Для связи в whatsapp +905441085890

Кривые второго порядка в математике с примерами решения и образцами выполнения

Оглавление:

1) всякая прямая в прямоугольной системе координат Кривые второго порядка определяется уравнением первой степени относительно переменных Кривые второго порядка и Кривые второго порядка;

2) всякое уравнение первой степени Кривые второго порядка в прямоугольной системе координат определяет прямую и притом единственную.

Мы займемся изучением линий, определяемых уравнениями второй степени относительно текущих
координат Кривые второго порядка и Кривые второго порядка:

Кривые второго порядка

Такие линии называются линиями (кривыми) второго порядка. Коэффициенты уравнения (1) могут принимать различные действительные значения, исключая одновременное равенство Кривые второго порядкаи Кривые второго порядка нулю (в противном случае уравнение (1) не будет уравнением второй степени).

Окружность и ее уравнения

Как известно, Окружностью называется множество всех точек плоскости, одинаково удаленных от данной точки, называемой центром.

Пусть дана окружность радиуса Кривые второго порядка с центром в точке Кривые второго порядкатребуется составить ее уравнение.

Возьмем на данной окружности произвольную точку Кривые второго порядка
(рис. 38). Имеем

Кривые второго порядка

Итак, уравнению

Кривые второго порядка

удовлетворяют координаты произвольной точки окружности. Более того, этому уравнению не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на окружности, так как Кривые второго порядка и Кривые второго порядка. Следовательно, (I) есть уравнение окружности радиуса Кривые второго порядкас центром в точке Кривые второго порядка. Если центр окружности находится на оси Кривые второго порядка, т. е. если Кривые второго порядка, то уравнение (I) примет вид

Кривые второго порядка

Если центр окружности находится на оси Кривые второго порядка т. е. если Кривые второго порядкато уравнение (I) примет вид

Кривые второго порядка

Наконец, если центр окружности находится в начале координат, т. е. если Кривые второго порядка, то уравнение (I) примет вид

Кривые второго порядка
Кривые второго порядка

Пример:

Составить уравнение окружности радиуса Кривые второго порядка с центром в точке Кривые второго порядка.

Решение:

Имеем: Кривые второго порядка. Подставив эти значения в уравнение (I), найдем Кривые второго порядкаКривые второго порядка.

Из изложенного выше следует, что уравнение окружности является уравнением второй степени относительно переменных Кривые второго порядка и Кривые второго порядка, как бы она ни была расположена в плоскости Кривые второго порядка. Уравнение окружности (I) является частным случаем общего уравнения второй степени с
переменными Кривые второго порядка

Кривые второго порядка

В самом деле, раскрыв скобки в уравнении (1), получим

Кривые второго порядка

Справедливо следующее утверждение: если в уравнении (5) Кривые второго порядка, то Уравнение (5) определяет окружность.

Действительно, разделив уравнение (5) почленно на Кривые второго порядка, получим:

Кривые второго порядка

Дополним группы членов, стоящие в скобках, до полного квадрата:

Кривые второго порядка

или

Кривые второго порядка

Положим Кривые второго порядка Так как, по условию, Кривые второго порядка то можно положить Кривые второго порядка
Получим

Кривые второго порядка

Если в уравнении Кривые второго порядка то оно определяет точку Кривые второго порядка (говорят также, что окружность вырождается в точку). Если же Кривые второго порядка то уравнению (5) не удовлетворяет ни одна пара действительных чисел (говорят также, что уравнение (5) определяет «мнимую» окружность).

Пример:

Найти координаты центра и радиус окружности

Кривые второго порядка

Решение:

Сравнивая данное уравнение с уравнением (1), находим: Кривые второго порядка. Следовательно, Кривые второго порядка.

Пример:

Установить, какое из уравнений:

Кривые второго порядка

определяет окружность. Найти координаты центра и радиус каждой из них.

Решение:

Первое уравнение не определяет окружность, потому что Кривые второго порядка. Во втором уравнении Кривые второго порядка. Однако и оно не определяет окружность, потому что Кривые второго порядка. В третьем уравнении условия Кривые второго порядка выполняются. Для окончательного вывода преобразуем его так:

Кривые второго порядка

или

Кривые второго порядка

Это уравнение, а следовательно, и уравнение 3), определяет окружность с центром Кривые второго порядка и радиусом Кривые второго порядка.

В четвертом уравнении также выполняются условия Кривые второго порядка Однако преобразовав его к виду
Кривые второго порядка, устанавливаем, что оно не определяет никакой линии.

Эллипс и его каноническое уравнение

Определение:

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая расстояния между фокусами.

Составим уравнение эллипса, фокусы Кривые второго порядка и Кривые второго порядка которого лежат на оси
Кривые второго порядка и находятся на одинаковом расстоянии от
начала координат (рис. 39).

Кривые второго порядка

Обозначив Кривые второго порядка, получим Кривые второго порядка Пусть Кривые второго порядкапроизвольная точка эллипса. Расстояния Кривые второго порядканазываются фокальными радиусами точки Кривые второго порядка. Положим

Кривые второго порядка

тогда, согласно определению эллипса, Кривые второго порядка — величина постоянная и Кривые второго порядка По формуле расстояния между двумя точками находим:

Кривые второго порядка

Подставив найденные значения Кривые второго порядка и Кривые второго порядка в равенство (1), получим уравнение эллипса:

Кривые второго порядка

Преобразуем уравнение (3) следующим образом!

Кривые второго порядка

Имеем: Кривые второго порядка положим

Кривые второго порядка

последнее уравнение примет вид

Кривые второго порядка

или

Кривые второго порядка

Так как координаты Кривые второго порядка и Кривые второго порядка любой точки Кривые второго порядка эллипса удовлетворяют уравнению (3),то они удовлетворяют уравнению (5).

Покажем, что справедливо и обратное: если координаты точки Кривые второго порядка удовлетворяют уравнению (5) то она принадлежит эллипсу.

Пусть Кривые второго порядка — произвольная точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (5). Так как из (5)

Кривые второго порядка

то Кривые второго порядка откуда

Кривые второго порядка

Подставив (6) в соотношения (2) и проведя необходимые упрощения, получим

Кривые второго порядка

Но так как Кривые второго порядка то

Кривые второго порядка

откуда

Кривые второго порядка

и, следовательно,

Кривые второго порядка

т. е. точка Кривые второго порядкадействительно принадлежит эллипсу.

Уравнение (5) называется каноническим уравнением
эллипса.

Исследование формы эллипса по его уравнению

Определим форму эллипса по его каноническому
уравнению

Кривые второго порядка

1. Координаты точки Кривые второго порядка не удовлетворяют уравнению (1), поэтому эллипс, определяемый этим уравнением не проходит через начало координат.

Кривые второго порядка

Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Положив в уравнении (1) Кривые второго порядка, найдем Кривые второго порядка Следовательно, эллипс пересекает ось Кривые второго порядка в точках Кривые второго порядка. Положив в уравнении (1) Кривые второго порядка, найдем точки пересечения эллипса с осью Кривые второго порядка:
Кривые второго порядка (рис.40).

3. Так как в уравнение (1) переменные Кривые второго порядка и Кривые второго порядка входят только в четных степенях, то эллипс симметричен относительно координатных осей, а следовательно, и относительно начала координат.

4. Определим область изменения переменных Кривые второго порядка и Кривые второго порядка. В предыдущем параграфе (см. (7)) мы уже показали, что

Кривые второго порядка

Аналогично, переписав уравнение эллипса (1) в виде

Кривые второго порядка

получим Кривые второго порядка откуда Кривые второго порядка или Кривые второго порядка

Таким образом, все точки эллипса находятся внутри прямоугольника, ограниченного прямыми Кривые второго порядка
(см. рис, 40).

5. Переписав уравнение (1) соответственно в вида

Кривые второго порядка

мы видим, что при возрастании Кривые второго порядка от 0 до Кривые второго порядка величина Кривые второго порядка убывает от Кривые второго порядка до 0, а при возрастании Кривые второго порядка от 0 до Кривые второго порядка величина Кривые второго порядка убывает от Кривые второго порядка до 0. Эллипс имеет форму, изображенную на рис. 41.

Кривые второго порядка

Точки Кривые второго порядка пересечения эллипса с осями координат
называются вершинами эллипса. Отрезок Кривые второго порядка Кривые второго порядка Кривые второго порядка называется
большой осью эллипса, а отрезок Кривые второго порядкамалой осью. Оси Кривые второго порядка являются осями симметрии эллипса, а точка Кривые второго порядкацентром симметрии (или просто центром) эллипса.

Пример:

Определить длину осей и координаты фокусов эллипса Кривые второго порядка

Решение:

Разделив обе части данного уравнения на 1176, приведем его к каноническому виду

Кривые второго порядка

Отсюда

Кривые второго порядка

Имеем:

Кривые второго порядка

Следовательно, Кривые второго порядка

Пример:

Составить каноническое уравнение эллипса, если фокусное расстояние равно 10, а малая ось равна 6.

Решение:

Имеем:

Кривые второго порядка

Следовательно,

Кривые второго порядка

Другие сведения об эллипсе

Мы рассмотрели эллипс, у которого Кривые второго порядка Если же Кривые второго порядка то уравнение

Кривые второго порядка

определяет эллипс, фокусы которого лежат на оси Кривые второго порядка (рис. 42). В этом случае длина большой оси равна Кривые второго порядка, а малой Кривые второго порядка. Кроме того,Кривые второго порядка связаны между собой равенством

Кривые второго порядка

Определение:

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к длине большой оси и обозначается буквой Кривые второго порядка.

Если Кривые второго порядка, то, по определению,

Кривые второго порядка

При Кривые второго порядка имеем

Кривые второго порядка

Из формул (3) и (4) следует Кривые второго порядка. При этом с
увеличением разности между полуосями Кривые второго порядкаи Кривые второго порядка увеличивается соответствующим образом и эксцентриситет

Кривые второго порядка

эллипса, приближаясь к единице; при уменьшении разности между Кривые второго порядка и Кривые второго порядка уменьшается и эксцентриситет, приближаясь к нулю. Таким образом, по величине эксцентриситета можно судить о форме эллипса: чем больше эксцентриситет, тем более вытянут эллипс; чем меньше эксцентриситет, тем круглее эллипс. В частности, если Кривые второго порядка и уравнение эллипса примет вид Кривые второго порядка, которое определяет окружность с центром в начале координат. Таким образом, окружность можно рассматривать как частный случай эллипса, у которого полуоси равны между собой, а следовательно, эксцентриситет равен нулю.

Из рис. 43, на котором изображены эллипсы Кривые второго порядка и окружность Кривые второго порядка, хорошо видна зависимость формы эллипса от его эксцентриситета. В заключение поясним, как можно построить эллипс

Кривые второго порядка

Для этого на осях координат строим вершины эллипса Кривые второго порядка. Затем из вершины Кривые второго порядка (можно из Кривые второго порядка) радиусом, равным а, на большой оси делаем засечки Кривые второго порядка (рис. 44). Это будут фокусы эллипса, потому что Кривые второго порядка. Далее, берем нерастяжимую нить, длина которой равна Кривые второго порядка, и закрепляем ее концы в найденных фокусах. Натягиваем нить

Кривые второго порядка

острием карандаша и описываем кривую, оставляя нить все время в натянутом состоянии.

Пример:

Составить каноническое уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси Кривые второго порядка, если его большая ось равна 14 и Кривые второго порядка

Решение. Так как фокусы лежат на оси Кривые второго порядка, то Кривые второго порядка По
формуле (2) находим:

Кривые второго порядка

Следовательно, искомое уравнение, будет

Кривые второго порядка

Гипербола и ее каноническое уравнение

Определение:

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Составим уравнение гиперболы, фокусы которой Кривые второго порядка лежат на оси Кривые второго порядка и находятся на одинаковом расстоянии от начала координат (рис. 45).

Обозначив Кривые второго порядка получим Кривые второго порядка, Пусть
Кривые второго порядка — произвольная точка гиперболы.

Кривые второго порядка

Расстояния Кривые второго порядка называются фокальными радиусами точки Кривые второго порядка. Согласно определению гиперболы

Кривые второго порядка

где Кривые второго порядка — величина постоянная и Кривые второго порядка Подставив

Кривые второго порядка

в равенство (1), получим уравнение гиперболы

Кривые второго порядка

Уравнение (2) можно привести к более простому виду; для этого преобразуем его следующим образом:

Кривые второго порядка

Имеем: Кривые второго порядка. Положим

Кривые второго порядка

тогда последнее равенство принимает вид

Кривые второго порядка

или

Кривые второго порядка

Так как координаты Кривые второго порядка и Кривые второго порядка любой точки Кривые второго порядка гиперболы удовлетворяют уравнению (2), то они удовлетворяют и уравнению (4).

Как и в случае эллипса (см. конец § 2), можно показать, что справедливо и обратное: если координаты точки Кривые второго порядкаудовлетворяют уравнению (4), то она принадлежит гиперболе.

Уравнение (4) называется каноническим уравнением гиперболы.

Исследование формы гиперболы по ее уравнению

Определим форму гиперболы по ее каноническому уравнению

Кривые второго порядка

1. Координаты точки Кривые второго порядка (0; 0) не удовлетворяют уравнению (1), поэтому гипербола, определяемая этим уравнением, не проходит через начало координат.

2. Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Положив в уравнении (1) Кривые второго порядка, найдем Кривые второго порядка. Следовательно, гипербола пересекает ось Кривые второго порядка в точках Кривые второго порядка. Положив в уравнение (1) Кривые второго порядка, получим Кривые второго порядка, а это означает, что система

Кривые второго порядка

не имеет действительных решений. Следовательно, гипербола не пересекает ось Кривые второго порядка.

3. Так как в уравнение (1) переменные Кривые второго порядка и Кривые второго порядка входят только в четных степенях, то гипербола симметрична относительно координатных осей, а следовательно, и относительно начала координат.

4. Определим область изменения переменных Кривые второго порядка и Кривые второго порядка; для этого из уравнения. (1) находим:

Кривые второго порядка

Имеем: Кривые второго порядка или Кривые второго порядка; из (3) следует, что Кривые второго порядка — любое действительное число. Таким образом, все точки гиперболы расположены слева от прямой Кривые второго порядка и справа от прямой Кривые второго порядка

5. Из (2) следует также, что

Кривые второго порядка

Это означает, что гипербола состоит из двух ветвей, одна из которых расположена справа от прямой Кривые второго порядка, а другая слева от прямой Кривые второго порядка.

Гипербола имеет форму, изображенную на рис. 46.

Точки Кривые второго порядка пересечения гиперболы с осью Кривые второго порядка называются вершинами гиперболы. Отрезок Рис. 46.

Кривые второго порядка

соединяющий вершины гиперболы, называется действительной осью. Отрезок Кривые второго порядка, Кривые второго порядка , называется мнимой осью. Число Кривые второго порядка называется действительной полуосью, число Кривые второго порядкамнимой полуосью. Оси Кривые второго порядка являются осями симметрии гиперболы. Точка Кривые второго порядка пересечения осей симметрии называется центром гиперболы. У гиперболы (1) фокусы Кривые второго порядка всегда находятся на действительной оси.

Пример:

Составить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в точках Кривые второго порядка, а расстояние между фокусами равно 14.

Решение:

Имеем: Кривые второго порядка. По формуле Кривые второго порядка находим Кривые второго порядка

Следовательно, искомое уравнение будет

Кривые второго порядка

Пример:

Составить каноническое уравнение гиперболы с фокусами на оси Кривые второго порядка, если длина ее действительной оси равна 16 и гипербола проходит через точку Кривые второго порядка.

Решение:

Имеем: Кривые второго порядка. Положив в уравнении (1) Кривые второго порядка, получим

Кривые второго порядка

Следовательно,

Кривые второго порядка

Другие сведения о гиперболе

Асимптоты гиперболы

Определение:

Прямая Кривые второго порядка называется
асимптотой кривой Кривые второго порядка при Кривые второго порядка, если

Кривые второго порядка

Аналогично определяется асимптота при Кривые второго порядка. Докажем, что прямые

Кривые второго порядка

являются асимптотами гиперболы

Кривые второго порядка

при Кривые второго порядка

Так как прямые (2) и гипербола (3) симметричны относительно координатных осей, то достаточно рассмотреть только те точки указанных линий, которые расположены в первой четверти (рис. 47). Напишем уравнения прямых (2) и гиперболы (3), соответствую*
щие первой четверти:

Кривые второго порядка

Положив Кривые второго порядка найдем:

Кривые второго порядка

Следовательно, прямые (2) являются асимптотами гиперболы (3).

Отметим, что асимптоты (2) совпадают с диагоналям прямоугольника, стороны которого параллельны осям Кривые второго порядка и Кривые второго порядка и равны соответственно Кривые второго порядка и Кривые второго порядка, а его центр находится в начале координат. При этом ветви гиперболы расположены внутри вертикальных углов,
образуемых асимптотами, и приближаются сколь угодно близко к асимптотам (рис.48).

Кривые второго порядка

Пример:

Составить уравнение гиперболы, проходящей через точку Кривые второго порядка и, имеющей асимптоты Кривые второго порядка

Решение:

Из данных уравнений асимптот имеем:

Кривые второго порядка

Заменив в уравнении гиперболы переменные Кривые второго порядка и Кривые второго порядка координатами точки Кривые второго порядка и Кривые второго порядка его найденным значением, получим:

Кривые второго порядка

Следовательно, искомое уравнение будет

Кривые второго порядка

Эксцентриситет гиперболы

Определение:

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами

Кривые второго порядка


к длине действительной оси и обозначается буквой Кривые второго порядка:

Кривые второго порядка

Из формулы Кривые второго порядка (§ 5) имеем Кривые второго порядка поэтому

Кривые второго порядка

Пример:

Найти эксцентриситет гиперболы Кривые второго порядка.

Решение:

Имеем:

Кривые второго порядка

По формуле (5) находим

Кривые второго порядка

Равносторонняя гипербола

Гипербола называется равносторонней, если длины ее полуосей равны между собой, т. е. Кривые второго порядка. В этом случае уравнение гиперболы принимает вид

Кривые второго порядка

или

Кривые второго порядка

Равносторонняя гипербола определяется одним пара*
метром Кривые второго порядка и асимптотами являются биссектрисы координатных углов:

Кривые второго порядка

У всех равносторонних гипербол один и тот же эксцентриситет:

Кривые второго порядка

Так как асимптоты равносторонней гиперболы взаимно перпендикулярны, их можно принять за оси новой системы координат Кривые второго порядка полученной в результате поворота осей старой системы вокруг начала координат на угол Кривые второго порядка (рис.49).

Кривые второго порядка

Составим уравнение равносторонней гиперболы относительно новой системы координат Кривые второго порядка. Для этого воспользуемся формулами
(4) § 3 гл. 2:

Кривые второго порядка

Положив Кривые второго порядка, получим:

Кривые второго порядка

Отсюда

Кривые второго порядка

Учитывая равенство (6), получим

Кривые второго порядка

Уравнение (8) называется уравнением равносторонней гиперболы, отнесенной к своим асимптотам.

Из уравнения (8) следует, что переменные Кривые второго порядка — величины обратно пропорциональные. Таким образом, равносторонняя гипербола, отнесенная к своим асимптотам, представляет собой график обратно пропорциональной зависимости.

Пример:

Составить каноническое уравнение
равносторонней гиперболы, проходящей через точку Кривые второго порядка.

Решение:

Заменив в уравнении (6) переменные Кривые второго порядкакоординатами точки Кривые второго порядка, получим:

Кривые второго порядка

Следовательно, искомое уравнение будет

Кривые второго порядка

Парабола и ее каноническое уравнение

Определение:

Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, не проходящей через данную точку и
называемой директрисой.

Составим уравнение параболы, фокус Кривые второго порядкакоторой лежит на оси Кривые второго порядка, а
директриса Кривые второго порядка параллельна оси Кривые второго порядка и удалена от нее на такое же расстояние, как и фокус от начала координат (рис.50).

Кривые второго порядка

Расстояние от фокуса Кривые второго порядкадо директрисы Кривые второго порядка называется параметром параболы и обозначается через Кривые второго порядка. Из рис. 50 видно, что Кривые второго порядка следовательно, фокус имеет координаты Кривые второго порядка, а уравнение директрисы имеет вид Кривые второго порядка, или Кривые второго порядка

Пусть Кривые второго порядка — произвольная точка параболы. Соединим точки
Кривые второго порядка и Кривые второго порядка и проведем Кривые второго порядка. Непосредственно из рис. 50 видно, что

Кривые второго порядка

а по формуле расстояния между двумя точками

Кривые второго порядка

согласно определению параболы

Кривые второго порядка

следовательно,

Кривые второго порядка

Уравнение (1) является искомым уравнением параболы. Для упрощения уравнения (1) преобразуем его следующим образом:

Кривые второго порядка

Последнее уравнение эквивалентно

Кривые второго порядка

КоординатыКривые второго порядка точки Кривые второго порядка параболы удовлетворяют уравнению (1), а следовательно, и уравнению (3).

Покажем, что справедливо и обратное: если координаты точки Кривые второго порядка удовлетворяют уравнению (3), то она принадлежит параболе.

Действительно,

Кривые второго порядка

Но так как из (3) Кривые второго порядка, и в левой части последнего уравнения можно оставить знак «плюс», т. е. оно является исходным уравнением параболы (1).

Уравнение (3) называется каноническим уравнением параболы.

Исследование формы параболы по ее уравнению

Определим форму параболы по ее каноническому уравнению

Кривые второго порядка

1. Координаты точки Кривые второго порядка удовлетворяют уравнению (1), следовательно, парабола, определяемая этим уравнением, проходит через начало координат.

2. Так как в уравнение (1) переменная Кривые второго порядка входит только в четной степени, то парабола Кривые второго порядка симметрична относительно оси абсцисс.

3. Имеем:

Кривые второго порядка

Так как Кривые второго порядка. Следовательно, парабола Кривые второго порядкарасположена справа от оси Кривые второго порядка.

4. При возрастании абсциссы Кривые второго порядка ордината Кривые второго порядка изменяется от Кривые второго порядка, т. е. точки параболы неограниченно удаляются как от оси Кривые второго порядка, так и от оси Кривые второго порядка.

Парабола Кривые второго порядка имеет форму, изображенную на рис. 51.

Кривые второго порядка

Ось Кривые второго порядкаявляется осью симметрии параболы. Точка Кривые второго порядка пересечения параболы с осью симметрии называется вершиной параболы. Отрезок Кривые второго порядка называется фокальным радиусом точки Кривые второго порядка.

5. Если фокус параболы лежит слева от оси Кривые второго порядка, а директриса справа от нее, то ветви параболы расположены слева от оси Кривые второго порядка (рис. 52, а). Уравнение такой параболы имеет вид

Кривые второго порядка

Координаты ее фокуса будут Кривые второго порядка; директриса Кривые второго порядка определяется уравнением Кривые второго порядка.

6. Если фокус параболы имеет координаты Кривые второго порядка, а директриса Кривые второго порядка задана уравнением Кривые второго порядка, то ветви параболы направлены вверх (рис. 52,6), а ее уравнение имеет вид

Кривые второго порядка

7. Наконец, если фокус параболы имеет координаты Кривые второго порядкаа директриса Кривые второго порядка задана уравнением Кривые второго порядка, то ветви параболы направлены вниз (рис. 52, в), а ее уравнение имеет вид

Кривые второго порядка
Кривые второго порядка

Пример:

Дана парабола Кривые второго порядка. Найти координаты ее фокуса и составить уравнение директрисы.

Решение:

Данная парабола симметрична относительно оси Кривые второго порядка, ветви направлены вверх. Сравнивая данное уравнение с уравнением (3), находим:

Кривые второго порядка

Следовательно, фокус имеет координаты Кривые второго порядка, а уравнение директрисы будет Кривые второго порядка, или Кривые второго порядка.

Пример:

Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, директриса которой задана уравнением Кривые второго порядка.

Решение:

Из условия задачи следует, что парабола симметрична относительно оси Кривые второго порядка и ветви расположены слева от оси Кривые второго порядка, поэтому искомое уравнение имеет вид Кривые второго порядка. Так как Кривые второго порядка и, следовательно, Кривые второго порядка

Параллельный перенос параболы

Пусть дана парабола с вершиной в точке Кривые второго порядка, ось симметрии которой параллельна оси Кривые второго порядка, а ветви направлены вверх (рис. 53).

Кривые второго порядка

Требуется составить ее уравнение. Сделаем параллельный перенос осей координат, поместив начало в точке Кривые второго порядка. Относительно новой системы координат Кривые второго порядка парабола определяется уравнением

Кривые второго порядка

Чтобы получить уравнение данной параболы относительно старой системы, воспользуемся формулами преобразования прямоугольных координат при параллельном переносе;

Кривые второго порядка

Подставив значения Кривые второго порядка из формул (2) в уравнение (1), получим

Кривые второго порядка

Преобразуем это уравнение следующим образом:

Кривые второго порядка

Положив

Кривые второго порядка

будем иметь

Кривые второго порядка

С уравнением параболы вида (5) читатель хорошо знаком по школьному курсу.

Пример 1. Составить уравнение параболы с вершиной в точке Кривые второго порядка и с фокусом в точке Кривые второго порядка.

Решение. Вершина и фокус данной параболы лежат на прямой, параллельной оси Кривые второго порядка (у них абсциссы одинаковы), ветви параболы направлены вверх (ордината фокуса больше ординаты вершины), расстояние фокуса от вершины равно Кривые второго порядка

Заменив в уравнении (3) Кривые второго порядка и Кривые второго порядка координатами точки Кривые второго порядка и Кривые второго порядкаего найденным значением, получим:

Кривые второго порядка

Пример:

Дано уравнение параболы

Кривые второго порядка

Привести его к каноническому виду.

Решение:

Разрешив данное уравнение относительно переменной Кривые второго порядка, получим

Кривые второго порядка

Сравнивая это уравнение с уравнением (5), находим Кривые второго порядка Из формул (4) имеем: Кривые второго порядка
следовательно, Кривые второго порядка Подставляем найденные значения Кривые второго порядка в уравнение (3):

Кривые второго порядка

Положив Кривые второго порядка получим Кривые второго порядка т. е, каноническое уравнение данной параболы.

Уравнения кривых второго порядка как частные случаи общего уравнения второй степени с двумя переменными

Выше было установлено, что уравнение окружности есть частный случай общего уравнения второй степени с переменными Кривые второго порядка и Кривые второго порядка:

Кривые второго порядка

Покажем, что и канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы являются частными случаями уравнения (1). В самом деле:
1) при Кривые второго порядка и Кривые второго порядкауравнение (1) примет вид

Кривые второго порядка

т. е. определяет эллипс;
2) при Кривые второго порядка и Кривые второго порядкауравнение (1) примет вид

Кривые второго порядка

т. е. определяет гиперболу;
3) при Кривые второго порядка и Кривые второго порядка уравнение (1) примет вид Кривые второго порядка т. е. определяет параболу.

Дополнение к кривым второго порядка

Пусть задана кривая, определяемая уравнением второй степени

Кривые второго порядка

где Кривые второго порядка — действительные числа; Кривые второго порядка и Кривые второго порядка одновременно не равны нулю. Эта кривая называется кривой второго порядка.

Приведем еще одно определение кривой второго порядка.

Геометрическое место точек плоскости, для которых отношение их расстояний до заданной точки, называемой фокусом, и до заданной прямой, называемой директрисой, есть величина постоянная, равная Кривые второго порядка, является кривой 2-го порядка с эксцентриситетом, равным Кривые второго порядка. Если Кривые второго порядка, то кривая второго порядка — эллипс; Кривые второго порядка — парабола; Кривые второго порядка — гипербола.

Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек Кривые второго порядка и Кривые второго порядка этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная Кривые второго порядка. Если фокусы совпадают, то эллипс представляет собой окружность.

Каноническое уравнение эллипса: Кривые второго порядка.

Если Кривые второго порядка, то эллипс расположен вдоль оси Кривые второго порядка; если Кривые второго порядка, то эллипс расположен вдоль оси Кривые второго порядка (рис. 9а, 9б).

Если Кривые второго порядка, то, сделав замену Кривые второго порядка, перейдем в «штрихованную» систему координат, в которой уравнение будет иметь канонический вид:

Кривые второго порядка

Декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение эллипса имеет канонический вид, называется канонической.

Точки пересечения эллипса с осями координат называются вершинами эллипса. Расстояния от начала координат до вершин Кривые второго порядка и Кривые второго порядка называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

Кривые второго порядка

Центр симметрии эллипса, совпадающий с началом координат, называется центром эллипса.

Если Кривые второго порядка — расстояние от начала координат канонической системы координат до фокусов, то Кривые второго порядка.

Отношение Кривые второго порядка называется эксцентриситетом эллипса.

Расстояние от произвольной точки Кривые второго порядка, лежащей на эллипсе, до каждого из фокусов является линейной функцией от ее абсциссы, т.е. Кривые второго порядка.

С эллипсом связаны две замечательные прямые, называемые его директрисами. Их уравнения в канонической системе имеют вид Кривые второго порядка.

Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек Кривые второго порядка и Кривые второго порядка этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная Кривые второго порядка (рис. 10).

Декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение гиперболы имеет канонический вид, называется канонической. Каноническое уравнение гиперболы:

Кривые второго порядка

Ось абсцисс канонической системы пересекает гиперболу в точках, называемых вершинами гиперболы. Ось ординат не пересекает гиперболу. Кривые второго порядка и Кривые второго порядка называются вещественной и мнимой полуосями гиперболы. Центр симметрии гиперболы, совпадающий с началом координат, называется центром гиперболы.

Если Кривые второго порядка — расстояние от начала координат канонической системы координат до фокусов гиперболы, то Кривые второго порядка.

Кривые второго порядка

Отношение Кривые второго порядка называется эксцентриситетом гиперболы.

Расстояние от произвольной точки Кривые второго порядка, лежащей на гиперболе, до каждого из фокусов равно Кривые второго порядка.

Гипербола с равными полуосями Кривые второго порядка называется равносторонней.

Прямые с уравнениями Кривые второго порядка в канонической системе называются асимптотами гиперболы.

Прямые Кривые второго порядка называют директрисами гиперболы в канонической системе координат.

Парабола

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки Кривые второго порядка этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, также расположенной в рассматриваемой плоскости (рис. 11).

Указанная точка Кривые второго порядка называется фокусом параболы, а фиксированная прямая — директрисой параболы.

Кривые второго порядка

Система координат, в которой парабола имеет канонический вид, называется канонической, а ось Кривые второго порядка — осью параболы.

Каноническое уравнение параболы:

Кривые второго порядка

Парабола проходит через начало канонической системы координат. Эта точка называется вершиной параболы.

Фокус параболы Кривые второго порядка имеет координаты Кривые второго порядка.

Директрисой параболы называется прямая Кривые второго порядка в канонической системе координат.

Расстояние от произвольной точки параболы до фокуса Кривые второго порядка равно Кривые второго порядка.

Пример задачи решаемой с применением кривых второго порядка

Линия задана уравнением Кривые второго порядка в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам, начиная от Кривые второго порядка до Кривые второго порядка и придавая значения через промежуток Кривые второго порядка; 2) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс — с полярной осью, привести его к каноническому виду; 3) по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.

Кривые второго порядка

Решение:

1) Вычисляя значения Кривые второго порядка с точностью до сотых при указанных значениях Кривые второго порядка, получим таблицу:

Кривые второго порядка

Используя полученные табличные значения, построим кривую в полярной системе координат (рис. 17).

2) Используя формулы перехода

Кривые второго порядка из полярной в декартовую систему координат, получим: Кривые второго порядка.

Возведем левую и правую части в квадрат: Кривые второго порядка Выделим полный квадрат и приведем к каноническому виду: Кривые второго порядка, где Кривые второго порядка

3) Это эллипс, смещенный на Кривые второго порядка вдоль оси Кривые второго порядка.

Ответ: эллипс Кривые второго порядка, где Кривые второго порядка

На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:

Высшая математика краткий курс лекций для заочников

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Угол между плоскостями
Прямая линия в пространстве
Исследование общего уравнения кривой 2-го порядка
Функция

Кривая второго порядка и её определение

Кривая второго порядка — это некоторая линия на плоскости, которая в декартовой системе координат задается общим уравнением

Окружность и ее уравнение

Окружностью называется геометрическое место точек, одинаково удаленных от одной точки, называемой центром.

Пользуясь этим определением, выведем уравнение окружности. Пусть радиус ее равен r, а центр находится в точке

Кривые второго порядка

О1(а; b). Возьмем на окружности произвольную точку М(х; у) (рис. 27).

По формуле расстояния между двумя точками можем написать:

Кривые второго порядка

или, после возведения обеих частей равенства в квадрат,

Кривые второго порядка

Так как точка М нами взята произвольно, а радиус r — величина постоянная, то равенство (1) справедливо для всех точек окружности, т. е. координаты любой ее точки удовлетворяют этому равенству. А если так, то равенство (1) нужно рассматривать как уравнение окружности.

В уравнении (1) а и bкоординаты центра окружности, а х и утекущие координаты.

Если положить а = 0, то уравнение (1) обратится в следующее:

Кривые второго порядка

и будет определять окружность с центром на оси Оу (рис. 28).

При b = 0 уравнение (1) примет вид

Кривые второго порядка

и будет определять окружность с центром на оси Ох (рис. 29).

Кривые второго порядка

Наконец, при а = 0 и b = 0 уравнение (1) преобразуется в следующее:

Кривые второго порядка

и будет определять окружность с центром в начале координат (рис. 30).

Можно построить окружность, имея ее уравнение. Пусть, например, требуется построить окружность

Кривые второго порядка

Перепишем это уравнение в следующем виде:

Кривые второго порядка

сравнивая это уравнение с(1), видим, что координаты центра окружности суть (2; — 3) и радиус ее r = 3. Построив

Кривые второго порядка

точку О1(2;—3), опишем из нее радиусом, равным 3 единицам масштаба, искомую окружность (рис. 31).

Уравнение окружности как частный вид общего уравнения второй степени

Раскрыв скобки в уравнении (1) , можем написать:

Кривые второго порядка

или

Кривые второго порядка

Умножив все члены последнего равенства на А, получим:

Кривые второго порядка

Положим:

Кривые второго порядка

тогда уравнение (1) окружности примет вид

Кривые второго порядка

Уравнение (2) является частным случаем общего уравнения второй степени с двумя переменными. В самом деле, сравним уравнение (2) с общим уравнением второй степени с двумя переменными, имеющим, как известно, следующий вид:

Кривые второго порядка

Мы видим, что уравнение (2) отличается от уравнения (3) только тем, что у первого коэффициенты при х2 и у2 одинаковы и отсутствует член, содержащий произведение ху.

Таким образом, окружность определяется общим уравнением второй степени с двумя переменными, если в нем коэффициенты при х2 и у2 равны между собой и отсутствует член с произведением ху.

Обратно, уравнение вида (2), вообще говоря, определяет окружность. Убедимся в этом на примере. Пусть дано уравнение

Кривые второго порядка

Перепишем его в следующем виде:

Кривые второго порядка

и преобразуем двучлены, стоящие в скобках, в полные квадраты суммы и разности, прибавив к первому 4, ко второму 16. Чтобы равенство при этом не нарушилось, увеличим и правую часть его на сумму 4+16. Получим:

Кривые второго порядка

или

Кривые второго порядка

Последнее равенство является уравнением окружности, имеющей радиус, равный 5, и центр в точке О1(-2; 4).

Бывают однако случаи, когда уравнение (2) при некоторых значениях коэффициентов не определяет окружности; например, уравнению

Кривые второго порядка

удовлетворяют координаты единственной точки (0; 0), а уравнению

Кривые второго порядка

не удовлетворяют координаты ни одной точки, так как сумма квадратов действительных чисел не может иметь отрицательного значения.

Пример:

Дана окружность

Кривые второго порядка

и хорда Кривые второго порядка Найти длину этой хорды.

Решение:

Так как концы хорды являются общими точками окружности и хорды, то их координаты удовлетворяют как уравнению первой, так и уравнению второй линии. Поэтому, чтобы найти эти координаты, нужно решить совместно уравнения окружности и хорды. Подставив значение

Кривые второго порядка

в уравнение окружности, получим:

Кривые второго порядка

или

Кривые второго порядка

или, наконец,

Кривые второго порядка

Отсюда

Кривые второго порядка

Находим значение у:

Кривые второго порядка

Итак, концами хорды служат точки с координатами (4; 3) и (6; 1).

По формуле расстояния между двумя точками можем определить искомую длину хорды

Кривые второго порядка

Эллипс и его уравнение

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний каждой из которых от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (и болыиая, чем расстояние между фокусами).

Пусть, например, на эллипсе взяты точки М1, M2, M3, М4 и т. д. (рис. 32). Если фокусы обозначить через F и F1, то согласно данному определению можно написать:

Кривые второго порядка

Геометрическое место точек, обладающих вышеуказанным свойствам (1), и есть эллипс.

Кривые второго порядка

На основании определения эллипса составим его уравнение. Для этого выберем систему координат следующим образом. За ось Ох примем прямую, проходящую через фокусы F и F1, а за ось Оу — прямую перпендикулярную

Кривые второго порядка

к FF1 и проведенную через середину отрезка FF1 (рис. 33). Обозначим расстояние F1F между фокусами через 2с, тогда координаты фокусов будут:

Кривые второго порядка

Возьмем на эллипсе произвольную точку М(х;у). Обозначим постоянную величину суммы расстояний каждой точки от фокусов через 2а, тогда

Кривые второго порядка

По формуле расстояния между двумя точками найдем:

Кривые второго порядка

Теперь равенство (2) перепишется следующим образом:

Кривые второго порядка

и будет представлять уравнение эллипса в принятой системе координат.

Упростим уравнение (3). Для этого перенесем один из радикалов в правую часть уравнения:

Кривые второго порядка

Возведем обе части этого равенства в квадрат:

Кривые второго порядка

Раскроем скобки:

Кривые второго порядка
Кривые второго порядка

Приведем подобные члены:

Кривые второго порядка

или

Кривые второго порядка

Сократив на 4 и снова возведя в квадрат обе части равенства, получим:

Кривые второго порядка

или

Кривые второго порядка

Перенесем все члены, содержащие х и у, в левую часть равенства, остальные члены — в правую:

Кривые второго порядка

или

Кривые второго порядка

Но согласно определению эллипса

Кривые второго порядка

отсюда

Кривые второго порядка

Из последнего неравенства следует, что Кривые второго порядка а потому эту разность можно обозначить через Кривые второго порядкаПодставив это обозначение в равенство (4), найдем:

Кривые второго порядка

Наконец, разделим все члены последнего равенства на Кривые второго порядкаокончательно получим:

Кривые второго порядка

где х и у — текущие координаты точек эллипса, а

Кривые второго порядка

Уравнение (6) и есть простейший вид уравнения эллипса *).

*) Уравнение (6) получилось в результате двукратного возведения в квадрат уравнения (3), благодаря чему, вообще говоря, возможно появление посторонних корней. Можно показать, что уравнение (6) не имеет посторонних корней, т. е. любая точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (6), лежит на эллипсе.

Исследование уравнения эллипса

Определим сначала у из уравнения (5) :

Кривые второго порядка

отсюда

Кривые второго порядка

Из того же уравнения (5) найдем:

Кривые второго порядка

следовательно,

Кривые второго порядка

Рассмотрим теперь равенства (1) и (2).

I. Пусть

Кривые второго порядка

*) | х | означает, что х берется по абсолютной величине; таким образом, запись | х | < а нужно читать так: х по абсолютной величине меньше чем а.

Тогда под корнем в равенстве (1) получится положительное число, а потому у будет иметь два значения, равные по абсолютной величине, но с противоположными знаками. Это значит, что каждому значению х соответствуют две точки эллипса, симметричные относительно оси Ох. Пусть теперь

Кривые второго порядка

Тогда каждому значению у, как мы видим из равенства (2), отвечают два значения х равные по абсолютной величине, но с разными знаками. Отсюда следует, что каждому значению у соответствуют на эллипсе две точки, симметричные относительно оси Оу.

Из сказанного заключаем: эллипс Кривые второго порядка симметричен относительно координатных осей.

II. Найдем точки пересечения эллипса с осью Ох. Пусть

Кривые второго порядка

тогда из равенства (2) имеем:

Кривые второго порядка

Отсюда следует: эллипс пересекает ось Ох в двух точках, координаты которых (а; 0) и (— а; 0) (точки А и А1 на рис. 34).

III. Найдем точки пересечения эллипса с осью Оу. Пусть

Кривые второго порядка

тогда из равенства (1) имеем:

Кривые второго порядка

Отсюда заключаем, что эллипс пересекает ось Оу в двух точках, координаты которых (0; b) и (0; —b) (точки В и В1 на рис. 35).

Кривые второго порядка

IV. Пусть х принимает такие значения, что

Кривые второго порядка

тогда выражение под корнем в равенстве (1) будет отрицательным, и, следовательно, у будет иметь мнимые значения. А это значит, что не существует точек эллипса, абсциссы которых удовлетворяют условию (3), т. е. эллипс расположен внутри полосы, заключенной между прямыми х = + а и х = — а (рис. 34, прямые КL и РQ).

Если же положить

Кривые второго порядка

то из равенства (2) получим для х мнимые значения. Это говорит о том, что точки, удовлетворяющие условию (4), на эллипсе не лежат, т. е. эллипс заключен между прямыми у = + b и у = — b (рис. 35, прямые РК и QL .

Из сказанного следует, что все точка эллипса лежат внутри прямоугольника, стороны которого параллельны координатным осям и имеют длины, равные 2а и 2b, а диагонали пересекаются в начале координат (рис. 36).

Кривые второго порядка


Эллипс имеет форму, показанную на рис. 37, Точки A,, A1, В и В1 называются вершинами эллипса, а точка О его центром. Отрезок А1А = 2а называется его большой осью, а отрезок В1В = 2bмалой осью, Отрезки и F1М носят название фокальных радиусов точки М.

Кривые второго порядка

Эксцентриситет эллипса

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между его фокусами к длине большой оси, т. e.

Кривые второго порядка

Эксцентриситет обычно обозначают буквой е. Таким образом,

Кривые второго порядка

Но согласно формуле (7)

Кривые второго порядка

Поэтому для определения эксцентриситета может служить

следующее равенство:

Кривые второго порядка

Так как 0 < с < а то эксцентриситет эллипса есть положительная величина, меньшая единицы.

Эксцентриситет характеризует форму эллипса, что легко усмотреть из формулы (2). Например, если уменьшить величину не изменяя а, то разность Кривые второго порядка увеличится, отчего увеличится и дробь правой части формулы, а следовательно, и е станет больше. Эксцентриситет также возрастет, если увеличить а, оставив b постоянной величиной.

Мы рассмотрели эллипс, у которого b < а. При b > а уравнение (6) представляет эллипс, фокусы которого лежат на оси Оу; в этом случае его большая ось равна 2 b , а малая 2 а . В соответствии с этим формула (7) и формулы (1) и (2) настоящей лекции примут такой вид:

Кривые второго порядка

Пример:

Дан эллипс

Кривые второго порядка

Определить длину его осей, координаты вершин и фокусов, а также величину эксцентриситета.

Решение:

Разделив обе части данного уравнения на 400, получим:

Кривые второго порядка

Отсюда

Кривые второго порядка

и

Кривые второго порядка

Итак, большая ось эллипса Кривые второго порядка а малая

Кривые второго порядка

(рис. 38).

Кривые второго порядка

Координаты вершин его будут:

Кривые второго порядка

Чтобы найти координаты фокусов, нужно узнать величину Кривые второго порядка

Из равенства (7) имеем:

Кривые второго порядка

Следовательно, координаты фокусов будут:

Кривые второго порядка

Наконец, по формуле (1) настоящей лекции находим:

Кривые второго порядка

Связь эллипса с окружностью

Положим, что полуоси эллипса равны между собой, т. е. а = b, тогда уравнение эллипса примет вид

Кривые второго порядка

Полученное уравнение, как известно, определяет окружность радиуса, равного а.

Посмотрим, чему будет равен эксцентриситет в этом случае; полагая в формуле (2)

Кривые второго порядка

получим:

Кривые второго порядка

Отсюда заключаем, что окружность есть частный случай эллипса, у которого полуоси равны между собой, а следовательно, эксцентриситет равен нулю.

Гипербола и ее уравнение

Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний каждой из которых от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (эта постоянная берется по абсолютному значению, причем она меньше расстояния между фокусами и не равна нулю).

Кривые второго порядка

Пусть, например, точки М1, М2, M3, М4 лежат на гиперболе, фокусы которой находятся в точках F и F1 (рис. 39). Тогда, согласно данному выше определению, можно написать:

Кривые второго порядка

Пользуясь определением гиперболы, выведем ее уравнение.

Примем за ось Ох прямую, проходящую через фокусы F и F1 (рис. 40), а за ось Оу — прямую, перпендикулярную к отрезку F1F и делящую его пополам.

Кривые второго порядка

Положим F1F = 2c тогда координаты фокусов будут

Кривые второго порядка

Возьмем на гиперболе произвольную точку М(х; у) и обозначим величину разности расстояний каждой точки от фокусов через 2а; тогда

Кривые второго порядка

По формуле расстояния между двумя точками найдем:

Кривые второго порядка

и, заменив в равенстве (2) F1М и их выражениями, напишем:

Кривые второго порядка

Это и есть уравнение гиперболы относительно выбранной системы координат, так как оно согласно равенствам (1) справедливо для любой ее точки.
*) Знак + берется в случае, если F1М > , и знак —, если F1М < .

Упростим уравнение (3). Для этого перенесем один из радикалов в правую часть уравнения:

Кривые второго порядка

Возведем обе части уравнения в квадрат:

Кривые второго порядка

Раскроем скобки:

Кривые второго порядка
Кривые второго порядка

Приведем подобные члены:

Кривые второго порядка

или

Кривые второго порядка

Сократив на 4, снова возведем в квадрат обе части уравнения; получим:

Кривые второго порядка

Раскроем скобки:

Кривые второго порядка

или

Кривые второго порядка

Перенесем в левую часть члены, содержащие х и у, а остальные члены в правую:

Кривые второго порядка

отсюда

Кривые второго порядка

Согласно определению гиперболы

Кривые второго порядка

отсюда

Кривые второго порядка

При условии (5) разность Кривые второго порядка имеет только положительное значение, а потому ее можно обозначить через Кривые второго порядка

Сделав это в равенстве (4), получим:

Кривые второго порядка

Разделив последнее равенство на Кривые второго порядканайдем окончательно:

Кривые второго порядка

где х и у— текущие координаты точек гиперболы, а

Кривые второго порядка

Равенство (7) представляет собой простейший вид уравнения гиперболы *).

*) Как и в случае эллипса, можно показать, что уравнение (7) равносильно уравнению (3), т. е. не имеет посторонних корней.

Исследование уравнения гиперболы

Из уравнения (6) имеем:

Кривые второго порядка

отсюда

Кривые второго порядка

и

Кривые второго порядка

Из этого же уравнения (6) находим:

Кривые второго порядка

и

Кривые второго порядка

Исследуем уравнения (1) и (2) для выяснения геометрической формы гиперболы.

I. Найдем точки пересечения гиперболы с осью Ох. Для этого полагаем, у = 0 и из уравнения (2) получаем:

Кривые второго порядка

Отсюда следует: гипербола пересекает ось Ох в двух точках, координаты которых (а; 0) и (— а; 0) (рис. 41, точки А и А1).

II. Положим в уравнении (1)

Кривые второго порядка

тогда у получит мнимое значение, а это значит, что на гиперболе нет точек, удовлетворяющих условию (3). Следовательно, в полосе между прямыми х = + а и х = — а (прямые KL и РQ на рис. 41) нет точек гиперболы

Кривые второго порядка

III. Пусть

Кривые второго порядка

тогда из равенства (1) найдем для каждого х два действительных значения у, равных по абсолютной величине, но с противоположными знаками. А это значит, что каждому значению х, удовлетворяющему неравенству (4), соответствуют на нашей кривой две точки, симметричные относительно оси Ох.

Кривые второго порядка

Следовательно, гипербола Кривые второго порядка симметрична относительно оси Ох.

С другой стороны, для каждого значения у из равенства (2) найдем два действительных значения х, равных по абсолютной величине, но противоположных по знаку, т. е. каждому значению у на гиперболе соответствуют две точки, симметричные относительно оси Оу.

Следовательно, гипербола Кривые второго порядка 1 симметрична относительно оси Оу.

IV. Если в уравнении (1) давать х значения, заключенные между +a иКривые второго порядка то величина у будет изменяться от 0 до : Кривые второго порядка т. е. в этом случае каждому значению х соответствуют на кривой две точки, симметричные относительно оси Ох и отстоящие друг от друга тем дальше, чем больше величина абсциссы. Таким образом, можно сказать, что гипербола имеет бесконечную ветвь, расположенную справа от прямой х = с.

Если же давать х значения, заключенные между — а и Кривые второго порядка, то у будет изменяться опять от 0 до Кривые второго порядка а это значит, что, как в предыдущем случае, гипербола имеет бесконечную ветвь, но идущую влево от прямой х = — а. Итак, гипербола есть кривая, состоящая из двух ветвей, простирающихся в бесконечность.

Из всего изложенного следует, что гипербола Кривые второго порядка

состоит из двух симметричных относительно оси Оу бесконечных ветвей, одна из которых расположена справа от

Кривые второго порядка

прямой х = + а, а другая слева от прямой х = — а. Каждая из этих ветвей симметрична относительно оси Ох (рис. 42).

Точки А(а; 0) и А1(- а; 0) называются вершинами гиперболы, а точка О (0; 0) — ее центром.

Отрезок АА1 = 2а носит название действительной или вещественной оси гиперболы в отличие от оси ВВ1 = 2b, называемой мнимой *).

*) Отрезок ВВ1 = 2b называется мнимой осью, так как на нем нет точек гиперболы.

Отрезки F1М и фокальные радиусы точки М.

Эксцентриситет гиперболы

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами к длине вещественной оси, т. е. Кривые второго порядка

Эксцентриситет гиперболы, так же как и для эллипса, обозначается буквой е:

Кривые второго порядка

Но согласно равенству (8)

Кривые второго порядка

поэтому формулу (1) можно представить в следующем виде:

Кривые второго порядка

Так как для гиперболы с > а , то дробь

Кривые второго порядка

а потому эксцентриситет гиперболы больше единицы.

Асимптоты гиперболы

Построим на осях гиперболы

Кривые второго порядка

прямоугольник LQRS со сторонами, равными 2а и 2b и проведем его диагонали LR и QS продолжив их по обе стороны (рис. 43).

Кривые второго порядка

Прямая LR проходит через начало координат, поэтому ее уравнение будет:

Кривые второго порядка

Но угловой коэффициент

Кривые второго порядка

Заменив в уравнении (1) Кривые второго порядка найденным его значением, получим уравнение прямой LR в следующем виде:

Кривые второго порядка

Прямая QS также определяется уравнением (1), но угловой коэффициент ее будет уже другой, а именно:

Кривые второго порядка
Кривые второго порядка

Таким образом, уравнение прямой QS будет:

Кривые второго порядка

Обычно уравнения (2) и (3) записывают следующим образом:

Кривые второго порядка

Между прямыми, представленными уравнениями (4), и гиперболой существует связь; выясним ее.

Решим совместно способом подстановки уравнения (4) и

уравнение гиперболы Кривые второго порядка

Будем иметь:

Кривые второго порядка

или

Кривые второго порядка

что невозможно, так как Кривые второго порядка

Таким образом, прямые (4) х2 уа

и гипербола Кривые второго порядка не имеют общих точек, т. е. прямые (4) не пересекают гиперболу.

Возьмем на прямой LR и на гиперболе точки М и N, расположенные в первом координатном углу и имеющие одну и ту же абсциссу. Ординатой точки М служит РМ; обозначим ее через Y в отличие от ординаты точки N которую обозначим буквой у. Из уравнения (2) можно написать:

Кривые второго порядка

Из уравнения гиперболы имеем:

Кривые второго порядка

Составим разность

Кривые второго порядка

и посмотрим, как она будет изменяться при возрастании абсциссы. Для этого умножим и разделим правую часть последнего равенства на выражение Кривые второго порядка

получим:

Кривые второго порядка
Кривые второго порядка

Итак,

Кривые второго порядка

Пусть величина х в равенстве (5) бесконечно возрастает, тогда знаменатель дроби также бесконечно растет, а сама дробь уменьшается, приближаясь к нулю. Таким образом, гипотенуза и, следовательно, катет NT в прямоугольном треугольнике МNТ стремится к нулю. Из сказанного делаем вывод: при неограниченном возрастании абсциссы х гипербола приближается к прямой LR как угодно близко, нигде ее не пересекая.

Так как прямые LR и QS, а также точки гиперболы симметричны относительно оси Ох, то можно сказать, что и часть гиперболы, расположенная в четвертом координатном углу, как угодно близко подходит к прямой QS , нигде ее не пересекая.

Вывод, сделанный для правой ветви гиперболы, справедлив и для ее левой ветви благодаря той же симметричности прямых (4) и гиперболы относительно координатных осей.

Прямые

Кривые второго порядка


называются асимптотами гиперболы.

Из сказанного в настоящей лекции можно сделать заключение, что гипербола расположена всеми своими точками внутри вертикальных углов, образуемых асимптотами, и нигде не выходит за их границы. Этим обстоятельством можно воспользоваться для построения гиперболы в случае, если не требуется точного, а достаточно только приближенного ее изображения; для этого, нарисив асимптоты, нужно провести плавную кривую линию, постепенно приближая ее к асимптотам.

Пример:

Дана гипербола Кривые второго порядка

Узнать, лежит ли точка A(2; 1,5) на какой-либо ее асимптоте.

Решение:

Из данного уравнения имеем:

Кривые второго порядка

Следовательно, уравнения асимптот будут:

Кривые второго порядка


Так как точка А лежит согласно условию в первом координатном углу, то она может принадлежать только асимптоте, определяемой уравнением

Кривые второго порядка

Подставив в него вместо х и у координаты точки А, получим тождество:

Кривые второго порядка

Значит, точка А лежит на указанной асимптоте гиперболы.

Равносторонняя гипербола

Если в уравнении гиперболы

Кривые второго порядка

положим а = b то это уравнение примет вид

Кривые второго порядка

или

Кривые второго порядка

Уравнение (1) определяет гиперболу, у которой полуоси равны между собой. Такая гипербола называется равносторонней. Уравнения асимптот в этом случае будут:

Кривые второго порядка

так как отношение

Кривые второго порядка
Кривые второго порядка

Как видно из уравнения (2), угловые коэффициенты асимптот равны + 1 и —1 . Если обозначить углы, образуемые асимптотами с положительным направлением оси Ох, соответственно через а и а1 (рис. 44), то

Кривые второго порядка

откуда

Кривые второго порядка

Следовательно, угол между асимптотами будет:

Кривые второго порядка

Отсюда заключаем: асимптоты равносторонней гиперболы взаимно перпендикулярны.

Уравнение равносторонней гиперболы, отнесенной к асимптотам

Так как асимптоты равносторонней гиперболы взаимно перпендикулярны, то их можно принять за оси прямоугольной системы координат и рассматривать гиперболу по отношению к этим новым осям. Выведем уравнение равносторонней гиперболы для этого случая.

Пусть дана равносторонняя гипербола. Тогда ее уравнение по отношению к координатным осям Ох и Оу (рис. 45)

выразится, как было пока-* у зано в , в виде

Кривые второго порядка

Взяв на гиперболе произвольную точку М (х; у) и построив ее координаты, будем иметь:

Кривые второго порядка

Примем теперь за оси координат асимптоты гиперболы: ОХ— за ось абсцисс, ОY — за ось ординат. Опустив перпендикуляр МС на новую ось абсцисс, найдем:

Кривые второго порядка
Кривые второго порядка

Выразим новые координаты X н Y точки М через старые х и у. Для этого из точки А проведем Кривые второго порядка и Кривые второго порядка

Обратим внимание на то, что в образовавшихся прямоугольных треугольниках АМВ и АОD

Кривые второго порядка

как углы, образованные взаимно перпендикулярными прямыми. Но

Кривые второго порядка

поэтому

Кривые второго порядка

Из рисежа имеем:

Кривые второго порядка
Кривые второго порядка
Кривые второго порядка
Кривые второго порядка

Перемножив равенства (2) и (3) и приняв во внимание равенство (1), получим:

Кривые второго порядка

Положим для краткости

Кривые второго порядка

тогда равенство (4) перепишется так:

Кривые второго порядка

где m— постоянная величина.

Таково уравнение равносторонней гиперболы, если за оси координат принять ее асимптоты.

Как видно из уравнения (5), переменные X и Y — величины обратно пропорциональные, а потому можно сказать, что равносторонняя гипербола ху = m представляет собой график обратно пропорциональной зависимости между переменными величинами.

Парабола и ее простейшее уравнение

Параболой называется геометрическое место точек, каждая из которых одинаково удалена от точки, называемой фокусом, и от прямой, называемой директрисой {при условии, что фокус не лежит на директрисе).

Пусть точки М1 М2, М3, М4 лежат на параболе (рис. 46).

Кривые второго порядка

Если точка F изображает фокус, а прямая АВ— директрису, то согласно данному выше определению можем написать:

Кривые второго порядка

Выведем уравнение параболы, пользуясь ее определением. Для этого выберем систему координат, приняв за ось Ох прямую, проведенную через точку F (фокус) перпендикулярно к директрисе АВ, а за

ось Оу — прямую, проходящую через середину отрезка КF перпендикулярно к последнему (рис. 47). Обозначим

Кривые второго порядка

тогда координаты фокуса F будут Кривые второго порядка

Возьмем на параболе произвольную точку М(x; у) расстояния ее от фокуса F и от директрисы АВ будут выражаться соответственно отрезками и МN. Согласно определению параболы, можем написать:

Кривые второго порядка

Применяя формулу расстояния между двумя точками и приняв во внимание, что точка N имеет координаты Кривые второго порядка , найдем:

Кривые второго порядка

Заменив и МN в равенстве (1) их выражениями, получим:

Кривые второго порядка

Это и есть уравнение параболы относительно выбранной системы координат, так как оно справедливо для любой ее точки.

Упростим уравнение (2). Для этого возведем обе части его в квадрат:

Кривые второго порядка

Раскроем скобки:

Кривые второго порядка

Приведя подобные члены, получим простейшее уравнение параболы

Кривые второго порядка

*) Можно показать, что уравнение (3) равносильно уравнению (2). Величина р называется параметром параболы.

Исследование уравнения параболы

Из уравнения (3) найдем:

Кривые второго порядка

Исследуем уравнение (1) для выяснения геометрической формы нашей кривой, полагая р > 0.

I. Положим

Кривые второго порядка

тогда

Кривые второго порядка

Отсюда следует: парабола Кривые второго порядка проходит через начало координат.

II. Если х < 0, то у — мнимое число. А это значит, что парабола Кривые второго порядка не имеет точек с отрицательными абсциссами и, следовательно, расположена справа от оси Оу.

III. Если х > 0, то у имеет два действительных значения, равных по абсолютной величине, но с разными знаками. Это значит, что каждому положительному значению х на параболе соответствуют две точки, расположенные симметрично относительно оси Ох.

Следовательно, парабола Кривые второго порядка симметрична относительно оси Ох.

IV. Пусть х неограниченно возрастает, тогда и Кривые второго порядка будет неограниченно расти, т. е. точки параболы с перемещением вправо от оси Оу неограниченно удаляются вверх и вниз от оси Ох.

Итак, парабола Кривые второго порядка состоит из бесконечных ветвей.

Вышеизложенное позволяет представить параболу, как показано на рис. 48.

Кривые второго порядка

Точка О называется вершиной параболы, отрезок фокальным радиусом точки М параболы, а бесконечная прямая Ох является ее осью симметрии.

Если директрису параболы поместить справа от начала координат, то фокус и ветви ее расположатся как показано на рисеже 49.

Кривые второго порядка

При этом абсциссы точек параболы будут удовлетворять условию

Кривые второго порядка

а потому ее уравнение примет вид:

Кривые второго порядка

Парабола может быть симметрична и относительно оси Оу в этом случае фокус ее будет лежать па оси ординат, а директрисой будет прямая, параллельная оси Ох. Как видно при этом условии координатные оси поменяются ролями, и уравнение параболы примет вид

Кривые второго порядка

если ветви ее направлены вверх (рис. 50), и

Кривые второго порядка

если ветви направлены вниз (рис. 51).

Кривые второго порядка

Пример:

Дана парабола

Кривые второго порядка

Найти координаты ее фокуса и написать уравнение директрисы.

Решение:

Данная парабола симметрична относительно оси Ох и расположена направо от оси Оу. Из уравнения находим:

Кривые второго порядка

откуда

Кривые второго порядка

Расстояние фокуса от начала координат равно Кривые второго порядка , поэтому абсцисса фокуса будет Кривые второго порядкаИтак, фокус находится в точке

F(3; 0).

Директрисой служит прямая, параллельная оси Оу и отстоящая от последней на расстоянии Кривые второго порядка Следовательно,

уравнение директрисы параболы будет х = — 3.

Пример:

Фокус параболы с вершиной в начале координат лежит в точке F(0; —4). Написать уравнение этой параболы.

Решение:

Согласно условию данная парабола симметрична относительно оси Оу, а ветви ее направлены вниз, поэтому искомое уравнение найдется из (3). Так как

Кривые второго порядка

то

Кривые второго порядка

и уравнение параболы будет:

Кривые второго порядка

Уравнение параболы со смещенной вершиной и осью, параллельной оси Оу

Возьмем уравнения параболы (2) и (3) и запишем их в следующем виде:

Кривые второго порядка

Отсюда

Кривые второго порядка

Положив в уравнении (1)

Кривые второго порядка

получим:

Кривые второго порядка

Уравнение (2) определяет параболу, ветви которой направлены вверх, если А > О, вниз, если А < 0.

В дальнейшем мы будем часто пользоваться уравнением (2), представляющим параболу с вершиной в начале координат и с осью симметрии, совпадающей с осью ординат.

Рассмотрим параболу, у которой вершина лежит в точке О1(а; b), ось симметрии параллельна оси Оу, а ветви направлены вверх (рис. 52).

Кривые второго порядка

Возьмем на параболе произвольную точку М(х; у). Опустив из нее перпендикуляр МР на ось Ох, будем иметь:

Кривые второго порядка

Проведем через О1 прямые О1Х и QY, параллельные координатным осям Ох и Оу, и положим временно, что прямые О1Х и О1Y служат осями новой системы координат. Обозначим координаты точки М в этой системе через X и Y, т. е.

Кривые второго порядка

Уравнение параболы в новой системе координат напишется следующим образом:

Кривые второго порядка

где А > 0.

Чтобы найти ее уравнение относительно прежних осей Ох и Оу, нужно X и Y выразить через х и y. Так как

Кривые второго порядка

то

Кривые второго порядка

Подставив в уравнение (3) найденные значения X и Y, получим:

Кривые второго порядка

или

Кривые второго порядка

Упростим уравнение (4); для этого раскроем в нем скобки.

Получим:

Кривые второго порядка

Обозначим:

Кривые второго порядка
Кривые второго порядка

тогда уравнение (5) примет вид

Кривые второго порядка

Это—уравнение параболы с вершиной, лежащей в любой точке плоскости, и с осью симметрии, параллельной оси Оу.

Рассмотрим частные случаи.

Пусть абсцисса вершины параболы a = 0; тогда величина В в равенстве (6) также будет нулем и уравнение (8) примет следующий вид:

Кривые второго порядка

Полученное уравнение определяет параболу, у которой вершина лежит на оси Оу, являющейся в то же время и ее осью симметрии (рис. 53).

Кривые второго порядка

Положим, что одна из точек параболы (исключая ее вершину) лежит в начале координат; тогда координаты (0; 0) должны удовлетворять уравнению (8). Заменив в нем х и у нулями, найдем С=0. В этом случае уравнение (8) получит вид

Кривые второго порядка

и будет определять параболу, проходящую через начало координат (рис. 54).

Кривые второго порядка

Заметим, что и уравнение (2) можно рассматривать как частный случай уравнения (8). Действительно, положив в равенствах (6) и (7)

Кривые второго порядка

получим:

Кривые второго порядка

вследствие чего уравнение (8) преобразуется в следующее:

Кривые второго порядка

Из сказанного следует, что парабола, у которой ось симметрии параллельна оси Оу или совпадает с ней, определяется уравнением

Кривые второго порядка

при любых значениях А, В и С, кроме А = 0.

Убедимся на примере, что справедливо и обратное утверждение: всякое уравнение вида (8) определяет параболу с осью симметрии, параллельной оси Оу.

Пусть дано уравнение

Кривые второго порядка

Преобразуем его следующим образом:

Кривые второго порядка
Кривые второго порядка

отсюда

Кривые второго порядка

положим

Кривые второго порядка

тогда уравнение (10) примет вид:

Кривые второго порядка

Уравнение (11) имеет такой же вид, как и уравнение (2), поэтому оно, а следовательно, и уравнение (9) определяют параболу, у которой ось симметрии параллельна оси Оу.

Для построения параболы, определяемой уравнением вида (8), можно использовать обычный прием, применяемый для вычерчивания графиков функций, а именно: дав х ряд значений, вычислить значения у, а затем, построив точки по найденным координатам, провести через них плавную линию.

Пример:

Построить параболу

Кривые второго порядка

Решение:

Прежде всего найдем абсциссы точек пересечения данной параболы с осью Ох; положив у = 0, получим:

Кривые второго порядка

откуда

Кривые второго порядка

Так как найденные точки симметричны относительно оси параболы, то вершина последней, находясь на этой оси, имеет 0 + 4 0

абсциссу, равную Кривые второго порядка ордината же ее

Кривые второго порядка

Этих трех точек достаточно для приближенного изображения параболы.

Для более точного ее представления нужны дополнительные точки. Составим следующую таблицу:

Кривые второго порядка

Построив эти точки и прозедя через них плавную линию, получим искомую параболу (рис. 55).

Пример:

Построить параболу

Кривые второго порядка

Решение:

Корни уравнения

Кривые второго порядка

мнимые, а потому ось Ох не пересекает данную параболу. В этом случае следует найти абсциссы точек пересечения параболы с прямой

Кривые второго порядка

(-1 — свободный член данного уравнения параболы)

Кривые второго порядка

Решая для этой цели систему уравнений

Кривые второго порядка

будем иметь:

Кривые второго порядка

или

Кривые второго порядка

откуда

Кривые второго порядка

Полученные точки симметричны относительно оси параболы, поэтому абсцисса ее вершины равна Кривые второго порядка ордината же ее

Кривые второго порядка

Присоединим к этим точкам несколько дополнительных точек. Составим таблицу:

Кривые второго порядка
Кривые второго порядка

Конические сечения

Окружность, эллипс, гипербола и парабола определяются, как мы установили в предыдущих лекциях уравнениями второй степени относительно текущих координат; поэтому их называют кривыми второго порядка. Они были известны еще древним грекам, которые изучали эти кривые, рассматривая их как результат сечения прямого кругового конуса плоскостью в следующих четырех случаях.

I. Секущая плоскость перпендикулярна к оси конуса; в сечении получается окружность (рис. 57).

Кривые второго порядка

II. Секущая плоскость образует с осью конуса угол, не равный 90°, и пересекает все его образующие по одну сторону от вершины S; в сечении получается эллипс (рис. 58).

III. Секущая плоскость параллельна какой-либо образующей конуса; при этом получается кривая, называемая параболой (рис. 59).

IV. Секущая плоскость пересекает обе полости конуса; при этом получаются две бесконечные ветви, образующие гиперболу (рис. 60).

Окружность, эллипс, гипербола и парабола называются коническими сечениями.

Конические сечения изучались в древности исключительно геометрическим путем, что представляло большие трудности, и только со времени Декарта, давшего метод координат, изучение их значительно упростилось.

Кривая второго порядка и её вычисление

Уравнение линии. Кривые второго порядка. Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола. Приведение к каноническому виду.

Уравнение линии в декартовых и полярных координатах

В лекции 3 было введено понятие неявной функции, задаваемой уравнением вида F(x,y) = 0.

Определение 6.1. Множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют некоторому уравнению
(6.1) F(x;y) = 0
называется линией (плоской кривой).

Не всякое уравнение определяет линию. Например, уравнение x² + y² = -1 не определяет никакой линии. Кроме того, линия может состоять из отдельных точек. Так, например, уравнению x² + y² = 0 удовлетворяет только начало координат.

Линия не обязательно является графиком функции. Так, например, уравнение x² + y² = 1 определяет окружность с центром в начале координат и радиуса 1 (т.к. d = Кривые второго порядка= 1, расстояние от начала координат равно 1). Однако это не будет графиком функции у от х, т.к. каждому х, |x| ≤ 1, соответствует два значения у: у = ±Кривые второго порядка, т.е. линия задается двумя функциями у = Кривые второго порядка (верхняя полуокружность) и у = —Кривые второго порядка (нижняя полуокружность).

Уравнение произвольной окружности с центром в точке M(a;b) и радиусом R будет иметь вид:
(6.2) (х — а)² + (у- b)² = R²,
т.к. окружность радиусом R есть геометрическое место точек плоскости, находящихся на расстоянии R от центра, т.е. в соответствии с формулой ( 6.2) d = Кривые второго порядка = R.

В частности, окружность с центром в начале координат, радиусом R, описывается уравнением
x² + y² = R².

Пример 6.1. Какую линию описывает уравнение x² + y² = Rx?

Решение: Перенося Rx в левую часть и выделяя полный квадрат, получаем:
x² + y² = Rx ⇔ X2 — Rx + у² = 0 ⇔ x² — Rx + Кривые второго порядка
(х — Кривые второго порядка) + y² = Кривые второго порядка.

Ответ: данное уравнение описывает окружность с центром в точке M(Кривые второго порядка;0) и радиусом Кривые второго порядка.

Линия может определяться на плоскости уравнением как в декартовых, так и в полярных координатах: F(Кривые второго порядка; r) = 0. Если при этом зависимость r от Кривые второго порядка обладает тем свойством, что каждому значению Кривые второго порядка из области определения соответствует единственное значение r, то данная линия будет графиком функции r от Кривые второго порядка : r = f(Кривые второго порядка).

Пример 6.2. Построить график функции, заданной в полярных координатах уравнением r = 2 sin3Кривые второго порядка, Кривые второго порядка ∈ (—∞; ∞).

Решение: Составим таблицу некоторых значений этой функции:

Кривые второго порядка0Кривые второго порядкаКривые второго порядкаКривые второго порядкаКривые второго порядкаКривые второго порядкаКривые второго порядкаКривые второго порядка
r01Кривые второго порядка2Кривые второго порядка10-2
Кривые второго порядка
Рис. 70. График функции r = 2 sin 3Кривые второго порядка в декартовых координатах

Далее, пользуясь тем, что из вида графика функции r = 2 sin 3Кривые второго порядка, приведенного в декартовых координатах на рис. 70, следует, что неотрицательные значения г повторяются на промежутках Кривые второго порядка ∈ [0; Кривые второго порядка], Кривые второго порядка ∈ [Кривые второго порядка;π], Кривые второго порядка ∈ [-Кривые второго порядка;Кривые второго порядка] и т. д.. Отсюда заключаем, что если в полярных координатах построить график в секторе Кривые второго порядка ∈ [0; Кривые второго порядка], то в секторах Кривые второго порядка ∈ [Кривые второго порядка; π], Кривые второго порядка ∈ [— Кривые второго порядка; Кривые второго порядка ] и т. д. вид графика будет аналогичный, а в секторах Кривые второго порядка ∈ (Кривые второго порядка; Кривые второго порядка), Кривые второго порядкаКривые второго порядка;0) и т.д. графика не будет, т.к. там r < 0. Соединяя плавной линией точки с координатами, приведенными в таблице, получаем график рис. 71.

Кривые второго порядка
Рис. 71. График функции r = 2 sin 3Кривые второго порядка в полярных координатах

Такой график называют называют “трехлепестковая роза”.

Кривые второго порядка:

Определение 6.2. Кривой второго порядка называется линия, определяемая в декартовых координатах уравнением:
(6.3) Ax² + 2Bxy + Cy² + 2Dx + 2Ey + F = O.

Здесь коэффициенты — действительные числа и, по крайней мере, одно из чисел A₁B или C не равно нулю. Удобство таких обозначений для коэффициентов (2В, 2D, 2Е) станет ясно позже.

Всего существует три ’’реальных” кривых второго порядка: эллипс, (окружность — частный случай эллипса) гипербола и парабола, не считая такие линии, как ’’пара пересекающихся прямых” (ху = 0), «пара параллельных прямых” ((x — у)² — 4), ’’точка” ((x — 5)² + (у — 1)² = 0), ’’прямая” (х — 1)² = 0) и ’’мнимые кривые” (x² + y² + 5 = 0), которым не соответствует ни одна точка.

Окружность

Ранее было получено уравнение ( 6.2) окружности с центром в точке M(а; b), радиусом R. Это уравнение вида ( 6.3), т.е. окружность есть кривая второго порядка — можно показать, что уравнение (6.3), в котором A = C и B = O c помощью дополнения до полного квадрата каждой группы членов Ax² + 2Dx и By² + 2Еу приводится к виду (6.2), определяющему окружность радиуса R, или к виду: (х — а)² + (у — b)² = -R², не определяющему линию при R ≠ 0. Покажем это на примере.

Пример:

Показать, что уравнение 2x² + 2y² — 4x + 8y — 13 = 0 определяет окружность.

Решение: Поделив обе части на 2, получим уравнение в виде: x² + y² — 2x + 4y — 6,5 = 0 или, выделяя полный квадрат: (x² — 2х + 1) + (у² + 4y + 4) = 11,5 ⇔ (х — 1)² + (у + 2)² =11,5. Мы получим уравнение окружности с центром M(1; —2) и радиусом R = √11,5.

Пример:

Показать, что уравнение х² + у² + 6х — 6у + 22 = 0 не определяет никакой линии.

Решение:

Аналогично предыдущему, выделяя полный квадрат, получаем: х² + у² + 6х — 6у + 22 = 0 ⇔ (х² + 6х + 9) + (у² — 6у + 9) = — 4 ⇔ (x + 3)² + (y — 3)² =-4.

Эллипс

Определение:

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний каждой из которых от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, равна постоянной величине.

Обозначим фокусы F₁ и F₁, расстояние между ними 2с, а сумму расстояний до них от точек эллипса через 2а (2а > 2с). Выберем декартову систему координат как показано на рис. 72. По определению эллипса: MF₁ + MF₂ = 2а. Пользуясь формулой (2.6) получаем:
Кривые второго порядка
Кривые второго порядка
Кривые второго порядка
Кривые второго порядка

Кривые второго порядка
Рис. 72. Фокусы эллипса и гиперболы

Обозначив b² = a² — с² > 0, получаем: b²x² + a²y² — a²b² или:
(6.4) Кривые второго порядка

Уравнение ( 6.4) называется каноническим уравнением эллипса, а и b — полуосями, а — большая полуось, b — малая, т.к. b = Кривые второго порядка < а. Поскольку х и у входят в уравнение только в четных степенях, эллипс симметричен относительно осей Ox и Оу. Выразив у из уравнения ( 6.4), получаем: у = Кривые второго порядка, |x| ≤ а, что означает, что эллипс состоит из двух симметричных половин, верхней у = Кривые второго порядка и нижней у = Кривые второго порядка При х = а, у = 0, при убывании х от а до 0, у возрастает от 0 до b. C учетом симметрии получаем линию, изображенную на рис. 73. Точки пересечения эллипса с осями координат называются вершинами A₁(-a;0), A₂(а;0), B₁(O;-b), В₂(0;b). Отношение Кривые второго порядка называется эксцентриситетом эллипса.

Кривые второго порядка
Рис. 73. Эллипс

Так как 2а > 2с, то ε < 1. Эксцентриситет определяет форму эллипса: чем меньше ε, тем меньше его малая полуось b отличается от большой полуоси a (Кривые второго порядка = Кривые второго порядка = 1- Кривые второго порядка = 1 — ε²)> т.е. тем меньше эллипс вытянут вдоль фокальной оси Ох. В пределе, при ε → 0,a = b и получается окружность x² + у² = а² радиусом а При этом с = Кривые второго порядка = 0, т.е. F₁ — F₂ = 0. Если эллипс расположен так, что центр его симметрии находится в точке P(x₀; y₀), а полуоси параллельны осям координат, то, перейдя к новым координатам X = х — х₀, У = у — у₀, начало которых совпадает с точкой Р, а оси параллельны исходным (см. п. 2.8), получим, что в новых координатах эллипс описывается каноническим уравнением Кривые второго порядка Уравнение такого эллипса в старых координатах будет:
(6.5) Кривые второго порядка

Гипербола

Определение 6.4. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний каждой из которых от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, равен постоянной величине.

Обозначим фокусы F₁ и F₂, расстояние между ними 2с, а модуль разности расстояний до них от точек гиперболы через 2a (2c > 2a > 0). Выберем декартову систему координат, как показано на рис. 72. По определению гиперболы: MF₁ — MF₂ = ±2а. Пользуясь формулой (2.6), аналогично тому, как это было сделано для эллипса, получаем:
Кривые второго порядка = ±2a ⇒ (а² — c²)x² + a²y² = a²(a² — с²). Обозначив b² = с² — a² > 0 (сравните с выводом формулы ( 6.4) для эллипса), получаем: -b²x² + a²y² = -b²a², или:
Кривые второго порядка

Уравнение (6.6) называется каноническим уравнением гиперболы, а и b — полуосями, а — действительной полуосью, b — мнимой. Так как х и у входят в уравнение только в четных степенях, гипербола симметрична относительно осей Ox и Оу. Выразив у из уравнения ( 6.6), получаем: Кривые второго порядка, |x| ≥ а, что означает, что гипербола состоит из двух симметричных половин, верхней у = Кривые второго порядка и нижней у = — Кривые второго порядка. При х = а у = 0, при возрастании х от 0 до +∞, у для верхней части возрастает от 0 до +∞. C учетом симметрии, получаем линию, изображенную на рис. 74.

Точки пересечения гиперболы с осью Ox (фокальной осью) называются ее вершинами A₂(а;0), A₁(-a;0). C осью ординат гипербола не пересекается, поэтому фокальная ось называется действительной осью (а — действительная полуось), а перпендикулярная ей ось — мнимой осью (b — мнимая полуось). Можно показать, что при неограниченном возрастании абсциссы точка гиперболы неограниченно приближается к прямой у = Кривые второго порядка(изображена на рис. 74 пунктиром). Такая прямая, к которой неограниченно приближается некоторая линия, называется асимптотой. Из соображений симметрии вытекает, что у гиперболы две асимптоты: у =Кривые второго порядка и у =-Кривые второго порядка, изображенные на рис. 74 пунктиром. Прямоугольник, с центром в начале координат, со сторонами 2а и 2b, параллельными осям, называется основным. Асимптоты являются его диагоналями.

Кривые второго порядка
Рис. 74. Гипербола

Отношение Кривые второго порядка называется эксцентриситетом гиперболы. Т.к. 2α < 2с, то ε > 1. Эксцентриситет определяет форму гиперболы: чем меньше е, тем более вытянут в направлении фокальной оси ее основной прямоугольник (Кривые второго порядка= Кривые второго порядка= Кривые второго порядка— 1 = ε² — 1). Если а = b, гипербола называется равносторонней (равнобочной). Для нее х² — у² = а², асимптоты: у = х, у = —х, ε = Кривые второго порядка= √2. Если центр гиперболы (центр ее симметрии) находится в точке P(x₀; y₀), a оси параллельны осям координат, то, применяя параллельный перенос координат (п. 2.8), аналогично тому, как это было сделано для эллипса, получим уравнение гиперболы:
(6.7) Кривые второго порядка

Уравнение асимптот такой гиперболы будет: у — y₀ =Кривые второго порядка

Парабола

Определение:

Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом, и данной прямой d, называемой директрисой (F ∉ d).

Обозначим расстояние от фокуса до директрисы р. Эта величина называется параметром параболы. Выберем декартову систему координат как показано на рис. 75.

По определению параболы MF=MN. Из рис. 75. ясно, что:

Кривые второго порядка
Рис. 75. Фокус и директриса параболы

Кривые второго порядка

Приравнивая, получаем:
Кривые второго порядка
(6.8) у² = 2рх

Уравнение ( 6.8) называется каноническим уравнением параболы. Т.к. у входит в уравнение в четной степени, парабола симметрична относительно оси Ох. Выразив у из уравнения, получаем: у = Кривые второго порядка, х ≥ 0. При х =0 у = 0, при возрастании х от 0 до +∞ у для верхней части возрастает от 0 до +∞. C учетом симметрии получаем линию, изображенную на рис. 76.

Ось симметрии параболы называется фокальной осью (ось Ox на рис. 76), точка пересечения пораболы с ней называется вершиной пораболы (точка О на рис. 76). Если вершина параболы находится в точке P(x₀; у₀), фокальная ось параллельна и одинаково направлена с осью Ox и расстояние от директрисы до фокуса равно Р, то с помощью параллельного переноса осей координат нетрудно получить уравнение такой параболы:
(6.9) (y — y₀)² = 2p(x -х₀)

Пример:

Найти фокус, директрису, фокальную ось для параболы у= 4x².

Кривые второго порядка
Рис. 76. Парабола

Решение:

Как известно, осью симметрии параболы у = х² является ось Оу, а вершиной — точка О, поэтому фокальной осью будет ось Оу, вершиной — начало координат.

Для определения фокуса и директрисы запишем уравнение данной параболы в виде: x² = Кривые второго порядкаy, откуда 2р =Кривые второго порядка; р =Кривые второго порядка. Поэтому фокус имеет координаты F(0; Кривые второго порядка), а директриса — уравнение у = — Кривые второго порядка (см. рис. 77).

Кривые второго порядка
Рис. 77. График параболы у = 4х²

Понятие о приведении общего уравнения второго порядка к каноническому виду

Если в общем уравнении кривой второго порядка ( 6.3)
Ax² + 2Bxy + Cy² + 2Dx + 2Ey +F = 0
коэффициент 2B ≠ 0, то методами, которые будут изложены позже (лекция 34) это уравнение преобразуется к виду, в котором отсутствует член с произведением координат (т.е. 2В — 0).

Для приведения к каноническому виду уравнения ( 6.3), в котором 2В = 0, необходимо дополнить члены, содержащие х и у, до полных квадратов.

Если при этом (В = 0) А = С, то получится окружность (пример 6.3), точка или мнимая окружность (пример 6.4).

Если при этом (В = 0) A ≠ C и A ∙ C > 0, то получится эллипс (пример 6.8) или мнимый эллипс.

Если при этом (В = 0) A ≠ C и A ∙ C < 0, то получится гипербола (пример 6.6).

Если при этом (В = 0) A ∙ C = 0 (т.е. A = 0 или C = 0), то получится парабола (пример 6.7)

Пример:

Привести к каноническому виду уравнение кривой х² — 2y² + 2x + 12y — 33 = 0, определить и построить ее.

Решение:

Для членов, содержащих x, и членов, содержащих у, выполним следующие преобразования с выделением полного квадрата:
x² + 2x = x² + 2x + 1 — 1 = (х + 1)² — 1;
-2y² + 12y = -2(y² — 6у) = -2(y² -6у + 9 — 9) = -2(y — 3)² + 18.

Данное уравнение теперь можно переписать так:
(х + 1)² — 2(y — 3)² — 1 + 18 — 33 = 0,
откуда
(x + 1)² — 2(y — 3)² = 16
или
Кривые второго порядка

Выполним преобразование параллельного переноса осей с новым началом O₁(-1; 3): X = x + 1; Y = у — 3. Тогда уравнение кривой примет вид:
Кривые второго порядка

Это уравнение гиперболы с полуосями a = 4 и b = 2√2. На рис. 78 эта кривая построена в системе координат O₁XY. Но можно отнести ее и к исходной системе координат Оху, которая также имеется на рис. 78. В соответствии с изложенным в п. 6.5, уравнение асимптот в исходной системе координат будет: y-3 = Кривые второго порядка(x + l). После упрощения получаем: у = 3±Кривые второго порядка(x+l)

Кривые второго порядка
Рис. 78. Гипербола Кривые второго порядка

Пример:

Приведите к каноническому виду уравнение и определите вид кривой: x² — 6x — 4y + 29 = 0.

Решение:

Выделим полный квадрат: x² — 6x — 4y + 29 = 0 ⇔ x² — 6x + 9 = 4y — 20 ⇔ (x — 3)² = 4(у — 5). Сделав замену координат X =х — 3, Y = у — 5 мы получим каноническое уравнение параболы X² = 4Y с осью OY и параметром р = 2. Таким образом исходная парабола имела вершину A(3; 5) и ось х = 3 параллельную оси Oy (рис. 79).

Пример:

Приведите к каноническому виду уравнение и определите вид кривой: x² + 4y² + 2x — 24y + 21 =0.

Решение:

Выделив полный квадрат, получим уравнение: (x + 1)² + 4(у — 3)² = 16. Сделав замену координат: X = х + 1, Y = y — 3, получим каноническое уравнение эллипса: X² + AY² ⇔ Кривые второго порядка= 1 с параметрами а = 4, b = 2. Таким образом, исходный эллипс имел центр A( —1;3) и полуоси а = 4, b = 2 (рис. 80).

Кривые второго порядка
Рис. 79. Решение примера 6.7
Кривые второго порядка
Рис. 80. Решение примера 6.8

Решение заданий на тему: Кривые второго порядка

Пример:

Составьте уравнение окружности, имеющей центр 0(2; —5) и радиус R = 4.

Решение:

В соответствии с формулой (6.2) искомое уравнение имеет вид: (х — 2)² + (у + 5)² = 16.

Ответ: (х — 2)² + (у + 5)² = 16.

Пример:

Составьте уравнение эллипса, зная, что сумма полуосей равна 8 и расстояние между фокусами равно 8.

Решение:

Из условия имеем: a + b = 8, 2c = 8. C учетом того, что b² = а² — с², находим с = 4, а = 5, b = 3. Искомое уравнение эллипса будет: Кривые второго порядка.

Ответ: Кривые второго порядка

Пример:

Составьте уравнение гиперболы, зная, что фокусы F₁(10;0) и F₂(-10; 0) и что гипербола проходит через точку M(12; 3√5)

Решение:

Из условия имеем: с = 10, |MF₁ — MF₂|= 2а ⇔ 2а = Кривые второго порядкаа = 8. C учетом того, что b² = с² — а², находим а = 8, с = 10, b = 6. Искомое уравнение гиперболы будет: Кривые второго порядка.
Ответ: Кривые второго порядка.

Пример:

Составьте уравнение параболы, зная, что фокус имеет координаты (5;0), а ось ординат является директрисой.

Решение:

Поскольку расстояние от директрисы параболы до ее полюса равно параметру р, а вершина находится на середине, из условия следует, что р = 5 и вершина расположена в точке A(2,5;0). Таким образом, в новых координатах X = х — 2,5; У = у каноническое уравнение параболы будет: Y² = 10Х, а в старых координатах: у² = 10(х — 2,5).
Ответ: y² = 10x — 25.

Пример:

Приведите к каноническому виду уравнение x² + y² — 2х + 6у — 5 = 0, определите вид кривой и ее параметры.

Решение:

Выделим полный квадрат: х² — 2х + у² + 6у — 5 = 0 ⇔ x² — 2x + 1 + у² + 6у + 9 — 1 — 9 — 5 = 0 ⇔ (х — 1)² + (у + 3)² = 15

В соответствии с формулой (6.2) это есть уравнение окружности с центром в точке A(1; -3), радиусом √5.
Ответ: (х — 1)² + (у + 3)² = 15.

Пример:

Приведите к каноническому виду уравнение x² + 4у² + 4х — 16у — 8 = 0, определите вид кривой и ее параметры:

Решение:

Выделим полный квадрат: x² + 4х + 4у² — 16y -8 = 0 ⇔ x²+4x + 4 + 4y²- 16y + 16-4-16-8 = 0 ⇔ (x + 2)² + 4(y²-4у+ 4) -28 ⇔ (х + 2)² + 4(y — 2)² = 28 ⇔ Кривые второго порядка = 1. Сделав замену координат: X = x +2, Y = у — 2, в новых координатах получим уравнение эллипса Кривые второго порядкас полуосями а = √28 и b = √7. Таким образом, в старых координатах эллипс имеет центр A(—2; 2) и полуоси а = 2√7 и b = √7.
Ответ: Кривые второго порядка = 1.

Пример:

Приведите к каноническому виду уравнение x² + 2y² + 8x — 4 = 0, определите вид кривой и ее параметры.

Решение:

Выделим полный квадрат:
x²+2y²+8x-4 = 0 ⇔ x²+8x+16+2y²-16-4 =0 ⇔ (x+4)²+2y2-20 = 0 ⇔ Кривые второго порядка=1

Сделав замену координат X = х + 4, Y — у, убеждаемся, что эта кривая — эллипс, с полуосями a = 2√5 и b = √10 и центром A(-4;0).
Ответ: Кривые второго порядка=1

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

  1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
  2. Функции и графики
  3. Преобразования графиков функций
  4. Квадратная функция и её графики
  5. Алгебраические неравенства
  6. Неравенства
  7. Неравенства с переменными
  8. Прогрессии в математике
  9. Арифметическая прогрессия
  10. Геометрическая прогрессия
  11. Показатели в математике
  12. Логарифмы в математике
  13. Исследование уравнений
  14. Уравнения высших степеней
  15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
  16. Комплексные числа
  17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
  18. Алгебраические уравнения
  19. Неопределенные уравнения
  20. Соединения
  21. Бином Ньютона
  22. Число е
  23. Непрерывные дроби
  24. Функция
  25. Исследование функций
  26. Предел
  27. Интеграл
  28. Двойной интеграл
  29. Тройной интеграл
  30. Интегрирование
  31. Неопределённый интеграл
  32. Определенный интеграл
  33. Криволинейные интегралы
  34. Поверхностные интегралы
  35. Несобственные интегралы
  36. Кратные интегралы
  37. Интегралы, зависящие от параметра
  38. Квадратный трехчлен
  39. Производная
  40. Применение производной к исследованию функций
  41. Приложения производной
  42. Дифференциал функции
  43. Дифференцирование в математике
  44. Формулы и правила дифференцирования
  45. Дифференциальное исчисление
  46. Дифференциальные уравнения
  47. Дифференциальные уравнения первого порядка
  48. Дифференциальные уравнения высших порядков
  49. Дифференциальные уравнения в частных производных
  50. Тригонометрические функции
  51. Тригонометрические уравнения и неравенства
  52. Показательная функция
  53. Показательные уравнения
  54. Обобщенная степень
  55. Взаимно обратные функции
  56. Логарифмическая функция
  57. Уравнения и неравенства
  58. Положительные и отрицательные числа
  59. Алгебраические выражения
  60. Иррациональные алгебраические выражения
  61. Преобразование алгебраических выражений
  62. Преобразование дробных алгебраических выражений
  63. Разложение многочленов на множители
  64. Многочлены от одного переменного
  65. Алгебраические дроби
  66. Пропорции
  67. Уравнения
  68. Системы уравнений
  69. Системы уравнений высших степеней
  70. Системы алгебраических уравнений
  71. Системы линейных уравнений
  72. Системы дифференциальных уравнений
  73. Арифметический квадратный корень
  74. Квадратные и кубические корни
  75. Извлечение квадратного корня
  76. Рациональные числа
  77. Иррациональные числа
  78. Арифметический корень
  79. Квадратные уравнения
  80. Иррациональные уравнения
  81. Последовательность
  82. Ряды сходящиеся и расходящиеся
  83. Тригонометрические функции произвольного угла
  84. Тригонометрические формулы
  85. Обратные тригонометрические функции
  86. Теорема Безу
  87. Математическая индукция
  88. Показатель степени
  89. Показательные функции и логарифмы
  90. Множество
  91. Множество действительных чисел
  92. Числовые множества
  93. Преобразование рациональных выражений
  94. Преобразование иррациональных выражений
  95. Геометрия
  96. Действительные числа
  97. Степени и корни
  98. Степень с рациональным показателем
  99. Тригонометрические функции угла
  100. Тригонометрические функции числового аргумента
  101. Тригонометрические выражения и их преобразования
  102. Преобразование тригонометрических выражений
  103. Комбинаторика
  104. Вычислительная математика
  105. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
  106. Прямая и плоскость
  107. Линии и уравнения
  108. Прямая линия
  109. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
  110. Кривые и поверхности второго порядка
  111. Числовые ряды
  112. Степенные ряды
  113. Ряды Фурье
  114. Преобразование Фурье
  115. Функциональные ряды
  116. Функции многих переменных
  117. Метод координат
  118. Гармонический анализ
  119. Вещественные числа
  120. Предел последовательности
  121. Аналитическая геометрия
  122. Аналитическая геометрия на плоскости
  123. Аналитическая геометрия в пространстве
  124. Функции одной переменной
  125. Высшая алгебра
  126. Векторная алгебра
  127. Векторный анализ
  128. Векторы
  129. Скалярное произведение векторов
  130. Векторное произведение векторов
  131. Смешанное произведение векторов
  132. Операции над векторами
  133. Непрерывность функций
  134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
  135. Предел и непрерывность функции одной переменной
  136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
  137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
  138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
  139. Матрицы
  140. Линейные и евклидовы пространства
  141. Линейные отображения
  142. Дифференциальные теоремы о среднем
  143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
  144. Функции комплексного переменного
  145. Преобразование Лапласа
  146. Теории поля
  147. Операционное исчисление
  148. Системы координат
  149. Рациональная функция
  150. Интегральное исчисление
  151. Интегральное исчисление функций одной переменной
  152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
  153. Отношение в математике
  154. Математическая логика
  155. Графы в математике
  156. Линейные пространства
  157. Первообразная и неопределенный интеграл
  158. Линейная функция
  159. Выпуклые множества точек
  160. Система координат