Отношение в математике с примерами решения и образцами выполнения

Оглавление:

Подмножество прямого произведения Отношения называется — местным отношением R на множестве М, т. е. Это означает, что рассматриваются некоторые -ки элементов из одного и того же множества М и эти элементы находятся между собой в отношении R. Отношение может быть задано на множестве элементов любой природы.

Если Отношения то отношение называется унарным. Установить на М унарное отношение означает приписать некоторым его элементам признак R. По существу, одноместное отношение есть подмножество М. Примеры унарных отношений: «быть целым числом» на множестве вещественных чисел, «быть открытым слогом» на множестве слогов и т.п.

Если то отношение называется бинарным. Эти отношения обычно записывают как (или и говорят, что элементы и из множества М находятся между собой в отношении R. Например, «продукт чаще покупают, чем ».Существуют также тернарные тетрарные — арные отношения. Для задания бинарных отношений на конечных множествах удобно использовать списки пар или таблицы (матрицы). В этом случае, если элементы и у находятся между собой в отношении R, то в матрице на соответствующем месте пишут 1, в противном случае пишут ноль. Например, отношение «быть больше» на множестве чисел Отношения можно задать так:

Таблица этого отношения имеет вид, представленный на рис. 1.13.

Бинарные отношения удобно задавать с помощью ориентированных графов (см. главу 1.6). Отношение называется полным, если Это означает, что все элементы множества М находятся в отношении R. Например, отношение «учиться в одной учебной группе» на множестве студентов данной учебной группы является полным, но отношение «быть сыном» не является полным на множестве всех людей. Если Отношения Например, множество М — отрезок числовой оси, тогда полное отношение заданное на отрезке числовой оси, геометрически соответствует квадрату со стороной М (см. рис. 1.14).

Отношение называется тождественным, если оно равносильно отношению Тождественное отношение обычно обозначают буквой Е. Таблица такого отношения представляет собой единичную матрицу. Примером тождественного отношения

является отношение равенства на множестве вещественных чисел.

Так как отношения — это множества, то для них справедливы все теоретико-множественные операции, но существуют операции специфические для отношений.

Для отношения R определена операция обращения. Отношение обратно к R, если Переход от R к осуществляется взаимной перестановкой компонент каждой упорядоченной пары. Пример обратных отношений: « Отношения старше » и « старше ». Композицией двух отношений R и Р, заданных на множестве М, называется отношение такое, что для любых существует хотя бы один элемент Отношения такой, что если и Можно доказать важное свойство композиции:

Пример. Пусть заданы отношения в виде таблиц.

Отношения удобно представить в виде списков пар: для R это пары , соответственно для Р это пары Композицией двух отношений R и Р будет отношение состоящее из следующих пар: Отношения так как существует элемент такой, что он входит в пары так как существует элемент такой, что он входит в пары (таким же свойством обладает и элемент и так далее.

Таблица, соответствующая композиции Отношения

Свойства отношений

Рефлексивность. Отношение R, заданное на множестве М называется рефлексивным, если для любого Отношения имеет место Формально рефлексивность можно задать так: Рефлексивное отношение всегда выполняется между объектом и им самим. Наиболее яркими примерами рефлексивных отношений являются самообслуживание и равенство.

Антирефлексивность. Отношение R, заданное на множестве М, антирефлексивно, если В антирефлексивных отношениях из условия следует, что Примеры антирефлексивных отношений: быть старше, быть меньше и др.

Симметричность. Отношение R, заданное на множестве М, называется симметричным, если при выполнении соотношения одновременно выполняется и соотношение Формально соотношение симметрично, если Например, отношения «стоять рядом на полке» на множестве книг или « быть родственниками» на множестве людей симметричны.

Асимметричность. Отношение R, заданное на множестве М, называется асимметричным, если В асимметричных отношениях из двух соотношений и может выполняться не более одного (одно или не одного). Пример асимметричного отношения: «быть отцом» (если — отец , то не может быть отцом ).

Антисимметричность. Отношение R, заданное на множестве М, обладает свойством антисимметричности, если Это означает, что если для одновременно выполняются соотношения Антисимметричны все отношения нестрогого порядка: «быть не больше», «быть не выше» и т.п.

Транзитивность. Отношение R, заданное на множестве М, транзитивно, если для любых Отношения из выполнимости со-

отношений Отношения следует Формально это можно записать так: Про отношение, не обладающее таким свойством говорят, что оно нетранзитивно. Например, отношение «стоять рядом на полке» нетранзитивно. Действительно, пусть тома некоторой энциклопедии стоят в порядке возрастания номеров томов. Тогда, если первый том стоит рядом со вторым, а второй — рядом с третьим, то, очевидно, что первый не стоит рядом с третьим.

Все общие свойства отношений можно разбить на три группы: рефлексивности (каждое отношение рефлексивно или ан-тирефлексивно), симметричности (отношение всегда или симметрично, или асимметрично, или антисимметрично), транзитивности (каждое отношение транзитивно или не транзитив-но). Отношениям, обладающим определенным набором свойств, присвоены специальные названия.

Отношение эквивалентности

Отношение R, обладающее свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности называется отношением эквивалентности. Для эквивалентных отношений вместо записи обычно пишут (читается: « эквивалентно »). Эквивалентными отношениями являются: «быть конгруэнтными» на множестве плоских треугольников, «быть одного размера» на множестве образцов обуви, «быть родственниками» на множестве людей и т.п.

Введение отношения эквивалентности R на множестве М определяет разбиение всех элементов этого множества на классы эквивалентности Множество всех классов эквивалентности образует фактор множество множества М и обозначается M/R. При этом каждый элемент данного класса является полномочным представителем этого класса. Совокупность по одному и только по одному представителю каждого класса называется системой представителей соответствующего отношения эквивалентности. Примером введения отношения эквивалентности и образования системы представителей может служить формирование представительного органа власти на основе выборов.

Отношение толерантности

Отношение Отношения заданное на множестве М, называется отношением толерантности, если оно рефлексивно, симметрично и нетранзитивно. Обозначение: Если потребовать транзитивность всех пар элементов из М, то получим эквивалентное отношение. Следовательно, толерантность может рассматриваться как расширение эквивалентности. Эквивалентность — в смысле равенства, толерантность — в смысле сходства, похожести. Содержательно толерантность означает следующее: объект находится в данном отношении сам с собой (рефлексивность), сходство двух объектов не зависит от порядка сравнения (симметричность), но если первый объект сходен со вторым, а второй сходен с третьим, то не обязательно, что первый был сходен с третьим. Толерантность позволяет третьим, то не обязательно, что первый был сходен с третьим. Толерантность позволяет формализовать интуитивные представление о сходстве объектов, их похожести в чем-то. Например, отношение Отношения «быть на расстоянии не более r», заданное на множестве точек на плоскости. Рис. 1.15 иллюстрирует этот пример. Точка А отстоит от В и С не более чем на r, так же как точка В от Д и С в то время как А находится от Д на расстоянии, значительно большем, чем r.

Отношение порядка

Отношение R, обладающее свойствами рефлексивности, антисимметричности и транзитивности, называется отношением порядка. Если на данном множестве введено отношение порядка, то это множество называется упорядоченным. В этом случае вместо Отношения пишут Множество совершенно упорядочено, если для любых двух элементов и из множества М

имеет место либо Отношения , либо В противном случае говорят, что множество частично упорядочено. Например, отношение «быть выше» на множестве деревьев — совершенно упорядочено, а отношение «быть делителем» на множестве целых чисел — частично упорядочено.

Пусть каждому элементу Отношения из множества М по некоторому правилу f поставлено в соответствие вещественное число вес элемента . Введение веса для каждого элемента позволяет упорядочить их по мере возрастания (убывания) весов, а затем сравнивать элементы в соответствии с присвоенным весом. Примерами упорядочения посредством введения весов являются: присвоению каждому товару его цены, каждому станку его надежности, каждому телу его веса, объема и т.п. Взвешивание вариантов решений посредством формирования комплексного показателя качества является одним из самых распространенных способов решения проблемы выбора на множестве разнокачественных признаков.

Если отношение обладает свойствами антирефлексивности, асимметричности и транзитивности, то оно называется отношением строгого порядка (обозначается ). Примером отношения строгого порядка является порядок букв в фиксированном алфавите. Упорядочение букв в алфавите позволяет, в свою очередь, упорядочить слова в словарях (лексикографическое упорядочение слов).

Группы. Кольца. Пространства

Множество Отношения называется группой, если определена бинарная операция, которая каждой паре элементов а, b множества G ставит в соответствие объект так, что

1) объект Отношения является элементом множества G (замкнутость по отношению к операции);

2) Отношения (справедлив ассоциативный закон);

3) множество G содержит такой элемент Е, что

4) для каждого элемента а существует обратный Отношения такой что

Если для всех элементов группы Отношения то бинарная операция называется коммутативной, а группа — Абелевой группой.

Множество G называется кольцом, если на нем определены две бинарные операции, которые обычно называются умножением и сложением, и, кроме того:

1.G есть коммутативная группа по сложению, т. е. G замкнуто по отношению к операции сложения и справедливо, что

Здесь «0» — нулевой элемент, а « -а» — обратный.

2.G замкнуто по отношению к умножению, т. е. аb принадлежит множеству G, причем

3.Выполняются дистрибутивные законы

Если кольцо содержит такой элемент Е, что а Е = Е а = а, то кольцо называют кольцом с единицей. Элементы кольца называют скалярами. Множество R с элементами Отношения называется линейным векторным пространством над кольцом G , а элементы векторами, если определены две бинарные операции векторное сложение и умножение вектора на скаляр, причем

1.R есть коммутативная группа по векторному сложению, т. е. R замкнуто по отношению к операции сложения и справедливо, что

2.Если Отношения вектор из R и а есть скаляр из G, то R замкнуто по отношению к умножению вектора на скаляр.

3.При умножении вектора на скаляр справедливы ассоциативный и дистрибутивный законы:

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике: