Оглавление:
Подмножество прямого произведения называется
— местным отношением R на множестве М, т. е.
Это означает, что рассматриваются некоторые
-ки элементов из одного и того же множества М и эти элементы находятся между собой в отношении R. Отношение может быть задано на множестве элементов любой природы.
Если то отношение называется унарным. Установить на М унарное отношение означает приписать некоторым его элементам признак R. По существу, одноместное отношение есть подмножество М. Примеры унарных отношений: «быть целым числом» на множестве вещественных чисел, «быть открытым слогом» на множестве слогов и т.п.
Если то отношение называется бинарным. Эти отношения обычно записывают как
(или
и говорят, что элементы
и
из множества М находятся между собой в отношении R. Например, «продукт
чаще покупают, чем
».Существуют также тернарные
тетрарные
— арные отношения. Для задания бинарных отношений на конечных множествах удобно использовать списки пар или таблицы (матрицы). В этом случае, если элементы и у находятся между собой в отношении R, то в матрице на соответствующем месте пишут 1, в противном случае пишут ноль. Например, отношение «быть больше» на множестве чисел
можно задать так:
![Отношения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-48406.png)
Таблица этого отношения имеет вид, представленный на рис. 1.13.
![Отношения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-48408.png)
Бинарные отношения удобно задавать с помощью ориентированных графов (см. главу 1.6). Отношение называется полным, если Это означает, что все элементы множества М находятся в отношении R. Например, отношение «учиться в одной учебной группе» на множестве студентов данной учебной группы является полным, но отношение «быть сыном» не является полным на множестве всех людей. Если
Например, множество М — отрезок числовой оси, тогда полное отношение
заданное на отрезке числовой оси, геометрически соответствует квадрату со стороной М (см. рис. 1.14).
Отношение называется тождественным, если оно равносильно отношению Тождественное отношение обычно обозначают буквой Е. Таблица такого отношения представляет собой единичную матрицу. Примером тождественного отношения
![Отношения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-48441.png)
является отношение равенства на множестве вещественных чисел.
Так как отношения — это множества, то для них справедливы все теоретико-множественные операции, но существуют операции специфические для отношений.
Для отношения R определена операция обращения. Отношение обратно к R, если
Переход от R к
осуществляется взаимной перестановкой компонент каждой упорядоченной пары. Пример обратных отношений: «
старше
» и «
старше
». Композицией двух отношений R и Р, заданных на множестве М, называется отношение
такое, что для любых
существует хотя бы один элемент
такой, что если
и
Можно доказать важное свойство композиции:
Пример. Пусть заданы отношения в виде таблиц.
![Отношения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-48523.png)
Отношения удобно представить в виде списков пар: для R это пары , соответственно для Р это пары
Композицией двух отношений R и Р будет отношение
состоящее из следующих пар:
так как существует элемент
такой, что он входит в пары
так как существует элемент
такой, что он входит в пары
(таким же свойством обладает и элемент
и так далее.
Таблица, соответствующая композиции
![Отношения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-48653.png)
Свойства отношений
Рефлексивность. Отношение R, заданное на множестве М называется рефлексивным, если для любого имеет место
Формально рефлексивность можно задать так:
Рефлексивное отношение всегда выполняется между объектом и им самим. Наиболее яркими примерами рефлексивных отношений являются самообслуживание и равенство.
Антирефлексивность. Отношение R, заданное на множестве М, антирефлексивно, если В антирефлексивных отношениях из условия
следует, что
Примеры антирефлексивных отношений: быть старше, быть меньше и др.
Симметричность. Отношение R, заданное на множестве М, называется симметричным, если при выполнении соотношения одновременно выполняется и соотношение
Формально соотношение симметрично, если
Например, отношения «стоять рядом на полке» на множестве книг или « быть родственниками» на множестве людей симметричны.
Асимметричность. Отношение R, заданное на множестве М, называется асимметричным, если В асимметричных отношениях из двух соотношений
и
может выполняться не более одного (одно или не одного). Пример асимметричного отношения: «быть отцом» (если
— отец
, то
не может быть отцом
).
Антисимметричность. Отношение R, заданное на множестве М, обладает свойством антисимметричности, если Это означает, что если для
одновременно выполняются соотношения
Антисимметричны все отношения нестрогого порядка: «быть не больше», «быть не выше» и т.п.
Транзитивность. Отношение R, заданное на множестве М, транзитивно, если для любых из выполнимости со-
отношений следует
Формально это можно записать так:
Про отношение, не обладающее таким свойством говорят, что оно нетранзитивно. Например, отношение «стоять рядом на полке» нетранзитивно. Действительно, пусть тома некоторой энциклопедии стоят в порядке возрастания номеров томов. Тогда, если первый том стоит рядом со вторым, а второй — рядом с третьим, то, очевидно, что первый не стоит рядом с третьим.
Все общие свойства отношений можно разбить на три группы: рефлексивности (каждое отношение рефлексивно или ан-тирефлексивно), симметричности (отношение всегда или симметрично, или асимметрично, или антисимметрично), транзитивности (каждое отношение транзитивно или не транзитив-но). Отношениям, обладающим определенным набором свойств, присвоены специальные названия.
Отношение эквивалентности
Отношение R, обладающее свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности называется отношением эквивалентности. Для эквивалентных отношений вместо записи обычно пишут
(читается: «
эквивалентно
»). Эквивалентными отношениями являются: «быть конгруэнтными» на множестве плоских треугольников, «быть одного размера» на множестве образцов обуви, «быть родственниками» на множестве людей и т.п.
Введение отношения эквивалентности R на множестве М определяет разбиение всех элементов этого множества на классы эквивалентности Множество всех классов эквивалентности
образует фактор множество множества М и обозначается M/R. При этом каждый элемент данного класса является полномочным представителем этого класса. Совокупность по одному и только по одному представителю каждого класса называется системой представителей соответствующего отношения эквивалентности. Примером введения отношения эквивалентности и образования системы представителей может служить формирование представительного органа власти на основе выборов.
Отношение толерантности
Отношение заданное на множестве М, называется отношением толерантности, если оно рефлексивно, симметрично и нетранзитивно. Обозначение:
Если потребовать транзитивность всех пар элементов из М, то получим эквивалентное отношение. Следовательно, толерантность может рассматриваться как расширение эквивалентности. Эквивалентность — в смысле равенства, толерантность — в смысле сходства, похожести. Содержательно толерантность означает следующее: объект находится в данном отношении сам с собой (рефлексивность), сходство двух объектов не зависит от порядка сравнения (симметричность), но если первый объект сходен со вторым, а второй сходен с третьим, то не обязательно, что первый был сходен с третьим. Толерантность позволяет третьим, то не обязательно, что первый был сходен с третьим. Толерантность позволяет формализовать интуитивные представление о сходстве объектов, их похожести в чем-то. Например, отношение
«быть на расстоянии не более r», заданное на множестве точек на плоскости. Рис. 1.15 иллюстрирует этот пример. Точка А отстоит от В и С не более чем на r, так же как точка В от Д и С в то время как А находится от Д на расстоянии, значительно большем, чем r.
![Отношения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-53047.png)
Отношение порядка
Отношение R, обладающее свойствами рефлексивности, антисимметричности и транзитивности, называется отношением порядка. Если на данном множестве введено отношение порядка, то это множество называется упорядоченным. В этом случае вместо пишут
Множество совершенно упорядочено, если для любых двух элементов
и
из множества М
имеет место либо , либо
В противном случае говорят, что множество частично упорядочено. Например, отношение «быть выше» на множестве деревьев — совершенно упорядочено, а отношение «быть делителем» на множестве целых чисел — частично упорядочено.
Пусть каждому элементу из множества М по некоторому правилу f поставлено в соответствие вещественное число
вес элемента
. Введение веса для каждого элемента позволяет упорядочить их по мере возрастания (убывания) весов, а затем сравнивать элементы в соответствии с присвоенным весом. Примерами упорядочения посредством введения весов являются: присвоению каждому товару его цены, каждому станку его надежности, каждому телу его веса, объема и т.п. Взвешивание вариантов решений посредством формирования комплексного показателя качества является одним из самых распространенных способов решения проблемы выбора на множестве разнокачественных признаков.
Если отношение обладает свойствами антирефлексивности, асимметричности и транзитивности, то оно называется отношением строгого порядка (обозначается ). Примером отношения строгого порядка является порядок букв в фиксированном алфавите. Упорядочение букв в алфавите позволяет, в свою очередь, упорядочить слова в словарях (лексикографическое упорядочение слов).
Группы. Кольца. Пространства
Множество называется группой, если определена бинарная операция, которая каждой паре элементов а, b множества G ставит в соответствие объект
так, что
1) объект является элементом множества G (замкнутость по отношению к операции);
2) (справедлив ассоциативный закон);
3) множество G содержит такой элемент Е, что
![Отношения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-53166.png)
4) для каждого элемента а существует обратный такой что
![Отношения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-53173.png)
Если для всех элементов группы то бинарная операция называется коммутативной, а группа — Абелевой группой.
Множество G называется кольцом, если на нем определены две бинарные операции, которые обычно называются умножением и сложением, и, кроме того:
1.G есть коммутативная группа по сложению, т. е. G замкнуто по отношению к операции сложения и справедливо, что
![Отношения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-53202.png)
Здесь «0» — нулевой элемент, а « -а» — обратный.
2.G замкнуто по отношению к умножению, т. е. аb принадлежит множеству G, причем
![Отношения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-53215.png)
3.Выполняются дистрибутивные законы
![Отношения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-53223.png)
Если кольцо содержит такой элемент Е, что а Е = Е а = а, то кольцо называют кольцом с единицей. Элементы кольца называют скалярами. Множество R с элементами называется линейным векторным пространством над кольцом G , а элементы
векторами, если определены две бинарные операции векторное сложение и умножение вектора на скаляр, причем
1.R есть коммутативная группа по векторному сложению, т. е. R замкнуто по отношению к операции сложения и справедливо, что
![Отношения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-53264.png)
2.Если вектор из R и а есть скаляр из G, то R замкнуто по отношению к умножению вектора на скаляр.
3.При умножении вектора на скаляр справедливы ассоциативный и дистрибутивный законы:
![Отношения](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-53282.png)
Решение заданий и задач по предметам:
Дополнительные лекции по высшей математике:
- Тождественные преобразования алгебраических выражений
- Функции и графики
- Преобразования графиков функций
- Квадратная функция и её графики
- Алгебраические неравенства
- Неравенства
- Неравенства с переменными
- Прогрессии в математике
- Арифметическая прогрессия
- Геометрическая прогрессия
- Показатели в математике
- Логарифмы в математике
- Исследование уравнений
- Уравнения высших степеней
- Уравнения высших степеней с одним неизвестным
- Комплексные числа
- Непрерывная дробь (цепная дробь)
- Алгебраические уравнения
- Неопределенные уравнения
- Соединения
- Бином Ньютона
- Число е
- Непрерывные дроби
- Функция
- Исследование функций
- Предел
- Интеграл
- Двойной интеграл
- Тройной интеграл
- Интегрирование
- Неопределённый интеграл
- Определенный интеграл
- Криволинейные интегралы
- Поверхностные интегралы
- Несобственные интегралы
- Кратные интегралы
- Интегралы, зависящие от параметра
- Квадратный трехчлен
- Производная
- Применение производной к исследованию функций
- Приложения производной
- Дифференциал функции
- Дифференцирование в математике
- Формулы и правила дифференцирования
- Дифференциальное исчисление
- Дифференциальные уравнения
- Дифференциальные уравнения первого порядка
- Дифференциальные уравнения высших порядков
- Дифференциальные уравнения в частных производных
- Тригонометрические функции
- Тригонометрические уравнения и неравенства
- Показательная функция
- Показательные уравнения
- Обобщенная степень
- Взаимно обратные функции
- Логарифмическая функция
- Уравнения и неравенства
- Положительные и отрицательные числа
- Алгебраические выражения
- Иррациональные алгебраические выражения
- Преобразование алгебраических выражений
- Преобразование дробных алгебраических выражений
- Разложение многочленов на множители
- Многочлены от одного переменного
- Алгебраические дроби
- Пропорции
- Уравнения
- Системы уравнений
- Системы уравнений высших степеней
- Системы алгебраических уравнений
- Системы линейных уравнений
- Системы дифференциальных уравнений
- Арифметический квадратный корень
- Квадратные и кубические корни
- Извлечение квадратного корня
- Рациональные числа
- Иррациональные числа
- Арифметический корень
- Квадратные уравнения
- Иррациональные уравнения
- Последовательность
- Ряды сходящиеся и расходящиеся
- Тригонометрические функции произвольного угла
- Тригонометрические формулы
- Обратные тригонометрические функции
- Теорема Безу
- Математическая индукция
- Показатель степени
- Показательные функции и логарифмы
- Множество
- Множество действительных чисел
- Числовые множества
- Преобразование рациональных выражений
- Преобразование иррациональных выражений
- Геометрия
- Действительные числа
- Степени и корни
- Степень с рациональным показателем
- Тригонометрические функции угла
- Тригонометрические функции числового аргумента
- Тригонометрические выражения и их преобразования
- Преобразование тригонометрических выражений
- Комбинаторика
- Вычислительная математика
- Прямая линия на плоскости и ее уравнения
- Прямая и плоскость
- Линии и уравнения
- Прямая линия
- Уравнения прямой и плоскости в пространстве
- Кривые второго порядка
- Кривые и поверхности второго порядка
- Числовые ряды
- Степенные ряды
- Ряды Фурье
- Преобразование Фурье
- Функциональные ряды
- Функции многих переменных
- Метод координат
- Гармонический анализ
- Вещественные числа
- Предел последовательности
- Аналитическая геометрия
- Аналитическая геометрия на плоскости
- Аналитическая геометрия в пространстве
- Функции одной переменной
- Высшая алгебра
- Векторная алгебра
- Векторный анализ
- Векторы
- Скалярное произведение векторов
- Векторное произведение векторов
- Смешанное произведение векторов
- Операции над векторами
- Непрерывность функций
- Предел и непрерывность функций нескольких переменных
- Предел и непрерывность функции одной переменной
- Производные и дифференциалы функции одной переменной
- Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
- Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- Матрицы
- Линейные и евклидовы пространства
- Линейные отображения
- Дифференциальные теоремы о среднем
- Теория устойчивости дифференциальных уравнений
- Функции комплексного переменного
- Преобразование Лапласа
- Теории поля
- Операционное исчисление
- Системы координат
- Рациональная функция
- Интегральное исчисление
- Интегральное исчисление функций одной переменной
- Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- Математическая логика
- Графы в математике
- Линейные пространства
- Первообразная и неопределенный интеграл
- Линейная функция
- Выпуклые множества точек
- Система координат