механической точки зрения это означает, что материальная точка Р, закон прямолинейного движения которой задается исходной функцией, в момент времени хо остановилась. Ясно, что после мгновенной остановки точка Р могла начать двигаться в обратном направлении, а могла продолжать двигаться в том же направлении, что и раньше. В первом случае скорость точки Р поменяла свой знак, а во втором нет. Соответственно в первом случае положение точки Р на числовой оси достигло экстремального значения, а во втором нет.

Мы выделили необходимое условие экстремума (обращение производной в нуль) потому, что оно легко проверяется. Точки экстремума надо искать прежде всего среди корней производной. Этих корней, как правило, мало (или вообще нет), поэтому выгодно сначала ограничить число точек, «подозрительных на экстремум», а потом уже проверять для них выполнение дополнительных, достаточных условий. Следует, кроме того, сказать, что необходимое условие экстремума легко обобщается на более широкий класс функций, чем тот, который мы изучаем в школе, в то время как достаточные условия обобщаются не так просто.

Поведение функции f вблизи точки Хо, в которой производная обратилась в нуль, представлено в таблице и на схеме VII.

Производная


Простейшими примерами, для которых реализуются случаи, изображенные на схеме VII, являются функции у= ±х2 и у= ±x3 (точка x = 0).

Особые точки

Все доказанные нами теоремы о связи свойств функции и ее производной опирались на предположение о том, что рассматриваемая функция дифференцируема, т. е. имеет производную в каждой точке области определения. На механическом языке это означает, что материальная точка Р движется плавно, без ударов и рывков, что позволяет в каждый момент вычислить ее скорость.

Однако, как мы уже знаем, функция может иметь разнообразные особые точки. В механической интерпретации они будут соответствовать моментам времени, когда нарушается плавность движения.

Производная

Нетрудно привести пример неплавного, скачкообразного движения. Простейшим из них является движение мяча, падающего на пол и упруго отскакивающего от него. На рисунке 44, а изображен закон движения мяча — график зависимости высоты h положения мяча над столом от времени t. При отскоках от пола (при h = 0) направление движения мяча меняется (и функция достигает минимума), однако в эти моменты скорость мяча не равна нулю, касательной к графику h провести нельзя.

Производная

На рисунке 44, б изображен график скорости мяча. В моменты отскока скорость мяча однозначно найти нельзя — график скорости в эти моменты имеет разрывы. Точки, в которых производная не существует, являются особыми точками функции. Приведем типичные примеры функций, имеющих подобные особые точки.

1) у=\х\ (рис. 45). В точке x = 0 функция непрерывна, однако производная в нуле не существует (при х<0 имеем у= — х, у’ = — 1; при х>0 имеем у = х, у’ = + 1). На графике в этой точке излом.

Аналогично при построении графиков функций типа y=\f(x)\ будут появляться изломы в точках, где f (х) = 0.

Производная

2) Производная Так как Производная то при х = 0 производная не существует (обращается в ∞ ), касательная становится вертикальной (рис. 46). х = 0 является особой точкой.

К числу особых точек относят также точки разрыва самой функции.

Наличие особых точек затрудняет исследование функции. Так, производная функции Производная везде отрицательна Производная

однако к функции Производная нельзя применить признак монотонности

и сказать, что она везде убывает. Особая точка x = 0 «разрывает» область определения на два промежутка, на каждом из которых можно применять указанный признак, а на всей области определения его применять нельзя.

Аналогично производная функции у=|х| там, где она определена, нигде не обращается в нуль, однако к функции нельзя применить необходимое условие экстремума и сказать, что она не имеет экстремумов. Особая точка x = 0 является точкой минимума этой функции.

Решение задач на производную

Рассмотрим решение задач на применение производной к исследованию функций. Основную роль в этом исследовании будут играть корни производной — они нужны для нахождения промежутков монотонности и точек экстремума. В то же время мы заметили выше, что нужно также обратить внимание на особые точки функции, так как они могут существенно повлиять на описание ее свойств. Для удобства мы введем вспомогательное понятие «критическая точка», чтобы объединить с его помощью все нужные нам точки — корни производной и особые точки.

Назовем критическими точками функции корни ее производной, точки, где производная не существует, а также точки, где нарушается непрерывность функции.

Приведем алгоритм нахождения критических точек функции:

1) Найти точки разрыва функции у.

2) Найти производную у’.

3) Решить уравнение у’= 0.

4) Найти точки, в которых у’ не существует.

Этот алгоритм можно уточнить и упростить для наиболее часто встречающихся классов функций. Рассмотрим примеры.

  1. у = х3 — Зх.

Эта функция является многочленом. Ее производная также будет многочленом. Многочлен определен при всех значениях аргумента. Поэтому алгоритм нахождения критических точек многочлена сводится к двум пунктам.

1) Вычисляем производную: у’ = 3х2 — 3.

2) Решаем уравнение у’ = 0. Получим Зх2 —3 = 0, х2=1, х=±1.

Ответ: критические точки x1 = — 1, x2 = 1

2. Производная

Эта функция является рациональной, т. е. отношением двух многочленов. Ее производная также будет рациональной функцией, причем знаменатель производной — это квадрат знаменателя исходной дроби. Поэтому точки, в которых знаменатель обращается в нуль (в них функция не определена, имеет разрыв), одни и те же — у функции и ее производной. Алгоритм выглядит следующим образом:

1) Находим корни знаменателя:

х— 1 =0 ⇔ 0- х1= 1.

2) Вычисляем производную:

Производная

3) Решаем уравнение у’=0. Получим х2 — 2х — 3 = 0, х2= — 1, x3=3

Ответ: критические точки х1 = 1, x2 = — 1, x3 = 3.

Теперь мы можем приступить к решению задач на нахождение промежутков монотонности и точек экстремума (эти две задачи тесно связаны между собой). Приведем соответствующий алгоритм:

1) Найти критические точки функции y = f(x) и нанести их на числовую ось, выделив точки разрыва функции у.

2) Найти знак производной на каждом из получившихся промежутков.

3) Определить по знаку производной характер монотонности у на каждом промежутке.

4) Выяснить наличие экстремума в каждой критической точке, отличной от точек разрыва функции у.

Производная


Вернемся к приведенным ранее примерам.

  1. у = х3 — Зх.

Наносим на числовую ось критические точки x1 = — 1, х2=1. Методом интервалов определяем знак у’ на каждом промежутке. Указываем характер монотонности у. Определяем наличие экстремума (рис. 47).

Ответ: у возрастает на промежутках (— ∞ ; — 1] и [1; + ∞ )и убывает на промежутке [—1; 1], при х1 = — 1 функция имеет максимум, при x2 = 1 — минимум.

2. Производная

Наносим на числовую ось критические точки —1, 1,3, выделив корень знаменателя x1 = 1. Методом интервалов определяем знаки производной. Указываем характер монотонности и наличие точек экстремума (рис. 48).

Приведем пример символической записи ответа.

Ответ:

Производная

Часто требуется найти не только точки экстремума, т. е. значения аргумента, при которых функция достигает максимума или минимума, но и сами экстремальные значения, т. е. значения функции в точках экстремума. В последнем примере

Производная

Построение графика функции

1) При построении графика функции прежде всего нужно уточнить и записать ее область определения. Если не сделано специальных оговорок, то считается, что функция задана в своей «естественной области определения». Для многочленов это вся числовая ось R, для рациональных функций это вся числовая ось за исключением тех точек, в которых знаменатель обращается в нуль.

Найдя область определения, надо отметить ее на оси абсцисс. Если эта область — вся числовая ось, то никаких отметок можно не делать. Если эта область — промежуток числовой оси, то полезно провести вертикальные прямые через его концы. Эти прямые ограничат полосу, в которой будет лежать график функции. Если отдельные точки не входят в область определения функции (например, корни знаменателя), надо отметить их на оси абсцисс и провести через них вертикальные прямые.

2) Для отыскания корней функции приравниваем ее к нулю, решаем уравнение и наносим корни на ось абсцисс. Это первые найденные нами точки будущего графика функции.

3) Находим промежутки монотонности и точки экстремума, следуя алгоритму, описанному в предыдущем пункте.

4) Вычисляем значения функции в точках экстремума, а также в других критических точках, где функция определена. Строим эти точки на плоскости. При этом полезно сразу обозначить поведение функции вблизи этих точек, используя стандартное изображение точек экстремума, перегиба, излома (рис. 49).

5) Граничные точки. Если область определения состоит из одного или нескольких промежутков, надо исследовать поведение функции вблизи границ этих промежутков. При этом может представиться несколько различных случаев:

а) В точке х0 функция «обращается в бесконечность». Типичный случай — корень знаменателя рациональной функции. Через точку х0 у нас уже проведена вертикальная прямая. Около точки x0 график функции будет уходить вверх или вниз, приближаясь к этой прямой. Для того чтобы узнать, вверх или вниз уходит график, надо определить знак функции слева и справа от точки x0. Характерные случаи изображены на рисунке 50.

Производная

б) Граничная точка х0 входит в область определения функции (типичный пример — точки х = ± 1 для функции Производная

Надо вычислить значение функции в точке x0 и построить полученную точку.

в) В область определения функции входит бесконечный промежуток (вся числовая ось или промежуток вида (— ∞ ; а], [а; +∞ )). В этом случае полезно представить себе поведение функции при больших по модулю значениях аргумента или, как говорят, «на бесконечности», т. е. при х → — ∞ или х → + ∞ . На рисунке 51 изображены типичные случаи.

Найденной информации достаточно для того, чтобы, соединив плавной кривой построенные точки, получить эскиз графика.

Пример:

Построить график функции у = х3 — Зх.

Решение:

Область определения — вся числовая ось R. Находим корни функции: х3 — 3x = 0, х (x2 — 3) = 0, x1=0, Производная Наносим корни на ось абсцисс. Находим и исследуем критические точки (эта задача решена нами в предыдущем пункте): в точке х= — 1 максимум, у (— 1) = 2; в точке х= 1 минимум, у (1)= —2. На бесконечности функция у ведет себя как кубическая функция у = х3. Строим график (рис. 52).

х’2 I о

Пример:

Построить график функции Производная

Решение:

Область определения — вся числовая ось, кроме точки х=1. (Можно записать так: х ≠ 1.) Строим прямую x=1. Находим корни функции: у = 0, х2 + 3 = 0 — корней нет. Критические точки (воспользуемся результатом вычислений предыдущего пункта): х= — 1 —точка максимума; х = 3 — точка минимума. Вычислив значения функции в этих точках, строим точки (3; 6) и (— 1; —2). Находим знаки у слева и справа от точки х= 1. Так как Производная числитель дроби положителен при всех х, то ее знак определяется знаком знаменателя: при х<1 функция отрицательна, при х>1 положительна. Рисуем «хвосты» около прямой

Производная
Производная

х=1. «На бесконечности» дробь Производнаяведет себя примерно так же, как дробьПроизводная, т. е. как линейная функция. Строим график

(рис. 53). Полезно дополнительно построить точку пересечения графика с осью у.

х=0, у (0)= —3.

Приложения производной

Самое главное приложениепроизводной состоит в том, что производные позволяют понять, каковы максимальные и минимальные значений исследуемой функции на каком-либо участке (конечном или бесконечном). Однако есть и другие приложенияпроизводнойпроизводные позволяют сравнивать степень роста (или убывания) двух или нескольких функций, определять направления их выпуклости, вычислять кривизну и так далее.

Скорость и ускорение

Понятие производной возникло как математическое описание скорости движения. Поэтому важнейшим приложением производной является вычисление скорости. Скорость произвольно движущейся точки является векторной величиной, так как она определяется с помощью вектора — перемещения точки за промежуток времени. Рассмотрим сначала простейший случай — движение точки по прямой. При прямолинейном движении точки ее положение, перемещение, скорость, ускорение и другие характеристики, которые, вообще говоря, имеют векторный смысл, можно задать одним числом, т. е. считать скалярными величинами.

Составим таблицу перевода понятий механики на язык математики, применяя более привычные для физики обозначения.

Производная
Производная

Обратим внимание на обозначения. В физике производная по времени обычно обозначается не штрихом, а точкой. Более распространена запись v = x (читается: «Икс с точкой»).

Ускорение произвольного движения определяется как скорость изменения скорости, т. е. как производная скорости по времени: a = v’ = v. Так как скорость есть производная координаты, а ускорение есть производная скорости, то ускорение называют второй производной координаты и обозначают так: а = х»=’х.

Через координату точки х=х (t) и ее производные можно выразить другие механические величины:

Производная

Скорость криволинейного движения

Пусть точка А движется по криволинейной траектории. Обозначим координаты точки А в момент времени t через x(t) и у (t). Эти координаты зависят от времени t и являются тем самым функциями от t. Рассмотрим мгновенную скорость движущейся точки А в момент времени t. Вектор мгновенной скорости v направлен по касательной к траектории в точке А (рис. 54).

Производная

Координаты вектора v тоже зависят от времени t и меняются, вообще говоря, при переходе от одной точки траектории к другой. Покажем, что координаты вектора скорости v точки А равны х’ (t) и у’ (t), где х’ и у’ — производные функций х и у в точке t.

За время ∆ t точка А переместится в точку В с координатами

x{t+ ∆t) и y(t + ∆t). Рассмотрим вектор перемещения Производная. Вектор

Производная является разностью векторов Производная и Производная и его координаты поэтому будут разностями координат этих векторов. Следовательно,

координаты вектора Производная равны x(t+ ∆t) — x(t) и y(t+ ∆t) — у (t).

Напомним, что средней скоростью называется отношение перемещения ко времени. Таким образом, вектор средней скорости равен Производная, и поэтому его координаты равны

Производная

Вектор средней скорости при уменьшении ∆t приближается к вектору мгновенной скорости в момент времени t. (Это значит, что векторная разность между мгновенной скоростью и средней скоростью может быть сделана сколь угодно малой за счет выбора ∆t.)

По определению производной при уменьшении ∆t величина Производная приближается к х'(t), а Производная приближается
к у’ (t). Таким образом, координаты вектора мгновенной скорости в момент времени t равны х’ (t) и у’ (t).

Пример:

Рассмотрим движение снаряда, выпущенного под углом а к горизонту с начальной скоростью v0. Снаряд, если пренебречь сопротивлением воздуха, будет двигаться по параболе. Вектор скорости v направлен по касательной к параболе. Можно вычислить координаты скорости, зная координаты снаряда:

Производная


Мы знаем, что вектор скорости v имеет координаты (х’ (t); у’ (t)). Вычисляем производные:

Производная

Эти же равенства можно получить из известной векторной формулы

Производная

При движении точки по окружности радиуса R с постоянной угловой скоростью ω величина скорости v = ωR остается постоянной, однако направление ее меняется. Зная, что вектор v направлен по касательной, мы сможем выразить координаты v, а тем самым подсчитать производную синуса и косинуса.

Дифференциал

Основой разнообразных физических приложений производной является понятие дифференциала. Дифференциалом функции называют произведение ее производной на приращение аргумента.

Пусть нам задана функция y = f{x). Ее дифференциал обозначают через dy (или можно писать df). По определению

Производная

Рассмотрим функцию у=х. Так как производная этой функции постоянна и равна единице, то дифференциал этой функции равен ∆x т. е. для независимой переменной верно равенство dx = ∆х. Поэтому дифференциал функции записывают обычно в виде

Производная

из этой записи происходит одно из обозначений производной:

Производная

которое можно понимать как отношение дифференциалов.

Какими свойствами обладает введенное нами понятие дифференциала функции?

1) Дифференциал функции — это главная часть ее приращения.

Сравним приращение функции ∆у и ее дифференциал dy. На рисунке 55 видно, что, чем меньше ∆х, тем ближе ∆у к dy. Действительно, разность ∆y — dy преобразуется так:

Производная

По определению производной при стремлении ∆х к нулю разность Производная тоже стремится к нулю. При умножении на ∆х мы получим выражение, еще быстрее приближающееся к нулю. Таким образом, приращение функции отличается от ее дифференциала на такую функцию, которая стремится к нулю еще быстрее, чем ∆x. Поэтому и говорят, что дифференциал есть главная часть приращения функции.

Производная

2) Дифференциал функции — это линейная функция приращения аргумента.

Если мы зафиксируем точку ∆ (х0; у0) на графике функции y=f (х) и обозначим f (х0) через k, то на равенство dy = kdx можно смотреть как на линейную зависимость между dy и dx. Если через точку А мы проведем новые оси координат (их можно обозначить через dx и dy), то график этой зависимости будет касательной к графику функции f в точке А (хо; уо) (рис. 56).

Производная

Можно сказать, что дифференциал функции f — это линейная функция, графиком которой является касательная к графику /. Геометрически на соотношение dy=f'(x0)dx можно смотреть как на уравнение касательной к графику функции f, записанное в системе координат (dx; dy). Эта система координат получается из исходной параллельным переносом начала координат в точку А (х0; у0)- Это позволяет получить уравнение касательной в исходных координатах в следующем виде:



y — y0=f’ (х0) (х0).

Вывод уравнения касательной легко запомнить следующим образом. Прежде всего касательная проходит через заданную точку (хо; уо) на графике функции y = f(x). Поэтому ее уравнение можно записать в виде y — yo = k(x—xo). Угловой коэффициент k равен значению производной в заданной точке: k = f'(x0).

Дифференциал в физике:

Для вычисления дифференциала в физике достаточно знать, что дифференциал — это главная часть приращения функции, линейно зависящая от приращения аргумента. В примерах мы из физических соображений будем получать равенства вида dy = kdx и делать вывод о том, что k — это производная у по х.

1) Работа. Рассмотрим работу, которую совершает заданная сила F при перемещении по отрезку оси х. Если сила F постоянна, то работа А равна произведению F на длину пути. Если сила меняется, то ее можно рассматривать как функцию от х, т. е. F = F (х). Приращение работы ∆А на отрезке [x; х + dx] нельзя точно вычислить как произведение F {х) dx; так как сила меняется на этом отрезке. Однако при маленьких dx можно считать, что сила меняется незначительно и произведение представляет собой главную часть ∆A, т. е. является дифференциалом работы: dA=F (х) dx. Таким образом, силу можно считать производной работы по перемещению.

2) Заряд. Пусть q — заряд, переносимый электрическим током через поперечное сечение проводника за время t. Если сила тока I постоянна, то за время dt ток перенесет заряд, равный Idt.

При силе тока, изменяющейся со временем по некоторому закону I = I (t), произведение I(t) dt дает главную часть приращения заряда на маленьком отрезке времени [t; t + ∆ t], т. е. является дифференциалом заряда: dq = I (t) dt. Тем самым сила тока является производной заряда по времени.

3) Масса тонкого стержня. Пусть есть неоднородный тонкий стержень. Если ввести координаты так, как показано на рисунке 57, то можно рассмотреть функцию m = m (l) — массу куска стержня от точки О до точки l. Неоднородность стержня означает, что его линейная плотность не является постоянной, а зависит от положения точки / по некоторому закону р = р (l). Если на маленьком отрезке стержня [l; l + dl] мы будем считать плотность постоянной и равной р (l), то произведение р (l) dt дает нам дифференциал массы — dm. Это значит, что линейная плотность — это производная массы по длине.

4) Теплота. Рассмотрим процесс нагревания какого-нибудь вещества и будем вычислять количество теплоты Q (T), которое необходимо, чтобы нагреть 1 кг этого вещества от 0° до Т° (по Цельсию). Зависимость Q = Q(T) очень сложна и определяется из опыта. Если бы удельная теплоемкость с данного вещества не зависела от температуры, то произведение cdT дало бы нам изменение количества теплоты. Считая на малом отрезке [T; T+dT] удельную теплоемкость постоянной, мы получим дифференциал теплоты dQ как c(T)dT. Поэтому теплоемкость — это производная теплоты по температуре.

5) Работа как функция времени. Нам известна характеристика работы, определяющая ее скорость по времени,— это мощность. При работе с постоянной мощностью N работа за время dt равна Ndt. Это выражение представляет собой дифференциал работы, т. е. dA=N{t)dt и мощность выступает как производная работы по времени.

Все приведенные нами примеры были построены по одному и тому же образцу. В каждом примере шла речь о связи между тремя величинами, уже знакомыми нам из курса физики: работа, перемещение, сила; заряд, время, сила тока; масса, длина, линейная плотность и т. д. Во всех примерах одна из этих величин выступала как коэффициент пропорциональности между дифференциалами двух других, т. е. каждый раз появлялось соотношение вида dy = k(x)dx.

Производная

На такое соотношение можно смотреть как на способ определения величины k (х) — тогда k (х) находится (или определяется) как производная у по х. Этот вывод мы и зафиксировали в каждом примере. Возможна и обратная постановка вопроса: как найти зависимость у от х из заданного соотношения между их дифференциалами? Эту задачу мы рассмотрим в главе, посвященной интегрированию.

Задачи на максимум и минимум

Большую часть своих усилий человек тратит на поиск наилучшего, или, как часто говорят, оптимального, решения поставленной задачи. Как, располагая определенными ресурсами, добиться наиболее высокого жизненного уровня, наивысшей производительности труда, наименьших потерь, максимальной прибыли, минимальной затраты времени — так ставятся вопросы, над которыми приходится думать каждому члену общества. Не все такие задачи поддаются точному математическому описанию, не для всех из них найдены короткие пути решения. Однако часть таких задач поддается исследованию с помощью методов математического анализа — это задачи, которые можно свести к нахождению наибольшего или наименьшего значения функции.

Производная

Наиболее важной для приложений ситуацией является следующая: функция f задана на отрезке [a; b] и имеет производную во всех точках этого отрезка. Тогда для нахождения наибольшего и наименьшего значений этой функции надо поступить так: найти критические точки (в данном случае корни производной), вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка, из найденных значений найти наибольшее и наименьшее.

Производная

Функция, график которой изображен на рисунке 58, задана на отрезке [а; Ь] и принимает наименьшее значение в точке с (одной из точек локального минимума), а наибольшее значение в точке b (крайней точке области определения). Встречаются и другие случаи, которые можно представить себе по рисунку 59. Предлагаем вам самостоятельно подумать над тем, что происходит с наибольшим и наименьшим значениями этих функций.

Примеры:

1.Найти наибольшее и наименьшее значения функции у= 1 -2x-x2, заданной на [ — 2; 2].

Находим производную: у’= — 2 —2х, ее корни (y’ = 0 при х= — 1). Вычисляем значения у в точках —2, —1, 2:

Производная


Получаем Производная. При этом наибольшее значение функция принимает в точке локального максимума, а наименьшее — на правом конце отрезка.

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

Производная

Для решения этой задачи не надо знать никаких свойств функции y = sinx, которую мы будем изучать позже, кроме того, что Производная. Сделаем замену z = sin х и рассмотрим функцию у = z2 + 4z + 2. Ее область определения — отрезок [—1; 1], совпадающий с множеством значений функции z = sinx. Находим производную у как функции от z:

Производная

Заметим, что критическая точка не принадлежит отрезку [—1; 1], поэтому нам надо сравнить значения у только на концах отрезка:

Производная


Итак, Производная

Многие прикладные задачи сводятся к нахождению наибольших и наименьших значений функций, заданных на отрезке. Такие задачи часто называют задачами на максимум-минимум.

Приведем примеры.

Задача:

Из прямоугольного листа жести размером 5X8 надо изготовить открытую коробку наибольшего объема, вырезая квадратные уголки так, как показано на рисунке 60.

Производная

Обозначим через х длину стороны вырезаемого квадрата. Тогда длины сторон прямоугольника уменьшатся на 2х и объем коробки будет равен:

V=x(8-2x)(5-2х) = 4х3 — 26х2 + 40x.

При этом х может меняться в следующих пределах: 0 ⩽ х ⩽ 2,5. Заметим сразу, что в крайних точках отрезка [0; 2,5] объем равен нулю. Находим критические точки:

Производная

Отметим, что значение х2 не принадлежит области определения. При х= 1 объем максимален: Vmax=18.

Задача:

В данный шар вписать цилиндр наибольшего объема.

Обозначим через R радиус шара, а через г и /г соответственно радиус основания и высоту вписанного цилиндра. Как видно

из рисунка 61, выполняется соотношение Производная

Будем считать h переменной. Тогда

Производная

Заметим, что h меняется в пределах от 0 до 2R, причем на концах отрезка цилиндр вырождается, объем его равен нулю. Находим критические точки:

Производная

При этом значении h объем будет максимальным:

Производная

Замечания:

  1. Если бы мы стали считать переменной не h, а r, то получили быПроизводная Находить производную V (как функции от r) стало бы труднее. Но в этом случае можно воспользоваться следующим очевидным соображением: функции V и V2 принимают наибольшее значение одновременно. Тогда мы рассмотрели бы новую функцию Производная и без труда нашли бы ее критические точки.
  2. Функции V, kV (k>0), V + c, V2 (V ⩾ 0) принимают наибольшее значение одновременно. Это замечание позволяет при вычислении производных убирать постоянные множители, слагаемые и радикалы.

Задача 3. Над центром круглого стола радиуса г висит лампа (рис. 62). На какой высоте следует подвесить эту лампу, чтобы на краях стола получить наибольшую освещенность?

Из физики известно, что освещенность обратно пропорциональна квадрату расстояния до источника света и пропорциональна синусу угла наклона луча света к освещаемой маленькой площадке. Иными словами,

Производная

где Е — освещенность на краю стола, Производная h- расстояние от лампы до стола.

Вместо функции Производнаярассмотрим функцию Т=Производная

При этом вместо h можно взять переменную z=h2 и найти критические точки Т как функции от z:

Производная


Итак, освещенность максимальна, если Производная т. е. если Производная

Производная
Производная

Приближенные формулы

Одним из важнейших приложений производной является возможность приближенно вычислять значения функций. Пусть нам дана функция y=f(x) и точка хо, значение функции в которой известно: yo=f (хо). Мы хотим вычислить приближенно значение функции в точке х, близкой к х0.

Если мы знаем приращение функции ∆у на отрезке [xо; х], то точное значение f (х) получается из уо прибавлением ∆у, равного f (х)—уо- Приближенные формулы основаны на замене ∆у другим выражением, которое вычисляется более просто. Замена ∆у на линейную функцию dy, т. е. замена приращения функции ее дифференциалом дает наиболее простые приближенные формулы. При замене выражения его приближенным значением используется знак приближенного равенства ≈ .

Таким образом, основная, наиболее простая формула для приближенных вычислений значения функции может быть записана так: ∆y ≈ dy, или раскрывая более подробно: f (х) — уо ≈ f'(х0) ∆х. Приведем другие виды записи приближенной формулы:

Производная

Геометрически замена ∆у на dy означает, что вблизи точки х, мы вместо функции y — f (х) берем линейную функцию, т. е. маленький отрезок графика заменяем касательной. Рассмотрим примеры.

  1. Дана степенная функция у=хn. Зафиксируем точку хо и применим полученную выше формулу:
Производная

Например,

Производная

Ту же формулу можно применить и для приближенного вычисления корней, учитывая что Производная. Получим

Производная

Например,

Производная

Полезно запомнить формулы при x0=1:

Производная

2. Дана функция Производная. Получаем приближенную формулу:

Производная

3. Вычислить приближенно значение функции Производная в точке x = 3,02.

Находим дифференциал функции у:

Производная


Выбираем начальную точку хо = 3 и подставляем ее в производную:

Производная

Подставляем значение dx:

Производная

Линеаризация

Основная идея Ньютона состояла в следующем. Равномерное движение хорошо известно — его скорость постоянна и легко вычисляется. Пусть движение неравномерно. На коротком отрезке времени оно приблизительно может считаться равномерным. Так, стрелка спидометра автомашины не стоит на месте, однако мы можем пренебречь ее колебанием, если возьмем достаточно малый промежуток времени.

Примерно так же рассуждал Лейбниц. На малом участке кривая неотличима от Прямой. Так, секущая, проведенная через две точки кривой, меняет свой наклон, однако при сближении этих точек изменением наклона секущей можно пренебречь.

Язык функций позволяет максимально сблизить механическую и геометрическую точки зрения. Начертим график зависимости пути s от времени t. На маленьком участке этот график очень близок к отрезку прямой. Замена криволинейного участка графика на прямолинейный означает замену неравномерного движения равномерным и одновременно замену участка кривой отрезком касательной. Можно сказать, что вблизи выбранной точки (или, как говорят математики, локально) мы заменяем изучаемую функцию линейной. Производная помогает среди всех линейных функций выбрать ту, которая дает наилучшее локальное приближение к исходной функции.

Процесс «выпрямления» функции, который хорошо виден, когда мы смотрим как бы в микроскоп на маленький участок ее графика, математики называют линеаризацией. Линеаризация позволяет приближенно описывать сложные зависимости с помощью линейных.

Линеаризация зависимостей основана на следующем правиле, которое мы назовем принципом дифференцируемости: малое изменение одной величины влечет за собой пропорциональное изменение другой.

Заметим, что если некоторая функция удовлетворяет принципу дифференцируемости, то она удовлетворяет и упоминавшемуся ранее принципу непрерывности. Действительно, если ∆ y ≈ k ∆ x, то при ∆ х → 0 имеем и ∆ у → 0, т. е. малому изменению аргумента отвечает малое изменение функции.

Как следует понимать приближенное равенство ∆ yx ≈ k ∆ x? Этот вопрос можно поставить более точно: как оценить степень близости ∆ у и линейной функции k ∆ x? Это важно для практики: опасно производить все вычисления на глазок — надо суметь оценить погрешность, взвесить ошибку, получаемую при пользовании приближенными формулами. Научиться делать такие оценки важно и в теоретическом отношении: с их помощью легко обосновать правила предельных переходов, которые мы используем при вычислении производной.

Возьмем функцию у = ах2. Вычислим приращение функции:

Производная

Перепишем это равенство так: Производная

Так как 2ax ∆ x = dy, то получается ∆y — dy = a(∆x)2 или, переходя к модулям, \ ∆у — dy\ = |а| • |∆х|2. Мы получили не просто оценку погрешности, а равенство, позволяющее узнать, насколько приращение функции отличается от дифференциала. При оценке погрешности полезно пользоваться следующими правилами, доказать которые нетрудно:

Производная

Заменяя ∆у на dy, мы допускаем определенную погрешность. Нельзя ли ее уменьшить? Иными словами, если нас не устраивает точность вычислений, получаемая при замене ∆у на dy, то как увеличить эту точность?

Пусть, например, мы хотим вычислить Производная Возьмем за начальное приближенное число Производная Сделаем простые преобразования:

Производная

Первое приближение корня по известной нам формуле дает:

Производная

Как получить лучшее приближение? Проведем рассуждение в общем виде. Нужно вычислить Производная (Для удобства мы пишем h
вместо ∆х. В нашем примере h = 0,25.) Увеличения точности можно достичь, прибавляя последовательно к начальному значению у= 1 слагаемые, пропорциональные h, h2, h3 и т. д., т. е. представляя Производная в виде Производная

Как из этого равенства найти коэффициенты k1,k2, kз, •••? Для этого есть замечательный способ, открытый сразу вслед за созданием в XVII в. дифференциального исчисления. Продифференцируем обе части (по переменной h):

Производная

Положив в этом равенстве h = 0, получим известный нам ранее коэффициент Производная

Но точно так же можно найти и следующие коэффициенты. Продифференцируем еще раз:

Производная

Положив h = 0, получим Производная, откуда Производная. Мы получили гораздо более точную формулу

Производная

Возвращаясь к вычислению Производная, получим:

Производная

где уже имеем точность порядка 0,01. Замечательно, что точность можно повышать при помощи описанного приема столько раз, сколько мы захотим. Еще раз продифференцируем:

Производная

Подставляя h = 0, получаем Производная, и новая добавка равна ≈ 0,0617 h3. При h = 0,25 это слагаемое имеет уже порядок 0,001.

Получаемые описанным методом формулы носят имя Б. Тейлора (1685—1731)—английского математика, ученика Ньютона. Приведем несколько формул Тейлора:

Производная

К ним можно добавить полезную простую формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии:

Производная

Производная сложной функции

Мы вывели правило вычисления производной при линейной замене аргумента. Нетрудно вывести правило вычисления производной при произвольной замене аргумента. Пусть функция h представлена как композиция функций f и g, т. е. h (х) = f (g (х)). Можно обозначить g (х) через у, a f (у) через z. Для вычисления производной переменной z составим отношение Производная.

Домножив и разделив его на ∆у, получим Производная.

При стремлении ∆х к нулю ∆y тоже будет стремиться к нулю (принцип непрерывности). Первая дробь будет стремиться к производной функции z (у), т. е. к f'(у). Вторая дробь будет стремиться к производной функции у(х), т. е. к g'(х). Совершая предельный переход, получаем:

Производная

Пример. Вычислить производную функции Производная

Представим z как сложную функцию: z = у5, где у = х2+1. Применяя формулу производной сложной функции, получаем:

Производная

Правило дифференцирования сложной функции можно применить для вычисления углового коэффициента касательной к кривой, заданной уравнением. Например, рассмотрим касательную, проходящую через точку Производная окружности х2 + у2 = 1

(рис. 63).

Производная

Конечно, можно выразить у через х и найти производную. Гораздо проще продифференцировать уравнение окружности по переменной х, считая уравнение тождеством, получающимся после подстановки в него вместо у его выражения через

Производная

Получаем 2х+2уу’ = 0, откуда Производная. Подставляя координаты точки Р, получаем угловой коэффициент касательной Производная

Гладкость функции

Посмотрим на рисунок 64. Приведенные на нем графики функций разбиваются на отдельные части, каждая из которых является гладкой кривой, т. е. кривой, в каждой точке которой можно провести касательную. Точки стыковки отдельных гладких частей являются, как говорят, особыми точками. Поведение функций вблизи особых точек изучают отдельно. В первой главе мы уже обращали внимание на возможные особенности, связанные с нарушением в точках стыковки принципа непрерывности. Функции, имеющие конечные разрывы (рис. 64, а, б), встречаются при описании процессов, при которых происходит включение и выключение сигнала (работа электрической сети, прием радиопередач и т. п.). Бесконечные разрывы (рис. 64, в) встречаются в приложениях реже, однако они появляются при идеализированных, предельных описаниях некоторых процессов (например, взрывов).

Нарушение гладкости в случае функций, изображенных на рисунке 64, г, д, имеет другую природу. Здесь сама функция непрерывна, но отдельные части ее графика соединены между собой негладко: если вы попробуете построить графики производных этих функций, то увидите, что в выделенных точках производная не определена.

Производная

Изучение свойств функции и построение ее графика являются одним из самых замечательных приложений производной. Этот способ исследования функции, открытый более 300 лет назад, неоднократно подвергался тщательному анализу. Основная причина, заставляющая вновь и вновь возвращаться к простому, казалось бы, вопросу о связи свойств функции и ее производной, состоит в том, что в приложениях математики приходилось иметь дело со все более и более сложными функциями, появляющимися при изучении новых явлений. Появились исключения из разработанных математикой правил, появились случаи, когда вообще созданные правила не годились. Скажем, появились функции, не имеющие ни в одной точке производной. Трудно представить себе движение, при котором ни в один момент времени нельзя вычислить скорость. Однако, отправляясь от броуновского движения мельчайших частиц, такую математическую модель построить можно. Рассмотренные нами методы доказательства правил исследования функций, основанные на простых механических и геометрических соображениях, близки к тем, которые были созданы еще Ньютоном и Лейбницем. Они уже непригодны в более сложных ситуациях и требуют уточнений.

Новые теоремы в математике доказывают путем логического рассуждения (вывода) с использованием ранее доказанных теорем или некоторых исходных простых утверждений (аксиом), которые мы принимаем без доказательства. В наших рассуждениях о связи свойств функции и ее производной роль таких исходных утверждений играли простые соображения механики, которые мы приняли без доказательства. Например, мы посчитали за очевидное то, что при прямолинейном движении направление скорости совпадает с направлением перемещения.

Использование модели (интерпретации) для проведения математического доказательства требует умения переводить математические понятия на язык этой модели (или знать правила перевода). Так, при использовании механической модели мы составили таблицу такого перевода.

Преимущество проведенных нами доказательств о связи свойств функции и ее производной состоит в том, что они позволили нам получить новые содержательные утверждения (например, о связи монотонности функции и ее производной), исходя из более простых и более очевидных утверждений механики.

Недостатком их является то, что перевод теоремы на язык механической модели сделан описательно, без формулировки точных определений и аксиом, опираясь на наши индивидуальные представления о механическом движении и его характеристиках.

То же самое относится и к пояснениям теорем с помощью геометрической модели. При таких пояснениях мы опираемся на геометрические представления о расположении касательной.

Однако в приложениях математики стремятся как раз к обратному. Для исследования какого-либо реального процесса или явления (например, механического движения) переводят основные понятия и свойства этого явления на язык математики. Затем проводятся математические рассуждения — выводят новые формулы, связывающие введенные величины, доказывают их новые свойства и т. п. Наконец, возвращаются к исходному явлению и смотрят на то, что дают для его изучения полученные математические теоремы. Усилиями великих математиков XIX в. О. Коши (1789—1857) и К. Вейерштрасса (1815—1897) была построена строгая теория математического анализа, основанная на понятии предела. Ознакомиться с этой теорией можно с помощью любого учебника по математике, предназначенного для высших учебных заведений.

Дополнительный материал по производной в высшей математике

Производная
Производная
Производная
Производная
Производная
Производная
Производная
Производная
Производная
Производная
Производная
Производная
Производная
Производная
Производная
Производная
Производная
Производная
Производная
Производная
Производная
Производная

Смотрите также:

Предмет высшая математика

Переменные и их пределы Техника дифференцирования элементарных функций
Функция Дифференциал

Производная функции в высшей математике и ее приложения с примерами

Производная функции и некоторые ее приложения известны по школьному курсу. Однако ввиду огромной важности производной при изучении различных разделов математики и других дисциплин, целесообразно повторить ряд вопросов, связанных с этим важным понятием.

Предел и непрерывность функций

Напомним известные нам из курса математики средней школы определения понятий предела и непрерывности функций и приведем
некоторые их обобщения и дополнения, нужные для дальнейшего.

Число Производная функции называется пределом функции Производная функции в точке Производная функции Производная функции Производная функции, если для любого Производная функции существует такое Производная функции что Производная функции Например, Производная функции В самом деле, для данного Производная функции как видно из рис. 54, если в качестве Производная функциивзять наименьшее из чисел Производная функции , то при Производная функции будем иметь Производная функции

Производная функции

В этом примере предел функции при Производная функции равен значению функции в этой точке Производная функции Но это не всегда так. Рассмотрим на отрезке Производная функции функцию Производная функции, где квадратные скобки означают, что при каждом Производная функции берется целая часть числа, заключенного в скобках Производная функцииОчевидно, что при Производная функции имеем Производная функции; следовательно, Производная функции При Производная функции получим Производная функции. График функции Производная функцииизображен на рис. 55.

Из рис. 55 видно, что Производная функцииСледовательно, Производная функции Функция Производная функции называется непрерывной в точке Производная функции если предел функции при Производная функции равен значению функции в этой точке: Производная функции Другими словами, функция Производная функции непрерывна в точке Производная функции если для любого Производная функции существует такое Производная функции, что Производная функцииПроизводная функции Рис. 55.

Производная функции

Из рассмотренных выше примеров следует, что функция Производная функциинепрерывна в точке Производная функции, функция Производная функции не является непрерывной (разрывна) в точке Производная функции.

Функция называется непрерывной на некотором промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции.

Если в определении предела вместо неравенств Производная функции, рассмотреть неравенства Производная функции, то получим понятие правого предела. В этом случае пишут Производная функции

Аналогично, рассматривая неравенства Производная функции вводим понятие левого предела: Производная функции Предел (двусторонний) функции в точке Производная функции существует в том и только в том случае, когда левый и правый пределы в этой точке существуют и совпадают:

Производная функции

Заметим также, что при Производная функции вместо Производная функции и Производная функции
пишут соответственно Производная функции Если правый (левый) предел совпадает со значением функции, то функция называется непрерывной справа (слева) в рассматриваемой точке.

Точка разрыва функции называется точкой разрыва первого рода, если в ней функция имеет конечные левый и правый пределы. Все остальные точки разрыва называются точками разрыва второго рода.
Число Производная функции называется пределом функции Производная функции при Производная функции если для любого Производная функции существует такое, Производная функции что

Производная функции

Например, Производная функции В самом деле, беря Производная функции приПроизводная функции Производная функции

Аналогично, число Производная функции называется пределом функции Производная функции, если для любого существуют Производная функции существует такое Производная функции что

Производная функции

Функция Производная функции называется бесконечно большой при Производная функции, если для любого Производная функции найдется такое Производная функции, что

Производная функции

При этом пишут

Производная функции

Записи

Производная функции

означают соответственно, что Производная функции при Производная функции.

Аналогично определяется бесконечно большая функция при Производная функции и
употребляются соответствующие записи.

Напомним еще, что функция Производная функции называться бесконечно малой при Производная функции если

Производная функции

Примерами бесконечно малых функций служат функции Производная функции при Производная функции, Производная функции (в частности, при Производная функции (Производная функции — любое целое число). Заметим, что если Производная функции — бесконечно малая (бесконечно большая) при Производная функции — бесконечно большая (бесконечно малая) при Производная функции. Говорят, что функция Производная функции является при Производная функции бесконечно малой более высокого порядка, чем бесконечно малая Производная функции при Производная функции, если

Производная функции

При этом, очевидно, функция Производная функции заведомо является бесконечно малой в обычном смысле. Действительно,

Производная функции

Например, функция Производная функции является бесконечно малой более высокого порядка, чем Производная функции, при Производная функции:

Производная функции

Производная функции, ее геометрический и физический смысл

Производная функции: Рассмотрим функцию Производная функции. Возьмем произвольную точку Производная функции. Для любого Производная функцииразность Производная функции называется приращением аргумента Производная функции в точке Производная функции и обозначается Производная функции. Таким образом,

Производная функции

Разность Производная функции называется приращением функции Производная функции в точке Производная функции и обозначается Производная функции. Следовательно,

Производная функции

Определение:

Производной функции Производная функции в точке Производная функции называется предел отношения приращения функции Производная функции к приращению аргумента Производная функции при Производная функции, если этот предел существует, и обозначается Производная функции. Итак,

Производная функции

Производную Производная функции («эф штрих от икс») функции Производная функции обозначают также: Производная функции («игрек штрих по икс»), Производная функции («де эф по де икс»), Производная функции («де игрек де икс»), причем все эти обозначения равноправны.

Функция, имеющая производную в точке Производная функции, называется дифференцируемой в этой точке. Функция, имеющая производную в каждой точке интервала Производная функции, называется дифференцируемой на этом интервале, при этом производную Производная функции можно рассматривать как функцию на Производная функции.

Необходимое условие существования производной вытекает из следующей теоремы.

Теорема:

Если функция Производная функции дифференцируема в точке Производная функции, то она непрерывна в этой точке.

В самом деле, любому значению Производная функции, взятому из области определения функции Производная функции, соответствует приращение аргумента Производная функции и некоторое приращение функции Производная функции, Рассмотрим тождество

Производная функции

Переходя к пределу при Производная функции B этом тождестве, получим:

Производная функции

Это означает, что функция Производная функции в точке Производная функции непрерывна.

Доказанная теорема дает лишь необходимое условие существования производной, но не достаточное, т. е. из непрерывности функции Производная функции в точке Производная функции не следует ее дифференцируемость в этой точке. Убедимся в этом на конкретном примере.

Пример:

Функция Производная функции (рис. 56) непрерывна в любой точке числовой оси, в том числе и в точке Производная функции. Однако в точке Производная функцииданная функция не имеет производной. В самом деле,

Производная функции
Производная функции

Отсюда следует, что предел Производная функции не существует и, следовательно, не существует производной функции Производная функциив точке Производная функции.
Таким образом, существуют функции, всюду
непрерывные, но не имеющие производных в некоторых
точках.

Производная функции

Геометрический смысл производной

Пусть непрерывная функция Производная функции, дифференцируема в точке Производная функции, и пусть кривая Производная функции — график этой функции (рис. 57). На кривой Производная функции возьмем точку Производная функции, и произвольную точку Производная функциипроведем секущую Производная функции.

Определение:

Касательной к кривой Производная функции в точке Производная функцииназывается прямая Производная функции, занимающая предельное положение секущей Производная функции (если такое предельное положение существует). Пусть Производная функции — соответственно углы наклона
касательной Производная функции и секущей Производная функции к положительному направлению оси Ох. Из рис. 57 видно, что

Производная функции

Переходя к пределу при Производная функции, получим,

Производная функции

Но Производная функцииследовательно,

Производная функции

т. e. производная функции Производная функции в точке Производная функции равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику данной функции в его точке с абсциссой Производная функции.

Уравнения касательной и нормали к кривой

Уравнение касательной к кривой Производная функциив точке Производная функции напишем как уравнение прямой, проходящей через точку Производная функции и имеющей угловой коэффициент Производная функции, т. е.

Производная функции

Определение:

Прямая Производная функции перпендикулярная касательной Производная функциив точке Производная функции, называется нормалью к кривой Производная функции в точке Производная функции (см. рис. 57).

Так как угловой коэффициент нормали равен

Производная функции

то уравнение нормали к кривой Производная функции в точке Производная функции имеет вид

Производная функции

Пример:

Составить уравнение касательной и нормали к кривой Производная функции в ее точке с абсциссой Производная функции

Решение:

Находим: Производная функции

Производная функции

Подставив найденные значения Производная функции в уравнения (3) и (4), найдем искомые уравнения касательной

Производная функции

и нормали

Производная функции

Физический смысл производной

Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону

Производная функции

Тогда средняя скорость точки в промежутке времени Производная функциивычисляется по формуле

Производная функции

Как известно, мгновенной скоростью Производная функции в момент времени Производная функцииназывается предел (если он существует), к которому стремится средняя скорость Производная функции за промежуток времени от Производная функции

Производная функции

Таким образом, мгновенная скорость прямолинейного движения материальной точки в любой момент времени Производная функцииесть производная от пути Производная функции по времени Производная функции:

Производная функции

В этом заключается физический смысл производной.

Пример:

Найти скорость движения точки в момент времени Производная функцииесли закон движения задан формулой

Производная функции

Решение:

Находим:

Производная функции

следовательно, Производная функции

Сложная функция и ее производная

Функция вида

Производная функции

называется сложной функцией, составленной из функций Производная функции, или суперпозицией функций Производная функции.

Например, функция Производная функции есть сложная функция, составленная из функций Производная функции, Можно показать, что если функции Производная функции непрерывны, то и сложная функция Производная функциинепрерывна.

Сложную функцию (1) часто пишут в виде

Производная функции

При этом аргумент Производная функции называют независимой переменной, Производная функции и — промежуточным аргументом:

Теорема:

Если функция Производная функции дифференцируема в некоторой точке Производная функции, а функция Производная функции определена на множестве значений функции Производная функции и дифференцируема в точке Производная функции, то сложная функция Производная функции в данной точке Производная функции имеет производную, которая находится по формуле

Производная функции

или

Производная функции

Доказательство:

Дадим независимой переменной Производная функции приращение Производная функции и допустим, что Производная функции получит приращение Производная функции, а следовательно, и Производная функции получит приращение Производная функции, которое, как известно из курса средней школы, равно

Производная функции

где функция Производная функции такова, что

Производная функции

Формула (4) будет верна и при Производная функции, если положить Производная функции

Разделим обе части равенства (4) на Производная функции:

Производная функции

Переходя к пределу при Производная функции, получим

Производная функции

Рассмотрим отдельно

Производная функции

Если Производная функции, то

Производная функции

(здесь мы воспользовались тем, что дифференцируемая функция всегда непрерывна, т. е. при Производная функции, Так как при Производная функциимы положили Производная функции, то и в этом случае, очевидна,

Производная функции

что и требовалось доказать.

Пример:

Найти производную функции

Производная функции

Решение:

Обозначив Производная функции, получим Производная функции. Найдем:

Производная функции

По формуле (3) имеем

Производная функции

Формулы дифференцирования

Нахождение производной функции непосредственно по определению занимает много времени и часто связано с большими трудностями. Поэтому выводится ряд формул, с помощью которых можно проще и с
минимальной затратой времени дифференцировать различные функции. В этом параграфе приведены основные формулы дифференцирования. Условимся буквами Производная функции обозначать дифференцируемые функции независимой переменной Производная функции буквамиПроизводная функции — константы. (с)’ = 0.

Производная функции

Остальные формулы записаны как для функций независимой переменной, так и для сложных функций.

Производная функции

Пример:

Найти производную функции

Производная функции

Решение:

Производная функции

Обратная функция и ее производная

Функции Производная функции называются взаимно обратными, если Производная функции иПроизводная функцииДля любых Производная функции (здесь, как обычно, через Производная функцииобозначены соответственно область определения и область значений
функции).

Часто у обратной функции меняют ролями обозначения функции и аргумента, т. е. вместо Производная функции пишут Производная функции. Например,
функция Производная функции имеет обратную функцию Производная функцииГрафики взаимно обратных функций Производная функциисимметричны относительно прямой Производная функции (рис. 58).

Производная функции

Теорема:

Если функция Производная функции имеет отличную от нуля производную в некоторой точке Производная функции, а ее обратная функция Производная функцииопределена на Производная функции и дифференцируема в соответствующей точке Производная функции, то

Производная функции

Доказательство:

Рассмотрим сложную функцию Производная функции По определению обратной функции

Производная функции

для любого Производная функции. По теореме о производной сложной функции имеем

Производная функции

откуда и следует формула (1).

Пример:

Найти производную функции Производная функции

Решение:

Данная функция является обратной для
функции Производная функции По формуле (1) имеем

Производная функции

Так как

Производная функции

то

Производная функции

Если Производная функции то

Производная функции

Аналогично можно доказать формулы:

Производная функции

Неявная функция и ее производная

Пусть функция Производная функции задана уравнением

Производная функции

связывающим переменные Производная функциии разрешенным относительно Производная функции. Такое задание функции называется явным.

Например, Производная функции

Если функция Производная функции задана уравнением

Производная функции

связывающим переменные Производная функции и неразрешенным относительно Производная функции, то такое задание функции называется неявным.

Например, Производная функции

Заметим, что не всякое уравнение вида (2) задает неявную функцию. Так, уравнение Производная функции не определяет функцию, потому что ему не удовлетворяет ни одна пара действительных чисел Производная функции.

Чтобы найти производную функции Производная функции по аргументу Производная функции заданной уравнением (2), дифференцируем по Производная функции левую часть этого уравнения, считая Производная функции функцией от Производная функции и результат приравниваем нулю (так как производная правой части Производная функции; получим линейное уравнение
относительно Производная функции из которого находим искомую производную Производная функции

Пример:

Найти производную функции

Производная функции

Решение:

Производная функции

Производные высших порядков

Пусть функция Производная функции, дифференцируема во всей области ее определения. Производная Производная функции, вообще говоря, также является функцией от Производная функции. Производная от функции Производная функции(от первой производной), если она существует, называется производной второго порядка или второй производной функции Производная функции и обозначается Производная функции. Таким образом,

Производная функции

Пример:

Найти вторую производную функции

Производная функции

Решение:

Находим

Производная функции

затем

Производная функции

Производная от второй производной функции Производная функции, если она существует, называется производной третьего порядка или третьей производной:

Производная функции

Производной п-го порядка (или п-й производной) функции Производная функции) называется производная от производной (п—1)-порядка:

Производная функции

Пример:

Найти производную n-го порядка функции

Производная функции

Решение:

Производная функции; Вообще,

Производная функции

Механический смысл второй производной

Пусть материальная точка движется прямолинейно
по закону

Производная функции

Тогда, как было показано в § 1, скорость движения в
момент времени Производная функции определяется по формуле

Производная функции

Если движение неравномерное, то скорость Производная функции также есть функция от времени Производная функции. Поэтому производная

Производная функции

определяет скорость изменения скорости материальной точки, движущейся по закону (1). Но, как известно из механики, скорость изменения скорости называется ускорением, и обозначается Производная функции. Таким образом, ускорение Производная функции прямолинейного движения материальной точки в момент времени Производная функции равно первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по времени, т. е.

Производная функции

Пример:

Тело движется прямолинейно по закону Производная функции. Найти скорость и ускорение в момент времени Производная функции

Решение:

Находим

Производная функции

Возрастание и убывание функции. Признаки возрастания и убывания функции

Определение:

Функция Производная функции называется возрастающей на интервале Производная функции, если для любых Производная функции, принадлежащих этому интервалу,

Производная функции

Определение:

Функция Производная функции, называется убывающей на интервале Производная функции, если для любых Производная функции, принадлежащих этому интервалу,

Производная функции

Определение:

Функция Производная функции называется неубывающей (невозрастающей) на интервале Производная функции, если для любых Производная функции, принадлежащих этому интервалу,

Производная функции

Напомним, что интервалы, в которых функция либо только возрастает (не убывает), либо только убывает (не возрастает), называются интервалами строгой монотонности (интервалами монотонности).

Необходимые условия монотонности функции на интервале дают следующие теоремы.

Теорема:

Необходимое условие возрастания функции. Если дифференцируемая функция Производная функции, Производная функции, возрастает на интервале Производная функции для любого Производная функции.

Доказательство:

Из определения (1) имеем;

Производная функции

или

Производная функции

В обоих случаях

Производная функции

а следовательно,

Производная функции

т. е. Производная функции, что и требовалось доказать.

Теорема:

Необходимое условие убывания функции. Если дифференцируемая функция Производная функции, убывает на интервале Производная функции для любого Производная функции.

Доказательство этой теоремы аналогично предыдущей.

Теоремы, дающие достаточные признаки монотонности функции, доказываются в школьном курсе, поэтому мы приводим лишь их формулировку.

Теорема:

Достаточное условие возрастания функции. Если функция Производная функции имеет положительную производную в каждой точке интервала Производная функции, то эта функция возрастает на интервале Производная функции.

Короче, еслиПроизводная функции, то функция Производная функции возрастает на интервале Производная функции.

Теорема:

Достаточное условие убывания функции. Если функция Производная функции, имеет отрицательную производную в каждой точке интервала Производная функции то эта функция убывает на интервале Производная функции.

Короче, если Производная функции, то функция Производная функции убывает на интервале Производная функции.

Заметим, что если функция Производная функции монотонна на интервале Производная функции и непрерывна в точках Производная функции, то она монотонна на отрезке Производная функции.

Пример:

Найти интервалы монотонности функции

Производная функции

Решение:

Данная функция определена и дифференцируема на всей действительной прямой. Находим производную: Производная функции. Очевидно, что Производная функции при Производная функции.

Таким образом, данная функция возрастает на множестве Производная функции и убывает на интервале Производная функции

Экстремумы функции. Необходимые условия существования экстремума

Определение:

Точка Производная функции из, области определения функции Производная функцииназывается точкой минимума этой функции, если найдется такая
Производная функции — окрестность Производная функции точки Производная функции что для всех Производная функции из этой окрестности выполняется неравенство

Производная функции

Определение:

Точка Производная функции из области определения функции Производная функции называется точкой максимума этой функции, если найдется такая Производная функции окрестность Производная функции точки Производная функции что для всех Производная функции из этой окрестности выполняется неравенство

Производная функции

Точки минимума и максимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках называются экстремумами функции.

Рассмотрим график функции Производная функции (рис. 59). Точки Производная функции — являются точками максимума, а Производная функции — точками минимума. Из рис. 59 видно, что

Производная функции

минимум в точке Производная функции больше максимума данной функции в точке Производная функции. Это объясняется тем, что экстремум функции связан с определенной
Производная функции — окрестностью точки экстремума, а не со всей областью определения функции. По этой причине употребляется термин «локальный экстремум», т. е. экстремум, связанный с данным местом.
Этим же объясняется и тот факт, что точки Производная функции не относятся к точкам экстремума. Для них не существуют Производная функции — окрестности, принадлежащие области определения функции.

Необходимые условия существования экстремума дает теорема Ферма, которая известна по школьному курсу, поэтому мы приводим лишь ее формулировку.

Теорема Ферма:

Если точка Производная функции является точкой экстремума функции Производная функции и в этой точке существует производная Производная функции.

Эта теорема имеет простой геометрический смысл: касательная к графику функции Производная функции в точке, удовлетворяющей условиям теоремы Ферма, параллельна оси абсцисс (рис. 60).

Напомним, что точки, в которых производная функции обращается в нуль или не существует, называются критическими точками (первого рода).

Теорема Ферма дает лишь необходимое условие существования экстремума, но не достаточное.

Пример:

Производная функции Производная функции в точке Производная функцииобращается в нуль, а экстремума в этой точке функция не имеет (рис. 61).

Производная функции

Можно показать, что и в тех критических точках, в которых производная не существует, функция также может иметь или не иметь экстремум.

Пример:

Функция Производная функции в точке Производная функции не имеет производной (см. § 1). Однако, как видно из рис. 56, в точке Производная функцииона имеет экстремум (минимум).

Производная функции

Пример:

Рассмотрим функцию Производная функции (рис 62.) По графику видно, что в точке Производная функции данная функция экстремума не имеет. Производная Производная функциив рассматриваемой точке не существует.

Таким образом, экстремум функции, если он существует, может быть только в критических точках. Но это не означает, что во всякой критической точке функция имеет экстремум.

Чтобы выяснить, в каких критических точках функция имеет экстремум, рассмотрим достаточные условия существования экстремума.

Достаточные условия существования экстремума

Первое достаточное условие

Теорема:

Пусть функция Производная функции непрерывна в точке хПроизводная функции и в ее
Производная функции — окрестности имеет производную, кроме, быть может, самой точке Производная функции. Тогда:

1) если производная Производная функции при переходе через точку Производная функции меняет знак с плюса на минус, то Производная функции является точкой максимума;

2) если производная Производная функции при переходе через точку Производная функции меняет знак с минуса на плюс, то Производная функции является точкой минимума;

3) если производная Производная функции при переходе через точку Производная функции не меняет знак, то в точке Производная функции функция Производная функции не имеет экстремума.

С доказательством первой части этой теоремы читатель знаком по школьному курсу. Доказательство остальных частей проводится аналогично, поэтому мы его не приводим.

При исследовании функции на экстремум с помощью первой производной применяют правило (первое), которое мы сформулируем, решая конкретный пример.

Пример:

Исследовать на экстремум функцию

Производная функции

Решение:

Находим производную данной
функции:

Производная функции

2. Находим критические точки: а) решая уравнение

Производная функции

получим Производная функции

б) Производная функции не существует при Производная функции Следовательно,
критические точки: Производная функции

3. Методом пробных точек определяем знак производной в каждом из интервалов: Производная функции (рис. 63). Имеем:

Производная функции

Таким образом, Производная функции —точка максимума, а Производная функции — точка минимума.

Производная функции

4. Вычисляем значения данной функции в точках экстремума:
/max == / (1) = 3, /min — / (2) = 0.

Производная функции

Второе достаточное условие

Теорема:

Если функция Производная функции определена и дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки Производная функции, причем Производная функции, а Производная функции то в точке Производная функции функция Производная функции имеет максимум, если Производная функции, и минимум, если Производная функции.

Доказательство:

Пусть, для определенности, Производная функции. По определению второй производной имеем:

Производная функции

Согласно условию теоремы Производная функции поэтому

Производная функции

По предположению, Производная функции, следовательно, Производная функции
А это возможно лишь в случае, когда знак производной Производная функции совпадает со знаком разности Производная функции, Таким образом, при Производная функции имеем Производная функции, и при Производная функции имеем Производная функции, т. е. при переходе через точку Производная функции производная Производная функции меняет знак с минуса на плюс. Согласно первому достаточному условию, в точке Производная функции функция Производная функции имеет минимум. Аналогично доказывается, что если Производная функции, то в точке Производная функции функция имеет максимум.

Правило (второе) исследования функции на экстремум при помощи второй производной, которое следует из теоремы 2, рассмотрим на следующем примере.

Пример:

Исследовать на экстремум функцию

Производная функции

Решение:

Находим производную:

Производная функции

2. Решая уравнение Производная функции, находим критические точки: Производная функции.

3. Находим вторую производную:

Производная функции

4. Определяем знак второй производной в критических точках, для чего вычисляем:

Производная функции

Следовательно, Производная функции — точка максимума, а Производная функции — точка минимума.

Вычисляем максимальное и минимальное
значения функции:

Производная функции

Заметим, что в случае, когда вторая производная в критической точке обращается в нуль или не существует, второе правило нахождения экстремума с помощью второй производной неприменимо. В этом случае исследование функции на экстремум следует проводить по
первому правилу.

Пример:

Исследовать на экстремум функцию

Производная функции

Решение:

1. Находим Производная функции

2. Решая уравнение Производная функции, получим критическую точку Производная функции.

3. Находим Производная функции.

4. Вычисляем Производная функции.

В критической точке вторая производная обращается в нуль, поэтому исследование проводим по первому правилу.

Так как Производная функции, то в точке Производная функции данная функция имеет минимум, причем

Выпуклость графика функции. Достаточное условие выпуклости

При исследовании поведения функции и формы ее графика полезно установить, на каких интервалах график функции обращен выпуклостью вверх, а на каких — выпуклостью вниз. Прежде всего выясним понятие выпуклости графика функции, имеющей на некотором интервале непрерывную производную.

Определение:

График функции Производная функции, называется выпуклым вверх (или обращен выпуклостью вверх) на интервале Производная функции, если он расположен ниже касательной, проведенной в любой его точке (рис. 64).

Производная функции

Определение:

График функции Производная функции называется выпуклым вниз (или обращен выпуклостью вниз) на интервале Производная функции, если он расположен выше касательной, проведенной в любой его точке (рис.65).

Легко видеть, что на интервале выпуклости вверх производная Производная функции убывает (см. рис. 64), а на интервале выпуклости вниз производная Производная функции возрастает (рис.65).

Теорема:

Достаточное условие выпуклости графика функции. Если на интервале Производная функции дважды дифференцируемая функция Производная функции имеет отрицательную (положительную) вторую производную, то график функции обращен выпуклостью вверх (вниз).

Доказательство:

Допустим, для определенности, что Производная функции для всех Производная функции. Рассмотрим производную Производная функции как функцию от Производная функции — как ее первую производную. Тогда согласно теореме 4 из § 8 функция Производная функции убывает на интервале Производная функции a следовательно, график функции Производная функции на этом интервале обращен выпуклостью вверх. Аналогично доказывается, что если Производная функции для всех Производная функции, то график функции Производная функции на интервале Производная функцииобращен выпуклостью вниз.

Исследовать на выпуклость график функции Производная функции означает найти те интервалы из области ее определения, в которых вторая производная Производная функции сохраняет свой знак. Очевидно, что Производная функции меняет свай знак лишь в точках, где она обращается в нуль или не существует. Такие точки принято называть критическими точками
второго рода.

Пример:

Исследовать на выпуклость график функции

Производная функции

Решение:

Данная функция определена на всей числовой прямой. Находим критические точки второго рода:

Производная функции
Производная функции

Итак, Производная функции — критическая точка второго рода. Методом пробных
точек определяем знак Производная функции в каждом из интервалов Производная функции. Так, при Производная функции имеем Производная функции, а при Производная функции имеем Производная функции

Следовательно, на интервале Производная функции график данной функции обращен выпуклостью вверх, а на интервале Производная функции — выпуклостью вниз (рис. 66).

Точка перегиба. Необходимое и достаточное условия существования точки перегиба

Определение:

Точка графика непрерывной функции Производная функции, при переходе через которую кривая меняет направление выпуклости, называется точкой перегиба.

Согласно определению в точке перегиба касательная к графику функции с одной стороны расположена выше графика, а с другой — ниже, т. е. в точке перегиба касательная пересекает кривую (см. рис. 66).

Теорема:

Необходимое условие существования точки перегиба. Если функция Производная функции имеет непрерывные производные до второго порядка включительно на интервале Производная функциии точка Производная функции, где Производная функции, является точкой перегиба графика функции Производная функции, то Производная функции .

Доказательство:

Так как точка Производная функции является точкой перегиба, то слева и справа от Производная функции имеет разные знаки. Но тогда в силу непрерывности второй производной имеем Производная функции.

Теорема:

Если функция Производная функции, дважды дифференцируема на интервале Производная функции и при переходе через Производная функции вторая производная Производная функции меняет знак, то точка кривой с абсциссой Производная функции является точкой перегиба.

Доказательство:

Пусть Производная функции при Производная функции. и Производная функции при Производная функции. Тогда при Производная функцииграфик функции обращен выпуклостью вверх, а при Производная функции — выпуклостью вниз. Таким образом, точка Производная функции является точкой перегиба графика функции Производная функции.

Аналогично доказывается, что если Производная функции при Производная функции при Производная функции, то точка Производная функцииявляется точкой перегиба графика функции Производная функции.

Так как вторая производная функции Производная функции может изменить свой знак при переходе не только через точки, в которых Производная функции обращается в нуль, но и через точки, в которых Производная функции не существует, то точки перегиба следует искать среди критических точек второго рода.

Пример:

Найти точки перегиба графика функции

Производная функции

Решение:

Данная функция определена на всей числовой прямой.

1. Находим:

Производная функции

Вторая производная Производная функции существует для любого действительного Производная функциии обращается в нуль при Производная функции — критическая точка второго рода. Следовательно, на интервалах Производная функции функция Производная функциисохраняет свой знак.

2. Методом пробных точек определяем знак производной Производная функции на каждом из этих интервалов. При Производная функции имеем Производная функции, при Производная функции имеем Производная функции. Следовательно, точка кривой с абсциссой Производная функции является точкой перегиба.

3. Находим ординату точки перегиба: Производная функции

Таким образом, точка Производная функцииявляется точкой перегиба графика данной функции, причем на интервале Производная функции функция обращена выпуклостью вверх, а на интервале Производная функции — выпуклостью вниз.

Асимптоты кривой

Как мы знаем, прямая Производная функции называется асимптотой кривой Производная функции, если

Производная функции

Отсюда

Производная функции

где Производная функции Имеем:

Производная функции

Отсюда

Производная функции

По формулам (2) и (3) вычисляются угловой коэффициент Производная функции и начальная ордината Производная функции асимптоты Производная функции.

Аналогично определяется и находится асимптота кривой Производная функции.

Очевидно, что если Производная функции, то уравнение асимптоты примет вид

Производная функции

Асимптота, определяемая уравнением (4), называется горизонтальной асимптотой.

Прямая Производная функции называется вертикальной асимптотой, если

Производная функции

Для определения вертикальных асимптот надо отыскать те значения Производная функции, вблизи которых функция Производная функции неограниченно возрастает по
модулю. Обычно — это точки разрыва функции.

Пример:

Найти асимптоты кривой

Производная функции

Решение:

Так как

Производная функции

то прямая Производная функции является вертикальной асимптотой.
Находим:

Производная функции
Производная функции

Итак, Производная функции является наклонной асимптотой данной функции при Производная функции.

Таким образом, данная функция имеет вертикальную асимптоту Производная функции и наклонную Производная функции (рис. 67).

Общая схема исследования функций и построения графиков

С учетом изложенного в настоящей главе можно рекомендовать следующую схему исследования функции и построения ее графика:
1) найти область определения функции;
2) исследовать функцию на четность и нечетность;
3) исследовать функцию на периодичность;
4) исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва;
5) найти критические точки первого рода;
6) найти интервалы монотонности и экстремумы функции;
7) найти критические точки второго рода;
8) найти интервалы выпуклости и точки перегиба;
9) найти асимптоты графика функции;
10) найти точки пересечения графика функции с осями координат (если это возможно);
11) построить график функции.

Пример:

Построить график функции

Производная функции

Решение:

1) Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек Производная функции.
2) Функция нечетна, так как

Производная функции

3) Функция непериодическая.
4) Функция непрерывна во всей области ее определения. Точки Производная функции являются точками разрыва.
5) Находим

Производная функции

Очевидно, что Производная функции Кроме
того, Производная функции не существует при Производная функции. Следовательно, Производная функции имеет следующие критические точки первого рода:

Производная функции

6) Методом пробных точек определяем знак ghjbpводной в каждом из интервалов: Производная функцииПроизводная функцииПроизводная функции(рис. 68). Следовательно, функция Производная функциив интервалах Производная функции возрастает, а в интервалахПроизводная функции убывает.

В точке Производная функциифункция имеет максимум, а в точке Производная функции — минимум. Так как при переходе

Производная функции

через критическую точку Производная функции производная не меняет знак, то в этой точке экстремума нет. Имеем:

Производная функции

7) Находим

Производная функции

Так как Производная функции не существует приПроизводная функции являются критическими точками второго рода.

8) Определяем знак второй производной Производная функции в каждом из интервалов Производная функции (рис.69).

Производная функции

Мы видим, что в интервалах Производная функции график функции обращен выпуклостью вверх, а в интервалах Производная функции — выпуклостью вниз. Вторая производная меняет свой знак в каждой из критических точек второго рода, однако точки Производная функции не принадлежат области определения функции и поэтому лишь точка Производная функции является точкой перегиба. Имеем Производная функции, следовательно, точкой перегиба является начало координат.

Производная функции

9) Так как

Производная функции

то Производная функции являются вертикальными асимптотами. Далее, находим:

Производная функции

Следовательно, Производная функции является наклонной асимптотой.

Результаты исследования заносим в таблицу 4. По полученным данным строим график функции (рис. 70).

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Пусть функция Производная функции, непрерывна на отрезке Производная функции, дифференцируема во всех точках этого отрезка и имеет на нем конечное число критических точек первого рода.

Очевидно, что если данная функция монотонна на отрезке Производная функции, то наибольшее и наименьшие значения достигаются на концах этого отрезка, а именно:
1) если функция Производная функции возрастающая, то Производная функции наименьшее значение иПроизводная функции — наибольшее значение;

Таблица 4

Производная функции

2) если функция Производная функции убывающая, то Производная функциинаибольшее значение и Производная функции — наименьшее значение.

Если функция Производная функции не является монотонной, то свое наибольшее значение Производная функции на отрезке Производная функции она достигает либо в одной из
точек максимума, либо на одном из концов этого отрезка. Точно так же наименьшее значение Производная функции на отрезке Производная функции функция Производная функциидостигает либо в одной из точек минимума, либо на одном из концов отрезка Производная функции (см., например, рис. 71).

Производная функции

Таким образом, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции Производная функции на отрезке Производная функции нужно:
1) найти критические точки первого рода данной функции;
2) вычислить значения функции во всех критических точках, принадлежащих интервалу Производная функции и на концах отрезка Производная функции;
3) из полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример:

Найти наибольшее и наименьшее
значения функции Производная функции на отрезке Производная функции.

Решение:

1) Находим критические точки данной функции: Производная функции Производная функции
2) Находим Производная функции

Итак, Производная функции.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции широко применяется при решении многих практических задач.

Задачи прикладного характера

Пример:

Из квадратного листа жести со стороной Производная функции требуется сделать открытый сверху ящик наибольшего объема и имеющего квадратное основание.

Производная функции

Решение:

Для изготовления ящика нужно вырезать по углам данной жести четыре равных квадратика так, чтобы после сгибания получить ящик наибольшего объема (рис. 72).

Обозначим длину стороны каждого из вырезаемых
квадратиков через Производная функции. Тогда сторона квадрата, образующего дно ящика, будет Производная функции, а объем

Производная функции

Найдем наибольшее значение функции Производная функции на отрезке
Производная функции. Находим критические точки первого рода функции Производная функции откуда Производная функции. Находим значения функции Производная функции в точках Производная функции

Таким образом, ящик будет иметь наибольший объем, если сторона вырезаемого квадрата равна Производная функции.

Пример:

Из шара радиуса Производная функции выточить цилиндр наибольшего объема.

Решение:

Обозначим длину высоты цилиндра через Производная функции. Тогда, как видно из рис. 73, радиус основания цилиндра равен

Производная функции

а объем цилиндра —

Производная функции

Таким образом, требуется найти наибольшее значение функции Производная функциина отрезке Производная функции. Находим критические точки первого рода функции Производная функции:

Производная функции

Находим значения функции Производная функции в точках Производная функции,
Производная функции

Производная функции

Итак, искомый цилиндр имеет высоту, равную Производная функции

Понятие о производной функции

Равномерное движение и его скорость

Пусть тело движется равномерно и прямолинейно. Это значит, что в каждую единицу времени оно проходит одно и то же расстояние, называемое скоростью этого движения. Закон равномерного движения выражается формулой

Производная функции

представляющей собой функцию первой степени, а геометрически — прямую линию.

Обратно, всякая линейная функция вида

Производная функции

гдеПроизводная функциии Производная функции — постоянные величины, выражает закон равномерного прямолинейного движения. Чтобы в этом убедиться, найдем расстояния, пройденные телом к моментам t1 и t2. Подставив в равенстве (1) вместо t значения t1 и t2 , получим:

Производная функции

Отсюда

Производная функции

и

Производная функции


Обозначив приращение пути Производная функции через Производная функции, а приращение времени Производная функции через Производная функции, напишем:

Производная функции

Равенство (2) показывает, что отношение пройденного телом пути к промежутку времени, в течение которого этот путь совершен, величина постоянная. Поэтому Производная функции представляет скорость равномерного движения.

Следовательно, линейная функция Производная функции выражает закон равномерного прямолинейного движения, причем Производная функции есть скорость этого движения.

Неравномерное движение и его скорость

Кроме равномерного движения в природе имеет место и неравномерное движение. Закон его выражается уже не уравнением первой степени, а более сложным уравнением. Пусть, например, дана функция

Производная функции

выражающая закон падения тела. Так как падение тела — движение неравномерное, то возникает вопрос, как определить его скорость в какой-нибудь момент времени. Поступим следующим образом.

Допустим, что в начале падения тело было в точке О (рис. 81).

Производная функции

По истечении времени t оно пройдет путь, равный

Производная функции

и окажется в точке A, а по прошествии времени Производная функции от начала движения совершит путь

Производная функции

и будет в точке В. Отрезок пути, пройденный телом за время Производная функции, будет:

Производная функции

Разделив пройденный путь Производная функции равный Производная функции на время Производная функции, получим:

Производная функции

Результат деления Производная функцииназывается средней скоростью падения тела на участке пути АВПроизводная функции.

Однако средняя скорость движения тела не выражает истинной скорости в любой момент времени. Так, например, когда говорят, что поезд идет со скоростью 50 км в час, то это не значит, что он движется с этой скоростью во всех точках своего пути; отходя от станции, поезд постепенно увеличивает скорость, доводит ее до наибольшей величины, затем замедляет движение, пока не остановится на следующей станции. Таким образом, на одном участке пути его скорость меньше 50 км в час, на другом — больше, в среднем же — 50 км в час.

Средняя скорость тем лучше характеризует движение, чем меньше участок пути, на котором она определена; поэтому положим, что промежуток времени Производная функции падения тела уменьшается, тогда и путь

АВ = Производная функции будет уменьшаться, становясь равным АВ1, АВ2, АВ3 и т. д. (рис. 81), и для каждого нового значения Производная функции отношение Производная функции будет определять среднюю скорость падения тела на участке пути, все более и более коротком. Положим, чтоПроизводная функции, тогда Производная функции, а отношение Производная функции будет стремиться к величине, называемой скоростью в данный момент времени t, что соответствует скорости в точке А.

Обозначив эту скорость через Производная функции, будем иметь:

Производная функции

Таким образом, скорость прямолинейного движения тела в данный момент времени t есть предел средней скорости в промежутке времени от t до Производная функции, когда Производная функции.

Приняв во внимание равенства (1) и (2), найдем скорость падения тела в момент t:

Производная функции

Итак,

Производная функции

Скорость изменения функции

Определять скорости приходится не только в случае движения, но и при изменении любой переменной величины, имеющей физическое содержание (скорость испарения жидкости, скорость реакции и т. д.).

Пусть переменная величина у, характеризующая какой-либо процесс изменения, есть линейная функция другой переменной x, т. е.

Производная функции

тогда отношение Производная функции, как и в случае равномерного движения

, будет постоянной величиной, равной Производная функции, т. е.

Производная функции

Величина Производная функции, показывающая, сколько единиц приращения линейной функции приходится на единицу приращения аргумента, называется скоростью изменении линейной функции при любом х.

Если же величина у представляет функцию иного вида, то отношение Производная функции по аналогии с неравномерным движением определяет среднюю скорость изменения у для промежутка значений аргумента от х до Производная функции. При Производная функции будем иметь:Производная функции, а средняя скорость изменения функции стремится к величине, называемой скоростью изменения функции при данном х. Обозначив эту скорость через Производная функции напишем:

Производная функции

Таким образом, скорость изменения функции при данном х есть предел средней скорости ее для промежутка аргумента от х до Производная функции когда Производная функции.

Разберем несколько примеров.

Пример:

Вес Р в килограммах однородного стержня выражается формулой Р = 0,5l, где l — длина стержня в метрах. Определить скорость изменения веса стержня с изменением его длины.

Решение:

Так как Р — функция первой степени относительно длины l, то в данном случае имеет место равномерное изменение. Следовательно, скорость изменения веса Р при любом значении длины l будет согласно формуле (1)

Производная функции

Это значит, что при удлинении стержня на 1 м вес его увеличивается на 0,5 кг.

Пример:

При нагревании тела температура его Т изменяется в зависимости от времени нагревания t по закону

Производная функции

С какой скоростью нагревается тело в момент 10 сек.?

Решение:

Данная функция второй степени и выражает закон неравномерного изменения, а потому для решения задачи применим формулу (2), причем для нахождения предела поступим так же, как это мы делали при определении скорости падающего тела.

В момент t = 10 температура тела

Производная функции
Производная функции

Вычтя из Т2 значение Т1 получим приращение температурыПроизводная функции

за время Производная функции:

Производная функции

отсюда

Производная функции

Частное Производная функцииесть средняя скорость нагревания тела за время от t= 10 до Производная функции.

Чтобы определить скорость нагревания тела в момент t = 10 сек., найдем предел средней скорости нагревания при условии, что Производная функции. Получим:

Производная функции

Итак, в момент t = 10 сек. тело нагревается на 8° в единицу времени. Это значит, что если бы, начиная с момента t = 10 сек., тело нагревалось равномерно, то в каждую единицу времени температура его увеличивалась бы на 8°.

Производная функции

Величина Производная функцииявляющаяся основным понятием математического анализа, носит специальное название производной функции по аргументу x.

Определение:

Производной функции у = f(х) по аргументу х называется предел отношения приращения функции Производная функции к приращению аргумента Производная функции, когда Производная функции. Для производной функции у = f(х) приняты обозначения:

Производная функции

В целях упрощения производную функции, заданной математическим выражением, записывают в виде скобок, заключающих данную функцию, со штрихом с правой стороны. Например, производную функции

Производная функции

можно записать так:

Производная функции

Из определения производной следует правило: Для отыскания производной функции у — f(х) по аргументу х нужно найти:

1) наращенное значение функции, т. е. Производная функции

2) приращение функции, т. е. Производная функции;

3) отношение приращения функции к приращению аргумента, т. е.Производная функции

4) предел этого отношения при Производная функции, т. е.Производная функции

Нахождение производной называется дифференцированием функции. Раздел математического анализа, занимающийся вопросами, связанными с производной, называется дифференциальным исчислением.

Пример:

Найти производную функцииПроизводная функции

Решение:

1-й шаг:

Производная функции

2-й шаг:

Производная функции

3-й шаг:

Производная функции

4-й шаг:

Производная функции

Пример:

Продифференцировать функцию Производная функции

Решение:

1-й шаг:

Производная функции

2-й шаг:

Производная функции

3-й шаг:

Производная функции

4-й шаг:

Производная функции

Производная функции y = f(x) является также функцией аргумента х.

Определение:

Значение производной функции у = f(x) при данном х называется частным значением производной.

Пример:

Найти частное значение производной функции

Производная функции

Решение:

Подставив в найденную уже производную данной функции (см. пример 1) х = 3, получим:

Производная функции

В связи с данным выше определением производной можно сформулировать определения рассмотренных нами скорости движения и скорости изменения функции следующим образом.

Скорость прямолинейного движения тела в данный момент равна производной пути по времени, вычисленной для данного момента.

Скорость изменения функции при данном значении аргумента равна производной функции при этом значении аргумента.

Связь дифференцируемости функции с непрерывностью

Теорема:

Если функция у = f(х) имеет производную при каком-нибудь значении х, то при этом значении х данная функция непрерывна.

Доказательство:

Пусть при каком-нибудь значении х функция у = f(x) дифференцируема, т. е. имеет производную

Производная функции

тогда по определению предела можем написать:

Производная функции

где Производная функциипри Производная функции. Отсюда

Производная функции

и

Производная функции

Производная функции как предел произведения постоянной на бесконечно малую и Производная функции как предел произведения бесконечно малых). Но мы знаем, что если при данном значении аргумента выполняется равенство

Производная функции

то функция при этом значении аргумента непрерывна. Теорема доказана.

Обратное же утверждение не всегда бывает верно, так как существуют функции, всюду непрерывные, но при некоторых значениях х не имеющие производной.

Понятие о касательной

Касательную к окружности мы определили как прямую, имеющую с ней одну общую точку.

Производная функции

Такое определение годится не для любой кривой линии. Например, прямая MN касается кривой в точке А (рис. 82), но имеет с этой кривой не одну, а две общие точки.

Производная функции

Чтобы определить касательную к данной кривой в точке М (рис. 83), возьмем на ней еще одну точку М1 и проведем секущую ММ1. Если будем перемещать точку М1 по кривой так, чтобы она приближалась к М, стремясь с ней слиться, то секущая ММ1, будет поворачиваться вокруг точки М, стремясь занять положение прямой МN , называемой касательной.

Определение:

Касательной к банной кривой в данной ее точке М называется предельное положение секущей ММ1 когда точка М1 двигаясь по кривой, неограниченно приближается к точке М.

В математике и в технических дисциплинах часто приходится рассматривать прямую, проходящую через точку касания М перпендикулярно касательной; эта прямая называется нормалью к кривой в точке М.

Производная функции

Геометрический смысл производной

Пусть дана непрерывная функция у = f(х), график которой представлен на рис. 84. Возьмем на нем точку М(х; у); тогда

Производная функции

Дадим х приращение

Производная функции

в этом случае наращенному значению абсциссы

Производная функции

будет соответствовать наращенное значение ординаты

Производная функции

точки М, кривой. Проведем из точки М прямую МQ, параллельную оси Ох, а также секущую через точки М и М1

B полученном прямоугольном треугольнике M1MQ

Производная функции

Обозначим угол наклона секущей M1R к положительному направлению оси Ох через Производная функции; тогда

Производная функции

Из треугольника M1MQ имеем:

Производная функции

или

Производная функции

откуда

Производная функции

Из равенства (1) видно, что отношение приращения функции к приращению аргумента равно тангенсу угла наклона секущей к положительному направлению оси Ох.

Пусть Производная функции, тогда Производная функции так как данная функция

непрерывна. Вследствие этого точка М1, будет неограниченно приближаться к М, а секущая M1R— вращаться вокруг точки М, стремясь занять положение касательной NL.

Найдем предел обеих частей равенства (1) при условии Производная функции; получим:

Производная функции

Так как наклон секущей к оси Ох при ее повороте изменяется, то Производная функции становится переменной величиной и в пределе стремится к величине угла, образованного касательной NL с положительным направлением оси Ох; поэтому, обозначив Производная функции буквой а, можем написать:

Производная функции

Равенство (2) можно теперь переписать так:

Производная функции

Левая часть равенства (3) есть производная данной функции , а правая часть — угловой коэффициент к касательной NL:

Производная функции

Обозначив абсциссу точки М через а, можно равенство (4) сформулировать так: Производная функции у = f(х) при х = а равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику данной функции в его точке, с абсциссой х = а.

Задача:

Написать уравнение касательной, проведенной к кривой

Производная функции

в точке ее M с абсциссой, равной 2.

Решение:

Найдем ординату точки М кривой:

Производная функции

Искомая касательная находится в пучке прямых, проходящих через точку М (2; 6) и определяемых уравнением

Производная функции

Остается определить угловой коэффициент касательной, для чего следует найти производную данной функции. Эта производная нами была уже найдена: она равна 2x + 1 и определяет угловой коэффициент касательной, проведенной в любой точке данной кривой. Чтобы иметь угловой коэффициент касательной, проведенной в данной точке М (2; 6), нужно в выражение

Производная функции

вместо х подставить его значение, равное 2. Получим:

Производная функции

Искомое уравнение касательной напишется в следующем виде:

Производная функции

или

Производная функции

Производная функции одной переменной

Определение производной. Пусть задана некоторая функция Производная функции одной переменнойВыберем произвольное допустимое значение аргумента х и вычислим Производная функции одной переменной. Затем, не выходя из области определения, изменим х на величину Производная функции одной переменной которая называется приращением аргумента, и вычислим Производная функции одной переменной Разность Производная функции одной переменной называется приращением функции. Если при Производная функции одной переменной существует конечный предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, то функция Производная функции одной переменной называется дифференцируемой в точке х, а значение предела называется производной от функции Производная функции одной переменной в точке х и обозначается

Производная функции одной переменной

Производная — это функция от того же аргумента, что и Производная функции одной переменной. Операцию вычисления производной называют дифференцированием функции.

Геометрический смысл производной. Если изобразить на рисунке график функции Производная функции одной переменной, то величина отношения Производная функции одной переменной рав-

на тангенсу угла наклона секущей графика к оси абсцисс (см. рис. 3.2). Если Производная функции одной переменной то точка N стремится к точке М и секущая МИ стремится занять положение касательной к Производная функции одной переменной в точке М. Следовательно, значение производной Производная функции одной переменной в любой точке х области определения функции равно тангенсу наклона касательной к графику Производная функции одной переменной в точке с координатами х и Производная функции одной переменной к оси абсцисс.

На отрезке [а,b] существует точка с, в которой касательная параллельна секущей МN (см. рис. 3.3). В этом случае из построения следует формула (3.4), позволяющая выразить приращение функции через приращение аргументов и производную.

Производная функции одной переменной

Замечание:

Если функция дифференцируема в точке а, то она непрерывна в этой точке, но из непрерывности не следует дифференцируемость.

Производная функции одной переменной
Производная функции одной переменной
Производная функции одной переменной

Правила дифференцирования

Производная постоянной С равна нулю

Производная функции одной переменной

Производная линейной комбинации функций Производная функции одной переменной равна линейной комбинации производных

Производная функции одной переменной

Производная произведения функций Производная функции одной переменной вычисляется по правилу: произведение производной от первой функции на неизменную вторую плюс произведение производной от второй функции на неизменную первую

Производная функции одной переменной

Производная частного двух функций Производная функции одной переменной вычисляется по правилу

Производная функции одной переменной

Например: Производная функции одной переменной

Производная функции одной переменной

Дифференцирование сложной функции. Пусть дифференцируемая функция Производная функции одной переменной является аргументами другой функции Производная функции одной переменной. В этом случае говорят о сложной функции Производная функции одной переменной или суперпозиции функций f и g. Приращение сложной функции вызывается приращением аргумента Производная функции одной переменной т. е.

Производная функции одной переменной

Производная сложной функции

Производная функции одной переменной

В компактной форме производную от сложной функции можно записать так

Производная функции одной переменной

Формула, называемая правилом цепочки, обобщается на случай большего числа аргументов.

Производная функции одной переменной

Например, Производная функции одной переменной Эта сложная функция состоит из следующих отдельных функций: Производная функции одной переменной

Производная функции одной переменной

Дифференциалом Производная функции одной переменной функции Производная функции одной переменной в точке x называется произведение производной от функции Производная функции одной переменной в этой точке на ве-

личину приращения аргумента Производная функции одной переменнойПроизводная функции одной переменнойПо определению для независимой переменной Производная функции одной переменной Поэтому дифференциал функции Производная функции одной переменной записывают чаще так

Производная функции одной переменной
Производная функции одной переменной

Геометрический смысл дифференциала (рис. 3.5). Производная Производная функции одной переменной численно равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции Производная функции одной переменной.

Дифференциал Производная функции одной переменной равен изменению ординаты, касательной к функции в точке N. Замена истинного приращения функции Производная функции одной переменной на дифференциал Производная функции одной переменной равносильна замене части графика функции на соответствующую часть касательной к этому графику. Дифференциал определяет главную линейную часть приращения функции.

Производная Производная функции одной переменной является функцией того же аргумента х, что и исходная функция. Поэтому ее можно опять дифференцировать, т.е. вычислять предел

Производная функции одной переменной

Если этот предел существует и конечен, то он называется второй производной от функции Производная функции одной переменной в точке х. Принятые обозначения:

Производная функции одной переменной

Подобным образом вводят производные n-го порядка

Производная функции одной переменной

Пример:

Производные от степенной функции Производная функции одной переменной

Производная функции одной переменной

Дифференциалом второго порядка называется дифференциал от дифференциала

Производная функции одной переменной

или в других обозначениях Производная функции одной переменной

Аналогичным образом можно определить дифференциал k-го порядка

Производная функции одной переменной

Как найти производную — подробная инструкция

Скорость

Прямолинейным и равномерным движением называется движение, при котором тело (точка) движется по прямой и за равные промежутки времени проходит равные пути. Скоростью v этого движения называется отношение пути s, пройденного за промежуток времени t, к величине этого промежутка, т. е. производная  высшая матеатика. Если движение неравномерное, то отношение меняется, поэтому говорить о скорости неравномерного движения так просто, как это можно сделать при равномерном движении, нельзя. Разберем подробнее этот вопрос.

производная  высшая матеатика

Пусть по железной дороге (рис. 44), на которой имеются станции А, В, С, D, Е, F, G, движется поезд от станции A до станции G согласно приведенному ниже расписанию. В расписании указаны также расстояния от начальной станции. Напомним, что средней скоростью при любом движении называется отношение пути к промежутку времени, за который этот путь пройден.

Весь путь от A до G поезд проходит за три часа, а это расстояние равно 120 км, поэтому средняя скорость поезда равна 40 км\час.

Но этот же поезд на отдельных перегонах имеет большую cреднюю скорость.

производная  высшая матеатика

На станции D, как это видно из расписания, поезд не останавливается. Поставим вопрос: что мы будем понимать под скоростью поезда в момент прохождения им станции D и чему эта скорость будет равна? Будем вычислять средние скорости на различных перегонах, имеющих станцию D или своим началом, или концом:

перегон DG = 60 км проходится за 1 час 20 мин; средняя скорость равна 45 км\час;

перегон DF = 40 км проходится за 1 час; средняя скорость равна 40 км\час;

перегон DE = 20 км проходится за 30 мин; средняя скорость равна 40 км\час;

перегон АD = 60 км проходится за 1 час 40 мин; средняя скорость равна 36 км\час;

перегон в BD = 40 км проходится за 1 час 5 мин; средняя скорость равна 36 км\час;

перегон СD = 25 км проходится за 40 мин; средняя скорость равна 37,5 км\час.

Как видим, средние скорости меняются от перегона к перегону. Какую же скорость принять за истинную? Ведь мимо станции D поезд проходил с вполне определенной скоростью. Чему же она равна? Ответить на поставленный вопрос нельзя, так как у нас нет для этого оснований. Однако вероятнее всего, что средние скорости на участках СD и будут лучше отражать истинное положение, так как на перегонах СD и поезд подвергался меньшим случайностям, чем на больших перегонах. Но и эти скорости не являются ответом на вопрос. Ведь можно и дальше уменьшать перегоны и получать все новые и новые средние скорости. Очевидно, чем меньше перегон, тем лучше средняя скорость будет отображать действительное положение. Поэтому за скорость в данный момент принимают предел средней скорости за промежуток времени, имеющий началом данный момент, при условии, что этот промежуток стремится к нулю.

Касательная

Как известно, касательная к окружности имеет с окружностью одну общую точку. Если же рассмотреть какую-ни-будь другую линию, например синусоиду, то прямая, касающаяся синусоиды в точке А (рис. 45), пересечет ее в точке В, т. е. будет иметь с ней уже две общие точки. Таким образом, определение касательной, данное для окружности, к другим линиям уже неприменимо.

Общее определение касательной стало возможным только после того, как было введено понятие предела.

производная  высшая матеатика

Рассмотрим кривую и на ней точку Р (рис. 46). Проведем через эту точку прямую, пересекающую линию еще и в точке М. Точка М может лежать по любую сторону от точки Р. На рис. 46 указаны два возможных положения точки М. Точку Р не будем менять в процессе рассуждения, а точку М, наоборот, начнем двигать по линии в направлении к точке Р. Тогда секущая РМ будет поворачиваться вокруг точки Р. Если при этом окажется, что существует предельное положение секущей при условии, что М приближается к Р, то предельное положение секущей и называют касательной к рассматриваемой линии в данной точке Р.

Несмотря на то, что в предыдущих параграфах были рассмотрены два различных примера, между ними есть нечто общее. Для того чтобы это выяснить, нужно стать на функциональную точку зрения.

Пусть дана функция у = f(х).

Чтобы получить задачу о скорости, будем считать, что независимое переменное х есть время, а у — расстояние точки, движущейся по прямой, от начала координат. Уравнение у = f(х) в этом случае называется законом движения.

Чтобы получить задачу о карательной, будем считать, что х—абсцисса и у — ордината точки, лежащей на кривой линии, определяемой уравнением у = f(х) .

Будем производить над функцией у = f(х) некоторые операции и одновременно выяснять, что эти операции означают в задаче о скорости и в задаче о касательной.

Дадим х определенное числовое значение и вычислим соответствующее значение

у = f(х) (1)

В задаче о скорости это значит, что для определенного момента времени х мы нашли расстояние у движущейся точки от начала координат (рис, 47).

производная  высшая матеатика

В задаче о касательной это означает, что мы определили координаты точки Р, лежащей на кривой, определенной уравнением у = f(х) (рис. 48).

производная  высшая матеатика

Дадим х приращение h и вычислим соответствующее приращенное значение у, которое отличается от первоначального на величину производная  высшая матеатика(приращение функции) (см. гл. V, § 4):

производная  высшая матеатика

В задаче о скорости тем самым мы определяли положение Р1 движущейся точки в момент времени x+h.

В задаче о касательной получена новая точка М. Здесь

производная  высшая матеатика

Hайдем приращение функции производная  высшая матеатика; для этого вычтем почленно из равенства (2) равенство (1):

производная  высшая матеатика

В задаче о скорости вычислен путь, пройденный точкой за промежуток времени от момента х до момента x+h .

В задаче о касательной вычислен отрезок

производная  высшая матеатика

Pазделим производная  высшая матеатика на h, т. е. найдем отношение приращения функции к приращению независимого переменного:

производная  высшая матеатика

В задаче о скорости вычислена средняя скорость за промежуток времени h от момента х до момента x+h .

В задаче о касательной найдено отношение отрезков и РQ, т. е. тангенс угла производная  высшая матеатикаQРМ, являющийся угловым коэффициентом секущей РМ.

Hайдем предел производная  высшая матеатика при условии, что производная  высшая матеатика

производная  высшая матеатика

В задаче о скорости найденный предел дает скорость в данный момент.

В задаче о касательной этот предел дает тангенс угла наклона касательной к оси Ох.

Таким образом, последовательность операций 1, 2, 3, 4, 5, произведенных над функцией, приводит к двум важным понятиям:

1) скорости в данный момент,

2) углового коэффициента касательной.

Но этими двумя приложениями применение указанной последовательности операций не исчерпывается. Поэтому целесообразно изучить рассмотренную совокупность операций э общем виде. Для этого прежде всего дадим определение.

Определение:
Производной от функции f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению независимого переменного при условии, что приращение независимого переменного стремится к нулю. Производная от функции y = f(x) обозначается f'(х), или y , или производная  высшая матеатика так что имеем:

производная  высшая матеатика

Пример:

Вычислим производную функции

производная  высшая матеатика

Для этого дадим х приращение h:

производная  высшая матеатика

Находим приращение функции производная  высшая матеатика:

производная  высшая матеатика

Ищем отношение приращения функции к приращению независимого переменного:

производная  высшая матеатика

Находим предел этого отношения при условии производная  высшая матеатика :

производная  высшая матеатика

Таким образом, найдена производная функции производная  высшая матеатика

производная  высшая матеатика

Пример:

Вычислим производную функции

производная  высшая матеатика

Даем х приращение h:

производная  высшая матеатика

Находим приращение функции

производная  высшая матеатика

Ищем отношение

производная  высшая матеатика

Находим предел этого отношения, т. е. производную

производная  высшая матеатика

Итак,

производная  высшая матеатика

Как видно из приведенных примеров, вычисление производных довольно кропотливо, но однообразно. Поэтому предпочитают заранее вычислить производные часто встречающихся функций, запомнить эти производные и при решении задач уже пользоваться готовыми результатами.

Правила вычисления производных

В этом параграфе будут вычисляться производные при заданном значении независимого переменного, т. е. х будет считаться постоянным, меняться будет его приращение h и, следовательно, у. Вычисления будут производиться по схеме, данной в § 3.

Производная степени

Возьмем степенную функцию

производная  высшая матеатика

Дадим независимому переменному приращение h, тогда функция получит приращение производная  высшая матеатика:

производная  высшая матеатика

найдем приращение функции производная  высшая матеатика, вычитая почленно из равенства (2) равенство (1):

производная  высшая матеатика

Раскладываяпроизводная  высшая матеатикапо формуле бинома Ньютона, преобразуем правую часть равенства (3):

производная  высшая матеатика

или, после приведения подобных членов,

производная  высшая матеатика

Разделим обе части последнего равенства на h, тогда

производная  высшая матеатика

Перейдем к пределу при условии, что h стремится к нулю. Так как

производная  высшая матеатика

т. е. производная степени равна произведению показателя степени на степень с тем же основанием и показателем, уменьшенным на единицу.

Пример:

Вычислим производную функции производная  высшая матеатикаПрименяя выведенное правило, будем иметь

производная  высшая матеатика

Пример:

Вычислим производную функции у = х или производная  высшая матеатика; применяя выведенное правило, получаем

производная  высшая матеатика

Это следует запомнить в следующей формулировке:

Производная независимого переменного равна единице.

Примечание:

При выводе производной степени мы считали, что п — число целое и положительное, однако формула остается верной, если отказаться от этого условия.

Пример:

Вычислим производную функции

производная  высшая матеатика

Здесь

производная  высшая матеатика

поэтому

производная  высшая матеатика
производная  высшая матеатика

Пример:

Вычислим производную функции

производная  высшая матеатика

Следовательно,

производная  высшая матеатика

Производная синуса

Пусть

производная  высшая матеатика

Дадим х приращение h, тогда у изменится и будет равен

производная  высшая матеатика

Найдем приращение производная  высшая матеатика, вычитая почленно из равенства (2) равенство (1):

производная  высшая матеатика

или, после преобразования,

производная  высшая матеатика

Разделим обе части равенства (3) на приращение независимого переменного:

производная  высшая матеатика

Переходим к пределу при условии, что производная  высшая матеатика. Получим

производная  высшая матеатика

Так как отношение синуса к его аргументу при условии, что аргумент стремится к нулю, равно единице (см. гл. VI, § 2), то

производная  высшая матеатика

Кроме того, косинус—функция непрерывная (см. гл. VI, § 5),

следовательно,

производная  высшая матеатика

В силу сказанного из равенства (5) получаем

производная  высшая матеатика

а это значит, что

производная  высшая матеатика

т. е. производная синуса равна косинусу того же угла.

Производная косинуса

Аналогично тому, как мы вывели производную синуса, можно вывести производную косинуса. Только при этом придется применить формулу разности косинусов. Проделав все выкладки, получим

производная  высшая матеатика

т. е. производная косинуса равна синусу того же угла, взятому с обратным знаком.

Производная суммы двух функций

Предположим, что производные функций f(х) и производная  высшая матеатика нам известны. Требуется найти производную от их суммы. Рассмотрим сумму

производная  высшая матеатика

Дадим х приращение h, тогда каждая из функций получит приращение и их сумма также получит приращение

производная  высшая матеатика

Найдем приращение производная  высшая матеатика, вычитая из равенства (2) почленно равенство (1):

производная  высшая матеатика

Разделим обе части последнего равенства на h:

производная  высшая матеатика

Перейдем к пределу при условии, что производная  высшая матеатика:

производная  высшая матеатика

Так как производная  высшая матеатика есть приращение функции f(x), а

производная  высшая матеатика

— приращение функции производная  высшая матеатика, то

производная  высшая матеатика

являются производными функций f(x) и производная  высшая матеатика. Поэтому

производная  высшая матеатика

или

производная  высшая матеатика

т. е. производная суммы двух функций равна сумме их производных.

Производная произведения двух функций

Предположим, что нам известны производные функций f(x) и производная  высшая матеатика, а требуется найти производную их произведения. Пусть

производная  высшая матеатика

Дадим х приращение h, получим

производная  высшая матеатика

Найдем приращение производная  высшая матеатика:

производная  высшая матеатика

Прибавим и вычтем из правой части равенства (3) выражение производная  высшая матеатика тогда

производная  высшая матеатика

Разделим обе части равенства (4) на h:

производная  высшая матеатика

Так как

производная  высшая матеатика

и

производная  высшая матеатика

то, переходя к пределу в равенстве (5) при условии производная  высшая матеатика, получим

производная  высшая матеатика

или

производная  высшая матеатика

т. е. производная произведения двух функций равна сумме двух произведений: первое из них есть произведение первой функции на производную второй, а второе равно произведению производной первой функции на вторую.

Производная функции, сохраняющей одно и то же значение, т. е. производная постоянного

Если функция сохраняет при всех значениях независимого переменного одно и то же значение а, то ее график есть прямая линия, параллельная оси Ох, а ее уравнение у = а. Касательная к этой прямой, конечно, совпадает с ней самой, поэтому угол наклона касательной равен нулю, следовательно, и тангенс угла наклона тоже равен нулю, а это и значит, что производная равна нулю.

Таким образом, производная постоянного равна нулю, т. е.

производная  высшая матеатика

Следствие:

Пусть дано произведение некоторой функции f(x) на постоянное а, т. е. y = af(x) . Найдем производную этого произведения. Применяя формулу (V) этого параграфа, получим

производная  высшая матеатика

но производная постоянного равна нулю, поэтому а’ = 0 и у’ = аf'(x), или

производная  высшая матеатика

Говорят, что постоянный множитель можно вынести за знак производной.

Приведем примеры применения правил (L)—(VII).

Пример:

Вычислим производную функции

производная  высшая матеатика

Записываем последовательно производная  высшая матеатика. Применяя правило (IV), получим производная  высшая матеатикаПрименяя правило (VII), получим

производная  высшая матеатика

Наконец, применяя правило (I), будем иметь окончательный результат

производная  высшая матеатика

Пример:

Вычислим производную функции

производная  высшая матеатика

Применяя правило (VII), получим

производная  высшая матеатика

Применяя правило (V), получим

производная  высшая матеатика

Применяя правила (II) и (III), будем иметь

производная  высшая матеатика

или, произведя упрощения,

производная  высшая матеатика

Пример:

Вычислим производную функции у = -Lg—

производная  высшая матеатика

Применяя (VII), получим

производная  высшая матеатика

применяя (IV), получим

производная  высшая матеатика

применяя (I), получим

производная  высшая матеатика

применяя (II), получим

производная  высшая матеатика

Производная частного двух функций

Если даны две функции, производные которых известны, то производная их частного вычисляется по следующему правилу:

Прoизводная частного двух функций равна дроби, в числителе которой стоит разность произведения производной числителя на знаменатель и произведения числителя на производную знаменателя, а в знаменателе стоит квадрат знаменателя.

Пусть

производная  высшая матеатика

тогда

производная  высшая матеатика

Производная тангенса

Пусть у=tgx. Выражая тангенс через синус и косинус, получим

производная  высшая матеатика

Применим правило (VIII), а потом (И) и (III), тогда получим

производная  высшая матеатика

Следовательно, производная тангенса равна единице, деленной на квадрат косинуса того же угла.

Производная котангенса

Вычислим производную котангенса. Пусть

производная  высшая матеатика

Применяя правило (VIII), получим

производная  высшая матеатика

Применяя правила (II) и (III), получим

производная  высшая матеатика

Производная сложной функции

Прежде чем рассматривать производную сложной функции производная  высшая матеатикапредставим ее в виде цепочки функций (см. гл. V, § 3):

производная  высшая матеатика

и

производная  высшая матеатика

Рассмотрим уравнения ( *) и ( **) независимо друг от друга. Первое из них дает и как функцию х, ее производная равна производная  высшая матеатика . Второе определяет у как функцию независимого переменного и; ее производная равна f’ (и). Но на самом деле рассматривать эти два уравнения отдельно друг от друга нельзя. Они связаны между собой. Действительно, если мы дадим х приращение h, то и, как функция х, получит приращение производная  высшая матеатика, но и есть в то же время независимое переменное для функции у. Следовательно, изменяя и на производная  высшая матеатика, мы изменим и у, который получит приращение производная  высшая матеатика. По определению производной

производная  высшая матеатика

Умножим почленно два последних равенства. Так как припроизводная  высшая матеатикаприращение производная  высшая матеатика тоже стремится к нулю, то

производная  высшая матеатика

Но у есть функция независимого переменного х (в силу равенства производная  высшая матеатикапоэтому по определению производной

производная  высшая матеатика

Соединяя равенства () и (*), получим

производная  высшая матеатика

т. е. производная сложной функции равна произведению производных цепочки функций.

Пример:

Вычислим производную функции производная  высшая матеатика Представим у в виде цепочки функций:

производная  высшая матеатика

Так как

производная  высшая матеатика

то производная у’ равна произведению

производная  высшая матеатика

Пример:

Вычислим производную y = tg Зx. Представим сложную функцию y = tg Зx в виде цепочки: и = Зx, y = tgu. Вычислим производные:

производная  высшая матеатика

произведение даст искомую производную

производная  высшая матеатика

Производная показательной функции

Производная показательной функции находится по правилу, выражаемому формулой

производная  высшая матеатика

В частности, если а = е, то In е = 1 и

производная  высшая матеатика

Эта формула имеет много применений.

Пример:

Найти производную

производная  высшая матеатика

Производная логарифмической функции

Производная логарифмической функции находится по правилу, выражаемому формулой

производная  высшая матеатика

Если а = e то ln е = 1, поэтому

производная  высшая матеатика

Пример:

производная  высшая матеатика

Пример:

производная  высшая матеатика

Производные обратных тригонометрических функций arcsin х и arcsin х

Эти производные определяются так:

производная  высшая матеатика

и

производная  высшая матеатика

Пример:

производная  высшая матеатика

Пример:

Найдем производную функции производная  высшая матеатикаПредставим функцию у в виде цепочки:

производная  высшая матеатика

Так как

производная  высшая матеатика

Пример:

Найдем производную функции у = arctg In x. Представим функцию в виде цепочки: и = In x, у = arctg и

Так как

производная  высшая матеатика

то

производная  высшая матеатика

Пример:

Найдем производная  высшая матеатика Равносильная цепочка будет состоять из

производная  высшая матеатика

Так как

производная  высшая матеатика

Когда разовьются навыки в вычислении производных, то представление в виде цепочки можно делать в уме. Покажем это на примере. Конечно, первый пример будет описан подробно, поэтому на первый взгляд не будет заметно упрощения.

Пример:

Вычислим производную функции производная  высшая матеатикаПредставив эту функцию в виде цепочки, будем иметь

производная  высшая матеатика

Так как

производная  высшая матеатика

Первый множитель в правой части последнего равенства получим в следующей формулировке: производная логарифма равна единице, деленной на то, от чего берется логарифм. Так как в этом примере данпроизводная  высшая матеатика , то производная равна производная  высшая матеатика . Операция логарифмирования рассмотрена. Осталась функция производная  высшая матеатика. Второй множитель читаем так: производная синуса равна косинусу того, от чего берется синус. Поэтому производная равна производная  высшая матеатика. Операция взятия синуса рассмотрена. Остаетсяпроизводная  высшая матеатика. Производная этого выражения равна Зпроизводная  высшая матеатика, это и есть третий множитель.

Пример:

Найдем производная  высшая матеатикаЗдесь последняя (вторая) операция—возведение в третью степень. Первая операция — взятие арктангенса. Поэтому сначала находим производную степени, получаем 3 производная  высшая матеатика, а затем — производную арктангенса, пoлучаем производная  высшая матеатика. Перемножая полученные производные, будем иметь

производная  высшая матеатика

Пример:

Найдем производная  высшая матеатикаЗдесь последняя (вторая) операция — взятие арктангенса, его производная равнапроизводная  высшая матеатика. Первая операция есть возведение в куб, поэтому производная равна 3производная  высшая матеатика.Перемножая полученные выражения, будем иметь

производная  высшая матеатика

Простейшие применения производной

Уравнение касательной

Как было показано в § 3, геометрический смысл производной состоит в том, что ее значение равно угловому коэффициенту касательной в данной точке к кривой, заданной уравнением у=f(х). Поэтому, если дана кривая у=f(х) и на ней точка Р с абсциссой х1 и надо написать уравнение касательной, то поступают так. Вычисляют сначала ординату точки Р, она равна у1=f(х1). Через точку Р проводят пучок прямых; уравнение пучка, как это было показано в гл. II, напишется следующим образом:

производная  высшая матеатика

Но надо еще обеспечить касание, т. е. выбрать соответствующий угловой коэффициент. Угловой коэффициент касательной в данной точке равен значению производной, поэтому

производная  высшая матеатика

Таким образом, уравнение касательной в точке (x1, (x1)) к кривой, заданной уравнением у = f(х), напишется так:

производная  высшая матеатика

Пример:

Напишем уравнение касательной к параболе

производная  высшая матеатика

в точке Р с абсциссой х1 = 3. Вычислим ординату точки Р:

производная  высшая матеатика

Ищем производную: у’= 2х — 4 — и находим ее значение при х1=3:

производная  высшая матеатика

Уравнение касательной к параболе

производная  высшая матеатика

в точке (3, —2) будет иметь вид у— (—2) = 2—3) или

производная  высшая матеатика

Пример:

Написать уравнение касательной к кривой у = sin х. Здесь не указана точка, в которой происходит касание. Это надо понимать так: написать уравнение, из которого в любой момент можно получить уравнение касательной для любой точки синусоиды.

Возьмем точку (х, sin х ); эта точка лежит на синусоиде. Найдем производную: производная  высшая матеатика

Чтобы не было путаницы, координаты точки, лежащей на касательной, обозначим большими буквами X и Y. Тогда уравнение касательной к синусоиде в любой ее точке запишется в виде

производная  высшая матеатика

Уравнение нормали

Определение:

Нормалью к кривой называется прямая, проведенная через точку касания перпендикулярно касательной.

Если обозначить угловой коэффициент касательной буквой производная  высшая матеатика, а угловой коэффициент нормали производная  высшая матеатика1 то по условию перпендикулярности (гл. 11)

производная  высшая матеатика

Поэтому уравнение нормали выглядит так:

производная  высшая матеатика

Пример:

Напишем уравнение нормали к кривой, заданной уравнением производная  высшая матеатика , в точке, лежащей на этой кривой и имеющей абсциссу, равную 3.

Так как точка лежит на кривой, то, подставляя x = 3 в уравнение

производная  высшая матеатика

получим ее ординату у = 6. Найдем производную: у’ = 2х — 2 —и ее значение при

производная  высшая матеатика

Подставляя полученные данные в уравнение нормали, получим

производная  высшая матеатика

Угол между двумя кривыми

Определение:

Углом между двумя кривыми в точке их пересечения называется угол между касательными к этим кривым, проведенными в точке их пересечения.

Пример:

Найти угол между параболами

производная  высшая матеатика

в точке их пересечения, лежащей внутри первой четверти.

Точки пересечения парабол найдем, решая совместно уравнения ,

производная  высшая матеатика

Подставляя выражение у из первого уравнения во второе, получим уравнение производная  высшая матеатикарешая которое, найдем: x = 0 и других действительных корней нет, так как уравнение

производная  высшая матеатика

действительных корней не имеет. Для x= 0 и x = 1 найдем у = 0 и у = 1. Таким образом, мы нашли две точки пересечения в первой четверти: (0, 0) и (1, 1). Искомая точка имеет координаты (1, 1) (см. рис. 49).

производная  высшая матеатика

Найдем производные от функции производная  высшая матеатика и от функции производная  высшая матеатика(знак минус не берем, так как рассматривается первая четверть):

производная  высшая матеатика

Вычислив значения этих производных при x =1, получаем:

производная  высшая матеатика

Это угловые коэффициенты касательных. Угол между прямыми (касательными) определяется по формуле (1) из гл. II. Подставляя в нее значенияпроизводная  высшая матеатика1 ипроизводная  высшая матеатика2 будем иметь

производная  высшая матеатика

Следовательно, угол между параболами в точке (1, 1) равен

производная  высшая матеатика

—(найден тупой угол).

Если кривая задана уравнением у = f(х) и на ней взята точка Р с координатами (х1, f(x1)), то касательную к этой кривой в точке Р можно построить следующим способом (рис. 50).

производная  высшая матеатика

1.Из точки Р проведем прямую, параллельную оси Ох, и на ней отложим отрезок РM, направленный в сторону возрастания абсцисс, длина которого равна единице.

2.Найдем производную функции у = f(х), т. е.

производная  высшая матеатика

3.Вычислим ее значение при х = х1 т. е. производная  высшая матеатикаПостроим отрезок МN, равный производная  высшая матеатика как по величине, так и по направлению.

4.Соединяем точки Р и N получаем прямоугольный треугольник РMN, в котором

производная  высшая матеатика
производная  высшая матеатика

Из этого треугольника находим

производная  высшая матеатика

Отсюда заключаем, что PN является искомой касательной. В самом деле, эта прямая проходит через точку Р и имеет угловой коэффициент, равный производная  высшая матеатика

Вторая производная. Производные высших порядков

Определение:

Второй производной называется производная от производной. Вторая производная обозначается у» или f»(x). Так, по определению

производная  высшая матеатика

Пример:

Вычислим Вторую производную от функции производная  высшая матеатика. Последовательно находим

производная  высшая матеатика

Пример:

Найдем вторую производную от функции sin x. Находим у’ = cos х, поэтому у» = — sin.

Пример:

Найдем у», если производная  высшая матеатика. Найдем сначала производная  высшая матеатика,а затем

производная  высшая матеатика

Определение:

Производной порядка n называется производная от производной порядка n—1.

Производная порядка п обозначается производная  высшая матеатикаили производная  высшая матеатика. Исключение представляет третья, четвертая и пятая производные, которые чаще записываютпроизводная  высшая матеатика.

Пример:

Вычислим производную четвертого порядка от функции

производная  высшая матеатика

Последовательно находим: производная  высшая матеатика

производная  высшая матеатика

Пример:

Найдем производная  высшая матеатика, если производная  высшая матеатика.

Последовательно находим:

производная  высшая матеатика
производная  высшая матеатика

Итак, для того чтобы вычислить, скажем, производную десятого порядка, надо вычислить предварительно все производные меньших порядков.

Пример:

Вычислим производную производная  высшая матеатикафункции производная  высшая матеатика. Вычисляем последовательно

производная  высшая матеатика

Очевидно, что и все производные высших порядков будут равны производная  высшая матеатика, так что и производная  высшая матеатика

Если точка движется прямолинейно, но неравномерно, то скорость ее изменяется. Следовательно, можно говорить о скорости изменения скорости. Скорость изменения скорости называется ускорением и обозначается буквой а. Так как скорость выражается при помощи производной, то ускорение будет выражаться через производную от производной, т. е. ускорение есть вторая производная от пути по времени.

Пример:

Тело движется по оси Ох. Расстояние х от начала координат изменяется по закону x = sin t (здесь t обозначает время). Найти скорость и ускорение тела.

Скорость v равна производной, поэтому v = cos t, а ускорение равно второй производной, поэтому а = — sin t.

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

  1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
  2. Функции и графики
  3. Преобразования графиков функций
  4. Квадратная функция и её графики
  5. Алгебраические неравенства
  6. Неравенства
  7. Неравенства с переменными
  8. Прогрессии в математике
  9. Арифметическая прогрессия
  10. Геометрическая прогрессия
  11. Показатели в математике
  12. Логарифмы в математике
  13. Исследование уравнений
  14. Уравнения высших степеней
  15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
  16. Комплексные числа
  17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
  18. Алгебраические уравнения
  19. Неопределенные уравнения
  20. Соединения
  21. Бином Ньютона
  22. Число е
  23. Непрерывные дроби
  24. Функция
  25. Исследование функций
  26. Предел
  27. Интеграл
  28. Двойной интеграл
  29. Тройной интеграл
  30. Интегрирование
  31. Неопределённый интеграл
  32. Определенный интеграл
  33. Криволинейные интегралы
  34. Поверхностные интегралы
  35. Несобственные интегралы
  36. Кратные интегралы
  37. Интегралы, зависящие от параметра
  38. Квадратный трехчлен
  39. Применение производной к исследованию функций
  40. Приложения производной
  41. Дифференциал функции
  42. Дифференцирование в математике
  43. Формулы и правила дифференцирования
  44. Дифференциальное исчисление
  45. Дифференциальные уравнения
  46. Дифференциальные уравнения первого порядка
  47. Дифференциальные уравнения высших порядков
  48. Дифференциальные уравнения в частных производных
  49. Тригонометрические функции
  50. Тригонометрические уравнения и неравенства
  51. Показательная функция
  52. Показательные уравнения
  53. Обобщенная степень
  54. Взаимно обратные функции
  55. Логарифмическая функция
  56. Уравнения и неравенства
  57. Положительные и отрицательные числа
  58. Алгебраические выражения
  59. Иррациональные алгебраические выражения
  60. Преобразование алгебраических выражений
  61. Преобразование дробных алгебраических выражений
  62. Разложение многочленов на множители
  63. Многочлены от одного переменного
  64. Алгебраические дроби
  65. Пропорции
  66. Уравнения
  67. Системы уравнений
  68. Системы уравнений высших степеней
  69. Системы алгебраических уравнений
  70. Системы линейных уравнений
  71. Системы дифференциальных уравнений
  72. Арифметический квадратный корень
  73. Квадратные и кубические корни
  74. Извлечение квадратного корня
  75. Рациональные числа
  76. Иррациональные числа
  77. Арифметический корень
  78. Квадратные уравнения
  79. Иррациональные уравнения
  80. Последовательность
  81. Ряды сходящиеся и расходящиеся
  82. Тригонометрические функции произвольного угла
  83. Тригонометрические формулы
  84. Обратные тригонометрические функции
  85. Теорема Безу
  86. Математическая индукция
  87. Показатель степени
  88. Показательные функции и логарифмы
  89. Множество
  90. Множество действительных чисел
  91. Числовые множества
  92. Преобразование рациональных выражений
  93. Преобразование иррациональных выражений
  94. Геометрия
  95. Действительные числа
  96. Степени и корни
  97. Степень с рациональным показателем
  98. Тригонометрические функции угла
  99. Тригонометрические функции числового аргумента
  100. Тригонометрические выражения и их преобразования
  101. Преобразование тригонометрических выражений
  102. Комбинаторика
  103. Вычислительная математика
  104. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
  105. Прямая и плоскость
  106. Линии и уравнения
  107. Прямая линия
  108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
  109. Кривые второго порядка
  110. Кривые и поверхности второго порядка
  111. Числовые ряды
  112. Степенные ряды
  113. Ряды Фурье
  114. Преобразование Фурье
  115. Функциональные ряды
  116. Функции многих переменных
  117. Метод координат
  118. Гармонический анализ
  119. Вещественные числа
  120. Предел последовательности
  121. Аналитическая геометрия
  122. Аналитическая геометрия на плоскости
  123. Аналитическая геометрия в пространстве
  124. Функции одной переменной
  125. Высшая алгебра
  126. Векторная алгебра
  127. Векторный анализ
  128. Векторы
  129. Скалярное произведение векторов
  130. Векторное произведение векторов
  131. Смешанное произведение векторов
  132. Операции над векторами
  133. Непрерывность функций
  134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
  135. Предел и непрерывность функции одной переменной
  136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
  137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
  138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
  139. Матрицы
  140. Линейные и евклидовы пространства
  141. Линейные отображения
  142. Дифференциальные теоремы о среднем
  143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
  144. Функции комплексного переменного
  145. Преобразование Лапласа
  146. Теории поля
  147. Операционное исчисление
  148. Системы координат
  149. Рациональная функция
  150. Интегральное исчисление
  151. Интегральное исчисление функций одной переменной
  152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
  153. Отношение в математике
  154. Математическая логика
  155. Графы в математике
  156. Линейные пространства
  157. Первообразная и неопределенный интеграл
  158. Линейная функция
  159. Выпуклые множества точек
  160. Система координат