Ряды сходящиеся и расходящиеся в математике с примерами решения и образцами выполнения

Оглавление:

Задачи, приводящие к возникновению понятия ряда:

Понятие ряда возникает при рассмотрении очень многих важных вопросов.

Примеры:

1. Выяснение смысла бесконечной периодической десятичной дроби, например,

сводится к выяснению смысла следующего выражения:

имеющего вид бесконечной последовательности слагаемых.

2. Число Ряды сходящиеся и расходящиеся , как это доказывается в курсе высшей математики, может быть изображено выражением

3. Если пересечь плоскостью поверхность прямого круглого конуса так, чтобы образовалась замкнутая линия, то получим кривую линию, называемую эллипсом (рис. 142).

Пусть имеется эллипс с размерами, указанными на рисунке 143.

Точная длина l этого эллипса изобразится, как это доказывается в высшей математике, так:

В квадратных скобках содержится опять же выражение, имеющее вид бесконечной последовательности слагаемых.

Чем больше членов мы будем брать внутри квадратных скобок, тем точнее будем находить значение l, т. е. значение длины эллипса.

4. Если считать х радианной мерой угла, то, как доказывается в курсе высшей математики, точное выражение sin x может быть представлено так:

Эти примеры показывают, что изучение выражений, имеющих вид суммы бесконечной последовательности слагаемых, необходимо и полезно.

Понятие ряда

Определение:

Выражение

в котором являются членами последовательности, называется рядом.

n-й член ряда, т. е. Ряды сходящиеся и расходящиеся , называется общим членом ряда.

Ряд содержит бесконечно много членов. Поэтому в нем не может быть члена, который можно было бы назвать последним.

Сумма первых n членов ряда называется его частной суммой порядка n и обозначается символом Ряды сходящиеся и расходящиеся . Эту сумму будем называть для краткости усеченной суммой ряда. Значит,

Если Ряды сходящиеся и расходящиеся , где S — определенное число, то ряд называется сходящимся, а число S называется суммой этого ряда.

Если Ряды сходящиеся и расходящиеся или не существует, то ряд называется расходящимся. В этом случае говорят, что ряд не имеет суммы.

Итак, суммой сходящегося рядя называется предел суммы первых n его членов при n стремящемся к бесконечности.

Было бы неправильно называть суммой ряда сумму всех его членов, так как этих членов имеется бесконечно много. Подсчитать же сумму, в которой бесконечно много слагаемых, невозможно. Поэтому фраза «сумма всех членов ряда» является бессмысленной.

Примеры вычисления сумм сходящихся рядов

1. Найти сумму ряда:

Сначала найдем усеченную сумму этого ряда:

Каждое слагаемое данной суммы можно представить в новой форме:

Благодаря этому наша усеченная сумма примет вид:

или

Сумма S данного ряда определяется так:

Итак, данный ряд является сходящимся и имеет сумму, равную Ряды сходящиеся и расходящиеся .

2. Найти сумму ряда

Сначала найдем усеченную сумму этого ряда:

Пользуясь формулой суммы членов конечной геометрической прогрессии, получим:

Сумма S данного ряда определяется формулой

Итак, данный ряд является сходящимся и имеет сумму, равную 2.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма

Определение:

Бесконечную геометрическую прогрессию мы называем бесконечно убывающей, если ее знаменатель по абсолютной величине меньше 1.

Рассмотрим ряд

в котором |q| < 1.

В этом ряду члены идут по закону геометрической прогрессии со знаменателем q.

Докажем, что такой ряд всегда сходится и имеет сумму S, определяемую формулой

Сначала найдем усеченную сумму данного ряда:

Пользуясь формулой суммы членов конечной геометрической прогрессии, получим:

Сумма S данного ряда определяется так:

Здесь мы воспользовались тем, что при |q| < 1

Итак, данный ряд сходится и имеет сумму, равную Ряды сходящиеся и расходящиеся

Сумму ряда

в котором |q| < 1 называют ради краткости «суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии».

Обратите внимание на то, что было бы неправильно сказать: «сумма членов бесконечно убывающей прогрессии».

Итак, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна первому члену, деленному на разность между единицей и знаменателем прогрессии, т. е.

Пример:

Найти сумму ряда:

Здесь

Поэтому

Пример:

Чистую периодическую дробь 0,(13) обратить в обыкновенную.

Здесь Ряды сходящиеся и расходящиеся . Поэтому

Пример:

Смешанную периодическую дробь 0,3(8) обратить в обыкновенную.

Пример:

Найти сумму ряда:

Найдем усеченную сумму Ряды сходящиеся и расходящиеся , т. е. сумму n первых членов этого ряда:

Умножив обе части этого равенства на Ряды сходящиеся и расходящиеся , получим:

или

Отсюда

Теперь сумма S данного ряда определится так: Ряды сходящиеся и расходящиеся

Но

Итак, сумма данного ряда равна Ряды сходящиеся и расходящиеся , т. е. 2,25.

То что мы принимаем к сведению здесь без доказательства.

Примеры расходящихся рядов

Ряд

расходящийся, так как Ряды сходящиеся и расходящиеся

2. Ряд

расходящийся, так как Ряды сходящиеся и расходящиеся равно 1 при нечетных значениях n и равно нулю при четных значениях n. Поэтому величина при неограниченном возрастании натурального числа n попеременно принимает значения, равные то единице, то нулю, а потому ни к какому пределу не стремится. Значит, данный ряд является расходящимся.

3. Ряд

является расходящимся.

Доказательство:

Если n взять достаточно большим, то число слагаемых, равных Ряды сходящиеся и расходящиеся , может стать сколь угодно большим. Поэтому при неограниченном возрастании числа n величина также будет неограниченно возрастать, т. е. Ряды сходящиеся и расходящиеся . Значит, данный ряд является расходящимся.