Дифференцирование в математике с примерами решения и образцами выполнения

Под термином дифференцирование могут подразумевать различные научные понятия:

1. Дифференцирование в математическом анализе — операция взятия полной или частной производной функции.
2. Дифференцирование в алгебре — линейное отображение, удовлетворяющее тождеству Лейбница; алгебраическая операция, обобщающая формальные свойства различных определений производных. Изучением дифференцирований и их свойств занимается дифференциальная алгебра.
3. Дифференцирование клеток в биологии — формирование специализированного фенотипа при делении клеток в ходе морфогенеза.

Определение производной

Пусть на некотором промежутке X определена функция . Возьмем любую точку и зададим аргументу х в точке произвольное приращение такое, что точка также принадлежит X. Функция получит приращение

Определение. Производной функции y=f(x) в точке называется предел при отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента (при условии, что этот предел существует).

Для обозначения производной функции y=f(x) в точке используют символы

Итак, по определению,

Если для некоторого значения выполняется условие

то говорят, что в точке функция имеет бесконечную производную знака плюс (или знака минус). В отличие от бесконечной производной определенную выше производную функции иногда называют конечной производной. Если функция f(х) имеет конечную производную в каждой точке то производную f'(х) можно рассматривать как функцию от х, также определенную на X.

Из определения производной вытекает и способ ее вычисления.

Пример:

Найти производную функции в точке Решение. Давая аргументу х в точке приращение , найдем соответствующее приращение функции:

Составим отношение :

Найдем предел этого отношения при :

Следовательно, производная функции в точке равна числу , что в принятых обозначениях можно записать так:

Геометрический смысл производной

Пусть функция y=f(x) определена на интервале (а, b) и пусть точка М на графике функции соответствует значению аргумента а точка Р — значению Проведем через точки М и Р прямую и назовем ее секущей. Обозначим через угол между секущей и осью Ох (рис. 65). Очевидно, что этот угол зависит от .

Если существует , то прямую с угловым коэффициентом , проходящую через точку , называют предельным положением секущей MP при (или при ).

Определение:

Касательной S к графику функции y=f(x) точке М будем называть предельное положение секущей MP, что то же, при .

Из определения следует, что для существования касательной, достаточно, чтобы существовал предел причем предел равен углу наклона касательной к оси Ох.

Докажем, что если функция у=f(х) имеет в точке производило, то существует касательная к графику функции y=f(x) в точке причем угловой коэффициент этой касательной (т. е. тангенс угла наклона ее к оси Ох) равен производной f'(x).

Действительно, из треугольника MNP получаем, что •

Отсюда

Перейдем в равенстве (1) к пределу при Так как существует производная то существует и предел

Отсюда и из непрерывности функции следует, что существует предел правой части равенства (1):

Следовательно, существует предел и левой части равенства (1). Таким образом, получаем

Но это и означает, что существует предельное положение секущей MP, т. e. существует касательная к графику функции y=f(x) в точке , причем угол наклона этой касательной к оси Ох равен и, значит, угловой коэффициент касательной , что и требовалось доказать.

Итак, производная функции y = f(x) в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в точке

Физический смысл производной

Предположим, что функция y=f(x) описывает закон движения материальной точки М по прямой линии, т. е. y=f(х) — путь, пройденный точкой М от начала отсчета за время х.

Тогда за время пройден путь , а за время — путь . За промежуток времени точка М пройдет отрезок пути (рис.66).

Отношение называется средней скоростью движения () за время , а предел отношения при определяет мгновенную скорость точки в момент времени .

Понятие скорости, заимствованное из физики, удобно при исследовании поведения произвольной функции. Какую бы зависимость ни отражала функция y=f(x), отношение есть средняя скорость изменения у относительно изменения мгновенная скорость изменения у при .

Значение производной состоит в том, что при изучении любых процессов и явлений природы с ее помощью можно оценить скорость изменения связанных между собой величин.

Правая и левая производные

Используя понятие правого и левого предела функции, введем понятия правой и левой произ-в0дных функции у=f(х) в точке .

Определение:

Правой (левой) производной функции y=f(x) в точке называется правый (левый) предел отношения при (при условии, что этот предел существует). Обозначение:

Если функция f(х) имеет в точке производную, то она имеет в этой точке правую и левую производные, которые совпадают.

Вместе с тем существуют функции, имеющие в данной точке правую и левую производные, но не имеющие производной в этой точке. Это, например, функция , которая имеет в точке x=0 правую производную, равную (при ), и левую производную, равную (при ), но не имеет в этой точке производной, так как .

Установим связь между дифференцируемостью функции в точке и существованием производной в той же точке.

Теорема:

Для того чтобы функция y=f(x) была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Доказательство:

Необходимость. Пусть функция у=f(х) дифференцируема в точке , т. е. ее приращение в этой точке можно представить в виде (1): Поделив это равенство на (при ), получим

Переходя к пределу при имеем

Дх—О Лх Лх-0

Отсюда следует, что производная в точке существует и равна

Достаточность. Пусть существует конечная производная , т. е. . Пусть ; тогда функция является бесконечно малой при (см. теорему 4.5). Из последнего равенства имеем

где Получено представление (1), тем самым доказано, что функция у=f(х) дифференцируема в точке ■

Таким образом, для функций одной переменной дифференци-руемость и существование производной — понятия равносильные. Поэтому операцию нахождения производной часто называют дифференцированием.

Замечание. Введенная при доказательстве достаточности функция не определена при Следовательно, полученное для выражение (1) также не определено при Если определить произвольным образом, то равенство (1) будет справедливо и при Для дальнейшего целесообразно условиться, что в выражении (1) функция определена при По непрерывности, т. е.

Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности

Теорема:

Если функция у=f(х) дифференцируема в данной точке , то она и непрерывна в этой точке.

Доказательство. Так как функция у=f(х) дифференцируема в точке , то ее приращение в этой точке может быть представлено соотношением (1). Тогда, переходя к пределу при получаем

что и означает непрерывность функции y=f(x) в точке согласно третьему определению непрерывности функции в точке. ■

Замечание:

Обратное утверждение неверно. Функция может быть непрерывной в точке, но не быть дифференцируемой, т. е. не иметь производной в этой точке.

Примером такой функции служит функция , которая непрерывна в точке х=0, но, как показано в п. 4, § 1,не имеет в этой точке производной, т. е. не является дифференцируемой.

Если функция f(х) имеет производную в каждой точке некоторого промежутка (дифференцируема в каждой точке этого промежутка), то будем говорить, что функция f(х) дифференцируема на указанном промежутке.

Определение и геометрический смысл дифференциала

Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке , т. е. ее приращение в этой точке можно записать в виде суммы двух слагаемых:
где . Слагаемое является при бесконечно малой одного порядка с (при ), оно линейно относительно . Слагаемое при — бесконечно малая более высокого порядка, чем .

Таким образом, первое слагаемое (при ) является главной частью приращения функции y=f(x).

Определение:

Дифференциалом функции y=f(x) в точке называется главная, линейная относительно , часть приращения функции в этой точке:

Если , и поэтому слагаемое уже не является главной частью приращения , так как слагаемое , вообще говоря, отлично от нуля. Однако и в этом случае по определению полагаем дифференциал функции в точке х, равным , т. е. здесь .

Принимая во внимание теорему 5.1, т. е. учитывая, что, формулу (1) можно записать в виде

Пусть f(х)=х. Тогда по формуле (2)

Дифференциалом независимой переменной х назовем приращение этой переменной Соотношение (2) принимает теперь вид

Заметим, что с помощью равенства (3) производную можно вычислить как отношение дифференциала функции dу к дифференциалу dx независимой переменной, т. е.

Дифференциал функции имеет геометрический смысл. Пусть точка М на графике функции y=f(x) соответствует значению аргумента , точка Р—значению аргумента прямая MS— касательная к графику y=f(x) в точке М, — угол между касательной и осью Ох. Пусть, далее — точка пересечения касательной MS с прямой PN (рис. 67) Тогда приращение функции равно величине отрезка NP. В то же время из прямоугольного треугольника MNQ получаем: т. е. дифференциал функции paвен величине отрезка NQ. Из геометрического рассмотрения видно, что величины отрезков NP и NQ различны.

Таким образом, дифференциал dy функции y=f(x) в точке равен приращению «ординаты касательной» MS к графику этой функции в точке , а приращение функции есть приращение «ординаты самой функции» y=f(x) в точке , соответствующее приращению аргумента, равному .

Приближенные вычисления с помощью дифференциала

Из определения дифференциала следует, что он зависит линейно от и является главной частью приращения функции . Само же зависит от более сложно. Например, если в то время как

Во многих задачах приращение функции в данной точке приближенно заменяют дифференциалом функции в этой точке:

Абсолютная погрешность при такой замене равна и является при бесконечно малой более высокого порядка, чем .

Пример:

Покажем, что если мало, то можно использовать приближенную формулу

Решение. Рассмотрим функцию При малых имеем
откуда, положив получим

В частности,

Установим теперь правила дифференцирования и вычисления производных простейших элементарных функций. Заметим только, что при выводе формул и практическом вычислении производных обычно пишут не , а просто х, но при этом х считают фиксированным.

Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного

Теорема:

Если функции дифференцируемы в точке х, то сумма, разность, произведение и частное этих функций (частное при условии, что ) также дифференцируемы в этой точке и имеют место следующие формулы:

Доказательство:

Для вывода формул (1) воспользуемся определением производной, равенством и теоремой 4.3. Тогда получим:

так как а множители не зависят от ;

Вычисление производных постоянной, степенной, тригонометрических функций и логарифмической функции

Производная постоянной функции

Производная функции y=f(x)=C, где С — постоянное число, выражается формулой

Доказательство. Для любых имеем и Отсюда при любом и, следовательно,

Производная степенной функции

Производная функции , показатель n которой является целым положительным числом, выражается формулой

Доказательство:

Используя формулу бинома Ньютона, можно записать:

Таким образом, при имеем

Так как

Замечание:

Случай степенной функции, показатель которой является любым вещественным числом, рассмотрен в п. 2, § 9.

Производные тригонометрических функций

1) Производная функции y = sinx выражается формулой

Доказательство:

Имеем

Таким образом, при

Так как (первый замечательный предел), a в силу непрерывности функции cos х, то

2) Производная функции у=cos х выражается формулой

Доказательство:

Имеем

Таким образом, при

Так как в силу непрерывности функции , то

3) Производная функции выражается формулой
Доказательство:

Так как то по теореме 5.3 получим следовательно,

4) Производная функции y=ctgx выражается формулой

Доказательство:

Так как то аналогично предыдущему имеем следовательно,

Производная логарифмической функции

Производная функции выражается формулой

Доказательство:

Имеем

Таким образом, при

Полагая имеем:

(второй замечательный предел), а так как логарифмическая функция является непрерывной, то

Следствие:

Если

Теорема о производной обратной функции

Пусть функция y=f(х) удовлетворяет условиям теоремы 4.15 об обратной функции и функция является для нее обратной. Тогда имеет место следующая теорема.

Теорема:

Если функция y=f(x) имеет в точке производную то обратная функция также имеет в соответствующей точке производную, причем

Доказательство:

Дадим аргументу у обратной функции некоторое приращение в точке Функция получит некоторое приращение , причем в силу возрастания (или убывания) обратной функции Следовательно, можем записать:

Перейдем в этом равенстве к пределу при Так как обратная функция непрерывна в точке (см. теорему 4.15), то при Но при предел правой части равенства существует и равен . Следовательно, существует предел и левой части равенства, который по определению равен . Таким образом, получаем

Доказанная теорема имеет простой геометрический смысл. Рассмотрим в некоторой окрестности точки график функции y=f(x) (или обратной функции ). Пусть точке на этом графике соответствует точка М (рис. 68). Как известно, производная равна тангенсу угла наклона касательной, проходящей через точку М, к оси Ох. Производная обратной функции равна тангенсу угла наклона той же касательной к оси Оу. Поскольку углы в сумме составляют то формула (1) выражает очевидный факт:

Вычисление производных показательной функции и обратных тригонометрических функций

Используя доказанную выше теорему 5.4, продолжим вычисление производных простейших элементарных функций.

Производная показательной функции

Производная функции выражается формулой

Доказательство:

Показательная функция является обратной для логарифмической функции Так как
то в силу теоремы 5.4 о производной обратной функции и известного из элементарной математики соотношения получаем

Следствие:

Если

Производные обратных тригонометрических функций

1) Производная функции выражается формулой

Доказательство:

Функция у=arcsin x является обратной для функции x=sin х. Так как то по теореме 5.4 о производной обратной функции получаем

Корень взят со знаком плюс, так как cos у положителен на интервале Учитывая, что окончательно имеем

2) Производная функции выражается формулой
Доказательство аналогично предыдущему.

3) Производная функции выражается формулой
Доказательство. Функция является обратной для функции

Так как Но следовательно,

4) Производная функции выражается формулой

Доказательство аналогично предыдущему.

Правило дифференцирования сложной функции

Теорема:

Если функция имеет производную в точке а функция y=f(x) имеет производную в соответствующей точке , то сложная функция имеет производную в точке и справедлива следующая формула:

Доказательство:

Так как функция y=f(x) дифференцируема в точке , то приращение этой функции в точке может быть записано в виде

где Поделив равенство (2) на , получим

Равенство (3) справедливо при любых достаточно малых . Возьмем равным приращению функции , соответствующему приращению аргумента t в точке , и устремим в этом равенстве к нулю. Так как по условию функция имеет в точке производную, то она непрерывна в этой точке. Следовательно, согласно третьему определению непрерывности функции в точке, при Но тогда и также стремится к нулю, т. е. имеем

В силу соотношения (4) существует предел правой части равенства (3) при равный Значит, существует предел при и левой части равенства (3), который, по определению производной, равен производной сложной функции в точке . Тем самым, доказана дифференцируемость сложной функции и установлена формула (1). ■

Замечание:

В данной теореме рассмотрена сложная функция, где у зависит от t через промежуточную переменную х. Возможна и более сложная зависимость — с двумя, тремя и большим числом промежуточных переменных, но правило дифференцирования остается таким же.

Так, например, если и . то производную следует вычислять по формуле

Пример:

Вычислить производную функции

Решение:

Данную функцию можно представить в виде Тогда по формуле (1)

Заменяя окончательно получим

Пример:

Вычислить производную функции

Решение:

Данную функцию можно представить в виде Используя формулу (5), получаем

Замечание:

Иногда производную приходится вычислять непосредственно исходя из ее определения. Найдем, например, производную функции

При производная вычисляется по формулам и правилам дифференцирования:

Этим выражением нельзя воспользоваться при х=0. В точке х=0 производную можно вычислить, используя определение производной:

(произведение бесконечно малой функции на ограниченную есть бесконечно малая). Таким образом,

Понятие логарифмической производной функции

Вычислим производную функции Так как (последнее равенство получено на основании правила дифференцирования сложной функции), то производная данной функции выражается следующей формулой:

Учитывая формулу (1), вычислим производную сложной функции — дифференцируемая функция. Имеем
или

Производная называется логарифмической производной функции f(x). Для упрощения записи при логарифмическом дифференцировании знак модуля у функции f(х) обычно опускается.

Вычислим с помощью логарифмической производной производную показательно-степенной функции , где — некоторые функции от , имеющие в данной точке х производные . Так как , то, используя формулу (2), получаем

Отсюда, учитывая, что получаем следующую формулу для производной показательно-степенной функции:

Пример:

Вычислить производную функции .

Решение:

Данную функцию можно представить в виде , где Используя формулу (3), получаем

Производную показательно-степенной функции можно вычислить и другим способом. Представим функцию в виде и вычислим у’:

подставляя приходим снова к формуле (3).

Логарифмическая производная очень удобна при нахождении производной степенной функции с любым вещественным показателем.

Производная степенной функции с любым вещественным показателем

Производная функции ( — любое вещественное число) выражается формулой

Доказательство:

Так как , то
По формуле (2) находим

Отсюда, учитывая, что , получаем формулу для производной степенной функции:

Таким образом, нами вычислены производные всех простейших элементарных функций и мы можем составить следующую таблицу.

Таблица производных простейших элементарных функций

Формулы, приведенные в таблице, а также правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного и правило дифференцирования сложной функции являются основными формулами дифференциального исчисления. На основе правил и формул дифференцирования можно сделать важный вывод: производная любой элементарной функции также элементарная функция. Таким образом, операция дифференцирования не выводит из класса элементарных функций.

Производные и дифференциалы высших порядков

Понятие производной n-го порядка

Как уже отмечалось в § 1 данной главы, производная f'(х) функции y=f(x) сама является некоторой функцией аргумента х. Следовательно, по отношению к ней снова можно ставить вопрос о существовании и нахождении производной.

Назовем f'(х) производной первого порядка функции f(х). Производная от производной некоторой функции называется производной второго порядка (или второй производной) этой функции. Производная от второй производной называется производной третьего порядка (или третьей производной) и т. д. Производные, начиная со второй, называются производными высших порядков и обозначаются (вместо у» и у'» иногда пишут или

Производная n-го порядка является производной от производной
(n—1)-го порядка, т. е. .

Производные высших порядков имеют широкое применение в физике. Ограничимся физическим истолкованием второй производной f»(х). Если функция y = f(х) описывает закон движения материальной точки по прямой линии, то первая производная f(х) есть мгновенная скорость точки в момент времени х, а вторая производная равна скорости изменения скорости, т. е. ускорению движущейся точки в этот момент.

Формулы для л-х производных некоторых функций

1) Вычислим n-ю производную степенной функции
(— любое вещественное число). Последовательно дифференцируя, имеем*:

В частном случае, если , где m — натуральное число, получаем

2) Вычислим n-ю производную показательной функции . Последовательно дифференцируя, имеем

В частности, если то для любого n

3) Вычислим n-ю производную функции y=sinx. Последовательно дифференцируя, имеем
Таким образом, производную любого порядка от sin х можно вычислять по формуле

Например,

4) Аналогично можно получить формулу n-й производной функции y=cosx:

Формула Лейбница для n-й производной произведения двух функций

Пусть — некоторые функции от переменной х, имеющие производные любого порядка. Тогда

Правые части полученных равенств похожи на разложения различных степеней бинома по формуле Ньютона, но вместо показателей степени стоят числа, определяющие порядок производных, а сами функции для полной аналогии с формулой Ньютона нужно рассматривать как «производные нулевого порядка»: . Учитывая это, запишем общий вид n-й производной произведения двух функций:

Формула (1) называется формулой Лейбница. Докажем эту формулу методом математической индукции.

При n=1 эта формула принимает вид , что совпадает с формулой дифференцирования произведения двух функций. Для n=2 и n=3 она также проверена. Поэтому достаточно, предположив справедливость формулы (1) для некоторого n, доказать ее справедливость для n+1. Продифференцируем эту формулу, т. е. найдем :

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем

По выражение, стоящее в квадратных скобках, можно представить следующим образом:

Поэтому

Формула (1) доказана. ■
Пример:

Вычислить пятую производную функции Решение. Полагая , найдем: Подставляя эти выражения в формулу (1) при n = 5, получаем

Пример:

Вычислить n-ю производную функции .
Решение. Полагая найдемПодставляя в формулу (1), получаем

Дифференциалы высших порядков

Рассмотрим дифференциалы высших порядков. Для удобства будем наряду с обозначениями дифференциалов символами dу и dx использовать обозначил

Пусть функция f(х) дифференцируема в каждой точке х некоторого промежутка. Тогда ее дифференциал

который назовем дифференциалом первого порядка, является функцией двух переменных: аргумента х и его дифференциала dx. Пусть функция f'(х), в свою очередь, дифференцируема в некоторой точке х. Будем рассматривать dx в выражении для dy как постоянный множитель. Тогда функция dу представляет собой функцию только аргумента х и ее дифференциал в точке х имеет вид (при рассмотрении дифференциала от dу будем использовать новые обозначения для дифференциалов)

Дифференциал (dу) от дифференциала dу в точке х, взятый при , называется дифференциалом второго порядка функции f(х) в точке х и обозначается , т. е.

В свою очередь, дифференциал от дифференциала , взятый при , называется дифференциалом третьего порядка функции f(х) и обозначается и т. д. Дифференциал от дифференциала , взятый при , называется дифференциалом n-го порядка (или n-м дифференциалом) функции f(х) и обозначается .

Докажем, что для n-го дифференциала функции справедлива формула

Доказательство проведем по индукции. Для n=1 и n=2 формула (2) доказана. Пусть она верна для дифференциалов порядка n-1:
и функция , в свою очередь, дифференцируема в некоторой точке х. Тогда

Полагая , получаем
что и требовалось доказать.

Из формулы (2) следует, что для любого справедливо равенство
т е. n-я производная функции y=f(x) в точке х равна отношению n-го дифференциала этой функции в точке х к n-й степени дифференциала аргумента.

Пример:

Вычислить дифференциал функции
Решение:

Последовательно дифференцируя, получаем
Следовательно,

Параметрическое задание функции

Пусть даны две функции

одной независимой переменной t, определенные и непрерывные в одном и том же промежутке. Если строго монотонна, то обратная к ней функция t=Ф(х) однозначна, также непрерывна и строго монотонна. Поэтому у можно рассматривать как функцию, зависящую от переменной х посредством переменной t, называемой параметром:

В этом случае говорят, что функция у от х задана параметрически с помощью уравнений (1).

Отметим, что функция непрерывна в силу теоремы о непрерывности сложной функции.

Пример:

Пусть Так как функция x=Rcost убывает при то данные уравнения задают параметрически функцию у от х. Если выразить t через х из первого уравнения, и подставить во второе, то получим искомую функцию переменной х в явном виде.

Это еще легче сделать, если заметить, что

Отсюда Так как функция неотрицательна для , то перед радикалом выбираем знак плюс:

Если
Таким образом, можно сделать вывод, что когда t изменяется , то формулы определяют две Функции переменной х, графики которых образуют окружность Радиуса R.

Пример:

Пусть Данные равенства являются параметрическими уравнениями клипса, так как (см. замечание п. 1, § 7, гл. 3) эллипс получается Из окружности радиуса а сжатием ее в а/b раз вдоль оси Оу. Из примера 1 следует, что параметрическими уравнениями окружности являются уравнения . Итак, параметрические уравнения эллипса получаются из параметрических уравнений окружности умножением правой части уравнения для ординаты у на b/а и имеют вид: . Можно поступить проще. Исключая из этих уравнений параметр t (разрешая их относительно cos t и sin t, возводя полученные равенства в квадрат и складывая), получаем — уравнение эллипса.

Параметрическое задание функции имеет особо важное значение при изучении движения точки. Если точка движется на плоскости, то ее координаты х, у являются функциями времени t. Задав эти функции , мы полностью определим движение точки. Для каждого промежутка времени, в котором функция строго монотонна, можно, как и раньше, определить функцию , графиком которой является кривая, описываемая за этот промежуток времени движущейся точкой. В последнем примере функции описывали движение точки по эллипсу.

Дифференцирование функции, заданной параметрически

Предположим теперь, что функции имеют производные, причем на некотором промежутке. Из последнего неравенства вытекает (как будет показано) строгая монотонность функции (см. теорему 6.7, гл. VI) и, следовательно, однозначность обратной функции t=Ф(х). По теореме 5.4 о производной обратной функции функция Ф (х) имеет производную

а по теореме 5.5 о производной сложной функции функция имеет производную

Следовательно,

Таким образом, доказано, что производная функции, заданной параметрически, выражается формулой (2).

Пример:

Найти , если
Решение:

По формуле (2) получаем [здесь ]

Если воспользоваться явным выражением для функции у от то получим, разумеется, тот же результат:

Пусть существуют вторые производные функций в некоторой точке t. Тогда можно вычислить вторую производную функции, заданной параметрически. Заметим, что функция ,
в свою очередь, задана параметрически уравнениями Следовательно, по формуле (2) имеем

Здесь использовано правило дифференцирования частного. Итак,

Аналогично можно получить производную от у по х любого порядка.

Пример:

Найти Решение. Подставляя в формулу (3), найдем

Дифференцирование — решение заданий и задач по всем темам с вычислением

При изучении темы «Дифференцирование» вы познакомитесь
на примерах с понятиями производной и дифференциала функции одной переменной, научитесь вычислять производные, используя правила дифференцирования суммы, произведения, частного и сложной функции, научитесь дифференцировать функции, заданные параметрически, вычислять производные высших порядков, а также применять производные и дифференциалы в приближенных вычислениях и при решении геометрических задач.

Понятие производной

Постановка задачи. Исходя из определения, найти производную функции f(x) в точке х = 0.

План решения.

1.По определению

(Напомним, что при вычислении предела но .)

3.Вычисляем предел

3.Если предел существует и равен А, то f'(0) = А, если предел не
существует, то f'(0) не существует.

Пример:

Исходя из определения, найти производную функции

в точке х = 0.

Решение:

1.По определению

2.Так как sin(l/x) — ограниченная, а x — бесконечно малая функции при , то по теореме о произведении бесконечно малой функции на ограниченную при . Заменяя в числителе бесконечно малую функцию эквивалентной и снова используя упомянутую теорему, получаем

3.Таким образом, предел существует и равен нулю. Следовательно, f'(0) = 0.

Ответ. f'(0) = 0.

Вычисление производных

Постановка задачи. Найти производную функции у = f(x).

План решения. Задача решается в несколько этапов. На каждом
этапе необходимо распознать тип функции и применить соответствующее правило дифференцирования.

Возможны следующие типы функций.
• Функция имеет вид где
— некоторые функции и — некоторые постоянные. Используем формулу производной линейной комбинации

• Функция имеет вид u • v. Используем формулу производной
произведения

• Функция имеет вид Используем формулу производной частного:

• Функция имеет вид u(v(x)). Используем формулу производной
сложной функции

• Функция имеет вид Производная такой функции
вычисляется с помощью формулы

Переход от этапа к этапу совершается до тех пор, пока под каждым знаком производной не окажется табличная функция.

Пример:

Найти производную функции

Решение:

1.Функция у(х) имеет вид

где и Используя формулу
для производной частного, получаем

2.Функция является линейной комбинацией табличных функций. Поэтому

3.Функция имеет вид

где и Используя формулу для производной сложной функции, получаем

Ответ.

Уравнение касательной и нормали

Постановка задачи. Составить уравнения касательной и нормали к кривой у = f(x) в точке с абсциссой а.

План решения. Если функция f(x) в точке а имеет конечную
производную, то уравнение касательной имеет вид

Если то уравнение касательной имеет вид х = а.
Если то уравнение нормали имеет вид

Если то уравнение нормали имеет вид х = а.

1.Находим значение f(а).

2.Находим производную f'(a).

3.Подставляя найденные значения f(a) и f'(a) в (1) и (2), получаем уравнения касательной и нормали.

Пример:

Составить уравнения касательной и нормали к кривой

в точке с абсциссой а = 1.

Решение:

1.Находим f(1) = 2/3.

2.Находим производную f'(1) = 2/3. Так как и
то воспользуемся уравнениями (1) и (2).

3.Подставляя найденные значения f(а) = 2/3 и f'(а) = 2/3 в (1)
и (2), получаем уравнения касательной и нормали:

Ответ. Уравнение касательной: 2х — Зу = 0. Уравнение нормали: 9x+6у — 13 = 0.

Приближенные вычисления с помощью дифференциала

Постановка задачи. Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции у = f(x) в точке х = а.

План решения. Если приращение аргумента х мало
по абсолютной величине, то

1.Выбираем точку а, ближайшую к x и такую, чтобы легко вычислялись значения f(а) и f'(a).

2.Вычисляем , f(а) и f'(a).

3.По формуле (1) вычисляем f(x).

Пример:

Вычислить приближенно с помощью дифференциала
значение функции в точке х = 1, 97.

Решение:

1.Ближайшая к 1,97 точка, в которой легко вычислить значения
f(а) и f'(а), — это точка а = 2.

2.Вычисляем:

3.По формуле (1) имеем

Ответ.

Логарифмическое дифференцирование

Постановка задачи. Найти производную функции вида

План решения.

1.Логарифм данной функции имеет вид

2.Продифференцировав обе части этого равенства, получаем

Поэтому

3.Подставляя в последнее равенство выражение для у, получаем
ответ.

Пример:

Найти производную функции

Решение:

1.Логарифм данной функции имеет вид

2.Продифференцировав обе части этого равенства, получаем

Поэтому

3.Подставляя в последнее равенство выражение для у, получаем
ответ.

Ответ.

Производная функции, заданной параметрически

Постановка задачи. Найти производную функции, заданной
параметрически.

План решения. Если зависимость у от х задана посредством
параметра t:

то зависимость у’ от х задается посредством параметра t формулами

Вычисляем f'(t) и g'(t), подставляем в формулу (1) и записываем
ответ.

Пример:

Найти производную если

Решение:

Вычисляем:

Подставляя полученные результаты в формулу (1), получаем

Ответ.

Касательная и нормаль к кривой, заданной параметрически

Постановка задачи. Составить уравнения касательной и нормали к кривой

в точке А, соответствующей значению параметра

План решения. Если функция у(х) в точке а имеет конечную
производную, то уравнение касательной имеет вид

Если то уравнение касательной имеет вид х = а.
Если то уравнение нормали имеет вид

Если у'(а) = 0, то уравнение нормали имеет вид х = а.

1.Вычисляем координаты точки А:

2.Находим производную у’ в точке касания при

3.Подставляем полученные значения в уравнения касательной (1)
и нормали (2) и записываем ответ.

Пример:

Составить уравнения касательной и нормали к кривой

в точке А, соответствующей значению параметра t = 0.

Решение:

1.Вычисляем координаты точки А: а = 2, у(а) = 1.

2.Находим производную у’ в точке А:

Поскольку и то можно воспользоваться уравнениями (1) и (2).

2.Подставляем полученные значения в уравнения касательной (1):

и нормали (2):

у=1+2(х-2).

Ответ. Уравнение касательной: х + 2у — 4 = 0. Уравнение нормали:
2х — у — 3 = 0.

Производные высших порядков

Постановка задачи. Найти производную п-го порядка функции y=f(x).

План решения.

Производной n-го порядка функции у = f(x) называют производную от производной порядка (n — 1), т.е.

1.Дифференцируем функцию у = f(x) последовательно несколько
раз, пока не станет ясной формула для производной n-ого порядка.

2.Доказываем эту формулу методом математической индукции.
Для этого проверяем, что она справедлива при n = 1, т.е. дает правильное значение f’, и что дифференцирование выражения для эквивалентно замене n на n + 1.

Пример:

Найти производную n-го порядка функции

Решение:

1.Найдем последовательно

Проанализировав эти выражения, делаем предположение, что

2.Докажем эту формулу методом математической индукции.
Проверим, что она справедлива при n = 1, т.е.

Дифференцирование эквивалентно замене n на n + 1, т.е.

Ответ.

Формула Лейбница

Постановка задачи. Найти производную п-го порядка функции
у = u(x)v(x).

План решения. Если функции u(х) и v(x) имеют производные
до n-го порядка включительно, то справедливы следующие формулы:

где и — биномиальные коэффициенты.

Формула (1) для n-й производной произведения называется
формулой Лейбница.

Следовательно, для определения производной n-го порядка функции вида у = u(x)v(x) нужно вычислить все производные (до n-го
порядка включительно) каждой из функций u(х) и v(x), биномиальные коэффициенты и воспользоваться формулой Лейбница.

Пример:

Найти производную 4-го порядка функции

Решение:

1.Применяем формулу Лейбница (1). В данном случае

Имеем

Подставляя полученные результаты в формулу (1), получим

Ответ.

Вторая производная функции, заданной параметрически

Постановка задачи. Найти производную второго порядка
функции, заданной параметрически.

План решения. Если функция задана параметрически:

то ее первая производная определяется формулами

Дифференцируя по х как сложную функцию х и используя формулу для производной обратной функции, получим

Пример:

Найти производную второго порядка функции, заданной параметрически:

Решение:

1.Вычисляем

и подставляем эти значения в формулу (1):

Дифференцируя по х как сложную функцию х и используя формулу для производной обратной функции, получим

Ответ.

Решение заданий и задач по предметам:

• Математика
• Высшая математика
• Математический анализ
• Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Комплексные числа
17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
18. Алгебраические уравнения
19. Неопределенные уравнения
20. Соединения
21. Бином Ньютона
22. Число е
23. Непрерывные дроби
24. Функция
25. Исследование функций
26. Предел
27. Интеграл
28. Двойной интеграл
29. Тройной интеграл
30. Интегрирование
31. Неопределённый интеграл
32. Определенный интеграл
33. Криволинейные интегралы
34. Поверхностные интегралы
35. Несобственные интегралы
36. Кратные интегралы
37. Интегралы, зависящие от параметра
38. Квадратный трехчлен
39. Производная
40. Применение производной к исследованию функций
41. Приложения производной
42. Дифференциал функции
43. Формулы и правила дифференцирования
44. Дифференциальное исчисление
45. Дифференциальные уравнения
46. Дифференциальные уравнения первого порядка
47. Дифференциальные уравнения высших порядков
48. Дифференциальные уравнения в частных производных
49. Тригонометрические функции
50. Тригонометрические уравнения и неравенства
51. Показательная функция
52. Показательные уравнения
53. Обобщенная степень
54. Взаимно обратные функции
55. Логарифмическая функция
56. Уравнения и неравенства
57. Положительные и отрицательные числа
58. Алгебраические выражения
59. Иррациональные алгебраические выражения
60. Преобразование алгебраических выражений
61. Преобразование дробных алгебраических выражений
62. Разложение многочленов на множители
63. Многочлены от одного переменного
64. Алгебраические дроби
65. Пропорции
66. Уравнения
67. Системы уравнений
68. Системы уравнений высших степеней
69. Системы алгебраических уравнений
70. Системы линейных уравнений
71. Системы дифференциальных уравнений
72. Арифметический квадратный корень
73. Квадратные и кубические корни
74. Извлечение квадратного корня
75. Рациональные числа
76. Иррациональные числа
77. Арифметический корень
78. Квадратные уравнения
79. Иррациональные уравнения
80. Последовательность
81. Ряды сходящиеся и расходящиеся
82. Тригонометрические функции произвольного угла
83. Тригонометрические формулы
84. Обратные тригонометрические функции
85. Теорема Безу
86. Математическая индукция
87. Показатель степени
88. Показательные функции и логарифмы
89. Множество
90. Множество действительных чисел
91. Числовые множества
92. Преобразование рациональных выражений
93. Преобразование иррациональных выражений
94. Геометрия
95. Действительные числа
96. Степени и корни
97. Степень с рациональным показателем
98. Тригонометрические функции угла
99. Тригонометрические функции числового аргумента
100. Тригонометрические выражения и их преобразования
101. Преобразование тригонометрических выражений
102. Комбинаторика
103. Вычислительная математика
104. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
105. Прямая и плоскость
106. Линии и уравнения
107. Прямая линия
108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
109. Кривые второго порядка
110. Кривые и поверхности второго порядка
111. Числовые ряды
112. Степенные ряды
113. Ряды Фурье
114. Преобразование Фурье
115. Функциональные ряды
116. Функции многих переменных
117. Метод координат
118. Гармонический анализ
119. Вещественные числа
120. Предел последовательности
121. Аналитическая геометрия
122. Аналитическая геометрия на плоскости
123. Аналитическая геометрия в пространстве
124. Функции одной переменной
125. Высшая алгебра
126. Векторная алгебра
127. Векторный анализ
128. Векторы
129. Скалярное произведение векторов
130. Векторное произведение векторов
131. Смешанное произведение векторов
132. Операции над векторами
133. Непрерывность функций
134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
135. Предел и непрерывность функции одной переменной
136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
139. Матрицы
140. Линейные и евклидовы пространства
141. Линейные отображения
142. Дифференциальные теоремы о среднем
143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
144. Функции комплексного переменного
145. Преобразование Лапласа
146. Теории поля
147. Операционное исчисление
148. Системы координат
149. Рациональная функция
150. Интегральное исчисление
151. Интегральное исчисление функций одной переменной
152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
153. Отношение в математике
154. Математическая логика
155. Графы в математике
156. Линейные пространства
157. Первообразная и неопределенный интеграл
158. Линейная функция
159. Выпуклые множества точек
160. Система координат