Оглавление:
1) всякая прямая в прямоугольной системе координат определяется уравнением первой степени относительно переменных
и
;
2) всякое уравнение первой степени в прямоугольной системе координат определяет прямую и притом единственную.
Мы займемся изучением линий, определяемых уравнениями второй степени относительно текущих
координат и
:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32745.png)
Такие линии называются линиями (кривыми) второго порядка. Коэффициенты уравнения (1) могут принимать различные действительные значения, исключая одновременное равенство и
нулю (в противном случае уравнение (1) не будет уравнением второй степени).
Окружность и ее уравнения
Как известно, Окружностью называется множество всех точек плоскости, одинаково удаленных от данной точки, называемой центром.
Пусть дана окружность радиуса с центром в точке
требуется составить ее уравнение.
Возьмем на данной окружности произвольную точку
(рис. 38). Имеем
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32773.png)
Итак, уравнению
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-32786.png)
удовлетворяют координаты произвольной точки окружности. Более того, этому уравнению не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на окружности, так как и
. Следовательно, (I) есть уравнение окружности радиуса
с центром в точке
. Если центр окружности находится на оси
, т. е. если
, то уравнение (I) примет вид
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34392.png)
Если центр окружности находится на оси т. е. если
то уравнение (I) примет вид
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34396.png)
Наконец, если центр окружности находится в начале координат, т. е. если , то уравнение (I) примет вид
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34401.png)
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34405.png)
Пример:
Составить уравнение окружности радиуса с центром в точке
.
Решение:
Имеем: . Подставив эти значения в уравнение (I), найдем
.
Из изложенного выше следует, что уравнение окружности является уравнением второй степени относительно переменных и
, как бы она ни была расположена в плоскости
. Уравнение окружности (I) является частным случаем общего уравнения второй степени с
переменными
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34425.png)
В самом деле, раскрыв скобки в уравнении (1), получим
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34427.png)
Справедливо следующее утверждение: если в уравнении (5) , то Уравнение (5) определяет окружность.
Действительно, разделив уравнение (5) почленно на , получим:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34445.png)
Дополним группы членов, стоящие в скобках, до полного квадрата:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34447.png)
или
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34448.png)
Положим Так как, по условию,
то можно положить
Получим
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34460.png)
Если в уравнении то оно определяет точку
(говорят также, что окружность вырождается в точку). Если же
то уравнению (5) не удовлетворяет ни одна пара действительных чисел (говорят также, что уравнение (5) определяет «мнимую» окружность).
Пример:
Найти координаты центра и радиус окружности
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34473.png)
Решение:
Сравнивая данное уравнение с уравнением (1), находим: . Следовательно,
.
Пример:
Установить, какое из уравнений:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34479.png)
определяет окружность. Найти координаты центра и радиус каждой из них.
Решение:
Первое уравнение не определяет окружность, потому что . Во втором уравнении
. Однако и оно не определяет окружность, потому что
. В третьем уравнении условия
выполняются. Для окончательного вывода преобразуем его так:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34490.png)
или
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34492.png)
Это уравнение, а следовательно, и уравнение 3), определяет окружность с центром и радиусом
.
В четвертом уравнении также выполняются условия Однако преобразовав его к виду
, устанавливаем, что оно не определяет никакой линии.
Эллипс и его каноническое уравнение
Определение:
Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая расстояния между фокусами.
Составим уравнение эллипса, фокусы и
которого лежат на оси
и находятся на одинаковом расстоянии от
начала координат (рис. 39).
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34515.png)
Обозначив , получим
Пусть
произвольная точка эллипса. Расстояния
называются фокальными радиусами точки
. Положим
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34530.png)
тогда, согласно определению эллипса, — величина постоянная и
По формуле расстояния между двумя точками находим:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34540.png)
Подставив найденные значения и
в равенство (1), получим уравнение эллипса:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34548.png)
Преобразуем уравнение (3) следующим образом!
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34550.png)
Имеем: положим
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34552.png)
последнее уравнение примет вид
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34554.png)
или
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34555.png)
Так как координаты и
любой точки
эллипса удовлетворяют уравнению (3),то они удовлетворяют уравнению (5).
Покажем, что справедливо и обратное: если координаты точки удовлетворяют уравнению (5) то она принадлежит эллипсу.
Пусть — произвольная точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (5). Так как из (5)
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34566.png)
то откуда
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34570.png)
Подставив (6) в соотношения (2) и проведя необходимые упрощения, получим
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34573.png)
Но так как то
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34576.png)
откуда
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34579.png)
и, следовательно,
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34582.png)
т. е. точка действительно принадлежит эллипсу.
Уравнение (5) называется каноническим уравнением
эллипса.
Исследование формы эллипса по его уравнению
Определим форму эллипса по его каноническому
уравнению
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34584.png)
1. Координаты точки не удовлетворяют уравнению (1), поэтому эллипс, определяемый этим уравнением не проходит через начало координат.
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-34586.png)
Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Положив в уравнении (1) , найдем
Следовательно, эллипс пересекает ось
в точках
. Положив в уравнении (1)
, найдем точки пересечения эллипса с осью
:
(рис.40).
3. Так как в уравнение (1) переменные и
входят только в четных степенях, то эллипс симметричен относительно координатных осей, а следовательно, и относительно начала координат.
4. Определим область изменения переменных и
. В предыдущем параграфе (см. (7)) мы уже показали, что
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-39419.png)
Аналогично, переписав уравнение эллипса (1) в виде
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-39427.png)
получим откуда
или
Таким образом, все точки эллипса находятся внутри прямоугольника, ограниченного прямыми
(см. рис, 40).
5. Переписав уравнение (1) соответственно в вида
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-39447.png)
мы видим, что при возрастании от 0 до
величина
убывает от
до 0, а при возрастании
от 0 до
величина
убывает от
до 0. Эллипс имеет форму, изображенную на рис. 41.
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-39468.png)
Точки пересечения эллипса с осями координат
называются вершинами эллипса. Отрезок
называется
большой осью эллипса, а отрезок — малой осью. Оси
являются осями симметрии эллипса, а точка
— центром симметрии (или просто центром) эллипса.
Пример:
Определить длину осей и координаты фокусов эллипса
Решение:
Разделив обе части данного уравнения на 1176, приведем его к каноническому виду
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-39502.png)
Отсюда
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-39504.png)
Имеем:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-39505.png)
Следовательно,
Пример:
Составить каноническое уравнение эллипса, если фокусное расстояние равно 10, а малая ось равна 6.
Решение:
Имеем:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-39508.png)
Следовательно,
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-39509.png)
Другие сведения об эллипсе
Мы рассмотрели эллипс, у которого Если же
то уравнение
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-39512.png)
определяет эллипс, фокусы которого лежат на оси (рис. 42). В этом случае длина большой оси равна
, а малой
. Кроме того,
связаны между собой равенством
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-39518.png)
Определение:
Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к длине большой оси и обозначается буквой .
Если , то, по определению,
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-39527.png)
При имеем
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-39614.png)
Из формул (3) и (4) следует . При этом с
увеличением разности между полуосями и
увеличивается соответствующим образом и эксцентриситет
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-39623.png)
эллипса, приближаясь к единице; при уменьшении разности между и
уменьшается и эксцентриситет, приближаясь к нулю. Таким образом, по величине эксцентриситета можно судить о форме эллипса: чем больше эксцентриситет, тем более вытянут эллипс; чем меньше эксцентриситет, тем круглее эллипс. В частности, если
и уравнение эллипса примет вид
, которое определяет окружность с центром в начале координат. Таким образом, окружность можно рассматривать как частный случай эллипса, у которого полуоси равны между собой, а следовательно, эксцентриситет равен нулю.
Из рис. 43, на котором изображены эллипсы и окружность
, хорошо видна зависимость формы эллипса от его эксцентриситета. В заключение поясним, как можно построить эллипс
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-39633.png)
Для этого на осях координат строим вершины эллипса . Затем из вершины
(можно из
) радиусом, равным а, на большой оси делаем засечки
(рис. 44). Это будут фокусы эллипса, потому что
. Далее, берем нерастяжимую нить, длина которой равна
, и закрепляем ее концы в найденных фокусах. Натягиваем нить
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-39808.png)
острием карандаша и описываем кривую, оставляя нить все время в натянутом состоянии.
Пример:
Составить каноническое уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси , если его большая ось равна 14 и
Решение. Так как фокусы лежат на оси , то
По
формуле (2) находим:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-39821.png)
Следовательно, искомое уравнение, будет
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-39823.png)
Гипербола и ее каноническое уравнение
Определение:
Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.
Составим уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси
и находятся на одинаковом расстоянии от начала координат (рис. 45).
Обозначив получим
, Пусть
— произвольная точка гиперболы.
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-39852.png)
Расстояния называются фокальными радиусами точки
. Согласно определению гиперболы
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-39860.png)
где — величина постоянная и
Подставив
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-39870.png)
в равенство (1), получим уравнение гиперболы
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-39874.png)
Уравнение (2) можно привести к более простому виду; для этого преобразуем его следующим образом:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-39879.png)
Имеем: . Положим
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-39890.png)
тогда последнее равенство принимает вид
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-39892.png)
или
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-39894.png)
Так как координаты и
любой точки
гиперболы удовлетворяют уравнению (2), то они удовлетворяют и уравнению (4).
Как и в случае эллипса (см. конец § 2), можно показать, что справедливо и обратное: если координаты точки удовлетворяют уравнению (4), то она принадлежит гиперболе.
Уравнение (4) называется каноническим уравнением гиперболы.
Исследование формы гиперболы по ее уравнению
Определим форму гиперболы по ее каноническому уравнению
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-39901.png)
1. Координаты точки (0; 0) не удовлетворяют уравнению (1), поэтому гипербола, определяемая этим уравнением, не проходит через начало координат.
2. Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Положив в уравнении (1) , найдем
. Следовательно, гипербола пересекает ось
в точках
. Положив в уравнение (1)
, получим
, а это означает, что система
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-39916.png)
не имеет действительных решений. Следовательно, гипербола не пересекает ось .
3. Так как в уравнение (1) переменные и
входят только в четных степенях, то гипербола симметрична относительно координатных осей, а следовательно, и относительно начала координат.
4. Определим область изменения переменных и
; для этого из уравнения. (1) находим:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-39923.png)
Имеем: или
; из (3) следует, что
— любое действительное число. Таким образом, все точки гиперболы расположены слева от прямой
и справа от прямой
5. Из (2) следует также, что
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-41075.png)
Это означает, что гипербола состоит из двух ветвей, одна из которых расположена справа от прямой , а другая слева от прямой
.
Гипербола имеет форму, изображенную на рис. 46.
Точки пересечения гиперболы с осью
называются вершинами гиперболы. Отрезок Рис. 46.
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-41085.png)
соединяющий вершины гиперболы, называется действительной осью. Отрезок ,
, называется мнимой осью. Число
называется действительной полуосью, число
— мнимой полуосью. Оси
являются осями симметрии гиперболы. Точка
пересечения осей симметрии называется центром гиперболы. У гиперболы (1) фокусы
всегда находятся на действительной оси.
Пример:
Составить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в точках , а расстояние между фокусами равно 14.
Решение:
Имеем: . По формуле
находим
Следовательно, искомое уравнение будет
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-41148.png)
Пример:
Составить каноническое уравнение гиперболы с фокусами на оси , если длина ее действительной оси равна 16 и гипербола проходит через точку
.
Решение:
Имеем: . Положив в уравнении (1)
, получим
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-41178.png)
Следовательно,
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-41183.png)
Другие сведения о гиперболе
Асимптоты гиперболы
Определение:
Прямая называется
асимптотой кривой при
, если
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-41198.png)
Аналогично определяется асимптота при . Докажем, что прямые
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-41214.png)
являются асимптотами гиперболы
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-41216.png)
при
Так как прямые (2) и гипербола (3) симметричны относительно координатных осей, то достаточно рассмотреть только те точки указанных линий, которые расположены в первой четверти (рис. 47). Напишем уравнения прямых (2) и гиперболы (3), соответствую*
щие первой четверти:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-41229.png)
Положив найдем:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-41235.png)
Следовательно, прямые (2) являются асимптотами гиперболы (3).
Отметим, что асимптоты (2) совпадают с диагоналям прямоугольника, стороны которого параллельны осям и
и равны соответственно
и
, а его центр находится в начале координат. При этом ветви гиперболы расположены внутри вертикальных углов,
образуемых асимптотами, и приближаются сколь угодно близко к асимптотам (рис.48).
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-41253.png)
Пример:
Составить уравнение гиперболы, проходящей через точку и, имеющей асимптоты
Решение:
Из данных уравнений асимптот имеем:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-41270.png)
Заменив в уравнении гиперболы переменные и
координатами точки
и
его найденным значением, получим:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-41283.png)
Следовательно, искомое уравнение будет
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-41287.png)
Эксцентриситет гиперболы
Определение:
Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-41302.png)
к длине действительной оси и обозначается буквой :
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-41312.png)
Из формулы (§ 5) имеем
поэтому
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-41333.png)
Пример:
Найти эксцентриситет гиперболы .
Решение:
Имеем:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-41344.png)
По формуле (5) находим
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-42004.png)
Равносторонняя гипербола
Гипербола называется равносторонней, если длины ее полуосей равны между собой, т. е. . В этом случае уравнение гиперболы принимает вид
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-42015.png)
или
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-42017.png)
Равносторонняя гипербола определяется одним пара*
метром и асимптотами являются биссектрисы координатных углов:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-42022.png)
У всех равносторонних гипербол один и тот же эксцентриситет:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-42025.png)
Так как асимптоты равносторонней гиперболы взаимно перпендикулярны, их можно принять за оси новой системы координат полученной в результате поворота осей старой системы вокруг начала координат на угол
(рис.49).
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-42039.png)
Составим уравнение равносторонней гиперболы относительно новой системы координат . Для этого воспользуемся формулами
(4) § 3 гл. 2:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-42046.png)
Положив , получим:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-42052.png)
Отсюда
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-42065.png)
Учитывая равенство (6), получим
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-42068.png)
Уравнение (8) называется уравнением равносторонней гиперболы, отнесенной к своим асимптотам.
Из уравнения (8) следует, что переменные — величины обратно пропорциональные. Таким образом, равносторонняя гипербола, отнесенная к своим асимптотам, представляет собой график обратно пропорциональной зависимости.
Пример:
Составить каноническое уравнение
равносторонней гиперболы, проходящей через точку .
Решение:
Заменив в уравнении (6) переменные координатами точки
, получим:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-42136.png)
Следовательно, искомое уравнение будет
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-42141.png)
Парабола и ее каноническое уравнение
Определение:
Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, не проходящей через данную точку и
называемой директрисой.
Составим уравнение параболы, фокус которой лежит на оси
, а
директриса параллельна оси
и удалена от нее на такое же расстояние, как и фокус от начала координат (рис.50).
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-42180.png)
Расстояние от фокуса до директрисы
называется параметром параболы и обозначается через
. Из рис. 50 видно, что
следовательно, фокус имеет координаты
, а уравнение директрисы имеет вид
, или
Пусть — произвольная точка параболы. Соединим точки
и
и проведем
. Непосредственно из рис. 50 видно, что
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-42278.png)
а по формуле расстояния между двумя точками
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-42282.png)
согласно определению параболы
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-42284.png)
следовательно,
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-42286.png)
Уравнение (1) является искомым уравнением параболы. Для упрощения уравнения (1) преобразуем его следующим образом:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-42289.png)
Последнее уравнение эквивалентно
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-42292.png)
Координаты точки
параболы удовлетворяют уравнению (1), а следовательно, и уравнению (3).
Покажем, что справедливо и обратное: если координаты точки удовлетворяют уравнению (3), то она принадлежит параболе.
Действительно,
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-42301.png)
Но так как из (3) , и в левой части последнего уравнения можно оставить знак «плюс», т. е. оно является исходным уравнением параболы (1).
Уравнение (3) называется каноническим уравнением параболы.
Исследование формы параболы по ее уравнению
Определим форму параболы по ее каноническому уравнению
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-42314.png)
1. Координаты точки удовлетворяют уравнению (1), следовательно, парабола, определяемая этим уравнением, проходит через начало координат.
2. Так как в уравнение (1) переменная входит только в четной степени, то парабола
симметрична относительно оси абсцисс.
3. Имеем:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-42333.png)
Так как . Следовательно, парабола
расположена справа от оси
.
4. При возрастании абсциссы ордината
изменяется от
, т. е. точки параболы неограниченно удаляются как от оси
, так и от оси
.
Парабола имеет форму, изображенную на рис. 51.
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-42433.png)
Ось является осью симметрии параболы. Точка
пересечения параболы с осью симметрии называется вершиной параболы. Отрезок
называется фокальным радиусом точки
.
5. Если фокус параболы лежит слева от оси , а директриса справа от нее, то ветви параболы расположены слева от оси
(рис. 52, а). Уравнение такой параболы имеет вид
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-42438.png)
Координаты ее фокуса будут ; директриса
определяется уравнением
.
6. Если фокус параболы имеет координаты , а директриса
задана уравнением
, то ветви параболы направлены вверх (рис. 52,6), а ее уравнение имеет вид
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-42502.png)
7. Наконец, если фокус параболы имеет координаты а директриса
задана уравнением
, то ветви параболы направлены вниз (рис. 52, в), а ее уравнение имеет вид
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-42511.png)
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-42512.png)
Пример:
Дана парабола . Найти координаты ее фокуса и составить уравнение директрисы.
Решение:
Данная парабола симметрична относительно оси , ветви направлены вверх. Сравнивая данное уравнение с уравнением (3), находим:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-42517.png)
Следовательно, фокус имеет координаты , а уравнение директрисы будет
, или
.
Пример:
Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, директриса которой задана уравнением .
Решение:
Из условия задачи следует, что парабола симметрична относительно оси и ветви расположены слева от оси
, поэтому искомое уравнение имеет вид
. Так как
и, следовательно,
Параллельный перенос параболы
Пусть дана парабола с вершиной в точке , ось симметрии которой параллельна оси
, а ветви направлены вверх (рис. 53).
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-42541.png)
Требуется составить ее уравнение. Сделаем параллельный перенос осей координат, поместив начало в точке . Относительно новой системы координат
парабола определяется уравнением
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-42548.png)
Чтобы получить уравнение данной параболы относительно старой системы, воспользуемся формулами преобразования прямоугольных координат при параллельном переносе;
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-42550.png)
Подставив значения из формул (2) в уравнение (1), получим
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-42553.png)
Преобразуем это уравнение следующим образом:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-42554.png)
Положив
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-42557.png)
будем иметь
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-42558.png)
С уравнением параболы вида (5) читатель хорошо знаком по школьному курсу.
Пример 1. Составить уравнение параболы с вершиной в точке и с фокусом в точке
.
Решение. Вершина и фокус данной параболы лежат на прямой, параллельной оси (у них абсциссы одинаковы), ветви параболы направлены вверх (ордината фокуса больше ординаты вершины), расстояние фокуса от вершины равно
Заменив в уравнении (3) и
координатами точки
и
его найденным значением, получим:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-42579.png)
Пример:
Дано уравнение параболы
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-42582.png)
Привести его к каноническому виду.
Решение:
Разрешив данное уравнение относительно переменной , получим
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-42588.png)
Сравнивая это уравнение с уравнением (5), находим Из формул (4) имеем:
следовательно, Подставляем найденные значения
в уравнение (3):
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-42606.png)
Положив получим
т. е, каноническое уравнение данной параболы.
Уравнения кривых второго порядка как частные случаи общего уравнения второй степени с двумя переменными
Выше было установлено, что уравнение окружности есть частный случай общего уравнения второй степени с переменными и
:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-42629.png)
Покажем, что и канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы являются частными случаями уравнения (1). В самом деле:
1) при и
уравнение (1) примет вид
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-42653.png)
т. е. определяет эллипс;
2) при и
уравнение (1) примет вид
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-42673.png)
т. е. определяет гиперболу;
3) при и
уравнение (1) примет вид
т. е. определяет параболу.
Дополнение к кривым второго порядка
Пусть задана кривая, определяемая уравнением второй степени
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/image-25742.png)
где — действительные числа;
и
одновременно не равны нулю. Эта кривая называется кривой второго порядка.
Приведем еще одно определение кривой второго порядка.
Геометрическое место точек плоскости, для которых отношение их расстояний до заданной точки, называемой фокусом, и до заданной прямой, называемой директрисой, есть величина постоянная, равная , является кривой 2-го порядка с эксцентриситетом, равным
. Если
, то кривая второго порядка — эллипс;
— парабола;
— гипербола.
Эллипс
Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек и
этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная
. Если фокусы совпадают, то эллипс представляет собой окружность.
Каноническое уравнение эллипса: .
Если , то эллипс расположен вдоль оси
; если
, то эллипс расположен вдоль оси
(рис. 9а, 9б).
Если , то, сделав замену
, перейдем в «штрихованную» систему координат, в которой уравнение будет иметь канонический вид:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/image-25743.png)
Декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение эллипса имеет канонический вид, называется канонической.
Точки пересечения эллипса с осями координат называются вершинами эллипса. Расстояния от начала координат до вершин и
называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/image-25744.png)
Центр симметрии эллипса, совпадающий с началом координат, называется центром эллипса.
Если — расстояние от начала координат канонической системы координат до фокусов, то
.
Отношение называется эксцентриситетом эллипса.
Расстояние от произвольной точки , лежащей на эллипсе, до каждого из фокусов является линейной функцией от ее абсциссы, т.е.
.
С эллипсом связаны две замечательные прямые, называемые его директрисами. Их уравнения в канонической системе имеют вид .
Гипербола
Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек и
этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная
(рис. 10).
Декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение гиперболы имеет канонический вид, называется канонической. Каноническое уравнение гиперболы:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/image-25757.png)
Ось абсцисс канонической системы пересекает гиперболу в точках, называемых вершинами гиперболы. Ось ординат не пересекает гиперболу. и
называются вещественной и мнимой полуосями гиперболы. Центр симметрии гиперболы, совпадающий с началом координат, называется центром гиперболы.
Если — расстояние от начала координат канонической системы координат до фокусов гиперболы, то
.
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/image-25758.png)
Отношение называется эксцентриситетом гиперболы.
Расстояние от произвольной точки , лежащей на гиперболе, до каждого из фокусов равно
.
Гипербола с равными полуосями называется равносторонней.
Прямые с уравнениями в канонической системе называются асимптотами гиперболы.
Прямые называют директрисами гиперболы в канонической системе координат.
Парабола
Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, также расположенной в рассматриваемой плоскости (рис. 11).
Указанная точка называется фокусом параболы, а фиксированная прямая — директрисой параболы.
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/image-25773.png)
Система координат, в которой парабола имеет канонический вид, называется канонической, а ось — осью параболы.
Каноническое уравнение параболы:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/image-25777.png)
Парабола проходит через начало канонической системы координат. Эта точка называется вершиной параболы.
Фокус параболы имеет координаты
.
Директрисой параболы называется прямая в канонической системе координат.
Расстояние от произвольной точки параболы до фокуса равно
.
Пример задачи решаемой с применением кривых второго порядка
Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам, начиная от
до
и придавая значения через промежуток
; 2) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс — с полярной осью, привести его к каноническому виду; 3) по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/image-28008.png)
Решение:
1) Вычисляя значения с точностью до сотых при указанных значениях
, получим таблицу:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/2020/03/image-28011.png)
Используя полученные табличные значения, построим кривую в полярной системе координат (рис. 17).
2) Используя формулы перехода
из полярной в декартовую систему координат, получим:
.
Возведем левую и правую части в квадрат: Выделим полный квадрат и приведем к каноническому виду:
, где
3) Это эллипс, смещенный на вдоль оси
.
Ответ: эллипс , где
На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:
Высшая математика краткий курс лекций для заочников
Возможно вам будут полезны эти страницы:
Угол между плоскостями |
Прямая линия в пространстве |
Исследование общего уравнения кривой 2-го порядка |
Функция |
Кривая второго порядка и её определение
Кривая второго порядка — это некоторая линия на плоскости, которая в декартовой системе координат задается общим уравнением |
Окружность и ее уравнение
Окружностью называется геометрическое место точек, одинаково удаленных от одной точки, называемой центром.
Пользуясь этим определением, выведем уравнение окружности. Пусть радиус ее равен r, а центр находится в точке
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9697.png)
О1(а; b). Возьмем на окружности произвольную точку М(х; у) (рис. 27).
По формуле расстояния между двумя точками можем написать:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9701.png)
или, после возведения обеих частей равенства в квадрат,
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9703.png)
Так как точка М нами взята произвольно, а радиус r — величина постоянная, то равенство (1) справедливо для всех точек окружности, т. е. координаты любой ее точки удовлетворяют этому равенству. А если так, то равенство (1) нужно рассматривать как уравнение окружности.
В уравнении (1) а и b — координаты центра окружности, а х и у — текущие координаты.
Если положить а = 0, то уравнение (1) обратится в следующее:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9709.png)
и будет определять окружность с центром на оси Оу (рис. 28).
При b = 0 уравнение (1) примет вид
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9712.png)
и будет определять окружность с центром на оси Ох (рис. 29).
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9714.png)
Наконец, при а = 0 и b = 0 уравнение (1) преобразуется в следующее:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9717.png)
и будет определять окружность с центром в начале координат (рис. 30).
Можно построить окружность, имея ее уравнение. Пусть, например, требуется построить окружность
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9719.png)
Перепишем это уравнение в следующем виде:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9722.png)
сравнивая это уравнение с(1), видим, что координаты центра окружности суть (2; — 3) и радиус ее r = 3. Построив
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9726.png)
точку О1(2;—3), опишем из нее радиусом, равным 3 единицам масштаба, искомую окружность (рис. 31).
Уравнение окружности как частный вид общего уравнения второй степени
Раскрыв скобки в уравнении (1) , можем написать:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9728.png)
или
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9730.png)
Умножив все члены последнего равенства на А, получим:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9733.png)
Положим:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9735.png)
тогда уравнение (1) окружности примет вид
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9738.png)
Уравнение (2) является частным случаем общего уравнения второй степени с двумя переменными. В самом деле, сравним уравнение (2) с общим уравнением второй степени с двумя переменными, имеющим, как известно, следующий вид:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9772.png)
Мы видим, что уравнение (2) отличается от уравнения (3) только тем, что у первого коэффициенты при х2 и у2 одинаковы и отсутствует член, содержащий произведение ху.
Таким образом, окружность определяется общим уравнением второй степени с двумя переменными, если в нем коэффициенты при х2 и у2 равны между собой и отсутствует член с произведением ху.
Обратно, уравнение вида (2), вообще говоря, определяет окружность. Убедимся в этом на примере. Пусть дано уравнение
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9779.png)
Перепишем его в следующем виде:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9785.png)
и преобразуем двучлены, стоящие в скобках, в полные квадраты суммы и разности, прибавив к первому 4, ко второму 16. Чтобы равенство при этом не нарушилось, увеличим и правую часть его на сумму 4+16. Получим:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9787.png)
или
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9789.png)
Последнее равенство является уравнением окружности, имеющей радиус, равный 5, и центр в точке О1(-2; 4).
Бывают однако случаи, когда уравнение (2) при некоторых значениях коэффициентов не определяет окружности; например, уравнению
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9804.png)
удовлетворяют координаты единственной точки (0; 0), а уравнению
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9807.png)
не удовлетворяют координаты ни одной точки, так как сумма квадратов действительных чисел не может иметь отрицательного значения.
Пример:
Дана окружность
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9816.png)
и хорда Найти длину этой хорды.
Решение:
Так как концы хорды являются общими точками окружности и хорды, то их координаты удовлетворяют как уравнению первой, так и уравнению второй линии. Поэтому, чтобы найти эти координаты, нужно решить совместно уравнения окружности и хорды. Подставив значение
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9839.png)
в уравнение окружности, получим:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9835.png)
или
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9837.png)
или, наконец,
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9832.png)
Отсюда
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9830.png)
Находим значение у:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9826.png)
Итак, концами хорды служат точки с координатами (4; 3) и (6; 1).
По формуле расстояния между двумя точками можем определить искомую длину хорды
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9824.png)
Эллипс и его уравнение
Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний каждой из которых от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (и болыиая, чем расстояние между фокусами).
Пусть, например, на эллипсе взяты точки М1, M2, M3, М4 и т. д. (рис. 32). Если фокусы обозначить через F и F1, то согласно данному определению можно написать:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9847.png)
Геометрическое место точек, обладающих вышеуказанным свойствам (1), и есть эллипс.
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9850.png)
На основании определения эллипса составим его уравнение. Для этого выберем систему координат следующим образом. За ось Ох примем прямую, проходящую через фокусы F и F1, а за ось Оу — прямую перпендикулярную
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9854.png)
к FF1 и проведенную через середину отрезка FF1 (рис. 33). Обозначим расстояние F1F между фокусами через 2с, тогда координаты фокусов будут:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9860.png)
Возьмем на эллипсе произвольную точку М(х;у). Обозначим постоянную величину суммы расстояний каждой точки от фокусов через 2а, тогда
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9884.png)
По формуле расстояния между двумя точками найдем:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9882.png)
Теперь равенство (2) перепишется следующим образом:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9881.png)
и будет представлять уравнение эллипса в принятой системе координат.
Упростим уравнение (3). Для этого перенесем один из радикалов в правую часть уравнения:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9878.png)
Возведем обе части этого равенства в квадрат:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9876.png)
Раскроем скобки:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9874.png)
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9875.png)
Приведем подобные члены:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9868.png)
или
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9866.png)
Сократив на 4 и снова возведя в квадрат обе части равенства, получим:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9865.png)
или
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9863.png)
Перенесем все члены, содержащие х и у, в левую часть равенства, остальные члены — в правую:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9887.png)
или
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9888.png)
Но согласно определению эллипса
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9890.png)
отсюда
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9891.png)
Из последнего неравенства следует, что а потому эту разность можно обозначить через
Подставив это обозначение в равенство (4), найдем:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9900.png)
Наконец, разделим все члены последнего равенства на окончательно получим:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9902.png)
где х и у — текущие координаты точек эллипса, а
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9903.png)
Уравнение (6) и есть простейший вид уравнения эллипса *).
*) Уравнение (6) получилось в результате двукратного возведения в квадрат уравнения (3), благодаря чему, вообще говоря, возможно появление посторонних корней. Можно показать, что уравнение (6) не имеет посторонних корней, т. е. любая точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (6), лежит на эллипсе.
Исследование уравнения эллипса
Определим сначала у из уравнения (5) :
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9908.png)
отсюда
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9909.png)
Из того же уравнения (5) найдем:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9914.png)
следовательно,
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9915.png)
Рассмотрим теперь равенства (1) и (2).
I. Пусть
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9918.png)
*) | х | означает, что х берется по абсолютной величине; таким образом, запись | х | < а нужно читать так: х по абсолютной величине меньше чем а.
Тогда под корнем в равенстве (1) получится положительное число, а потому у будет иметь два значения, равные по абсолютной величине, но с противоположными знаками. Это значит, что каждому значению х соответствуют две точки эллипса, симметричные относительно оси Ох. Пусть теперь
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9920.png)
Тогда каждому значению у, как мы видим из равенства (2), отвечают два значения х равные по абсолютной величине, но с разными знаками. Отсюда следует, что каждому значению у соответствуют на эллипсе две точки, симметричные относительно оси Оу.
Из сказанного заключаем: эллипс симметричен относительно координатных осей.
II. Найдем точки пересечения эллипса с осью Ох. Пусть
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9929.png)
тогда из равенства (2) имеем:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9930.png)
Отсюда следует: эллипс пересекает ось Ох в двух точках, координаты которых (а; 0) и (— а; 0) (точки А и А1 на рис. 34).
III. Найдем точки пересечения эллипса с осью Оу. Пусть
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9944.png)
тогда из равенства (1) имеем:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9947.png)
Отсюда заключаем, что эллипс пересекает ось Оу в двух точках, координаты которых (0; b) и (0; —b) (точки В и В1 на рис. 35).
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9954.png)
IV. Пусть х принимает такие значения, что
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9958.png)
тогда выражение под корнем в равенстве (1) будет отрицательным, и, следовательно, у будет иметь мнимые значения. А это значит, что не существует точек эллипса, абсциссы которых удовлетворяют условию (3), т. е. эллипс расположен внутри полосы, заключенной между прямыми х = + а и х = — а (рис. 34, прямые КL и РQ).
Если же положить
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9970.png)
то из равенства (2) получим для х мнимые значения. Это говорит о том, что точки, удовлетворяющие условию (4), на эллипсе не лежат, т. е. эллипс заключен между прямыми у = + b и у = — b (рис. 35, прямые РК и QL .
Из сказанного следует, что все точка эллипса лежат внутри прямоугольника, стороны которого параллельны координатным осям и имеют длины, равные 2а и 2b, а диагонали пересекаются в начале координат (рис. 36).
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9986.png)
Эллипс имеет форму, показанную на рис. 37, Точки A,, A1, В и В1 называются вершинами эллипса, а точка О — его центром. Отрезок А1А = 2а называется его большой осью, а отрезок В1В = 2b — малой осью, Отрезки FМ и F1М носят название фокальных радиусов точки М.
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-9998.png)
Эксцентриситет эллипса
Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между его фокусами к длине большой оси, т. e.
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10005.png)
Эксцентриситет обычно обозначают буквой е. Таким образом,
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10203.png)
Но согласно формуле (7)
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10202.png)
Поэтому для определения эксцентриситета может служить
следующее равенство:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10200.png)
Так как 0 < с < а то эксцентриситет эллипса есть положительная величина, меньшая единицы.
Эксцентриситет характеризует форму эллипса, что легко усмотреть из формулы (2). Например, если уменьшить величину не изменяя а, то разность увеличится, отчего увеличится и дробь правой части формулы, а следовательно, и е станет больше. Эксцентриситет также возрастет, если увеличить а, оставив b постоянной величиной.
Мы рассмотрели эллипс, у которого b < а. При b > а уравнение (6) представляет эллипс, фокусы которого лежат на оси Оу; в этом случае его большая ось равна 2 b , а малая 2 а . В соответствии с этим формула (7) и формулы (1) и (2) настоящей лекции примут такой вид:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10186.png)
Пример:
Дан эллипс
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10183.png)
Определить длину его осей, координаты вершин и фокусов, а также величину эксцентриситета.
Решение:
Разделив обе части данного уравнения на 400, получим:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10182.png)
Отсюда
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10178.png)
и
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10179.png)
Итак, большая ось эллипса а малая
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10210.png)
(рис. 38).
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10211.png)
Координаты вершин его будут:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10212.png)
Чтобы найти координаты фокусов, нужно узнать величину
Из равенства (7) имеем:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10215.png)
Следовательно, координаты фокусов будут:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10242.png)
Наконец, по формуле (1) настоящей лекции находим:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10245.png)
Связь эллипса с окружностью
Положим, что полуоси эллипса равны между собой, т. е. а = b, тогда уравнение эллипса примет вид
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10249.png)
Полученное уравнение, как известно, определяет окружность радиуса, равного а.
Посмотрим, чему будет равен эксцентриситет в этом случае; полагая в формуле (2)
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10256.png)
получим:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10258.png)
Отсюда заключаем, что окружность есть частный случай эллипса, у которого полуоси равны между собой, а следовательно, эксцентриситет равен нулю.
Гипербола и ее уравнение
Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний каждой из которых от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (эта постоянная берется по абсолютному значению, причем она меньше расстояния между фокусами и не равна нулю).
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10266.png)
Пусть, например, точки М1, М2, M3, М4 лежат на гиперболе, фокусы которой находятся в точках F и F1 (рис. 39). Тогда, согласно данному выше определению, можно написать:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10271.png)
Пользуясь определением гиперболы, выведем ее уравнение.
Примем за ось Ох прямую, проходящую через фокусы F и F1 (рис. 40), а за ось Оу — прямую, перпендикулярную к отрезку F1F и делящую его пополам.
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10273.png)
Положим F1F = 2c тогда координаты фокусов будут
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10281.png)
Возьмем на гиперболе произвольную точку М(х; у) и обозначим величину разности расстояний каждой точки от фокусов через 2а; тогда
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10284.png)
По формуле расстояния между двумя точками найдем:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10286.png)
и, заменив в равенстве (2) F1М и FМ их выражениями, напишем:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10289.png)
Это и есть уравнение гиперболы относительно выбранной системы координат, так как оно согласно равенствам (1) справедливо для любой ее точки.
*) Знак + берется в случае, если F1М > FМ , и знак —, если F1М < FМ.
Упростим уравнение (3). Для этого перенесем один из радикалов в правую часть уравнения:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10294.png)
Возведем обе части уравнения в квадрат:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10296.png)
Раскроем скобки:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10299.png)
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10300.png)
Приведем подобные члены:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10302.png)
или
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10303.png)
Сократив на 4, снова возведем в квадрат обе части уравнения; получим:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10305.png)
Раскроем скобки:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10307.png)
или
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10308.png)
Перенесем в левую часть члены, содержащие х и у, а остальные члены в правую:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10310.png)
отсюда
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10312.png)
Согласно определению гиперболы
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10314.png)
отсюда
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10315.png)
При условии (5) разность имеет только положительное значение, а потому ее можно обозначить через
Сделав это в равенстве (4), получим:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10323.png)
Разделив последнее равенство на найдем окончательно:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10325.png)
где х и у— текущие координаты точек гиперболы, а
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10327.png)
Равенство (7) представляет собой простейший вид уравнения гиперболы *).
*) Как и в случае эллипса, можно показать, что уравнение (7) равносильно уравнению (3), т. е. не имеет посторонних корней.
Исследование уравнения гиперболы
Из уравнения (6) имеем:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10330.png)
отсюда
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10331.png)
и
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10334.png)
Из этого же уравнения (6) находим:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10336.png)
и
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10338.png)
Исследуем уравнения (1) и (2) для выяснения геометрической формы гиперболы.
I. Найдем точки пересечения гиперболы с осью Ох. Для этого полагаем, у = 0 и из уравнения (2) получаем:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10340.png)
Отсюда следует: гипербола пересекает ось Ох в двух точках, координаты которых (а; 0) и (— а; 0) (рис. 41, точки А и А1).
II. Положим в уравнении (1)
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10342.png)
тогда у получит мнимое значение, а это значит, что на гиперболе нет точек, удовлетворяющих условию (3). Следовательно, в полосе между прямыми х = + а и х = — а (прямые KL и РQ на рис. 41) нет точек гиперболы
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10348.png)
III. Пусть
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10364.png)
тогда из равенства (1) найдем для каждого х два действительных значения у, равных по абсолютной величине, но с противоположными знаками. А это значит, что каждому значению х, удовлетворяющему неравенству (4), соответствуют на нашей кривой две точки, симметричные относительно оси Ох.
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10367.png)
Следовательно, гипербола симметрична относительно оси Ох.
С другой стороны, для каждого значения у из равенства (2) найдем два действительных значения х, равных по абсолютной величине, но противоположных по знаку, т. е. каждому значению у на гиперболе соответствуют две точки, симметричные относительно оси Оу.
Следовательно, гипербола 1 симметрична относительно оси Оу.
IV. Если в уравнении (1) давать х значения, заключенные между +a и то величина у будет изменяться от 0 до :
т. е. в этом случае каждому значению х соответствуют на кривой две точки, симметричные относительно оси Ох и отстоящие друг от друга тем дальше, чем больше величина абсциссы. Таким образом, можно сказать, что гипербола имеет бесконечную ветвь, расположенную справа от прямой х = с.
Если же давать х значения, заключенные между — а и , то у будет изменяться опять от 0 до
а это значит, что, как в предыдущем случае, гипербола имеет бесконечную ветвь, но идущую влево от прямой х = — а. Итак, гипербола есть кривая, состоящая из двух ветвей, простирающихся в бесконечность.
Из всего изложенного следует, что гипербола
состоит из двух симметричных относительно оси Оу бесконечных ветвей, одна из которых расположена справа от
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10395.png)
прямой х = + а, а другая слева от прямой х = — а. Каждая из этих ветвей симметрична относительно оси Ох (рис. 42).
Точки А(а; 0) и А1(- а; 0) называются вершинами гиперболы, а точка О (0; 0) — ее центром.
Отрезок АА1 = 2а носит название действительной или вещественной оси гиперболы в отличие от оси ВВ1 = 2b, называемой мнимой *).
*) Отрезок ВВ1 = 2b называется мнимой осью, так как на нем нет точек гиперболы.
Отрезки F1М и FМ — фокальные радиусы точки М.
Эксцентриситет гиперболы
Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами к длине вещественной оси, т. е.
Эксцентриситет гиперболы, так же как и для эллипса, обозначается буквой е:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10407.png)
Но согласно равенству (8)
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10409.png)
поэтому формулу (1) можно представить в следующем виде:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10410.png)
Так как для гиперболы с > а , то дробь
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10411.png)
а потому эксцентриситет гиперболы больше единицы.
Асимптоты гиперболы
Построим на осях гиперболы
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10413.png)
прямоугольник LQRS со сторонами, равными 2а и 2b и проведем его диагонали LR и QS продолжив их по обе стороны (рис. 43).
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10414.png)
Прямая LR проходит через начало координат, поэтому ее уравнение будет:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-10417.png)
Но угловой коэффициент
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14063.png)
Заменив в уравнении (1) найденным его значением, получим уравнение прямой LR в следующем виде:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14065.png)
Прямая QS также определяется уравнением (1), но угловой коэффициент ее будет уже другой, а именно:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14067.png)
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14068.png)
Таким образом, уравнение прямой QS будет:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14070.png)
Обычно уравнения (2) и (3) записывают следующим образом:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14072.png)
Между прямыми, представленными уравнениями (4), и гиперболой существует связь; выясним ее.
Решим совместно способом подстановки уравнения (4) и
уравнение гиперболы
Будем иметь:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14080.png)
или
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14081.png)
что невозможно, так как
Таким образом, прямые (4) х2 уа
и гипербола не имеют общих точек, т. е. прямые (4) не пересекают гиперболу.
Возьмем на прямой LR и на гиперболе точки М и N, расположенные в первом координатном углу и имеющие одну и ту же абсциссу. Ординатой точки М служит РМ; обозначим ее через Y в отличие от ординаты точки N которую обозначим буквой у. Из уравнения (2) можно написать:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14089.png)
Из уравнения гиперболы имеем:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14090.png)
Составим разность
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14091.png)
и посмотрим, как она будет изменяться при возрастании абсциссы. Для этого умножим и разделим правую часть последнего равенства на выражение
получим:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14093.png)
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14094.png)
Итак,
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14095.png)
Пусть величина х в равенстве (5) бесконечно возрастает, тогда знаменатель дроби также бесконечно растет, а сама дробь уменьшается, приближаясь к нулю. Таким образом, гипотенуза NМ и, следовательно, катет NT в прямоугольном треугольнике МNТ стремится к нулю. Из сказанного делаем вывод: при неограниченном возрастании абсциссы х гипербола приближается к прямой LR как угодно близко, нигде ее не пересекая.
Так как прямые LR и QS, а также точки гиперболы симметричны относительно оси Ох, то можно сказать, что и часть гиперболы, расположенная в четвертом координатном углу, как угодно близко подходит к прямой QS , нигде ее не пересекая.
Вывод, сделанный для правой ветви гиперболы, справедлив и для ее левой ветви благодаря той же симметричности прямых (4) и гиперболы относительно координатных осей.
Прямые
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14114.png)
называются асимптотами гиперболы.
Из сказанного в настоящей лекции можно сделать заключение, что гипербола расположена всеми своими точками внутри вертикальных углов, образуемых асимптотами, и нигде не выходит за их границы. Этим обстоятельством можно воспользоваться для построения гиперболы в случае, если не требуется точного, а достаточно только приближенного ее изображения; для этого, нарисив асимптоты, нужно провести плавную кривую линию, постепенно приближая ее к асимптотам.
Пример:
Дана гипербола
Узнать, лежит ли точка A(2; 1,5) на какой-либо ее асимптоте.
Решение:
Из данного уравнения имеем:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14108.png)
Следовательно, уравнения асимптот будут:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14105.png)
Так как точка А лежит согласно условию в первом координатном углу, то она может принадлежать только асимптоте, определяемой уравнением
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14106.png)
Подставив в него вместо х и у координаты точки А, получим тождество:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14103.png)
Значит, точка А лежит на указанной асимптоте гиперболы.
Равносторонняя гипербола
Если в уравнении гиперболы
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14100.png)
положим а = b то это уравнение примет вид
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14120.png)
или
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14121.png)
Уравнение (1) определяет гиперболу, у которой полуоси равны между собой. Такая гипербола называется равносторонней. Уравнения асимптот в этом случае будут:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14122.png)
так как отношение
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14123.png)
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14117.png)
Как видно из уравнения (2), угловые коэффициенты асимптот равны + 1 и —1 . Если обозначить углы, образуемые асимптотами с положительным направлением оси Ох, соответственно через а и а1 (рис. 44), то
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14126.png)
откуда
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14128.png)
Следовательно, угол между асимптотами будет:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14130.png)
Отсюда заключаем: асимптоты равносторонней гиперболы взаимно перпендикулярны.
Уравнение равносторонней гиперболы, отнесенной к асимптотам
Так как асимптоты равносторонней гиперболы взаимно перпендикулярны, то их можно принять за оси прямоугольной системы координат и рассматривать гиперболу по отношению к этим новым осям. Выведем уравнение равносторонней гиперболы для этого случая.
Пусть дана равносторонняя гипербола. Тогда ее уравнение по отношению к координатным осям Ох и Оу (рис. 45)
выразится, как было пока-* у зано в , в виде
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14134.png)
Взяв на гиперболе произвольную точку М (х; у) и построив ее координаты, будем иметь:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14135.png)
Примем теперь за оси координат асимптоты гиперболы: ОХ— за ось абсцисс, ОY — за ось ординат. Опустив перпендикуляр МС на новую ось абсцисс, найдем:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14138.png)
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14139.png)
Выразим новые координаты X н Y точки М через старые х и у. Для этого из точки А проведем и
Обратим внимание на то, что в образовавшихся прямоугольных треугольниках АМВ и АОD
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14146.png)
как углы, образованные взаимно перпендикулярными прямыми. Но
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14147.png)
поэтому
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14149.png)
Из рисежа имеем:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14152.png)
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14153.png)
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14154.png)
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14155.png)
Перемножив равенства (2) и (3) и приняв во внимание равенство (1), получим:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14156.png)
Положим для краткости
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14157.png)
тогда равенство (4) перепишется так:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14158.png)
где m— постоянная величина.
Таково уравнение равносторонней гиперболы, если за оси координат принять ее асимптоты.
Как видно из уравнения (5), переменные X и Y — величины обратно пропорциональные, а потому можно сказать, что равносторонняя гипербола ху = m представляет собой график обратно пропорциональной зависимости между переменными величинами.
Парабола и ее простейшее уравнение
Параболой называется геометрическое место точек, каждая из которых одинаково удалена от точки, называемой фокусом, и от прямой, называемой директрисой {при условии, что фокус не лежит на директрисе).
Пусть точки М1 М2, М3, М4 лежат на параболе (рис. 46).
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14166.png)
Если точка F изображает фокус, а прямая АВ— директрису, то согласно данному выше определению можем написать:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14164.png)
Выведем уравнение параболы, пользуясь ее определением. Для этого выберем систему координат, приняв за ось Ох прямую, проведенную через точку F (фокус) перпендикулярно к директрисе АВ, а за
ось Оу — прямую, проходящую через середину отрезка КF перпендикулярно к последнему (рис. 47). Обозначим
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14170.png)
тогда координаты фокуса F будут
Возьмем на параболе произвольную точку М(x; у) расстояния ее от фокуса F и от директрисы АВ будут выражаться соответственно отрезками FМ и МN. Согласно определению параболы, можем написать:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14176.png)
Применяя формулу расстояния между двумя точками и приняв во внимание, что точка N имеет координаты , найдем:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14182.png)
Заменив FМ и МN в равенстве (1) их выражениями, получим:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14185.png)
Это и есть уравнение параболы относительно выбранной системы координат, так как оно справедливо для любой ее точки.
Упростим уравнение (2). Для этого возведем обе части его в квадрат:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14187.png)
Раскроем скобки:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14189.png)
Приведя подобные члены, получим простейшее уравнение параболы
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14190.png)
*) Можно показать, что уравнение (3) равносильно уравнению (2). Величина р называется параметром параболы.
Исследование уравнения параболы
Из уравнения (3) найдем:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14191.png)
Исследуем уравнение (1) для выяснения геометрической формы нашей кривой, полагая р > 0.
I. Положим
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14192.png)
тогда
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14193.png)
Отсюда следует: парабола проходит через начало координат.
II. Если х < 0, то у — мнимое число. А это значит, что парабола не имеет точек с отрицательными абсциссами и, следовательно, расположена справа от оси Оу.
III. Если х > 0, то у имеет два действительных значения, равных по абсолютной величине, но с разными знаками. Это значит, что каждому положительному значению х на параболе соответствуют две точки, расположенные симметрично относительно оси Ох.
Следовательно, парабола симметрична относительно оси Ох.
IV. Пусть х неограниченно возрастает, тогда и будет неограниченно расти, т. е. точки параболы с перемещением вправо от оси Оу неограниченно удаляются вверх и вниз от оси Ох.
Итак, парабола состоит из бесконечных ветвей.
Вышеизложенное позволяет представить параболу, как показано на рис. 48.
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14196.png)
Точка О называется вершиной параболы, отрезок FМ — фокальным радиусом точки М параболы, а бесконечная прямая Ох является ее осью симметрии.
Если директрису параболы поместить справа от начала координат, то фокус и ветви ее расположатся как показано на рисеже 49.
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14197.png)
При этом абсциссы точек параболы будут удовлетворять условию
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14198.png)
а потому ее уравнение примет вид:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14210.png)
Парабола может быть симметрична и относительно оси Оу в этом случае фокус ее будет лежать па оси ординат, а директрисой будет прямая, параллельная оси Ох. Как видно при этом условии координатные оси поменяются ролями, и уравнение параболы примет вид
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14217.png)
если ветви ее направлены вверх (рис. 50), и
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14229.png)
если ветви направлены вниз (рис. 51).
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14212.png)
Пример:
Дана парабола
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14228.png)
Найти координаты ее фокуса и написать уравнение директрисы.
Решение:
Данная парабола симметрична относительно оси Ох и расположена направо от оси Оу. Из уравнения находим:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14226.png)
откуда
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14224.png)
Расстояние фокуса от начала координат равно , поэтому абсцисса фокуса будет
Итак, фокус находится в точке
F(3; 0).
Директрисой служит прямая, параллельная оси Оу и отстоящая от последней на расстоянии Следовательно,
уравнение директрисы параболы будет х = — 3.
Пример:
Фокус параболы с вершиной в начале координат лежит в точке F(0; —4). Написать уравнение этой параболы.
Решение:
Согласно условию данная парабола симметрична относительно оси Оу, а ветви ее направлены вниз, поэтому искомое уравнение найдется из (3). Так как
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14468.png)
то
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14469.png)
и уравнение параболы будет:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14471.png)
Уравнение параболы со смещенной вершиной и осью, параллельной оси Оу
Возьмем уравнения параболы (2) и (3) и запишем их в следующем виде:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14497.png)
Отсюда
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14498.png)
Положив в уравнении (1)
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14499.png)
получим:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14500.png)
Уравнение (2) определяет параболу, ветви которой направлены вверх, если А > О, вниз, если А < 0.
В дальнейшем мы будем часто пользоваться уравнением (2), представляющим параболу с вершиной в начале координат и с осью симметрии, совпадающей с осью ординат.
Рассмотрим параболу, у которой вершина лежит в точке О1(а; b), ось симметрии параллельна оси Оу, а ветви направлены вверх (рис. 52).
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14506.png)
Возьмем на параболе произвольную точку М(х; у). Опустив из нее перпендикуляр МР на ось Ох, будем иметь:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14508.png)
Проведем через О1 прямые О1Х и QY, параллельные координатным осям Ох и Оу, и положим временно, что прямые О1Х и О1Y служат осями новой системы координат. Обозначим координаты точки М в этой системе через X и Y, т. е.
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14510.png)
Уравнение параболы в новой системе координат напишется следующим образом:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14511.png)
где А > 0.
Чтобы найти ее уравнение относительно прежних осей Ох и Оу, нужно X и Y выразить через х и y. Так как
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14513.png)
то
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14516.png)
Подставив в уравнение (3) найденные значения X и Y, получим:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14528.png)
или
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14529.png)
Упростим уравнение (4); для этого раскроем в нем скобки.
Получим:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14534.png)
Обозначим:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14536.png)
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14537.png)
тогда уравнение (5) примет вид
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14538.png)
Это—уравнение параболы с вершиной, лежащей в любой точке плоскости, и с осью симметрии, параллельной оси Оу.
Рассмотрим частные случаи.
Пусть абсцисса вершины параболы a = 0; тогда величина В в равенстве (6) также будет нулем и уравнение (8) примет следующий вид:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14539.png)
Полученное уравнение определяет параболу, у которой вершина лежит на оси Оу, являющейся в то же время и ее осью симметрии (рис. 53).
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14525.png)
Положим, что одна из точек параболы (исключая ее вершину) лежит в начале координат; тогда координаты (0; 0) должны удовлетворять уравнению (8). Заменив в нем х и у нулями, найдем С=0. В этом случае уравнение (8) получит вид
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14540.png)
и будет определять параболу, проходящую через начало координат (рис. 54).
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14542.png)
Заметим, что и уравнение (2) можно рассматривать как частный случай уравнения (8). Действительно, положив в равенствах (6) и (7)
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14543.png)
получим:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14545.png)
вследствие чего уравнение (8) преобразуется в следующее:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14546.png)
Из сказанного следует, что парабола, у которой ось симметрии параллельна оси Оу или совпадает с ней, определяется уравнением
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14548.png)
при любых значениях А, В и С, кроме А = 0.
Убедимся на примере, что справедливо и обратное утверждение: всякое уравнение вида (8) определяет параболу с осью симметрии, параллельной оси Оу.
Пусть дано уравнение
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14551.png)
Преобразуем его следующим образом:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14553.png)
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14554.png)
отсюда
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14556.png)
положим
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14557.png)
тогда уравнение (10) примет вид:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14558.png)
Уравнение (11) имеет такой же вид, как и уравнение (2), поэтому оно, а следовательно, и уравнение (9) определяют параболу, у которой ось симметрии параллельна оси Оу.
Для построения параболы, определяемой уравнением вида (8), можно использовать обычный прием, применяемый для вычерчивания графиков функций, а именно: дав х ряд значений, вычислить значения у, а затем, построив точки по найденным координатам, провести через них плавную линию.
Пример:
Построить параболу
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14568.png)
Решение:
Прежде всего найдем абсциссы точек пересечения данной параболы с осью Ох; положив у = 0, получим:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14572.png)
откуда
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14576.png)
Так как найденные точки симметричны относительно оси параболы, то вершина последней, находясь на этой оси, имеет 0 + 4 0
абсциссу, равную ордината же ее
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14580.png)
Этих трех точек достаточно для приближенного изображения параболы.
Для более точного ее представления нужны дополнительные точки. Составим следующую таблицу:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14560.png)
Построив эти точки и прозедя через них плавную линию, получим искомую параболу (рис. 55).
Пример:
Построить параболу
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14583.png)
Решение:
Корни уравнения
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14587.png)
мнимые, а потому ось Ох не пересекает данную параболу. В этом случае следует найти абсциссы точек пересечения параболы с прямой
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14591.png)
(-1 — свободный член данного уравнения параболы)
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14594.png)
Решая для этой цели систему уравнений
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14596.png)
будем иметь:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14598.png)
или
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14600.png)
откуда
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14607.png)
Полученные точки симметричны относительно оси параболы, поэтому абсцисса ее вершины равна ордината же ее
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14614.png)
Присоединим к этим точкам несколько дополнительных точек. Составим таблицу:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14620.png)
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14623.png)
Конические сечения
Окружность, эллипс, гипербола и парабола определяются, как мы установили в предыдущих лекциях уравнениями второй степени относительно текущих координат; поэтому их называют кривыми второго порядка. Они были известны еще древним грекам, которые изучали эти кривые, рассматривая их как результат сечения прямого кругового конуса плоскостью в следующих четырех случаях.
I. Секущая плоскость перпендикулярна к оси конуса; в сечении получается окружность (рис. 57).
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-14635.png)
II. Секущая плоскость образует с осью конуса угол, не равный 90°, и пересекает все его образующие по одну сторону от вершины S; в сечении получается эллипс (рис. 58).
III. Секущая плоскость параллельна какой-либо образующей конуса; при этом получается кривая, называемая параболой (рис. 59).
IV. Секущая плоскость пересекает обе полости конуса; при этом получаются две бесконечные ветви, образующие гиперболу (рис. 60).
Окружность, эллипс, гипербола и парабола называются коническими сечениями.
Конические сечения изучались в древности исключительно геометрическим путем, что представляло большие трудности, и только со времени Декарта, давшего метод координат, изучение их значительно упростилось.
Кривая второго порядка и её вычисление
Уравнение линии. Кривые второго порядка. Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола. Приведение к каноническому виду.
Уравнение линии в декартовых и полярных координатах
В лекции 3 было введено понятие неявной функции, задаваемой уравнением вида F(x,y) = 0.
Определение 6.1. Множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют некоторому уравнению
(6.1) F(x;y) = 0
называется линией (плоской кривой).
Не всякое уравнение определяет линию. Например, уравнение x² + y² = -1 не определяет никакой линии. Кроме того, линия может состоять из отдельных точек. Так, например, уравнению x² + y² = 0 удовлетворяет только начало координат.
Линия не обязательно является графиком функции. Так, например, уравнение x² + y² = 1 определяет окружность с центром в начале координат и радиуса 1 (т.к. d = = 1, расстояние от начала координат равно 1). Однако это не будет графиком функции у от х, т.к. каждому х, |x| ≤ 1, соответствует два значения у: у = ±
, т.е. линия задается двумя функциями у =
(верхняя полуокружность) и у = —
(нижняя полуокружность).
Уравнение произвольной окружности с центром в точке M(a;b) и радиусом R будет иметь вид:
(6.2) (х — а)² + (у- b)² = R²,
т.к. окружность радиусом R есть геометрическое место точек плоскости, находящихся на расстоянии R от центра, т.е. в соответствии с формулой ( 6.2) d = = R.
В частности, окружность с центром в начале координат, радиусом R, описывается уравнением
x² + y² = R².
Пример 6.1. Какую линию описывает уравнение x² + y² = Rx?
Решение: Перенося Rx в левую часть и выделяя полный квадрат, получаем:
x² + y² = Rx ⇔ X2 — Rx + у² = 0 ⇔ x² — Rx + ⇔
(х — ) + y² =
.
Ответ: данное уравнение описывает окружность с центром в точке M(;0) и радиусом
.
Линия может определяться на плоскости уравнением как в декартовых, так и в полярных координатах: F(; r) = 0. Если при этом зависимость r от
обладает тем свойством, что каждому значению
из области определения соответствует единственное значение r, то данная линия будет графиком функции r от
: r = f(
).
Пример 6.2. Построить график функции, заданной в полярных координатах уравнением r = 2 sin3,
∈ (—∞; ∞).
Решение: Составим таблицу некоторых значений этой функции:
![]() | 0 | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
r | 0 | 1 | ![]() | 2 | ![]() | 1 | 0 | -2 |
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-52509.png)
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-39630.png)
Далее, пользуясь тем, что из вида графика функции r = 2 sin 3, приведенного в декартовых координатах на рис. 70, следует, что неотрицательные значения г повторяются на промежутках
∈ [0;
],
∈ [
;π],
∈ [-
;
] и т. д.. Отсюда заключаем, что если в полярных координатах построить график в секторе
∈ [0;
], то в секторах
∈ [
; π],
∈ [—
;
] и т. д. вид графика будет аналогичный, а в секторах
∈ (
;
),
∈
;0) и т.д. графика не будет, т.к. там r < 0. Соединяя плавной линией точки с координатами, приведенными в таблице, получаем график рис. 71.
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-52617.png)
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-39629.png)
Такой график называют называют “трехлепестковая роза”.
Кривые второго порядка:
Определение 6.2. Кривой второго порядка называется линия, определяемая в декартовых координатах уравнением:
(6.3) Ax² + 2Bxy + Cy² + 2Dx + 2Ey + F = O.
Здесь коэффициенты — действительные числа и, по крайней мере, одно из чисел A₁B или C не равно нулю. Удобство таких обозначений для коэффициентов (2В, 2D, 2Е) станет ясно позже.
Всего существует три ’’реальных” кривых второго порядка: эллипс, (окружность — частный случай эллипса) гипербола и парабола, не считая такие линии, как ’’пара пересекающихся прямых” (ху = 0), «пара параллельных прямых” ((x — у)² — 4), ’’точка” ((x — 5)² + (у — 1)² = 0), ’’прямая” (х — 1)² = 0) и ’’мнимые кривые” (x² + y² + 5 = 0), которым не соответствует ни одна точка.
Окружность
Ранее было получено уравнение ( 6.2) окружности с центром в точке M(а; b), радиусом R. Это уравнение вида ( 6.3), т.е. окружность есть кривая второго порядка — можно показать, что уравнение (6.3), в котором A = C и B = O c помощью дополнения до полного квадрата каждой группы членов Ax² + 2Dx и By² + 2Еу приводится к виду (6.2), определяющему окружность радиуса R, или к виду: (х — а)² + (у — b)² = -R², не определяющему линию при R ≠ 0. Покажем это на примере.
Пример:
Показать, что уравнение 2x² + 2y² — 4x + 8y — 13 = 0 определяет окружность.
Решение: Поделив обе части на 2, получим уравнение в виде: x² + y² — 2x + 4y — 6,5 = 0 или, выделяя полный квадрат: (x² — 2х + 1) + (у² + 4y + 4) = 11,5 ⇔ (х — 1)² + (у + 2)² =11,5. Мы получим уравнение окружности с центром M(1; —2) и радиусом R = √11,5.
Пример:
Показать, что уравнение х² + у² + 6х — 6у + 22 = 0 не определяет никакой линии.
Решение:
Аналогично предыдущему, выделяя полный квадрат, получаем: х² + у² + 6х — 6у + 22 = 0 ⇔ (х² + 6х + 9) + (у² — 6у + 9) = — 4 ⇔ (x + 3)² + (y — 3)² =-4.
Эллипс
Определение:
Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний каждой из которых от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, равна постоянной величине.
Обозначим фокусы F₁ и F₁, расстояние между ними 2с, а сумму расстояний до них от точек эллипса через 2а (2а > 2с). Выберем декартову систему координат как показано на рис. 72. По определению эллипса: MF₁ + MF₂ = 2а. Пользуясь формулой (2.6) получаем:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-52871.png)
Обозначив b² = a² — с² > 0, получаем: b²x² + a²y² — a²b² или:
(6.4)
Уравнение ( 6.4) называется каноническим уравнением эллипса, а и b — полуосями, а — большая полуось, b — малая, т.к. b = < а. Поскольку х и у входят в уравнение только в четных степенях, эллипс симметричен относительно осей Ox и Оу. Выразив у из уравнения ( 6.4), получаем: у =
, |x| ≤ а, что означает, что эллипс состоит из двух симметричных половин, верхней у =
и нижней у =
При х = а, у = 0, при убывании х от а до 0, у возрастает от 0 до b. C учетом симметрии получаем линию, изображенную на рис. 73. Точки пересечения эллипса с осями координат называются вершинами A₁(-a;0), A₂(а;0), B₁(O;-b), В₂(0;b). Отношение
называется эксцентриситетом эллипса.
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-52936.png)
Так как 2а > 2с, то ε < 1. Эксцентриситет определяет форму эллипса: чем меньше ε, тем меньше его малая полуось b отличается от большой полуоси a ( =
= 1-
= 1 — ε²)> т.е. тем меньше эллипс вытянут вдоль фокальной оси Ох. В пределе, при ε → 0,a = b и получается окружность x² + у² = а² радиусом а При этом с =
= 0, т.е. F₁ — F₂ = 0. Если эллипс расположен так, что центр его симметрии находится в точке P(x₀; y₀), а полуоси параллельны осям координат, то, перейдя к новым координатам X = х — х₀, У = у — у₀, начало которых совпадает с точкой Р, а оси параллельны исходным (см. п. 2.8), получим, что в новых координатах эллипс описывается каноническим уравнением
Уравнение такого эллипса в старых координатах будет:
(6.5)
Гипербола
Определение 6.4. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний каждой из которых от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, равен постоянной величине.
Обозначим фокусы F₁ и F₂, расстояние между ними 2с, а модуль разности расстояний до них от точек гиперболы через 2a (2c > 2a > 0). Выберем декартову систему координат, как показано на рис. 72. По определению гиперболы: MF₁ — MF₂ = ±2а. Пользуясь формулой (2.6), аналогично тому, как это было сделано для эллипса, получаем: = ±2a ⇒ (а² — c²)x² + a²y² = a²(a² — с²). Обозначив b² = с² — a² > 0 (сравните с выводом формулы ( 6.4) для эллипса), получаем: -b²x² + a²y² = -b²a², или:
Уравнение (6.6) называется каноническим уравнением гиперболы, а и b — полуосями, а — действительной полуосью, b — мнимой. Так как х и у входят в уравнение только в четных степенях, гипербола симметрична относительно осей Ox и Оу. Выразив у из уравнения ( 6.6), получаем: , |x| ≥ а, что означает, что гипербола состоит из двух симметричных половин, верхней у =
и нижней у = —
. При х = а у = 0, при возрастании х от 0 до +∞, у для верхней части возрастает от 0 до +∞. C учетом симметрии, получаем линию, изображенную на рис. 74.
Точки пересечения гиперболы с осью Ox (фокальной осью) называются ее вершинами A₂(а;0), A₁(-a;0). C осью ординат гипербола не пересекается, поэтому фокальная ось называется действительной осью (а — действительная полуось), а перпендикулярная ей ось — мнимой осью (b — мнимая полуось). Можно показать, что при неограниченном возрастании абсциссы точка гиперболы неограниченно приближается к прямой у = (изображена на рис. 74 пунктиром). Такая прямая, к которой неограниченно приближается некоторая линия, называется асимптотой. Из соображений симметрии вытекает, что у гиперболы две асимптоты: у =
и у =-
, изображенные на рис. 74 пунктиром. Прямоугольник, с центром в начале координат, со сторонами 2а и 2b, параллельными осям, называется основным. Асимптоты являются его диагоналями.
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-53089.png)
Отношение называется эксцентриситетом гиперболы. Т.к. 2α < 2с, то ε > 1. Эксцентриситет определяет форму гиперболы: чем меньше е, тем более вытянут в направлении фокальной оси ее основной прямоугольник (
=
=
— 1 = ε² — 1). Если а = b, гипербола называется равносторонней (равнобочной). Для нее х² — у² = а², асимптоты: у = х, у = —х, ε =
= √2. Если центр гиперболы (центр ее симметрии) находится в точке P(x₀; y₀), a оси параллельны осям координат, то, применяя параллельный перенос координат (п. 2.8), аналогично тому, как это было сделано для эллипса, получим уравнение гиперболы:
(6.7)
Уравнение асимптот такой гиперболы будет: у — y₀ =
Парабола
Определение:
Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом, и данной прямой d, называемой директрисой (F ∉ d).
Обозначим расстояние от фокуса до директрисы р. Эта величина называется параметром параболы. Выберем декартову систему координат как показано на рис. 75.
По определению параболы MF=MN. Из рис. 75. ясно, что:
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-53203.png)
Приравнивая, получаем:
(6.8) у² = 2рх
Уравнение ( 6.8) называется каноническим уравнением параболы. Т.к. у входит в уравнение в четной степени, парабола симметрична относительно оси Ох. Выразив у из уравнения, получаем: у = , х ≥ 0. При х =0 у = 0, при возрастании х от 0 до +∞ у для верхней части возрастает от 0 до +∞. C учетом симметрии получаем линию, изображенную на рис. 76.
Ось симметрии параболы называется фокальной осью (ось Ox на рис. 76), точка пересечения пораболы с ней называется вершиной пораболы (точка О на рис. 76). Если вершина параболы находится в точке P(x₀; у₀), фокальная ось параллельна и одинаково направлена с осью Ox и расстояние от директрисы до фокуса равно Р, то с помощью параллельного переноса осей координат нетрудно получить уравнение такой параболы:
(6.9) (y — y₀)² = 2p(x -х₀)
Пример:
Найти фокус, директрису, фокальную ось для параболы у= 4x².
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-53290.png)
Решение:
Как известно, осью симметрии параболы у = х² является ось Оу, а вершиной — точка О, поэтому фокальной осью будет ось Оу, вершиной — начало координат.
Для определения фокуса и директрисы запишем уравнение данной параболы в виде: x² = y, откуда 2р =
; р =
. Поэтому фокус имеет координаты F(0;
), а директриса — уравнение у = —
(см. рис. 77).
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-53323.png)
Понятие о приведении общего уравнения второго порядка к каноническому виду
Если в общем уравнении кривой второго порядка ( 6.3)
Ax² + 2Bxy + Cy² + 2Dx + 2Ey +F = 0
коэффициент 2B ≠ 0, то методами, которые будут изложены позже (лекция 34) это уравнение преобразуется к виду, в котором отсутствует член с произведением координат (т.е. 2В — 0).
Для приведения к каноническому виду уравнения ( 6.3), в котором 2В = 0, необходимо дополнить члены, содержащие х и у, до полных квадратов.
Если при этом (В = 0) А = С, то получится окружность (пример 6.3), точка или мнимая окружность (пример 6.4).
Если при этом (В = 0) A ≠ C и A ∙ C > 0, то получится эллипс (пример 6.8) или мнимый эллипс.
Если при этом (В = 0) A ≠ C и A ∙ C < 0, то получится гипербола (пример 6.6).
Если при этом (В = 0) A ∙ C = 0 (т.е. A = 0 или C = 0), то получится парабола (пример 6.7)
Пример:
Привести к каноническому виду уравнение кривой х² — 2y² + 2x + 12y — 33 = 0, определить и построить ее.
Решение:
Для членов, содержащих x, и членов, содержащих у, выполним следующие преобразования с выделением полного квадрата:
x² + 2x = x² + 2x + 1 — 1 = (х + 1)² — 1;
-2y² + 12y = -2(y² — 6у) = -2(y² -6у + 9 — 9) = -2(y — 3)² + 18.
Данное уравнение теперь можно переписать так:
(х + 1)² — 2(y — 3)² — 1 + 18 — 33 = 0,
откуда
(x + 1)² — 2(y — 3)² = 16
или
Выполним преобразование параллельного переноса осей с новым началом O₁(-1; 3): X = x + 1; Y = у — 3. Тогда уравнение кривой примет вид:
Это уравнение гиперболы с полуосями a = 4 и b = 2√2. На рис. 78 эта кривая построена в системе координат O₁XY. Но можно отнести ее и к исходной системе координат Оху, которая также имеется на рис. 78. В соответствии с изложенным в п. 6.5, уравнение асимптот в исходной системе координат будет: y-3 = (x + l). После упрощения получаем: у = 3±
(x+l)
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-53375.png)
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-53377.png)
Пример:
Приведите к каноническому виду уравнение и определите вид кривой: x² — 6x — 4y + 29 = 0.
Решение:
Выделим полный квадрат: x² — 6x — 4y + 29 = 0 ⇔ x² — 6x + 9 = 4y — 20 ⇔ (x — 3)² = 4(у — 5). Сделав замену координат X =х — 3, Y = у — 5 мы получим каноническое уравнение параболы X² = 4Y с осью OY и параметром р = 2. Таким образом исходная парабола имела вершину A(3; 5) и ось х = 3 параллельную оси Oy (рис. 79).
Пример:
Приведите к каноническому виду уравнение и определите вид кривой: x² + 4y² + 2x — 24y + 21 =0.
Решение:
Выделив полный квадрат, получим уравнение: (x + 1)² + 4(у — 3)² = 16. Сделав замену координат: X = х + 1, Y = y — 3, получим каноническое уравнение эллипса: X² + AY² ⇔ = 1 с параметрами а = 4, b = 2. Таким образом, исходный эллипс имел центр A( —1;3) и полуоси а = 4, b = 2 (рис. 80).
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-53408.png)
![Кривые второго порядка](https://lfirmal.com/wp-content/uploads/image-53412.png)
Решение заданий на тему: Кривые второго порядка
Пример:
Составьте уравнение окружности, имеющей центр 0(2; —5) и радиус R = 4.
Решение:
В соответствии с формулой (6.2) искомое уравнение имеет вид: (х — 2)² + (у + 5)² = 16.
Ответ: (х — 2)² + (у + 5)² = 16.
Пример:
Составьте уравнение эллипса, зная, что сумма полуосей равна 8 и расстояние между фокусами равно 8.
Решение:
Из условия имеем: a + b = 8, 2c = 8. C учетом того, что b² = а² — с², находим с = 4, а = 5, b = 3. Искомое уравнение эллипса будет: .
Ответ:
Пример:
Составьте уравнение гиперболы, зная, что фокусы F₁(10;0) и F₂(-10; 0) и что гипербола проходит через точку M(12; 3√5)
Решение:
Из условия имеем: с = 10, |MF₁ — MF₂|= 2а ⇔ 2а = ⇔ а = 8. C учетом того, что b² = с² — а², находим а = 8, с = 10, b = 6. Искомое уравнение гиперболы будет:
.
Ответ: .
Пример:
Составьте уравнение параболы, зная, что фокус имеет координаты (5;0), а ось ординат является директрисой.
Решение:
Поскольку расстояние от директрисы параболы до ее полюса равно параметру р, а вершина находится на середине, из условия следует, что р = 5 и вершина расположена в точке A(2,5;0). Таким образом, в новых координатах X = х — 2,5; У = у каноническое уравнение параболы будет: Y² = 10Х, а в старых координатах: у² = 10(х — 2,5).
Ответ: y² = 10x — 25.
Пример:
Приведите к каноническому виду уравнение x² + y² — 2х + 6у — 5 = 0, определите вид кривой и ее параметры.
Решение:
Выделим полный квадрат: х² — 2х + у² + 6у — 5 = 0 ⇔ x² — 2x + 1 + у² + 6у + 9 — 1 — 9 — 5 = 0 ⇔ (х — 1)² + (у + 3)² = 15
В соответствии с формулой (6.2) это есть уравнение окружности с центром в точке A(1; -3), радиусом √5.
Ответ: (х — 1)² + (у + 3)² = 15.
Пример:
Приведите к каноническому виду уравнение x² + 4у² + 4х — 16у — 8 = 0, определите вид кривой и ее параметры:
Решение:
Выделим полный квадрат: x² + 4х + 4у² — 16y -8 = 0 ⇔ x²+4x + 4 + 4y²- 16y + 16-4-16-8 = 0 ⇔ (x + 2)² + 4(y²-4у+ 4) -28 ⇔ (х + 2)² + 4(y — 2)² = 28 ⇔ = 1. Сделав замену координат: X = x +2, Y = у — 2, в новых координатах получим уравнение эллипса
с полуосями а = √28 и b = √7. Таким образом, в старых координатах эллипс имеет центр A(—2; 2) и полуоси а = 2√7 и b = √7.
Ответ: = 1.
Пример:
Приведите к каноническому виду уравнение x² + 2y² + 8x — 4 = 0, определите вид кривой и ее параметры.
Решение:
Выделим полный квадрат:
x²+2y²+8x-4 = 0 ⇔ x²+8x+16+2y²-16-4 =0 ⇔ (x+4)²+2y2-20 = 0 ⇔ =1
Сделав замену координат X = х + 4, Y — у, убеждаемся, что эта кривая — эллипс, с полуосями a = 2√5 и b = √10 и центром A(-4;0).
Ответ: =1
Решение заданий и задач по предметам:
Дополнительные лекции по высшей математике:
- Тождественные преобразования алгебраических выражений
- Функции и графики
- Преобразования графиков функций
- Квадратная функция и её графики
- Алгебраические неравенства
- Неравенства
- Неравенства с переменными
- Прогрессии в математике
- Арифметическая прогрессия
- Геометрическая прогрессия
- Показатели в математике
- Логарифмы в математике
- Исследование уравнений
- Уравнения высших степеней
- Уравнения высших степеней с одним неизвестным
- Комплексные числа
- Непрерывная дробь (цепная дробь)
- Алгебраические уравнения
- Неопределенные уравнения
- Соединения
- Бином Ньютона
- Число е
- Непрерывные дроби
- Функция
- Исследование функций
- Предел
- Интеграл
- Двойной интеграл
- Тройной интеграл
- Интегрирование
- Неопределённый интеграл
- Определенный интеграл
- Криволинейные интегралы
- Поверхностные интегралы
- Несобственные интегралы
- Кратные интегралы
- Интегралы, зависящие от параметра
- Квадратный трехчлен
- Производная
- Применение производной к исследованию функций
- Приложения производной
- Дифференциал функции
- Дифференцирование в математике
- Формулы и правила дифференцирования
- Дифференциальное исчисление
- Дифференциальные уравнения
- Дифференциальные уравнения первого порядка
- Дифференциальные уравнения высших порядков
- Дифференциальные уравнения в частных производных
- Тригонометрические функции
- Тригонометрические уравнения и неравенства
- Показательная функция
- Показательные уравнения
- Обобщенная степень
- Взаимно обратные функции
- Логарифмическая функция
- Уравнения и неравенства
- Положительные и отрицательные числа
- Алгебраические выражения
- Иррациональные алгебраические выражения
- Преобразование алгебраических выражений
- Преобразование дробных алгебраических выражений
- Разложение многочленов на множители
- Многочлены от одного переменного
- Алгебраические дроби
- Пропорции
- Уравнения
- Системы уравнений
- Системы уравнений высших степеней
- Системы алгебраических уравнений
- Системы линейных уравнений
- Системы дифференциальных уравнений
- Арифметический квадратный корень
- Квадратные и кубические корни
- Извлечение квадратного корня
- Рациональные числа
- Иррациональные числа
- Арифметический корень
- Квадратные уравнения
- Иррациональные уравнения
- Последовательность
- Ряды сходящиеся и расходящиеся
- Тригонометрические функции произвольного угла
- Тригонометрические формулы
- Обратные тригонометрические функции
- Теорема Безу
- Математическая индукция
- Показатель степени
- Показательные функции и логарифмы
- Множество
- Множество действительных чисел
- Числовые множества
- Преобразование рациональных выражений
- Преобразование иррациональных выражений
- Геометрия
- Действительные числа
- Степени и корни
- Степень с рациональным показателем
- Тригонометрические функции угла
- Тригонометрические функции числового аргумента
- Тригонометрические выражения и их преобразования
- Преобразование тригонометрических выражений
- Комбинаторика
- Вычислительная математика
- Прямая линия на плоскости и ее уравнения
- Прямая и плоскость
- Линии и уравнения
- Прямая линия
- Уравнения прямой и плоскости в пространстве
- Кривые и поверхности второго порядка
- Числовые ряды
- Степенные ряды
- Ряды Фурье
- Преобразование Фурье
- Функциональные ряды
- Функции многих переменных
- Метод координат
- Гармонический анализ
- Вещественные числа
- Предел последовательности
- Аналитическая геометрия
- Аналитическая геометрия на плоскости
- Аналитическая геометрия в пространстве
- Функции одной переменной
- Высшая алгебра
- Векторная алгебра
- Векторный анализ
- Векторы
- Скалярное произведение векторов
- Векторное произведение векторов
- Смешанное произведение векторов
- Операции над векторами
- Непрерывность функций
- Предел и непрерывность функций нескольких переменных
- Предел и непрерывность функции одной переменной
- Производные и дифференциалы функции одной переменной
- Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
- Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- Матрицы
- Линейные и евклидовы пространства
- Линейные отображения
- Дифференциальные теоремы о среднем
- Теория устойчивости дифференциальных уравнений
- Функции комплексного переменного
- Преобразование Лапласа
- Теории поля
- Операционное исчисление
- Системы координат
- Рациональная функция
- Интегральное исчисление
- Интегральное исчисление функций одной переменной
- Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- Отношение в математике
- Математическая логика
- Графы в математике
- Линейные пространства
- Первообразная и неопределенный интеграл
- Линейная функция
- Выпуклые множества точек
- Система координат